কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Co-ordinates)

# অনুশীলনী \(3.A(i)\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\((i)\) \((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\) সমাধান,
\((ii)\) \((-2, 120^{o})\) সমাধান,
\((iii)\) \((\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4})\) সমাধান,
\((iv)\) \((2, \frac{\pi}{3})\) সমাধান,
\((v)\) \((4, \frac{\pi}{4})\) সমাধান,
\((vi)\) \((3, 150^{o})\) সমাধান,
\((vii)\) \((1, 225^{o})\) সমাধান,
\((viii)\) \((2, 270^{o})\) সমাধান,
\((ix)\) \((4, \frac{\pi}{3})\) সমাধান.

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((i)\) \((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)

carte
এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)
\(\therefore r=\sqrt{2}\) এবং \( \theta=\frac{5\pi}{4}\)
মনে করি,
\((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= \sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{4}\) \(= \sqrt{2}\cos(2\times\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times-\cos(\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= -1\)
\(\therefore x = -1\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= \sqrt{2}\sin\frac{5\pi}{4}\) \(= \sqrt{2}\sin(2\times\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times-\sin(\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= -1\)
\(\therefore y = -1\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-1, -1)\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((ii)\) \((-2, 120^{o})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (-2, 120^{o})\)carte
\(\therefore r=-2\) এবং \( \theta=120^{o}\)
মনে করি,
\((-2, 120^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= -2\cos120^{o}\) \(= -2\times-\frac{1}{2}\) \(= 1\)
\(\therefore x = 1\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= -2\sin120^{o}\) \(= -2\sin(90^{o}+30^{o})\) \(= -2\cos30^{o}\) \(= -2\times-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(= -\sqrt{3}\)
\(\therefore y = -\sqrt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((1, -\sqrt{3})\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((iii)\) \((\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4})\)

carte
এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4})\)
\(\therefore r=\sqrt{2}\) এবং \( \theta=-\frac{\pi}{4}\)
মনে করি,
\((\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 1\)
\(\therefore x = 1\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= \sqrt{2}\sin(-\frac{\pi}{4})\) \(= \sqrt{2}\times-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= -1\)
\(\therefore y = -1\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((1, -1)\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((iv)\) \((2, \frac{\pi}{3})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (2, \frac{\pi}{3})\)carte
\(\therefore r=2 \) এবং \( \theta=\frac{\pi}{3}\)
মনে করি,
\((2, \frac{\pi}{3})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 2\cos(\frac{\pi}{3})\) \(= 2\times\frac{1}{2}\) \(= 1\)
\(\therefore x = 1\)
আবার,
\(y= r\sin\theta\) \(= 2\sin(\frac{\pi}{3})\) \(= 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(= \sqrt{3}\)
\(\therefore y = \sqrt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((1, \sqrt{3})\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((v)\) \((4, \frac{\pi}{4})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (4, \frac{\pi}{4})\)carte
\(\therefore r=4\) এবং \( \theta=\frac{\pi}{4}\)
মনে করি,
\((4, \frac{\pi}{4})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 4\cos(\frac{\pi}{4})\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore x = 2\sqrt{2}\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= 4\sin(\frac{\pi}{4})\) \(= 4\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(= 2\sqrt{2}\)
\(\therefore y = 2\sqrt{2}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((vi)\) \((3, 150^{o})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (3, 150^{o})\)carte
\(\therefore r=3\) এবং \( \theta=150^{o}\)
মনে করি,
\((3, 150^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 3\cos150^{o}\) \(= 3\cos(2\times90^{o}-30^{o})\) \(= 3\times-\cos30^{o}\) \(= 3\times-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(= -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
আবার,
\(y = r\cos\theta\) \(= 3\sin150^{o}\) \(= 3\sin(2\times90^{o}-30^{o})\) \(= 3\times\sin30^{o}\) \(= 3\times\frac{1}{2}\) \(= \frac{3}{2}\)
\(\therefore y = \frac{3}{2}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((vii)\) \((1, 225^{o})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (1, 225^{o})\)carte
\(\therefore r=1\) এবং \( \theta=225^{o}\)
মনে করি,
\((1, 225^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 1\cos225^{o}\) \(= \cos(2\times90^{o}+45^{o})\) \(= -\cos45^{o}\) \(= -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
আবার,
\(y = r\cos\theta\) \(= 1\sin225^{o}\) \(= \sin(2\times90^{o}+45^{o})\) \(= -\sin45^{o}\) \(= -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore y = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((viii)\) \((2, 270^{o})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (2, 270^{o})\)carte
\(\therefore r=2\) এবং \( \theta=270^{o}\)
মনে করি,
\((2, 270^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 2\cos270^{o}\) \(= 2\cos(3\times90^{o}+0^{o})\) \(= 2\sin0^{o}\) \(= 2\times0\) \(= 0\)
\(\therefore x = 0\)
আবার,
\(y= r\sin\theta\) \(= 2\sin270^{o}\) \(= 2\sin(3\times90^{o}+0^{o})\) \(= 2\times-\cos0^{o}\) \(= 2\times-1\) \(= -2\)
\(\therefore y = -2\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((0, -2)\)

সমাধানঃ \(Q 2.\) পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((ix)\) \((4, \frac{\pi}{3})\)

এখানে, \((r, \theta)\) \(\Rightarrow (4, \frac{\pi}{3})\)carte
\(\therefore r=4 \) এবং \( \theta=\frac{\pi}{3}\)
মনে করি,
\((4, \frac{\pi}{3})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((x, y)\)
আমরা জানি, \(x = r\cos\theta\) \(= 4\cos(\frac{\pi}{3})\) \(= 4\times\frac{1}{2}\) \(= 2\)
\(\therefore x = 2\)
আবার,
\(y = r\sin\theta\) \(= 4\sin(\frac{\pi}{3})\) \(= 4\times\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(= 2\sqrt{3}\)
\(\therefore y = 2\sqrt{3}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \((2, 2\sqrt{3})\)

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.