দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# চতুর্ভুজ বিষয়ক সমস্যা সমাধানের বিশেষ কৌশল। যা সহজেই মনে রাখা যায়।

এই পাঠ্যসুচীতে চতুর্ভুজ উপর যে সমস্যাগুলি আলোচনা করা হয়েছে তার মধ্যে চার প্রকারের চতুর্ভুজ রয়েছে। এই চার প্রকার চতুর্ভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীর সম্যক জ্ঞান থাকা অতীব প্রয়োজন। সকল প্রকার চতুর্ভুজ এখানে সংশ্লিষ্ট নেই।

(i) বর্গক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই বর্গক্ষেত্র বলে।

বর্গ

(ii) রম্বসঃ যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই রম্বস বলে।

রম্বস

(iii) আয়তক্ষেত্রঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান তাকেই আয়তক্ষেত্র বলে।

আয়তক্ষেত্র

(iv) সামান্তরিকঃ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান এবং কর্ণদ্বয়ও পরস্পর সমান নয় তাকেই সামান্তরিক বলে।

সামান্তরিক

# অনুশীলনী \(3.A(ii)\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) দেখাও যে, \((1, 1)\), \((-4, 13)\),\((8, 8)\) এবং \((13, -4)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((ii)\) দেখাও যে, \(A(a, b)\), \(B(a+\alpha, b+\beta)\),\(C(a+\alpha+p, b+\beta+Q)\) এবং \(D(a+p, b+Q)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে। কি শর্তে \(ABCD\) \((a)\) একটি আয়তক্ষেত্র \((b)\) একটি রম্বস হবে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iii)\) দেখাও যে, \((3, -5)\), \((9, 10)\),\((3, 25)\) এবং \((-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((iv)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 3)\), \((5, 0)\), \((2, -4)\) এবং \((-2, -1)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((v) (a)\) প্রমাণ কর যে, \(P(3, 3)\), \(Q(-3, 1)\), \(R(-1, -5)\) এবং \(S(5, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((v) (b)\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) \(C(-3, -4)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((v) (c)\) প্রমাণ কর যে, \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(C(6, -5)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((v) (d)\) প্রমাণ কর যে, \(A(2, 3)\),\(B(-3, 2)\) \(C(-2, -3)\) এবং \(C(3, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((vi)\) যে বর্গের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((6, 3)\) ও \((-2, -3)\) ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং অপর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((vii)\) প্রমাণ কর যে, \((-5, 1)\), \((3, -3)\), \((1, -7)\) এবং \((-7, -3)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((viii)\) প্রমাণ কর যে, \((2, -2)\), \((8, 4)\), \((5, 7)\) এবং \((-1, 1)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((ix)\) প্রমাণ কর যে, \((-2, -1)\), \((1, 0)\), \((4, 3)\) এবং \((1, 2)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু।
সমাধান
\((x)\) প্রমাণ কর যে, \(A(6, 1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(-7, 0)\) এবং \(D(2, -3)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.A(ii)\) সমাধান

\(Q 3.(i)\) দেখাও যে, \((1, 1)\), \((-4, 13)\),\((8, 8)\) এবং \((13, -4)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\),\(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(1+4)^{2}+(1-13)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{25+144}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{13^{2}}\)
\(\therefore AB=13\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(-4-8)^{2}+(13-8)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{144+25}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{13^{2}}\)
\(\therefore BC=13\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(8-13)^{2}+(8+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{25+144}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{13^{2}}\)
\(\therefore CD=13\)
আবার,
\(AD=\sqrt{(1-13)^{2}+(1+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{144+25}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{13^{2}}\)
\(\therefore AD=13\)
\(\because AB=BC=CD=AD \)
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র অথবা, রম্বস হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(1-8)^{2}+(1-8)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{49+49}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 49}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 7^{2}}\)
\(\therefore AC=7\sqrt{2}\)
আবার,
\(BD=\sqrt{(-4-13)^{2}+(13+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{(-17)^{2}+17^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{25+144}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{289+289}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{2\times 289}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{2\times 17^{2}}\)
\(\therefore BD=17\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=CD=AD \) এবং \(AC \neq BD \).
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।

\(Q 3.(ii)\) দেখাও যে, \(A(a, b)\), \(B(a+\alpha, b+\beta)\),\(C(a+\alpha+p, b+\beta+Q)\) এবং \(D(a+p, b+Q)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে। কি শর্তে \(ABCD\) \((a)\) একটি আয়তক্ষেত্র \((b)\) একটি রম্বস হবে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(a+\alpha, b+\beta)\),\(C(a+\alpha+p, b+\beta+Q)\) এবং \(D(a+p, b+Q)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(a-a-\alpha)^{2}+(b-b-\beta)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-\alpha)^{2}+(-\beta)^{2}}\)
\(\therefore AB=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(a+\alpha-a-\alpha-P)^{2}+(b+\beta-b-\beta-Q)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-P)^{2}+(-Q)^{2}}\)
\(\therefore BC=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(a+\alpha+P-a-P)^{2}+(b+\beta+Q-b-Q)^{2}}\)
\(\therefore CD=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}\)
আবার,
\(AD=\sqrt{(a-a-p)^{2}+(b-b-Q)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(-p)^{2}+(-Q)^{2}}\)
\(\therefore AD=\sqrt{p^{2}+Q^{2}}\)
\(\because AB=CD, BC=AD \)
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র অথবা, সামান্তরিক হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(a-a-\alpha-P)^{2}+(b-b-\beta-Q)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-\alpha-P)^{2}+(-\beta-Q)^{2}}\)
\(\therefore AC=\sqrt{(\alpha+P)^{2}+(\beta+Q)^{2}}\)
আবার,
\(BD=\sqrt{(a+\alpha-a-P)^{2}+(b+\beta-b-Q)^{2}}\)
\(\therefore BD=\sqrt{(\alpha-P)^{2}+(\beta-Q)^{2}}\)

\(\because AB=CD, BC=AD \) এবং \(AC \neq BD \).
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
\((a)\) চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে যদি, \(AC=BD\) হয়।
সে ক্ষেত্রে \(\sqrt{(\alpha+P)^{2}+(\beta+Q)^{2}}=\sqrt{(\alpha-P)^{2}+(\beta-Q)^{2}}\)
\(\Rightarrow (\alpha+P)^{2}+(\beta+Q)^{2}=(\alpha-P)^{2}+(\beta-Q)^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (\alpha+P)^{2}-(\alpha-P)^{2}=(\beta-Q)^{2}-(\beta+Q)^{2}\)
\(\Rightarrow 4\alpha P=-4\beta Q\) [\(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)]
\(\Rightarrow P\alpha=-Q\beta \) [ উভয়পার্শে \(4\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow P\alpha+Q\beta=0 \)
\(\therefore P\alpha+Q\beta=0 \) হলে, চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
\((b)\) চতুর্ভুজটি একটি রম্বস হবে যদি, \(AB=BC অথবা, CD=AD \) হয়।
সে ক্ষেত্রে \(\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}\)
\(\Rightarrow \alpha^{2}+\beta^{2}=P^{2}+Q^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\therefore \alpha^{2}+\beta^{2}=P^{2}+Q^{2}\) হলে, চতুর্ভুজটি একটি রম্বস হবে।

\(Q 3.(iii)\) দেখাও যে, \((3, -5)\), \((9, 10)\),\((3, 25)\) এবং \((-3, 10)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(i)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(iv)\) প্রমাণ কর যে, \((1, 3)\), \((5, 0)\), \((2, -4)\) এবং \((-2, -1)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 3)\), \(B(5, 0)\), \(C(2, -4)\) এবং \(D(-2, -1)\) .
এখন, \(AB=\sqrt{(1-5)^{2}+(3-0)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{5^{2}}\)
\(\therefore AB=5\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(5-2)^{2}+(0+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{5^{2}}\)
\(\therefore BC=5\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(2+2)^{2}+(-4+1)^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{4^{2}+12^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\therefore CD=5\)
আবার,
\(AD=\sqrt{(1+2)^{2}+(3+1)^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\therefore AD=5\)
\(\because AB=BC=CD=AD \)
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র অথবা, রম্বস হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(1-2)^{2}+(3+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-1)^{2}+7^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{1+49}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 25}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore AC=5\sqrt{2}\)
আবার,
\(BD=\sqrt{(5+2)^{2}+(0+1)^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{7^{2}+1^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{49+1}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{2\times 25}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{2\times 5^{2}}\)
\(\therefore BD=5\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=CD=AD \) এবং \(AC=BD \).
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র।

\(Q 3.(v) (a)\) প্রমাণ কর যে, \(P(3, 3)\), \(Q(-3, 1)\), \(R(-1, -5)\) এবং \(S(5, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(v) (b)\) প্রমাণ কর যে, \(A(3, 4)\),\(B(-4, 3)\) \(C(-3, -4)\) এবং \(C(4, -3)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(v) (c)\) প্রমাণ কর যে, \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(C(6, -5)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(v) (d)\) প্রমাণ কর যে, \(A(2, 3)\),\(B(-3, 2)\) \(C(-2, -3)\) এবং \(C(3, -2)\) বিন্দুগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(vi)\) যে বর্গের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((6, 3)\) ও \((-2, -3)\) ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং অপর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের \(AC\) কর্ণের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(6, 3)\) ও \(C(-2, -3)\)।
এবং \(BD\) কর্ণের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(B(x_{1}, y_{1})\) ও \(D(x_{2}, y_{2})\)
এখন,
\(AC=\sqrt{(6+2)^{2}+(3+3)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{64+36}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=10\)
আবার,
\(AB=BC=CD=AD=p\) হলে,
\(\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\)
\(\Rightarrow p^{2}+p^{2}=10^{2}\)
\(\Rightarrow 2p^{2}=100\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{100}{2}\)
\(\Rightarrow p^{2}=50\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{50}\)
\(\therefore AB=BC=CD=AD=\sqrt{50}\)
এখন,
\(\therefore \Box ABCD\) \(= AB\times BC\) \(= \sqrt{50}\times \sqrt{50}\) \(= 50\) বর্গ একক।
আবার,
\(BA=BC=\sqrt{50}\)
\(\Rightarrow BA^{2}=BC^{2}=(\sqrt{50})^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x_{1}-6)^{2}+(y_{1}-3)^{2}=(x_{1}+2)^{2}+(y_{1}+3)^{2}=50\)
\(\Rightarrow (x_{1}-6)^{2}+(y_{1}-3)^{2}=(x_{1}+2)^{2}+(y_{1}+3)^{2}\)
\(\Rightarrow (x_{1})^{2}-2.x_{1}.6+6^{2}+(y_{1})^{2}-2.y_{1}.3+3^{2}=(x_{1})^{2}+2.x_{1}.2+2^{2}+(y_{1})^{2}+2.y_{1}.3+3^{2}\)
\(\Rightarrow (x_{1})^{2}-12x_{1}+36+(y_{1})^{2}-6y_{1}+9-(x_{1})^{2}-4x_{1}-4-(y_{1})^{2}-6y_{1}-9=0\)
\(\Rightarrow -16x_{1}-12y_{1}+32=0\)
\(\Rightarrow 4x_{1}+3y_{1}-8=0\) [ উভয়পার্শে \(-4\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow 3y_{1}=8-4x_{1}\)
\(\therefore y_{1}=\frac{8-4x_{1}}{3} …..(i)\)
আবার,
\( (x_{1}+2)^{2}+(y_{1}+3)^{2}=50\)
\(\Rightarrow x_{1}^{2}+2.x_{1}.2+2^{2}+y_{1}^{2}+2.y_{1}.3+3^{2}=50\)
\(\Rightarrow x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+4x_{1}+4+6y_{1}+9-50=0\)
\(\Rightarrow x_{1}^{2}+(\frac{8-4x_{1}}{3})^{2}+4x_{1}+6\times \frac{8-4x_{1}}{3}-37=0\) [ \((i)\) এর সাহায্যে ]
\(\Rightarrow x_{1}^{2}+\frac{(8-4x_{1})^{2}}{9}+4x_{1}+2(8-4x_{1})-37=0\)
\(\Rightarrow 9x_{1}^{2}+(8-4x_{1})^{2}+36x_{1}+18(8-4x_{1})-333=0\) [ উভয়পার্শে \(9\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow 9x_{1}^{2}+(8)^{2}-2.8.4x_{1}+(4x_{1})^{2}+36x_{1}+144-72x_{1}-333=0\)
\(\Rightarrow 9x_{1}^{2}+64-64x_{1}+16x_{1}^{2}+36x_{1}+144-72x_{1}-333=0\)
\(\Rightarrow 25x_{1}^{2}-100x_{1}-125=0\)
\(\Rightarrow x_{1}^{2}-4x_{1}-5=0\) [ উভয়পার্শে \(25\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow x_{1}^{2}-5x_{1}+x_{1}-5=0\)
\(\Rightarrow x_{1}( x_{1}-5)+1(x_{1}-5)=0\)
\(\Rightarrow (x_{1}-5)(x_{1}+1)=0\)
\(\Rightarrow (x_{1}-5)=0, (x_{1}+1)=0\)
\(\Rightarrow x_{1}=5, x_{1}=-1\)
\(\therefore x_{1}=5, x_{2}=-1\)
এখন, \((i)\) হতে,
যখন, \(x_{1}=5\) তখন, \(y_{1}=\frac{8-4.5}{3}=\frac{8-20}{3}=\frac{-12}{3}=-4\)
আবার,
যখন, \(x_{2}=-1\) তখন, \(y_{2}=\frac{8-4.(-1)}{3}=\frac{8+4}{3}=\frac{12}{3}=4\)
\(\therefore\) বর্গের অপর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((5, -4)\), \((-1, 4)\)

\(Q 3.(vii)\) প্রমাণ কর যে, \((-5, 1)\), \((3, -3)\), \((1, -7)\) এবং \((-7, -3)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(-5-3)^{2}+(1+3)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{64+16}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{80}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{5\times 16}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{5\times 4^{2}}\)
\(\therefore AB=4\sqrt{5}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(3-1)^{2}+(-3+7)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{4+16}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{20}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(\therefore BC=2\sqrt{5}\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(1+7)^{2}+(-7+3)^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{8^{2}+(-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{64+16}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{80}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{5\times 16}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{5\times 4^{2}}\)
\(\therefore CD=4\sqrt{5}\)
আবার,
\(AD=\sqrt{(-5+7)^{2}+(1+3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{(2^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{4+16}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{20}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(\therefore AD=2\sqrt{5}\)
\(\because AB=CD, AD=BC \)
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র অথবা, সামান্তরিক হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(-5-1)^{2}+(1+7)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{36+64}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore AC=10\)
আবার,
\(BD=\sqrt{(3+7)^{2}+(-3+3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{10^{2}+0^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore BD=10\)
\(\because AB=CD, AD=BC \) এবং \(AC=BD \).
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আবার,
\(\therefore \Box ABCD\) \(= AB\times BC\) \(= 4\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\) \(= 8\times 5=40\) বর্গ একক।

\(Q 3.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((2, -2)\), \((8, 4)\), \((5, 7)\) এবং \((-1, 1)\) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্র শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

\(Q 3.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(ix)\) প্রমাণ কর যে, \((-2, -1)\), \((1, 0)\), \((4, 3)\) এবং \((1, 2)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-2, -1)\), \(B(1, 0)\), \(C(4, 3)\) এবং \(D(1, 2)\).
এখন, \(AB=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-0)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(-3)^{2}+(-1)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{9+1}\)
\(\therefore AB=\sqrt{10}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(1-4)^{2}+(0-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{9+9}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{2\times 3^{2}}\)
\(\therefore BC=3\sqrt{2}\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{3^{2}+1^{2}}\)
\(\Rightarrow CD=\sqrt{9+1}\)
\(\therefore CD=\sqrt{10}\)
আবার,
\(AD=\sqrt{(-2-1)^{2}+(-1-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{((-3)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{9+9}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{2\times 3^{2}}\)
\(\therefore AD=3\sqrt{2}\)
\(\because AB=CD, AD=BC \)
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র অথবা, সামান্তরিক হতে পারে।
আবার,
\(AC=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{36+16}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{52}\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{13\times 2^{2}}\)
\(\therefore AC=2\sqrt{13}\)
আবার,
\(BD=\sqrt{(1-1)^{2}+(0-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{0+4}\)
\(\Rightarrow BD=\sqrt{2^{2}}\)
\(\therefore BD=2\)
\(\because AB=CD, AD=BC \) এবং \(AC \neq BD \).
\(\therefore ABCD \) চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।

\(Q 3.(x)\) প্রমাণ কর যে, \(A(6, 1)\), \(B(-3, 4)\), \(C(-7, 0)\) এবং \(D(2, -3)\) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিক উৎপন্ন করে।

সমাধানঃ

\(Q 3.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.