দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র প্রতিষ্ঠা এবং বাস্তব প্রয়োগ।
  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে বিভিন্ন প্রকার ত্রীভুজ ও চতুর্ভুজের বাস্তব প্রমাণ।
  • দুইয়ের অধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থানের শর্ত।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

# কোন সমতলের উপর \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।

\(PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
Proof

পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

# কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে।

\(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
Proof

দূরত্বসুত্র প্রতিপাদন

কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

euclid
মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(Q(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু। \(P\) এবং \(Q\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(QN\) লম্ব অংকন করি। তাহলে, \(OM=x_{1}\), \(PM=y_{1}\), \(ON=x_{2}\), \(QN=y_{2}\).
আবার,
\(QR=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}\).
\(PR=PM-RM=y_{1}-y_{2}\).
\(PQR\) সমকোণী ত্রীভুজ হতে পাই,
\(PQ^{2}=QR^{2}+PR^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\therefore PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\) [\(\because\) দূরত্ব সর্বদা ধনাত্মক।]
euclid

ভেক্টর পদ্ধতিঃ

euclid
মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু। মূলবিন্দু বা \(O\) বিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে \(\overline{OP}=x_{1}\hat{i}+y_{1}\hat{j}\) এবং \(\overline{OQ}=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}\)।
\(\triangle OPQ\) হতে পাই, \(\overline{PQ}=\overline{OQ}-\overline{OP}\) \(=x_{2}\hat{i}+y_{2}\hat{j}-x_{1}\hat{i}-y_{1}\hat{j}\) \(=(x_{2}-x_{1})\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\hat{j}\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) ও \(P(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুর দূরত্ব \(\overline{\mid PQ \mid}\) \(=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\) \(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)
উদাহরণঃ \(P(1, 2)\) ও \(Q(-2, 6)\) বিন্দু দ্বয়ের দূরত্ব \(=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-6)^{2}}\) \(=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\) \(=\sqrt{9+19}\) \(=\sqrt{25}\) \(=5\)।

অনুসিদ্ধান্তঃ

# \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং মূলবিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(x_{1}-0)^{2}+(y_{1}-0)^{2}}\) \(=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)।
# \(P(x_{1}, \beta)\) ও \(P(x_{2}, \beta)\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(\beta-\beta)^{2}}\) \(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}\) \(=\mid (x_{1}-x_{2} \mid\)।
# \(P(\alpha, y_{1})\) ও \((\alpha, y_{2})\) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\sqrt{(\alpha-\alpha)^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\) \(=\sqrt{(y_{1}-y_{2})^{2}}\) \(=\mid (y_{1}-y_{2} \mid\)।

পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ

মনে করি, কোন সমতলের উপর \(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) যে কোন দুইটি বিন্দু এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।
\(P(r_{1}, \theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}, \theta_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(P(r_{1}\cos\theta_{1}, r_{1}\sin\theta_{1})\) ও \(Q(r_{2}\cos\theta_{2}, r_{2}\sin\theta_{2})\)
\(\therefore PQ=\sqrt{(r_{1}\cos\theta_{1}-r_{2}\cos\theta_{2})^{2}+(r_{1}\sin\theta_{1}-r_{2}\sin\theta_{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}\cos^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+r_{2}^{2}\cos^{2}\theta_{2}+r_{1}^{2}\sin^{2}\theta_{1}-2r_{1}r_{2}\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+r_{2}^{2}\sin^{2}\theta_{2}}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\theta_{1}+\sin^{2}\theta_{1})+r_{2}^{2}(\cos^{2}\theta_{2}+\sin^{2}\theta_{2})-2r_{1}r_{2}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2})}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}\times 1+r_{2}^{2}\times 1-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
\(\Rightarrow PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)

পোলার স্থানাঙ্কে দূরত্বঃ \(PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.