দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# ত্রিভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল। যা সহজেই মনে রাখা যায়।

এই পাঠ্যসুচীতে ত্রিভুজের উপর যে সমস্যাগুলি আলোচনা করা হয়েছে তার মধ্যে পাঁচ প্রকারের ত্রিভুজ রয়েছে। এই পাঁচ প্রকার ত্রিভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীর সম্যক জ্ঞান থাকা অতীব প্রয়োজন। সকল প্রকার ত্রিভুজ এখানে সংশ্লিষ্ট নেই।

(i) সমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ।

সমবাহু

(ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান তা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সমদবিবাহু

(iii) বিষমবাহু ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের কোন বাহুই কোন বাহুর সমান নয় তা বিষমবাহু ত্রিভুজ।

বিষমবাহু

(iv) সমকোণী ত্রিভুজঃ যে ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণের সমান তা সমকোণী ত্রিভুজ।

(v) সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজঃ যে সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান তা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।

# অনুশীলনী \(3.A(ii)\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) দেখাও যে, \((2\sqrt{3}, 90^{o})\),\((2, 120^{o})\) এবং \((2, 60^{o})\) বিন্দুগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((ii)\) \(P(4, 0)\) এবং \(Q(0, 4)\) বিন্দুদ্বয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iii)\) \(A\) ও \(B\) দুইটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) ও \((3, 6)\)। \(AB\) বাহুর উপর অংকিত সমবাহু ত্রিভুজ \(ABC\) এর \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iv)\) দেখাও যে, \(a\) এর যেকোন মানের জন্য \(B(\sqrt{3}+1, 3\sqrt{3})\) এবং \(C(3\sqrt{3}+1, \sqrt{3})\) বিন্দু থেকে \(A(a+1, a)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান। \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান
\((v)\) দেখাও যে, \((3, 8)\),\((8, 3)\) এবং \((-2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((vi)\) দেখাও যে, \((a, a)\),\((-a, -a)\) এবং \((-a\sqrt{3}, a\sqrt{3})\) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((vii)\) প্রমাণ কর যে, \((12, 8)\),\((-2, 6)\) এবং \((6, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((viii)\) প্রমাণ কর যে, \((4, 4)\),\((5, 2)\) এবং \((1, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ix)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\),\((-4, 2)\) এবং \((-4, 7)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((x)\) দেখাও যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xi)\) দেখাও যে, \(P(7, 7)\),\(Q(6, -2)\) এবং \(R(2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
সমাধান
\((xii)\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(0, -4)\) এবং \(Q(0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [\(সিঃ ২০০৯,২০১৩ \)]
সমাধান

অনুশীলনী \(3.A(ii)\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 2.(i)\) দেখাও যে, \((2\sqrt{3}, 90^{o})\),\((2, 120^{o})\) এবং \((2, 60^{o})\) বিন্দুগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

মনে করি, \(A(2\sqrt{3}, 90^{o})\),\(B(2, 120^{o})\) এবং \(C(2, 60^{o})\)
এখানে, \((r_{1}, \theta_{1}) \) \(\Rightarrow \) \(A(2\sqrt{3}, 90^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{1}=2\sqrt{3}, \theta_{1}=90^{o} \)
আবার,
\((r_{2}, \theta_{2}) \) \(\Rightarrow \) \(B(2, 120^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{2}=2, \theta_{2}=120^{o} \)
তাহলে,
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}-2.2\sqrt{3}.2\cos(90^{o}-120^{o})}\) [\(\because PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)]
\(\Rightarrow AB=\sqrt{12+4-8\sqrt{3}\cos(-30^{o})}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{16-8\sqrt{3}\cos30^{o}}\) [\(\because \cos(-\theta)=\cos\theta\)]
\(\Rightarrow AB=\sqrt{16-8\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}\) [\(\because \cos30^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)]
\(\Rightarrow AB=\sqrt{16-4\times 3}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{16-12}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{4}\)
\(\therefore AB=2\)
আবার, \((r_{1}, \theta_{1}) \) \(\Rightarrow \) \(B(2, 120^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{1}=2, \theta_{1}=120^{o}\)
এবং
\((r_{2}, \theta_{2}) \) \(\Rightarrow \) \(C(2, 60^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{2}=2, \theta_{2}=60^{o} \)
তাহলে,
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}-2.2.2\cos(120^{o}-60^{o})}\) [\(\because PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)]
\(\Rightarrow BC=\sqrt{4+4-8\cos60^{o}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{8-8\times \frac{1}{2}}\) [\(\because \cos30^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)]
\(\Rightarrow BC=\sqrt{8-4}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{4}\)
\(\Rightarrow BC=2\)
\(\therefore BC=2\)
আবার, \((r_{1}, \theta_{1}) \) \(\Rightarrow \) \(C(2, 60^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{1}=2, \theta_{1}=60^{o}\)
এবং
\((r_{2}, \theta_{2}) \) \(\Rightarrow \) \(A(2\sqrt{3}, 90^{o})\)
\(\therefore \) \(r_{2}=2\sqrt{3}, \theta_{2}=90^{o}\)
তাহলে,
\(\Rightarrow CA=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-2.2.2\sqrt{3}\cos(60^{o}-90^{o})}\) [\(\because PQ=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)]
\(\Rightarrow CA=\sqrt{4+12-8\sqrt{3}\cos(-30^{o})}\)
\(\Rightarrow CA=\sqrt{4+12-8\sqrt{3}\cos30^{o}}\) [\(\because \cos(-\theta)=\cos\theta\)]
\(\Rightarrow CA=\sqrt{16-8\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}\) [\(\because \cos30^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)]
\(\Rightarrow CA=\sqrt{16-4\times 3}\)
\(\Rightarrow CA=\sqrt{16-12}\)
\(\Rightarrow CA=\sqrt{4}\)
\(\Rightarrow CA=2\)
\(\therefore CA=2\)
\(\because AB=BC=CA\)
\(\therefore A, B, C\) বিন্দুগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ \(Q 2.(ii)\) \(P(4, 0)\) এবং \(Q(0, 4)\) বিন্দুদ্বয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

মনে করি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(R(x, y)\)।
দেওয়া আছে, \(P(4, 0)\) এবং \(Q(0, 4)\)।
শর্তমতে, \(RP=RQ=PQ\) [ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান। ]
\(\Rightarrow RP=PQ\)
\(\Rightarrow RP^{2}=PQ^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+(y-0)^{2}=(4-0)^{2}+(0-4)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}=(4)^{2}+(-4)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}=16+16\)Q.1
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x+16-32=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x-16=0 …….(i)\)
আবার,
\(\Rightarrow RQ=PQ\)
\(\Rightarrow RQ^{2}=PQ^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-4)^{2}=(4-0)^{2}+(0-4)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}=(4)^{2}+(-4)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y+16=16+16\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y+16-32=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y-16=0 …….(ii)\)
এখন, \((i)-(ii)\) এর সাহায্যে পাই,
\(x^{2}+y^{2}-8x-16-x^{2}-y^{2}+8y+16=0\)
\(\Rightarrow -8x+8y=0\)
\(\Rightarrow -8x=-8y\)
\(\Rightarrow x=y …….(iii)\) [ উভয়পার্শে \(-8\) ভাগ করে। ]
\((iii)\) এর সাহায্য নিয়ে \((i)\) হতে পাই,
\(x^{2}+x^{2}-8x-16=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}-8x-16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x-8=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4.1(-8)}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm\sqrt{3\times 4^{2}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4\pm 4\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2(2\pm 2\sqrt{3})}{2}\)
\(\therefore x=2\pm 2\sqrt{3}\)
এখন,
\((iii)\) হতে পাই, \( y=2\pm 2\sqrt{3}\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক \((2+2\sqrt{3}, 2+2\sqrt{3})\), \((2-2\sqrt{3}, 2-2\sqrt{3})\)

সমাধানঃ \(Q 2.(iii)\) \(A\) ও \(B\) দুইটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) ও \((3, 6)\)। \(AB\) বাহুর উপর অংকিত সমবাহু ত্রিভুজ \(ABC\) এর \(C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

মনে করি, \(C(x, y)\)।
দেওয়া আছে, \(A(3, 4)\) ও \(B(3, 6)\).
শর্তমতে, \(AB=BC=CA\) [ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলি সমান। ]
\(\Rightarrow CA=AB\)
\(\Rightarrow CA^{2}=AB^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=(3-3)^{2}+(4-6)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}=0^{2}+(-2)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=0+4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x-8y+25-4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 …….(i)\)
আবার,
\(\Rightarrow BC=AB\)
\(\Rightarrow BC^{2}=AB^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+(y-6)^{2}=(3-3)^{2}+(4-6)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}=0^{2}+(-2)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}-12y+36=0+4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x-12y+45-4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x-12y+41=0 …….(ii)\)
এখন, \((i)-(ii)\) এর সাহায্যে পাই,
\(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21-x^{2}-y^{2}+6x+12y-41=0\)Q.1
\(\Rightarrow -8y+21+12y-41=0\)
\(\Rightarrow 4y-20=0\)
\(\Rightarrow 4y=20\)
\(\therefore y=5\) [ উভয়পার্শে \(4\) ভাগ করে। ]
\(y\) এর মান \((i)\)- এ বসিয়ে পাই,
\(x^{2}+5^{2}-6x-8\times 5+21=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+25-6x-40+21=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+6=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4.1.6}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{6\pm\sqrt{3\times 2^{2}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2(3\pm \sqrt{3})}{2}\)
\(\therefore x=3\pm \sqrt{3}\)
শর্তমতে, \(x=3+\sqrt{3}\) [ \(\because C\) বিন্দুটি \(AB\) রেখার সাপেক্ষে মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ]
\(\therefore C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3+\sqrt{3}, 5)\).

সমাধানঃ \(Q 2.(iv)\) দেখাও যে, \(a\) এর যেকোন মানের জন্য \(B(\sqrt{3}+1, 3\sqrt{3})\) এবং \(C(3\sqrt{3}+1, \sqrt{3})\) বিন্দু থেকে \(A(a+1, a)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান। \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজ হলে, \(a\) এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, \(A(a+1, a)\), \(B(\sqrt{3}+1, 3\sqrt{3})\) এবং \(C(3\sqrt{3}+1, \sqrt{3})\)
এখন, \(AB=\sqrt{(a+1-\sqrt{3}-1)^{2}+(a-3\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(a-\sqrt{3})^{2}+(a-3\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{a^{2}-2.a.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}+a^{2}-2.a.3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{a^{2}-2a\sqrt{3}+3+a^{2}-6a\sqrt{3}+27}\)
\(\therefore AB=\sqrt{2a^{2}-8a\sqrt{3}+30}\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(a+1-3\sqrt{3}-1)^{2}+(a-\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(a-3\sqrt{3})^{2}+(a-\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{a^{2}-2.a.3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}+a^{2}-2.a.\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{a^{2}-6a\sqrt{3}+27+a^{2}-2a\sqrt{3}+3}\)
\(\therefore AC=\sqrt{2a^{2}-8a\sqrt{3}+30}\)
\(a\) এর যে কোন বাস্তব মানের জন্য \(AB=AC=\sqrt{2a^{2}-8a\sqrt{3}+30}\) [ দেখানো হল।]
আবার,
\(BC=\sqrt{(\sqrt{3}+1-3\sqrt{3}-1)^{2}+(3\sqrt{3}-\sqrt{3})^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{12+12}\)
\(\therefore BC=\sqrt{24}\)
শর্তমতে, \(AB=AC=BC\)
\(\Rightarrow AB=BC\)
\(\Rightarrow AB^{2}=BC^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (\sqrt{2a^{2}-8a\sqrt{3}+30})^{2}=(\sqrt{24})^{2}\)
\(\Rightarrow 2a^{2}-8a\sqrt{3}+30=24\)
\(\Rightarrow 2a^{2}-8a\sqrt{3}+30-24=0\)
\(\Rightarrow 2a^{2}-8a\sqrt{3}+6=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-4a\sqrt{3}+3=0\)
\(\Rightarrow a=\frac{-(-4\sqrt{3})\pm\sqrt{(-4\sqrt{3})^{2}-4.1.3}}{2.1}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{16\times 3-12}}{2}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{48-12}}{2}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\sqrt{3}\pm\sqrt{36}}{2}\)
\(\Rightarrow a=\frac{4\sqrt{3}\pm 6}{2}\)
\(\Rightarrow a=\frac{2(2\sqrt{3}\pm 3)}{2}\)
\(\Rightarrow a=2\sqrt{3}\pm 3\)
\(\therefore a=2\sqrt{3}\pm 3\).

সমাধানঃ \(Q 2.(v)\) দেখাও যে, \((3, 8)\),\((8, 3)\) এবং \((-2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

মনে করি, \(A(3, 8)\),\(B(8, 3)\) এবং \(C(-2, 3)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(3-8)^{2}+(8-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-5)^{2}+5^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{25+25}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AB=5\sqrt{2}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(8+2)^{2}+(3-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{10^{2}+0^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100+0}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore BC=10\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(3+2)^{2}+(8-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{5^{2}+5^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{25+25}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AC=5\sqrt{2}\)
\(\because AB=AC\neq BC\)
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ \(Q 2.(vi)\) দেখাও যে, \((a, a)\),\((-a, -a)\) এবং \((-a\sqrt{3}, a\sqrt{3})\) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

মনে করি, \(A(a, a)\),\(B(-a, -a)\) এবং \(C(-a\sqrt{3}, a\sqrt{3})\).
এখন, \(AB=\sqrt{(a+a)^{2}+(a+a)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times (2a)^{2}}\)
\(\therefore AB=2a\sqrt{2}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(-a+a\sqrt{3})^{2}+(-a-a\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(a\sqrt{3}-a)^{2}+(a\sqrt{3}+a)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2(a\sqrt{3})^{2}+2a^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{6a^{2}+2a^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{8a^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2\times (2a)^{2}}\)
\(\therefore BC=2a\sqrt{2}\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(a+a\sqrt{3})^{2}+(a-a\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2a^{2}+2(a\sqrt{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2a^{2}+6a^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{8a^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times (2a)^{2}}\)
\(\therefore AC=2a\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=AC\)
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ \(Q 2.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((12, 8)\),\((-2, 6)\) এবং \((6, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

মনে করি, \(A(12, 8)\),\(B(-2, 6)\) এবং \(C(6, 0)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(12+2)^{2}+(8-6)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{14^{2}+2^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{196+4}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times 100}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times 10^{2}}\)
\(\therefore AB=10\sqrt{2}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(-2-6)^{2}+(6-0)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{64+36}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore BC=10\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(12-6)^{2}+(8-0)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{6^{2}+8^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{36+64}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore AC=10\)
এখন,
\(BC^{2}+AC^{2}=10^{2}+10^{2}=100+100=200=(\sqrt{200})^{2}=(\sqrt{2\times 10^{2}})=(10\sqrt{2})^{2}=AB^{2}\)
\(\therefore BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\) [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ \(Q 2.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((4, 4)\),\((5, 2)\) এবং \((1, 0)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

মনে করি, \(A(4, 4)\),\(B(5, 2)\) এবং \(C(1, 0)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(4-5)^{2}+(4-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{1+4}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{5}\)Q.1
\(\therefore AB=\sqrt{5}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(5-1)^{2}+(2-0)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{16+4}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{20}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(\therefore BC=2\sqrt{5}\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(4-1)^{2}+(4-0)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{5^{2}}\)
\(\therefore AC=5\)
এখন,
\(AB^{2}+BC^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=5+20=25=5^{2}=AC^{2}\)
\(\therefore AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\) [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
আবার,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\times AB\times BC\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=5\) বর্গ একক।

সমাধানঃ \(Q 2.(ix)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 2)\),\((-4, 2)\) এবং \((-4, 7)\) বিন্দু তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q 2.(viii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(\triangle =\frac{25}{2}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ \(Q 2.(x)\) দেখাও যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) এবং \(C(4, -3)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(3+4)^{2}+(4-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{7^{2}+1^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{49+1}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AB=5\sqrt{2}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(-4-4)^{2}+(3+3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{64+36}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore BC=10\)
আবার,
\(AC=\sqrt{(3-4)^{2}+(4+3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-1)^{2}+7^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{1+49}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AC=5\sqrt{2}\)
এখানে,
\(\because AB=AC\neq BC\)
\(\therefore \triangle ABC\) সমদ্বিবাহু।
আবার,
\(AB^{2}+AC^{2}=(5\sqrt{2})^{2}+(5\sqrt{2})^{2}=50+50=100=10^{2}=BC^{2}\)
\(\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\) [ পিথাগোরাসের উপপাদ্য ]
\(\therefore \) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
আবার,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\times AB\times AC\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 25\times 2\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=25\) বর্গ একক।

সমাধানঃ \(Q 2.(xi)\) দেখাও যে, \(P(7, 7)\),\(Q(6, -2)\) এবং \(R(2, 3)\) বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

\(Q 2.(x)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xii)\) একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(0, -4)\) এবং \(Q(0, 4)\) হলে তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [\(সিঃ ২০০৯,২০১৩ \)]

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.