দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance between two points)

# অনুশীলনী \(3.A(ii)\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 5.(i)\) \(A(4, 3)\), \(B(11, 2)\) এবং \(C(2, -1)\) বিন্দুত্রয় \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) মূলবিন্দ এবং অক্ষদ্বয় হতে \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\) বিন্দু হতে \(\sqrt{10}\) একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ। [রাঃ ২০০২, ২০০৭, মাঃ বোঃ ২০০৫,২০০৮,২০১২,২০১৪, ঢাঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\((c)\) \(B\) কেন্দ্র ও \(10\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ বৃত্তের যে জ্যা \(C\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [বঃ ২০১১]
সমাধান

\(Q 5.(ii)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\)বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) দুইটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত বিন্দুচারটি একটি রম্বস গঠন করে। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান Video

\(Q 5.(iii)\) \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(D(6, -5)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলতে কি বুঝ?
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর প্রকৃতি আলচনা কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান Video

\(Q 5.(iv)\) \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) কার্তেসিয় এবং পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্কগুলি লিখ।
\((b)\) \(\triangle ABC\) সমকোণী হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) বিন্দুগুলি কি কোন বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করবে? যদি সত্য হয় তবে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

\(Q 5.(i)\) \(A(4, 3)\), \(B(11, 2)\) এবং \(C(2, -1)\) বিন্দুত্রয় \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) মূলবিন্দ এবং অক্ষদ্বয় হতে \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(A\) বিন্দু হতে \(\sqrt{10}\) একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ। [রাঃ ২০০২, ২০০৭, মাঃ বোঃ ২০০৫,২০০৮,২০১২,২০১৪, ঢাঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]
\((c)\) \(B\) কেন্দ্র ও \(10\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ঠ বৃত্তের যে জ্যা \(C\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয় তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [বঃ ২০১১]

\(Q 5.(i)\)

সমাধানঃ

Q.1

\((a)\) মূলবিন্দ হতে \(C(2, -1)\) বিন্দুর দূরত্ব \(OC=\sqrt{(0-2)^{2}+(0+1)^{2}}\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}\)
\(\Rightarrow OC=\sqrt{4+1}\)
\(\therefore OC=\sqrt{5}\) একক।
আবার,
\(X\) অক্ষ হতে \(C(2, -1)\) বিন্দুর দূরত্ব \(=|-1|=1\) একক।
\(Y\) অক্ষ হতে \(C(2, -1)\) বিন্দুর দূরত্ব \(=|2|=2\) একক।

সমাধানঃ

\((b)\) মনে করি, বিন্দুরটির ভুজ \(x\) একক।
\(\therefore \) বিন্দুটির কটি \(2x\) একক।
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(x, 2x)\).
এবং \(A(4, 3)\).
শর্তমতে, \(PA=\sqrt{10}\)Q.1
\(\Rightarrow PA^{2}=(\sqrt{10})^{2}\) [ উভয়পার্শে বর্গ করে ]
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+(2x-3)^{2}=10\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+(2x)^{2}-2.2x.3+3^{2}=10\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+4x^{2}-12x+9=10\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-20x+25-10=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-20x+15=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+3=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-3x-x+3=0\)
\(\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)=0, (x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=3, x=1\)
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(3, 6)\), \(P(1, 2)\).

সমাধানঃ

\((c)\)দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র \(B(11, 2)\) এবং \(PQ\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(C(2, -1)\)
শর্তমতে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(PB=QB=10\)
\(C,B\) যোগ করি। তাহলে, \(CB \bot PC\) [ বৃত্তের কেন্দ্র হতে জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা জ্যা-এর উপর লম্ব। ]
এখন, \(CB^{2}=(2-11)^{2}+(-1-2)^{2}\) \(=(-9)^{2}+(-3)^{2}\) \(=81+9\) \(=90\) Q.1
\(PCB\) সমকোণী ত্রিভুজ হতে, \(PB^{2}=PC^{2}+CB^{2}\) \(\Rightarrow 10^{2}=PC^{2}+90\) | Note \(\because PB=5, CB^{2}=90\)
\(\Rightarrow 100=PC^{2}+90\)
\(\Rightarrow PC^{2}+90=100\)
\(\Rightarrow PC^{2}=100-90\)
\(\Rightarrow PC^{2}=10\)
\(\therefore PC=\sqrt{10}\)
আবার, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(PQ=2\times PC\) \(=2\times \sqrt{10}\) \(=2\sqrt{10}\) | Note \(\because PC=\sqrt{10}\)
\(\therefore \) জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{10}\) একক।

\(Q 5.(ii)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\),\(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) দুইটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।
\((b)\) উৎসে উল্লেখিত রম্বসের কর্ণ দ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত বিন্দুচারটি একটি রম্বস গঠন করে। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q 5.(ii)\)

সমাধানঃ

\((a)\) মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) একই সমতলে যে কোন দুইটি বিন্দু।
\(\therefore \) \(PQ\) দূরত্ব \(=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\).

সমাধানঃ

\((b)\) \(ABCD\) রম্বসের কর্ণদ্বয় হবে যথাক্রমে \(AC\) এবং \(BD\)।Q.1
\(\therefore \) কর্ণ \(AC=\sqrt{(1-8)^{2}+(1-8)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{49+49}\)
\(=\sqrt{2\times 49}\)
\(=\sqrt{2\times 7^{2}}\)
\(=7\sqrt{2}\)
এবং কর্ণ \(BD=\sqrt{(-4-13)^{2}+(13+4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-17)^{2}+17^{2}}\)
\(=\sqrt{289+289}\)
\(=\sqrt{2\times 289}\)
\(=\sqrt{2\times 17^{2}}\)
\(=17\sqrt{2}\)
\(\therefore \) রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(AC=7\sqrt{2}\) এবং \(BD=17\sqrt{2}\)।

সমাধানঃ

\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D(13, -4)\).
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+4)^{2}+(1-13)^{2}}\)Q.1
\(=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13^{2}}\)
\(=13\)
\(BC=\sqrt{(-4-8)^{2}+(13-8)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}\)
\(=\sqrt{144+25}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13^{2}}\)
\(=13\)
\(CD=\sqrt{(8-13)^{2}+(8+4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-5)^{2}+12^{2}}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13^{2}}\)
\(=13\)
\(AD=\sqrt{(1-13)^{2}+(1+4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-12)^{2}+5^{2}}\)
\(=\sqrt{144+25}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=\sqrt{13^{2}}\)
\(=13\)
আবার,
\((b)\) হতে প্রাপ্ত রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(AC=7\sqrt{2}\) এবং \(BD=17\sqrt{2}\)।
\(\because AB=BC=CD=AD\) এবং \(AC\neq BD\)
\(\therefore \Box ABCD\) একটি রম্বস।
আবার,
\(\therefore \Box ABCD=\frac{1}{2}\times AC\times BD\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\sqrt{2}\times 17\sqrt{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times 119\times (\sqrt{2})^{2}\)
\(=\frac{1}{2}\times 119\times 2\)
\(= 119\) বর্গ একক।

\(Q 5.(iii)\) \(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) \(C(-5, -6)\) এবং \(D(6, -5)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) কোন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলতে কি বুঝ?
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর প্রকৃতি আলচনা কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে, উৎসে উল্লেখিত চতুর্ভুজটি একটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

\(Q 5.(iii)\)

সমাধানঃ

\((a)\) স্থানাংকঃ বিন্দুর অবস্থান অঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করা হলে, ঐ অংকগুলিকে বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলে। যেমনঃ \(A(3, -7)\), \(B(3, 2)\)………..\(P(x, y)\). এখানে \(x\) এবং \(y\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। দ্বিমাত্রিক জ্যামিতিতে বিন্দুর দুই প্রকারের স্থানাংকের উল্লেখ আছে। যেমনঃ কার্তেসীয় স্থানাংক এবং পোলার স্থানাংক।
কার্তেসীয় স্থানাংকঃ
carte
পোলার স্থানাংকঃ
polar

সমাধানঃ

\((b)\) দেওয়া আছে,\(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\) এবং \(C(-5, -6)\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(5+6)^{2}+(6-5)^{2}}\)Q.1
\(=\sqrt{11^{2}+1^{2}}\)
\(=\sqrt{121+1}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(BC=\sqrt{(-6+5)^{2}+(5+6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-1)^{2}+11^{2}}\)
\(=\sqrt{1+121}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(CA=\sqrt{(-5-5)^{2}+(-6-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-10)^{2}+(-12)^{2}}\)
\(=\sqrt{100+144}\)
\(=\sqrt{244}\)
এখানে, \(AB^{2}+BC^{2}=(\sqrt{122})^{2}+(\sqrt{122})^{2}=122+122=244=(\sqrt{244})^{2}=CA^{2}\)
\(\because AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}\) এবং \(AB=BC\)
\(\therefore \triangle ABC\) সমদ্বিবাহু সমকোণী।

সমাধানঃ

\((c)\) দেওয়া আছে,\(A(5, 6)\),\(B(-6, 5)\), \(C(-5, -6)\) এবং \(D(6, -5)\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(5+6)^{2}+(6-5)^{2}}\)Q.1
\(=\sqrt{11^{2}+1^{2}}\)
\(=\sqrt{121+1}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(BC=\sqrt{(-6+5)^{2}+(5+6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-1)^{2}+11^{2}}\)
\(=\sqrt{1+121}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(CD=\sqrt{(-5-6)^{2}+(-6+5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-11)^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{121+1}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(DA=\sqrt{(6-5)^{2}+(-5-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{1^{2}+(-11)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+121}\)
\(=\sqrt{122}\)
\(AC=\sqrt{(5+5)^{2}+(6+6)^{2}}\)
\(=\sqrt{10^{2}+12^{2}}\)
\(=\sqrt{100+144}\)
\(=\sqrt{244}\)
\(BD=\sqrt{(-6-6)^{2}+(5+5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-12)^{2}+10^{2}}\)
\(=\sqrt{144+100}\)
\(=\sqrt{244}\)
\(\because AB=BC=CD=DA\) এবং \(AC=BD\)
\(\therefore \Box ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র।
এবং \(\Box ABCD=AB\times BC\)
\(=\sqrt{122}\times \sqrt{122}\)
\(=(\sqrt{122})^{2}\)
\(=122\) বর্গ একক।

\(Q 5.(iv)\) \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\) বিন্দুগুলি \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু।

\((a)\) কার্তেসিয় এবং পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্কগুলি লিখ।
\((b)\) \(\triangle ABC\) সমকোণী হলে এর অতিভুজের দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) বিন্দুগুলি কি কোন বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থান করবে? যদি সত্য হয় তবে, ঐ বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q 5.(iv)\)

সমাধানঃ

\((a)\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
এবং
\(x=r\cos\theta\)
\(y=r\sin\theta\)

সমাধানঃ

\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\) এবং \(C(1, -7)\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(-5-3)^{2}+(1+3)^{2}}\)Q.1
\(=\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{64+16}\)
\(=\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{5\times 16}\)
\(=\sqrt{5\times 4^{2}}\)
\(=4\sqrt{5}\)
\(BC=\sqrt{(3-1)^{2}+(-3+7)^{2}}\)
\(=\sqrt{2^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{4+16}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\(CA=\sqrt{(1+5)^{2}+(-7-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}\)
\(=\sqrt{36+64}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{10^{2}}\)
\(=10\)
এখানে, \(AB^{2}+BC^{2}=(4\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=16\times 5+4\times 5=80+20=100=(\sqrt{10})^{2}=CA^{2}\)
\(\because AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}\)
\(\therefore \triangle ABC\) সমকোণী।
অতিভুজ \(AC=10\) একক।
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=\frac{1}{2}\times 8\times (\sqrt{5})^{2}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=4\times 5\)
\(\therefore \triangle ABC=20\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(-5, 1)\), \(B(3, -3)\), \(C(1, -7)\) এবং \(D(-7, -3)\)
\(AB=\sqrt{(-5-3)^{2}+(1+3)^{2}}\)Q.1
\(=\sqrt{(-8)^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{64+16}\)
\(=\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{5\times 16}\)
\(=\sqrt{5\times 4^{2}}\)
\(=4\sqrt{5}\)
\(BC=\sqrt{(3-1)^{2}+(-3+7)^{2}}\)
\(=\sqrt{2^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{4+16}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\(CD=\sqrt{(1+7)^{2}+(-7+3)^{2}}\)
\(=\sqrt{8^{2}+(-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{64+16}\)
\(=\sqrt{80}\)
\(=\sqrt{5\times 16}\)
\(=\sqrt{5\times 4^{2}}\)
\(=4\sqrt{5}\)
\(AD=\sqrt{(-5+7)^{2}+(1+3)^{2}}\)
\(=\sqrt{2^{2}+4^{2}}\)
\(=\sqrt{4+16}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=\sqrt{5\times 4}\)
\(=\sqrt{5\times 2^{2}}\)
\(=2\sqrt{5}\)
\(AC=\sqrt{(-7-1)^{2}+(1+5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}\)
\(=\sqrt{64+36}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{10^{2}}\)
\(=10\)
\(=\sqrt{10^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{100+0}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=\sqrt{10^{2}}\)
\(=10\)
\(\because AB=CD, BC=AD\) এবং \(AC=BD\)
\(\therefore \Box ABCD\) একটি আয়তক্ষেত্র।
\(\because \) আয়তক্ষেত্রের বিপরীত কোণগুলির যোগফল \(180^{o}\)
\(\therefore \Box ABCD\) আয়তক্ষেত্রটি বৃত্তস্থ।
\(\therefore \Box ABCD\) আয়তক্ষেত্রের পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে \(AC\) বা \(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু
\(\therefore \) পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{-5+1}{2}, \frac{1-7}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{-4}{2}, \frac{-6}{2})\)
\(\Rightarrow (-2, -3)\)
\(\therefore \) পরিকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(P(-2, -3)\)

1 2 3 4 5 6 7

Leave a Reply