দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# উদাহরণসমূহ

উদাহরণ \(1.\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, -4)\) ও \((0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\), \((-3, 1)\), \((-2, -3)\) এবং \((2, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, -5)\), \(B(9, 10)\), \(C(3, 25)\) এবং \(D(-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) X-অক্ষ ও \((-5, -7)\) থেকে \((4, K)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((6, 7)\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, -4)\) ও \((0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি \(\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(0, -4)\), \(B(0, 4)\) এবং \(C(x, y)\)
শর্তমতে, \(AB=BC=AC\) \(\Rightarrow AB^{2}=BC^{2}=AC^{2}\)
এখন,
\(\Rightarrow AB^{2}=BC^{2}\) \(\Rightarrow (0-0)^{2}+(-4-4)^{2}=(0-x)^{2}+(4-y)^{2}\)
\(\Rightarrow 0+(-8)^{2}=x^{2}+4^{2}-2.4.y+y^{2}\)
\(\Rightarrow 64=x^{2}+16-8y+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-8y+y^{2}-48=0…….(i)\)
আবার,
\(\Rightarrow AB^{2}=AC^{2}\) \(\Rightarrow (0-0)^{2}+(-4-4)^{2}=(0-x)^{2}+(-4-y)^{2}\)
\(\Rightarrow (-8)^{2}=x^{2}+(4+y)^{2}\)
\(\Rightarrow 64=x^{2}+4^{2}+2.4.y+y^{2}\)
\(\Rightarrow 64=x^{2}+16+8y+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+8y+y^{2}-48=0…….(ii)\)
\((ii)-(i)\) এর সাহায্যে,.carte
\( x^{2}+8y+y^{2}-48-x^{2}+8y-y^{2}+48=0\)
\(\Rightarrow 16y=0\) \(\therefore y=0\)
\(y\)-এর মান \((i)\) সমীকরনে বসিয়ে পাই,
\(x^{2}-48=0\)
\(\Rightarrow x^{2}=48\)
\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{48}\)
\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{3\times 4^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\pm 4\sqrt{3}\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4\sqrt{3}, 0)\) বা, \((-4\sqrt{3}, 0)\)

উদাহরণ \(2.\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\), \((-3, 1)\), \((-2, -3)\) এবং \((2, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 2)\), \(B(-3, 1)\), \(C(-2, -3)\) এবং \(D(2, -2)\)
এখন,carte
\(AB=\sqrt{(1+3)^{2}+(2-1)^{2}}\) \(=\sqrt{4^{2}+1^{2}}\)
\(=\sqrt{16+1}\) \(=\sqrt{17}\)
\(BC=\sqrt{(-3+2)^{2}+(1+3)^{2}}\) \(=\sqrt{1^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{1+16}\) \(=\sqrt{17}\)
\(CD=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-3+2)^{2}}\) \(=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+1}\) \(=\sqrt{17}\)
\(DA=\sqrt{(2-1)^{2}+(-2-2)^{2}}\) \(=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+16}\) \(=\sqrt{17}\)
এখানে, \(AB=BC=CD=DA\) \(\therefore ABCD\) চতুর্ভুজটি বর্গক্ষেত্র বা, রম্বস হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(1+2)^{2}+(2+3)^{2}}\) \(=\sqrt{3^{2}+5^{2}}\) \(=\sqrt{9+25}\) \(=\sqrt{34}\)
\(BD=\sqrt{(-3-2)^{2}+(1+2)^{2}}\) \(=\sqrt{(-5)^{2}+3^{2}}\) \(=\sqrt{25+9}\) \(=\sqrt{34}\)
\(\because AB=BC=CD=DA\) এবং \(AC=BD\)
\(\therefore ABCD\) চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র।

উদাহরণ \(3.\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, -5)\), \(B(9, 10)\), \(C(3, 25)\) এবং \(D(-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, -5)\), \(B(9, 10)\), \(C(3, 25)\) এবং \(D(-3, 10)\)
এখন,carte
\(AB=\sqrt{(3-9)^{2}+(-5-10)^{2}}\) \(=\sqrt{(-6)^{2}+(-15)^{2}}\)
\(=\sqrt{36+225}\) \(=\sqrt{261}\)
\(BC=\sqrt{(9-3)^{2}+(10-25)^{2}}\) \(=\sqrt{6^{2}+(-15)^{2}}\)
\(=\sqrt{36+225}\) \(=\sqrt{261}\)
\(CD=\sqrt{(3+3)^{2}+(25-10)^{2}}\) \(=\sqrt{6^{2}+15^{2}}\)
\(=\sqrt{36+225}\) \(=\sqrt{261}\)
\(DA=\sqrt{(-3-3)^{2}+(10+5)^{2}}\) \(=\sqrt{(-6)^{2}+15^{2}}\)
\(=\sqrt{36+225}\) \(=\sqrt{261}\)
এখানে, \(AB=BC=CD=DA\) \(\therefore ABCD\) চতুর্ভুজটি বর্গক্ষেত্র বা, রম্বস হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(3-3)^{2}+(-5-25)^{2}}\) \(=\sqrt{0^{2}+(-30)^{2}}\) \(=\sqrt{0+900}\) \(=\sqrt{900}\) \(=30\)
\(BD=\sqrt{(9+3)^{2}+(10-10)^{2}}\) \(=\sqrt{12^{2}+0^{2}}\) \(=\sqrt{144+0}\) \(=\sqrt{144}\) \(=12\)
\(\because AB=BC=CD=DA\) এবং \(AC \neq BD\)
\(\therefore ABCD\) চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।

উদাহরণ \(4.\) X-অক্ষ ও \((-5, -7)\) থেকে \((4, K)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে \( k \) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(4, k)\) এবং \(N(-5, -7)\).
এখন,carte
X-অক্ষ থেকে \((4, K)\) বিন্দুর দূরত্ব \(PM=\mid k \mid\)
\(P(4, k)\) থেকে \(N(-5, -7)\) এর দূরত্ব, \(PN=\sqrt{(4+5)^{2}+(k+7)^{2}}\) \(=\sqrt{9^{2}+(k)^{2}+2.k.7+7^{2}}\)
\(=\sqrt{81+(k)^{2}+14k+49}\)
\(=\sqrt{(k)^{2}+14k+130}\)
শর্তমতে, \(PN=PM\)
\(\Rightarrow \sqrt{(k)^{2}+14k+130}=\mid k \mid\)
\(\Rightarrow (k)^{2}+14k+130=k^{2}\)
\(\Rightarrow (k)^{2}+14k+130-k^{2}=0\)
\(\Rightarrow 14k+130=0\)
\(\Rightarrow 14k=-130\)
\(\Rightarrow k=\frac{-130}{14}\)
\(\therefore k=-\frac{65}{7}\).

উদাহরণ \(5.\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(O(0, 0)\), \(A(0, 8)\), \(B(4, 0)\) এবং পরিকেন্দ্র \(C(x, y)\).
শর্তমতে,
\(CO=CA=CB\)
\(\Rightarrow CO=CA\)
\(\Rightarrow CO^{2}=CA^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-8)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2.y.8+8^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}-16y+64\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+16y-64=0\)
\(\Rightarrow 16y-64=0\)carte
\(\Rightarrow 16y=64\)
\(\Rightarrow y=\frac{64}{16}\)
\(\therefore y=4\)
আবার,
\(\Rightarrow CO=CB\)
\(\Rightarrow CO^{2}=CB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-4)^{2}+(y-0)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}-2.x.4+4^{2}+(y)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}-8x+16+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+8x-16=0\)
\(\Rightarrow 8x-16=0\)
\(\Rightarrow 8x=16\)
\(\Rightarrow x=\frac{16}{8}\)
\(\therefore x=2\)
\(\therefore \triangle OAB\) এর পরিকেন্দ্র \(C(2, 4)\)

উদাহরণ \(6.\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(5, 3)\) এবং \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D(3, 2)\)
শর্তমতে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(CA=CB=5\)
\(C,D\) যোগ করি। তাহলে, \(CD \bot AB\) [ বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব। ]
এখন, \(CD^{2}=(5-3)^{2}+(3-2)^{2}\) \(=2^{2}+1^{2}\) \(=4+1\) \(=5\) carte
\(CAD\) সমকোণী ত্রিভুজ হতে, \(CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}\) \(\Rightarrow 5^{2}=AD^{2}+5\) [\(\because CA=5, CD^{2}=5\)]
\(\Rightarrow 25=AD^{2}+5\)
\(\Rightarrow AD^{2}+5=25\)
\(\Rightarrow AD^{2}=25-5\)
\(\Rightarrow AD^{2}=20\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{20}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(\therefore AD=2\sqrt{5}\)
আবার, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2\times AD\) \(=2\times 2\sqrt{5}\) \(=4\sqrt{5}\) [\(\because AD=2\sqrt{5}\)]
\(\therefore \) জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{5}\).

উদাহরণ \(7.\) দেখাও যে, \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((6, 7)\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(6, 7)\)
এখানে, \(AB=\sqrt{(1-3)^{2}+(2-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{4+4}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AB=2\sqrt{2}\) carte
আবার,
\(BC=\sqrt{(3-6)^{2}+(4-7)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{9+9}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2\times 3^{2}}\)
\(\therefore BC=3\sqrt{2}\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(1-6)^{2}+(2-7)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{25+25}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AC=5\sqrt{2}\)
এখানে, \(AB+BC=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\) \(=5\sqrt{2}\) \(=AC\) [\(\because AB=2\sqrt{2}, BC=3\sqrt{2}, AC=5\sqrt{2} \)]
\(\because AB+BC=AC\)
\(\therefore A, B, C\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।

1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.