কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক (Cartesian and Polar Co-ordinates)

# অনুশীলনী \(3.A(i)\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।

\((i)\) \(r=4\sin\theta\) সমাধান,
\((ii)\) \(r=b\cos\theta\) সমাধান,
\((iii)\) \(r(1+\cos\theta)=2\) সমাধান,
\((iv)\) \(r^{2}=a^{2}\cos2\theta\) সমাধান,
\((v)\) \(r=6\cos\theta-2\sin\theta\) সমাধান,
\((vi)\) \(r^{2}\sin2\theta=2a^{2}\) সমাধান.

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((i)\) \(r=4\sin\theta\)

দেওয়া আছে,
\(r=4\sin\theta\) \(\Rightarrow r^{2}=4r\sin\theta\) \([\because r\neq0]\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4y\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow \ r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ y=r\sin\theta ]\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}=4y\).

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((ii)\) \(r=b\cos\theta\)

দেওয়া আছে,
\(r=b\cos\theta\) \(\Rightarrow r^{2}=br\cos\theta\) \([\because r\neq0]\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=bx\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow \ r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ x=r\cos\theta ]\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}=bx\).

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((iii)\) \(r(1+\cos\theta)=2\)

দেওয়া আছে,
\(r(1+\cos\theta)=2\) \(\Rightarrow r+r\cos\theta=2\)
\(\Rightarrow r=2-r\cos\theta\) \(\Rightarrow r^{2}=(2-r\cos\theta)^{2}\) [ বর্গ করে ]
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=(2-x)^{2}\) \([\because r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow \ r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ x=r\cos\theta ]\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2^{2}-2.2.x+x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}=4-4x\)
\(\Rightarrow y^{2}=4-4x\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(y^{2}=4-4x\).

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((iv)\) \(r^{2}=a^{2}\cos2\theta\)

দেওয়া আছে,
\(r^{2}=a^{2}\cos2\theta\) \(\Rightarrow r^{2}=a^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)\)
\(\Rightarrow r^{2}\times r^{2}=a^{2}r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)\) [ উভয়পার্শে \(r^{2}\) গুন করে ]
\(\Rightarrow (r^{2})^{2}=a^{2}(r^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\sin^{2}\theta)\)
\(\Rightarrow (r^{2})^{2}=a^{2}[(r\cos\theta)^{2}-(r\sin\theta)^{2}]\)
\(\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\) \([\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta ]\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \((x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\).

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((v)\) \(r=6\cos\theta-2\sin\theta\)

দেওয়া আছে,
\(r=6\cos\theta-2\sin\theta\) \(\Rightarrow r^{2}=6r\cos\theta-2r\sin\theta\) [ উভয়পার্শে \(r\) গুন করে ]
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=6x-2y\) \([\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta ]\)
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}=6x-2y\).

সমাধানঃ \(Q 4.\) কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর। \((vi)\) \(r^{2}\sin2\theta=2a^{2}\)

দেওয়া আছে,
\(r^{2}\sin2\theta=2a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}2\sin\theta \cos\theta=2a^{2}\)
\(\Rightarrow 2r\sin\theta r\cos\theta=2a^{2}\)
\(\Rightarrow 2yx=2a^{2}\) [\(\because \ x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\) ]
\(\Rightarrow xy=a^{2}\) [ উভয়পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
\(\therefore\) নির্ণেয় কার্তেসীয় সমীকরণ \(xy=a^{2}\).

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.