রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

# উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে \(5:3\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।

[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]
সমাধান

উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।

[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]
সমাধান

উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।

[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]
সমাধান

উদাহরণ \(5.\) \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((3:4)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা যে বিন্দুতে \(5:3\) অনপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 4)\), \(B(9, -12)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(C(x, y)\)।
এখানে, \(m:n \Rightarrow 5:3\) carte
\(C\) যখন \(AB\) কে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9+3\times 1}{5+3},\frac{5\times -12+3\times 4}{5+3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow C(\frac{45+3}{8},\frac{-60+12}{8})\)
\(\Rightarrow C(\frac{48}{8},\frac{-48}{8})\)
\(\Rightarrow C(6, -6)\)
\(C\) যখন \(AB\) কে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{5\times 9-3\times 1}{5-3},\frac{5\times -12-3\times 4}{5-3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)]
\(\Rightarrow C(\frac{45-3}{2},\frac{-60-12}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{42}{2},\frac{-72}{2})\)
\(\Rightarrow C(21, -36)\)
\(\therefore \) অন্তর্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(6, -6)\)
\(\therefore \) বহির্বিভক্তিকরণ বিন্দু \(\ C(21, -36)\)

উদাহরণ \(2.\) \((7, 7)\) ও \((-5, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\)-অক্ষরেখা যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা বের কর; বিভাজন বিন্দুর ভুজ নির্ণয় কর।

[ঢাঃ ২০১২, রাঃ ২০১২, সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩, দিঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(7, 7)\), \(B(-5, -10)\) এবং \(AB\) কে \(X\)-অক্ষরেখা \(C(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।carte
শর্তমতে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{m\times -5+n\times 7}{m+n}, \frac{m\times -10+n\times 7}{m+n})\)
\(\therefore C(\frac{-5m+7n}{m+n}, \frac{-10m+7n}{m+n})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
কিন্তু \(X\)-অক্ষের উপর \(C(x, 0)\)।
\(\therefore \frac{-10m+7n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -10m+7n=0\)
\(\Rightarrow -10m=-7n\)
\(\Rightarrow 10m=7n\) [উভয়পার্শে \(-1\) গুন করে।]
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{7}{10}\)
\(\Rightarrow m:n=7:10\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(\ =7:10\)
আবার, বিভাজন বিন্দুর ভুজ \(= \frac{7\times -5+10\times 7}{7+10}=\frac{-35+70}{17}=\frac{35}{17}\)।

উদাহরণ \(3.\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) ও \((4, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্দ্ধিত করা হল যেন \(AB=3BC\) হয়। \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।

[ঢাঃ ২০০৮, রাঃ ২০১৩, কুঃ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, দিঃ ২০১৫,২০১২,২০১০]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(-2, 4)\), \(B(4, -5)\) এবং \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AB=3BC\) হয়। carte
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=3\)
\(\Rightarrow AB:BC=3:1\)
অর্থাৎ \(B\) বিন্দু \(AC\) কে \(\ 3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{3\times x+1\times -2}{3+1}, \frac{3\times y+1\times 4}{3+1})\)
\(\Rightarrow B(\frac{3x-2}{4}, \frac{3y+4}{4})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(4, -5)\)
\(\therefore \frac{3x-2}{4}=4, \ \frac{3y+4}{4}=-5\)
\(\Rightarrow 3x-2=16, \ 3y+4=-20\)
\(\Rightarrow 3x=16+2, \ 3y=-20-4\)
\(\Rightarrow 3x=18, \ 3y=-24\)
\(\Rightarrow x=\frac{18}{3}, \ y=\frac{-24}{3}\)
\(\Rightarrow x=6, \ y=-8\)
\(\therefore C(6, -8)\).

উদাহরণ \(4.\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষ \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।

[ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, কুঃ ২০০৭, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, বঃ ২০০৮, যঃ ২০১১, মাঃ ২০০৪,২০০৬]carte

সমাধানঃ

মনে করি, \(ABCD\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু চারটি \(A(-2, -1)\), \(B(3, -4)\) \(C(x, y)\) এবং \(D(-6, 5)\).
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3-6}{2}, \frac{-4+5}{2})=E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\) [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\)
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-2+x}{2}=\frac{-3}{2},\ \frac{-1+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow -2+x=-3,\ -1+y=1\)
\(\Rightarrow x=2-3,\ y=1+1\)
\(\Rightarrow x=-1,\ y=2\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).

উদাহরণ \(5.\) \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((3:4)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

carte

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(P(1, -1)\) ও \(Q(8, 6)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 3:4\)
\(\therefore R(\frac{3\times 8+4\times 1}{3+4}, \frac{3\times 6+4\times -1}{3+4})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow R(\frac{24+4}{7}, \frac{18-4}{7})\)
\(\Rightarrow R(\frac{28}{7}, \frac{14}{7})\)
\(\Rightarrow R(4, 2)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(4, 2)\).

উদাহরণ \(6.\) \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((2:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(P(3, 4)\) ও \(Q(5, 9)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।carte
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R(\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)]
\(\Rightarrow R(\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow R(-1, -6)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(-1, -6)\).

উদাহরণ \(7.\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((2, 0)\)। এর দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) ও \((3, -1)\) হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 2)\) ও \(B(3, -1)\) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(2, 0)\)।carte
এখন,
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3})\) [\(\because \ G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\therefore G(\frac{1+3+x}{3}, \frac{2-1+y}{3}) \Rightarrow G(2, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{1+3+x}{3}=2, \ \frac{2-1+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 1+3+x=6, \ 2-1+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-4, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-1\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( C(2, -1)\).

উদাহরণ \(8.\) যদি \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) বিন্দুত্রয় \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষ বিন্দু হয়, তাহলে \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

carte

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\)। ধারি, \(C(x, y)\)।
এখন,
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})=E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2},\ \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11,\ 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2,\ y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9,\ y=12\)
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((9, 12)\).

উদাহরণ \(9.\) \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে বিন্দুটি \((4:3)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

carte

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(P(4, -5)\) ও \(Q(6, 8)\)। ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।
এখানে, \(m:n\Rightarrow 4:3\)
\(\therefore R(\frac{4\times 6-3\times 4}{4-3}, \frac{4\times 8-3\times -5}{4-3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)]
\(\Rightarrow R(\frac{24-12}{1}, \frac{32+15}{1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{1}, \frac{47}{1})\)
\(\Rightarrow R(12, 47)\)
\(\therefore \) বিভক্তকারী বিন্দু \( R(12, 47)\).

উদাহরণ \(10.\) \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের \((a)\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু এবং \((b)\) সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(P(3, 2)\) ও \(Q(6, 8)\) । ধরি, বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\)।carte
\(a\) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ মধ্যবিন্দু \(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{3+6}{2},\frac{2+8}{2})\) [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{2}, 5)\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডন বিন্দু \( R(\frac{9}{2}, 5)\).
\(b\) সমত্রিখন্ডন বিন্দু অর্থাৎ \(R\), \(PQ\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন,\(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{1\times 6+2\times 3}{1+2},\frac{1\times 8+2\times 2}{1+2} )\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow (\frac{6+6}{3}, \frac{8+4}{3})\) carte
\(\Rightarrow (\frac{12}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow (4, 4)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(4, 4)\).
আবার,
যখন,\(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R(\frac{2\times 6+1\times 3}{2+1},\frac{2\times 8+1\times 2}{2+1} )\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow (\frac{12+3}{3}, \frac{16+2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{15}{3}, \frac{18}{3})\)
\(\Rightarrow (5, 6)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডন বিন্দু \( R(5, 6)\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.