দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# অনুশীলনী \(3.A(ii)\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 4.\)

\((i)\) \((5, 7)\), \((-1, -1)\) এবং \((-2, 6)\) বিন্দুত্রয় একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ii)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১০, চঃ ২০১৩]
সমাধান
\((iii)\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iv)\) \((1, 2)\), \((3, -4)\) এবং \((5, -6)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।
সমাধান
\((v)\) প্রমাণ কর যে, \((-1, 5)\), \((6, -2)\), \((7, -1)\) এবং \((0,-2)\) বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 2)\).
সমাধান
\((vi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((11, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(10\); ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((2, 1)\) দেখাও যে, তাঁর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\) একক।
সমাধান
\((vii)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 2)\) এবং \((-3, -4)\) হলে, এর ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.A(ii)\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 4.(i)\) \((5, 7)\), \((-1, -1)\) এবং \((-2, 6)\) বিন্দুত্রয় একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

মনে করি, \(A(5, 7)\), \(B(-1, -1)\), \(C(-2, 6)\) এবং কেন্দ্র \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB=PC\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}=PC^{2}\) [ বর্গ করে ]
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+(y-7)^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.5+5^{2}+y^{2}-2.y.7+7^{2}=x^{2}+2.x.1+1^{2}+y^{2}+2.y.1+1^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+y^{2}-14y+49-x^{2}-2x-1-y^{2}-2y-1=0\)
\(\Rightarrow -12x-16y+72=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-18=0……..(i)\) [ উভয়পার্শে \(-4\) ভাগ করে। ]
আবার,
\(\Rightarrow PA^{2}=PC^{2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+(y-7)^{2}=(x+2)^{2}+(y-6)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.5+5^{2}+y^{2}-2.y.7+7^{2}=x^{2}+2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+y^{2}-14y+49-x^{2}-4x-4-y^{2}+12y-36=0\)
\(\Rightarrow -14x-2y+34=0\)
\(\Rightarrow 7x+y-17=0 …..(ii)\) [ উভয়পার্শে \(-2\) ভাগ করে। ]
এখন,Q.1
\((ii)\times 4-(i)\) এর সাহায্যে,
\(28x+4y-68-3x-4y+18=0\)
\(\Rightarrow 25x-50=0\)
\(\Rightarrow 25x=50\)
\(\Rightarrow x=\frac{50}{25}\)
\(\therefore x=2\)
আবার,
\((i)\) হতে \( 3\times 2+4y-18=0\) [\(\because x=2\)]
\(\Rightarrow 6+4y-18=0\)
\(\Rightarrow 4y=18-6\)
\(\Rightarrow 4y=12\)
\(\Rightarrow y=\frac{12}{4}\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 3)\)

সমাধানঃ \(Q 4.(ii)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১০, চঃ ২০১৩]

উদাহরণ \(6.\) দ্রষ্টব্য।

সমাধানঃ \(Q 4.(iii)\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

মনে করি, \(O(0, 0)\), \(A(0, 8)\), \(B(4, 0)\) এবং পরিকেন্দ্র \(C(x, y)\).
শর্তমতে, \(CO=CA=CB\)
\(\Rightarrow CO^{2}=CA^{2}=CB^{2}\) [ বর্গ করে ] Q.1
\(\Rightarrow CO^{2}=CA^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-8)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2.y.8+8^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+16y-64=0\)
\(\Rightarrow 16y-64=0\)
\(\Rightarrow 16y=64\)
\(\Rightarrow y=4\) [ উভয়পার্শে \(16\) ভাগ করে। ]
আবার,
\(\Rightarrow CO^{2}=CB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-4)^{2}+(y-0)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}+8x-16-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow 8x-16=0\)
\(\Rightarrow 8x=16\)
\(\Rightarrow x=2\) [ উভয়পার্শে \(8\) ভাগ করে। ]
\(\therefore \) পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 4)\)

সমাধানঃ \(Q 4.(iv)\) \((1, 2)\), \((3, -4)\) এবং \((5, -6)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

\(Q 4.(iii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \((-1, 5)\), \((6, -2)\), \((7, -1)\) এবং \((0,-2)\) বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 2)\).

মনে করি, \(A(-1, 5)\), \(B(6, -2)\), \(C(7, -1)\), \(D(0,-2)\) এবং কেন্দ্র \(P(3, 2)\).
এখন,
\(PA=\sqrt{(3+1)^{2}+(2-5)^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow PA=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PA=5\)
আবার,
\(PB=\sqrt{(3-6)^{2}+(2+2)^{2}}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PB=5\)
আবার,
\(PC=\sqrt{(3-7)^{2}+(2+1)^{2}}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PC=5\)
আবার,
\(PD=\sqrt{(3-0)^{2}+(2+2)^{2}}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PD=5\)
\(\because PA=PB=PC=PD=5=\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ [ প্রমাণিত ]

সমাধানঃ \(Q 4.(vi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((11, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(10\); ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((2, 1)\) দেখাও যে, তাঁর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\) একক।

উদাহরণ \(6.\) দ্রষ্টব্য।

সমাধানঃ \(Q 4.(vii)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 2)\) এবং \((-3, -4)\) হলে, এর ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।

মনে করি, ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(A(5, 2)\) এবং \(B(-3, -4)\)।
\(\therefore \) ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(AB=\sqrt{(5+3)^{2}+(2+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\)Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{64+36}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{10^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=10\)
এখন,
ব্যাসার্ধ \(=\frac{AB}{2}\) \(=\frac{10}{2}\) \(=5\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(=5\) একক।

1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.