দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.4\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.4.(i)\) \((5, 7)\), \((-1, -1)\) এবং \((-2, 6)\) বিন্দুত্রয় একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০১০, চঃ ২০১৩]

\(Q.4.(iii)\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

\(Q.4.(iv)\) \((1, 2)\), \((3, -4)\) এবং \((5, -6)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

\(Q.4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \((-1, 5)\), \((6, -2)\), \((7, -1)\) এবং \((0,-2)\) বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 2)\)।

\(Q.4.(vi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((11, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(10\); ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((2, 1)\) দেখাও যে, তাঁর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\) একক।

\(Q.4.(vii)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 2)\) এবং \((-3, -4)\) হলে, এর ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।

অনুশীলনী \(3.A(ii)\) / \(Q.4\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\) \((5, 7)\), \((-1, -1)\) এবং \((-2, 6)\) বিন্দুত্রয় একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত। এর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(5, 7)\), \(B(-1, -1)\), \(C(-2, 6)\) এবং কেন্দ্র \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB=PC\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}=PC^{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+(y-7)^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.5+5^{2}+y^{2}-2.y.7+7^{2}=x^{2}+2.x.1+1^{2}+y^{2}+2.y.1+1^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+y^{2}-14y+49-x^{2}-2x-1-y^{2}-2y-1=0\)
\(\Rightarrow -12x-16y+72=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-18=0……..(i)\) | উভয় পার্শে \(-4\) ভাগ করে।
আবার,
\(\Rightarrow PA^{2}=PC^{2}\)
\(\Rightarrow (x-5)^{2}+(y-7)^{2}=(x+2)^{2}+(y-6)^{2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.5+5^{2}+y^{2}-2.y.7+7^{2}=x^{2}+2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-10x+25+y^{2}-14y+49-x^{2}-4x-4-y^{2}+12y-36=0\)
\(\Rightarrow -14x-2y+34=0\)
\(\Rightarrow 7x+y-17=0 …..(ii)\) | উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
এখন,Q.1
\((ii)\times 4-(i)\) এর সাহায্যে,
\(28x+4y-68-3x-4y+18=0\)
\(\Rightarrow 25x-50=0\)
\(\Rightarrow 25x=50\)
\(\Rightarrow x=\frac{50}{25}\)
\(\therefore x=2\)
আবার,
\((i)\) হতে \( 3\times 2+4y-18=0\) | \(\because x=2\)
\(\Rightarrow 6+4y-18=0\)
\(\Rightarrow 4y=18-6\)
\(\Rightarrow 4y=12\)
\(\Rightarrow y=\frac{12}{4}\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 3)\)

\(Q.4.(ii)\) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(5\), কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((5, 3)\) এর যে জ্যা \((3, 2)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১০, চঃ ২০১৩]

সমাধানঃ

মনে করি, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(5, 3)\) এবং \(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D(3, 2)\)
শর্তমতে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(CA=CB=5\)
\(C,D\) যোগ করি। তাহলে, \(CD \bot AB\) | বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব।
এখন, \(CD^{2}=(5-3)^{2}+(3-2)^{2}\) \(=2^{2}+1^{2}\) \(=4+1\) \(=5\) carte
\(CAD\) সমকোণী ত্রিভুজ হতে, \(CA^{2}=AD^{2}+CD^{2}\) \(\Rightarrow 5^{2}=AD^{2}+5\) | \(\because CA=5, CD^{2}=5\)
\(\Rightarrow 25=AD^{2}+5\)
\(\Rightarrow AD^{2}+5=25\)
\(\Rightarrow AD^{2}=25-5\)
\(\Rightarrow AD^{2}=20\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{20}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(\therefore AD=2\sqrt{5}\)
আবার, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2\times AD\) \(=2\times 2\sqrt{5}\) \(=4\sqrt{5}\) | \(\because AD=2\sqrt{5}\)
\(\therefore \) জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{5}\).

\(Q.4.(iii)\) \((0, 0)\), \((0, 8)\) এবং \((4, 0)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(O(0, 0)\), \(A(0, 8)\), \(B(4, 0)\) এবং পরিকেন্দ্র \(C(x, y)\).
শর্তমতে, \(CO=CA=CB\)
\(\Rightarrow CO^{2}=CA^{2}=CB^{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে। Q.1
\(\Rightarrow CO^{2}=CA^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-0)^{2}+(y-8)^{2}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}-2.y.8+8^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+16y-64=0\)
\(\Rightarrow 16y-64=0\)
\(\Rightarrow 16y=64\)
\(\Rightarrow y=4\) | উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে।
আবার,
\(\Rightarrow CO^{2}=CB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-4)^{2}+(y-0)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x^{2}+8x-16-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow 8x-16=0\)
\(\Rightarrow 8x=16\)
\(\Rightarrow x=2\) | উভয় পার্শে \(8\) ভাগ করে।
\(\therefore \) পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 4)\)

\(Q.4.(iv)\) \((1, 2)\), \((3, -4)\) এবং \((5, -6)\) একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q.4.(v)\) প্রমাণ কর যে, \((-1, 5)\), \((6, -2)\), \((7, -1)\) এবং \((0,-2)\) বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 2)\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-1, 5)\), \(B(6, -2)\), \(C(7, -1)\), \(D(0,-2)\) এবং কেন্দ্র \(P(3, 2)\).
এখন,
\(PA=\sqrt{(3+1)^{2}+(2-5)^{2}}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\) Q.1
\(\Rightarrow PA=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PA=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PA=5\)
আবার,
\(PB=\sqrt{(3-6)^{2}+(2+2)^{2}}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PB=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PB=5\)
আবার,
\(PC=\sqrt{(3-7)^{2}+(2+1)^{2}}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{16+9}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PC=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PC=5\)
আবার,
\(PD=\sqrt{(3-0)^{2}+(2+2)^{2}}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{9+16}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow PD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow PD=5\)
\(\because PA=PB=PC=PD=5=\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ
[ প্রমাণিত ]

\(Q.4.(vi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((11, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(10\); ঐ বৃত্তের যে জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((2, 1)\) দেখাও যে, তাঁর দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{10}\) একক।

সমাধানঃ

\(Q.4.(vii)\) কোন বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((5, 2)\) এবং \((-3, -4)\) হলে, এর ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \(A(5, 2)\) এবং \(B(-3, -4)\)।
\(\therefore \) ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(AB=\sqrt{(5+3)^{2}+(2+4)^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\) Q.1
\(\Rightarrow AB=\sqrt{64+36}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{100}\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{10^{2}}\)
\(\Rightarrow AB=10\)
এখন,
ব্যাসার্ধ \(=\frac{AB}{2}\) \(=\frac{10}{2}\) \(=5\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(=5\) একক।

1 2 3 4 5 6 7

Please comment on the Article