কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Co-ordinates)

অনুশীলনী \(3.A(i)\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক থেকে পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q.1.(i)\) \((0, 1)\) সমাধান,
\(Q.1.(ii)\) \((-1, -\sqrt{3})\) সমাধান,
\(Q.1.(iii)\) \((1, 1)\) সমাধান,
\(Q.1.(iv)\) \((\sqrt{3}, 1)\) সমাধান,
\(Q.1.(v)\) \((-3, \sqrt{3})\) সমাধান

অনুশীলনী \(3.A(i)\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q 1.(i)\) কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক থেকে পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((0, 1)\)

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (0, 1)\)
\(\therefore x=0 \) এবং \(y=1\)
মনে করি,
\((0, 1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-r, \theta\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{0+1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1}\) carte
\(\therefore r=1\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{\sqrt{1}}{0}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\infty\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\times\tan\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((1, \frac{\pi}{2}\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-1, \frac{\pi}{2}\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);

\(Q.1.(ii)\) \((-1, -\sqrt{3})\)

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (-1, -\sqrt{3})\)
\(\therefore x=-1 \) এবং \( y=-\sqrt{3}\)
মনে করি,
\((-1, -\sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-r, \theta\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}\) | Note \(\because x=-1\) এবং \(y=-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\) carte
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{-\sqrt{3}}{-1}\) | Note \(\because x=-1\) এবং \(y=-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+tan^{-1}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{4\pi}{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((2, \frac{4\pi}{3}\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-2, \frac{4\pi}{3}\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (4, \frac{\pi}{4})\)
\(\therefore r=4 \) এবং \( \theta=\frac{\pi}{4}\)
আবার, মনে করি,carte
\((4, \frac{\pi}{4})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 4\cos\frac{\pi}{4}\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore x = 2\sqrt{2}\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= 4\sin\frac{\pi}{4}\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore y = 2\sqrt{2}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

\(Q.1.(iii)\) \((1, 1)\)

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (1, 1)\)
\(\therefore x=1 \) এবং \( y=1\)
মনে করি,
\((1, 1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-r, \theta\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}\) carte
\(\therefore r=\sqrt{2}\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{1}{1}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}1\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\times\tan\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);

\(Q.1.(iv)\) \((\sqrt{3}, 1)\)

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (\sqrt{3}, 1)\)
\(\therefore x=\sqrt{3} \) এবং \( y=1\)
মনে করি,
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-r, \theta\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{3+1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\) carte
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\times\tan\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((2, \frac{\pi}{6}\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-2, \frac{\pi}{6}\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);

\(Q.1.(v)\) \((-3, \sqrt{3})\)

সমাধানঃ

এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (-3, \sqrt{3})\)
\(\therefore x=-3 \) এবং \( y=\sqrt{3}\)
মনে করি,
\((-3, \sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-r, \theta\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);
যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(-3)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{9+3}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{12}\)carte
\(\therefore r=2\sqrt{3}\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{\sqrt{3}}{-3}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{3}}\))
\(\Rightarrow \theta=-tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}\))
\(\Rightarrow \theta=\pi-tan^{-1}\times\tan\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((2\sqrt{3}, \frac{5\pi}{6}\pm2n\pi)\) অথবা \(\{-2\sqrt{3}, \frac{5\pi}{6}\pm(2n+1)\pi\}\), \(n\in Z\);

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply