রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • কোন রেখাংশকে নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয়।
  • শর্ত সাপেক্ষে বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

বিভক্তিকরণ সূত্র (Section Formulae)

# অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,

\(R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\).
Proof

# বহির্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। তবে, এর স্থানাঙ্ক হবে,

\(R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\).
Proof

# মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ

কোন সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, এর স্থানাঙ্ক হবে,

\(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\).
Proof

# ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থনাংক হবে,

\(G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
Proof

# সুত্র প্রতিপাদন

# অন্তর্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করি। \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) রেখাংশকে এরূপভাবে অন্তর্বিভক্ত করেছে যে, \(PR:RQ=m:n\).
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(R\) হতে \(QN\) এর উপর \(RT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
এখন,
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)carte
\(\ RT=SN=ON-OS=x_{2}-x\)
\(\ RL=RS-SL=RS-PM=y-y_{1}\) | Note \(\because SL=PM\)
\(\ QT=QN-TN=QN-RS=y_{2}-y\) | Note \(\because TN=RS\)
এখন, \(QTR\) ও \(RLP\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{RT}=\frac{RL}{QT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{PL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx_{2}-mx\)
\(\Rightarrow mx+nx=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m+n)=mx_{2}+nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{(m+n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my_{2}-my\)
\(\Rightarrow my+ny=my_{2}+ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m+n)=my_{2}+ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{(m+n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)

# বহির্বিভক্তিকরণ সূত্রঃ

মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(P\), \(Q\) যোগ করে বর্ধিত করি। ধরি, \(PQ\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(R(x, y)\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(PR:RQ=m:n\).
অর্থাৎ \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(P, Q, R\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) ও \(RS\) লম্ব টানি। আবার \(P\) হতে \(RS\) এর উপর \(PL\) এবং \(Q\) হতে \(RS\) এর উপর \(QT\) লম্ব টানি।
স্পষ্টতঃ \(\ OM=x_{1}, \ OS=x, \ ON=x_{2}\) এবং \( \ PM=y_{1}, \ RS=y, \ QN=y_{2}, \ PR=m, \ RQ=n\)
\(\ PL=MS=OS-OM=x-x_{1}\)
\(\ QT=NS=OS-ON=x-x_{2}\)
\(\ RL=RS-LS=RS-PM=y-y_{1}\) | Note \(\because SL=PM\)
\(\ RT=RS-TS=RS-QN=y-y_{2}\) | Note \(\because TS=QN\)
এখন, \(RLP\) ও \(RTQ\) সদৃশ ত্রিভুজ সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক। হতে পাই,
\(\frac{PL}{QT}=\frac{RL}{RT}=\frac{PR}{RQ}=\frac{m}{n}\)carte
\(\Rightarrow \frac{PL}{QT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x-x_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow nx-nx_{1}=mx-mx_{2}\)
\(\Rightarrow mx-mx_{2}=nx-nx_{1}\)
\(\Rightarrow mx-nx=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\Rightarrow x(m-n)=mx_{2}-nx_{1}\)
\(\therefore x=\frac{mx_{2}-nx_{1}}{(m-n)}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{RL}{RT}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y-y_{2}}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow ny-ny_{1}=my-my_{2}\)
\(\Rightarrow my-my_{2}=ny-ny_{1}\)
\(\Rightarrow my-ny=my_{2}-ny_{1}\)
\(\Rightarrow y(m-n)=my_{2}-ny_{1}\)
\(\therefore y=\frac{my_{2}-ny_{1}}{(m-n)}\)
\(\therefore R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক,\((\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)
carte

# মধ্যবিন্দুর সূত্রঃ

মনে করি, \(XY\) সমতলে \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(R(x, y)\) বিন্দু \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(m=n\) হবে। সে ক্ষেত্রে \(R\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(R(\frac{mx_{2}+mx_{1}}{m+m}, \frac{my_{2}+my_{1}}{m+m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{m(x_{2}+x_{1})}{2m}, \frac{m(y_{2}+y_{1})}{2m})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{2}+x_{1}}{2}, \frac{y_{2}+y_{1}}{2})\)
\(\Rightarrow R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)

# ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রঃ

মনে করি, কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) কোন ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু, \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের \(G\).carte
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\), তাহলে \(AD\) হবে একটি মধ্যমা। \(AD\) এর উপর ভরকেন্দ্র \(G\) অবস্থান করবে। অর্থাৎ মধ্যমাগুলির ছেদবিন্দুই হবে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র। ধরি, \(G(x, y)\).
এখন,
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\).
আবার,
\(AG:GD=2:1\) [ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি পরস্পরকে \(2:1\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।]
\(\therefore G(\frac{2\times \frac{x_{2}+x_{3}}{2}+1\times x_{1}}{2+1}, \frac{2\times \frac{y_{2}+y_{3}}{2}+1\times y_{1}}{2+1})\).
\(\Rightarrow G(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{3})\).
\(\therefore G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).
\(\therefore \) \(\triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply