রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

# অনুশীলনী \(3.B\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\), \((b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\),\((c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\),\((d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\).
সমাধান
\((ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iv)\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((6, -6)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((v)\) \((-1, 2)\) ও \((4, -5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((-11, 16)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((vi)\) \((1, 2)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \((3, 4)\) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((viii)\) \((2, 0)\) ও \((7, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে যে বিন্দু \((2:3)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ix)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-2, 3)\) ও \((6, -8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((1:2)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
সমাধান
\((x)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-3, 4)\) ও \((7, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((3:2)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে।
সমাধান
\((xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা। [রাঃ ২০১১,২০০৯, বঃ ২০০৫]
সমাধান
\((xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়। [বঃ২০১১,২০০৯]
সমাধান
\((xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \((b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]
সমাধান
\((xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। [কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]
সমাধান
\((xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]
সমাধান
\((xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]
সমাধান
\((xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)। [কুঃ ২০১৪]
সমাধান
\((xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।
সমাধান
\((xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.B\) সমাধান

\(Q 1.(i)\) নিম্নলিখিত বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((7, 6)\), \((b)\) \((-2, -8)\) এবং \((2, 8)\),\((c)\) \((t+2, -t+4)\) এবং \((t, 3t)\),\((d)\) \((a+b, -a-b)\) এবং \((a-b, a+b)\).

সমাধানঃ

carte
\((a)\) মনে করি, \(P(-3, 4)\), \(Q(7, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2})\)। [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow (\frac{4}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow (2, 5)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(2, 5)\).carte
\((b)\) মনে করি, \(P(-2, -8)\), \(Q(2, 8)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\)
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{-2+2}{2}, \frac{-8+8}{2})\)। [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)].
\(\Rightarrow (\frac{0}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(0, 0)\).carte
\((c)\) মনে করি, \(P(t+2, -t+4)\), \(Q(t, 3t)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{t+2+t}{2}, \frac{-t+4+3t}{2})\)। [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow (\frac{2t+2}{2}, \frac{2t+4}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{2(t+1)}{2}, \frac{2(t+2)}{2})\)
\(\Rightarrow (t+1, t+2)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(t+1, t+2)\).carte
\((d)\) মনে করি, \(P(a+b, -a-b)\), \(Q(a-b, a+b)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\).
\(\therefore PQ\) এর মধ্যবিন্দু
\(R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{a+b+a-b}{2}, \frac{-a-b+a+b}{2})\)। [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow (\frac{2a}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow (a, 0)\)
\(\therefore \) মধ্যবিন্দু \(R(a, 0)\).

\(Q 1.(ii)\) \((3, 1)\) বিন্দুটি \((1, -3)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(1, -3)\), \(Q(6, 7)\) এবং \(R(3, 1)\).
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times 1}{m+n}, \frac{m\times 7+n\times -3}{m+n})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)] carte
\(\Rightarrow (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(3, 1)\)
\(\therefore (\frac{6m+n}{m+n}, \frac{7m-3n}{m+n})\Rightarrow (3, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3, \ \frac{7m-3n}{m+n}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6m+n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 6m+n=3m+3n\)
\(\Rightarrow 6m-3m=3n-n\)
\(\Rightarrow 3m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:3\)।

\(Q 1.(iii)\) \((7, -8)\) বিন্দুটি \((3, -2)\) ও \((-3, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(3, -2)\), \(Q(-3, 7)\) এবং \(R(7, -8)\).
\(R\), \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times -3-n\times 3}{m-n}, \frac{m\times 7-n\times -2}{m-n})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)] carte
\(\Rightarrow (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\)
কিন্তু দেওয়া আছে,\(R(7, -8)\)
\(\therefore (\frac{-3m-3n}{m-n}, \frac{7m+2n}{m-n})\Rightarrow (7, -8)\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7, \ \frac{7m+2n}{m-n}=-8\)
\(\Rightarrow \frac{-3m-3n}{m-n}=7\)
\(\Rightarrow -3m-3n=7m-7n\)
\(\Rightarrow -3m-7m=3n-7n\)
\(\Rightarrow -10m=-4n\)
\(\Rightarrow 10m=4n\) [উভয়পার্শে \(-1\) গুন করে।]
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow m:n=2:5\)
\(\therefore \) নির্ণেয় অনুপাত \(2:5\)।

\(Q 1.(iv)\) \((1, 4)\) ও \((9, -12)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((6, -6)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: 5:3

\(Q 1.(v)\) \((-1, 2)\) ও \((4, -5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((-11, 16)\) বিন্দুতে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(iii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans 2:3 :

\(Q 1.(vi)\) \((1, 2)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখাংশকে \((3, 4)\) বিন্দুটি যে অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: 2:3

\(Q 1.(vii)\) \((3, 4)\) ও \((5, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী সরলরেখা \((2:3)\) অনুপাতে যে বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত হয় তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(3, 4)\), \(Q(5, 9)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\).
যখন অন্তর্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5+3\times 3}{2+3}, \frac{2\times 9+3\times 4}{2+3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)] carte
\(\Rightarrow (\frac{10+9}{5}, \frac{18+12}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, \frac{30}{5})\)
\(\Rightarrow (\frac{19}{5}, 6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)।
যখন বহির্বিভক্ত করে,
এখানে, \(m:n\Rightarrow 2:3\)
\(\therefore R\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 5-3\times 3}{2-3}, \frac{2\times 9-3\times 4}{2-3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)]
\(\Rightarrow (\frac{10-9}{-1}, \frac{18-12}{-1})\)
\(\Rightarrow (\frac{1}{-1}, \frac{6}{-1})\)
\(\Rightarrow (-1, -6)\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।
\(\therefore \) নির্ণেয় অন্তবিভক্তকারী বিন্দু \((\frac{19}{5}, 6)\)। নির্ণেয় বহিবিভক্তকারী বিন্দু \((-1, -6)\)।

\(Q 1.(viii)\) \((2, 0)\) ও \((7, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশকে যে বিন্দু \((2:3)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে তার স্থানাংক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: (4, 2)

\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-2, 3)\) ও \((6, -8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((1:2)\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

\(Q 1.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: (-10, 14)

\(Q 1.(x)\) একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর, যা \((-3, 4)\) ও \((7, 9)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((3:2)\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

\(Q 1.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: (3, 7), (27, 19)

\(Q 1.(xi)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((7, 3)\) এবং \((-1, -5)\)। \(AB\) রেখা \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \(AC=2AB\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(7, 3)\), \(B(-1, -5)\) এবং \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\)।
\(AB\) রেখা \(C\) বিন্দু পর্যন্ত বর্দ্ধিত করায় \(AC=2AB\) হয়। carte
অর্থাৎ \(B\), \(AC\) এর মধ্যবিন্দু।
\(\therefore B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\ (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(B(-1, -5)\)
\(\therefore (\frac{7+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow (-1, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{7+x}{2}=-1, \ \frac{3+y}{2}=-5\)
\(\Rightarrow 7+x=-2, \ 3+y=-10\)
\(\Rightarrow x=-2-7, \ y=-10-3\)
\(\Rightarrow x=-9, \ y=-13\)
\(\therefore C(-9, -13)\).

\(Q 1.(xii)\) \((7, 5)\) ও \((-2, -1)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(7, 5)\), \(Q(-2, -1)\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(R(x, y)\).
শর্তমতে, \(PQ\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এরূপ দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে। এই দুইটি বিন্দু \(PQ\) কে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{1\times -2+2\times 7}{1+2}, \frac{1\times -1+2\times 5}{1+2})\)carte
\(\Rightarrow R(\frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\Rightarrow R(4, 3)\)
\(\therefore \) প্রথম সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((4, 3)\)।
যখন \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
তখন \(R(\frac{2\times -2+1\times 7}{2+1}, \frac{2\times -1+1\times 5}{2+1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3})\)
\(\Rightarrow R(\frac{3}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow R(1, 1)\)
\(\therefore \) দ্বিতীয় সমত্রিখন্ডক বিন্দু \((1, 1)\)।

\(Q 1.(xiii)\) \(AB\) সরলরেখাটি \(P(3, 3)\) ও \(Q(8, 5)\) বিন্দু দুটি দ্বারা সমত্রিখন্ডিত করা হয়; \(A\) ও \(B\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।

সমাধানঃ

>
মনে করি, \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং বিভক্তকারী বিন্দু \(P(3, 3)\), \(Q(8, 5)\).
শর্তমতে,\(P\) ও \(Q\); \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে। অর্থাৎ \(AB\) কে \(P\) ও \(Q\) যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ফলে, \(P\)ও \(Q\) হবে যথাক্রমে \(AQ\) এবং \(PB\) এর মধ্যবিন্দু।
যখন \(P\), \(AQ\) এর মধ্যবিন্দু,
\(P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(P(3, 3)\)
\(\therefore P(\frac{x_{1}+8}{2}, \frac{y_{1}+5}{2})\Rightarrow P(3, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+8}{2}=3, \ \frac{y_{1}+5}{2}=3\)carte
\(\Rightarrow x_{1}+8=6, \ y_{1}+5=6\)
\(\Rightarrow x_{1}=6-8, \ y_{1}=6-5\)
\(\Rightarrow x_{1}=-2, \ y_{1}=1\)
\(\therefore A(-2, 1)\)
যখন \(Q\), \(PB\) এর মধ্যবিন্দু,
\(Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{1}}{2})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(Q(8, 5)\)
\(\therefore Q(\frac{3+x_{2}}{2}, \frac{3+y_{2}}{2})\Rightarrow Q(8, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x_{2}}{2}=8, \ \frac{3+y_{2}}{2}=5\)
\(\Rightarrow 3+x_{2}=16, \ 3+y_{2}=10\)
\(\Rightarrow x_{2}=16-3, \ y_{2}=10-3\)
\(\Rightarrow x_{2}=13, \ y_{2}=7\)
\(\therefore B(13, 7)\)

\(Q 1.(xiv)\) \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \((2, 3)\) এবং \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 6)\) হলে, \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(P(x, y)\).carte
দেওয়া আছে, \(Q(-1, 6)\) এবং মধ্যবিন্দু \(R(2, 3)\)
এখন, \(PQ\) রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(R(2, 3)\)
\(\therefore R(\frac{x-1}{2}, \frac{y+6}{2})\Rightarrow R(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=2, \ \frac{y+6}{2}=3\)
\(\Rightarrow x-1=4, \ y+6=6\)
\(\Rightarrow x=4+1, \ y=6-6\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore p(5, 0)\).

\(Q 1.(xv)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, 4)\) এবং \((4, -5)\)। \(AB\) রেখাংশকে \(C\) পর্যন্ত বর্দ্ধিত করা হল যেন, \((a)\) \(AB=2BC\), \((b)\) \(AB=3BC\) হয় । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, সিঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩, ঢাঃ ২০১৪ দিঃ ২০১২, ২০১৫]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(3.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \((a)\) \((7, -\frac{19}{2})\), \((b)\) \((6, -8)\)

\(Q 1.(xvi)\) দেখাও যে, \((2, -2)\) এবং \((-1, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষ দ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়। বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১৫,সিঃ ২০১৩,২০০৫, বঃ ২০০৭]

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(2, -2)\), \(B(-1, 4)\) এবং \(AB\) রেখাংশ অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(C(x, 0)\) ও \(D(0, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(C\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
তখন, \(C(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)carte
কিন্তু \(C(x, 0)\)
\(\therefore C(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow C(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=x, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow \frac{4m-2n}{m+n})=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore X\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
যখন \(Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(D\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
তখন, \(D(\frac{m\times -1+n\times 2}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\)
\(\Rightarrow D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore D(\frac{-m+2n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow D(0, y)\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=y\)
\(\Rightarrow \frac{-m+2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -m+2n=0\)
\(\Rightarrow -m=-2n\)
\(\Rightarrow m=2n\) [উভয়পার্শে \(-1\) গুন করে।]
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m:n=2:1\)
\(\therefore Y\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
ফলে, অক্ষরেখাদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
এখন,
\( X\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((\frac{-m+2n}{m+n}, 0)\) \(\Rightarrow (\frac{-1+2.2}{1+2}, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{-1+4}{3}, 0)\) \(\Rightarrow (\frac{3}{3}, 0)\) \(\therefore C(1, 0)\)
\( Y\) অক্ষরেখা এবং \(AB\) এর ছেদবিন্দু \((0, \frac{4m-2n}{m+n})\) \(\Rightarrow (0, \frac{4.2-2.1}{2+1})\)
\(\Rightarrow (0, \frac{8-2}{3})\) \(\Rightarrow (0, \frac{6}{3})\) \(\therefore D(0, 2)\)

\(Q 1.(xvii)\) দেখাও যে, মূলবিন্দু \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু, অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, যঃ ২০১৩, ২০০৯]

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-3, -2)\), \(B(6, 4)\) এবং মূলবিন্দু \(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(AB\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\).carte
এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{m\times 6+n\times -3}{m+n}, \frac{m\times 4+n\times -2}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow (\frac{6m-3n}{m+n}, \frac{4m-2n}{m+n})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{6m-3n}{m+n}=0, \ \frac{4m-2n}{m+n}=0 \)
\(\Rightarrow 6m-3n=0\)
\(\Rightarrow 6m=3n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{3}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore \) মূলবিন্দু \(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। অর্থাৎ মূলবিন্দু \(AB\) এর একটি সমত্রিখন্ডন বিন্দু।
অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দু \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করবে।
\(\therefore \) \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) অপর সমত্রিখন্ডন বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, 2)\)।

\(Q 1.(xviii)\) \((2, -4)\) এবং \((-3, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে অক্ষ দ্বয় যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৯, রাঃ ২০০৮, যঃ ২০০২]

সমাধানঃ

\(Q 1.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: 2:3; 2:3

\(Q 1.(xix)\) \((2, -5)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(5:3; (2, 0)\)

\(Q 1.(xx)\) \((7, 7)\) এবং \((-5, 10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) অক্ষরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(7:10; \ \frac{35}{17}\)

\(Q 1.(xxi)\) \((2, -4)\) এবং \((-4, 6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(2:3; \ 1:2\)

\(Q 1.(xxii)\) \((-1, 2)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(X\) এবং \(Y\) অক্ষরেখা যে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 1.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(1:2; \ 1:3\)

\(Q 1.(xxiii)\) \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(Q\) এবং \(R\) বিন্দু দুইটি \(2:3\) অনুপাতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত ও বহির্বিভক্ত করে। \(Q\) এবং \(R\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং \(P\) বিন্দু \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে দেখাও যে,\(PQ.PR=PB^{2}\)। [কুঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(8, 10)\) এবং \(B(18, 20)\)।carte
\(Q\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে,
\(\therefore Q(\frac{2\times 18+3\times 8}{2+3}, \frac{2\times 20+3\times 10}{2+3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow Q(\frac{36+24}{5}, \frac{40+30}{5})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{60}{5}, \frac{70}{5})\)
\(\therefore Q(12, 14)\)
\(R\), \(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে,
\(\therefore R(\frac{2\times 18-3\times 8}{2-3}, \frac{2\times 20-3\times 10}{2-3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}-nx_{1}}{m-n}, \frac{my_{2}-ny_{1}}{m-n})\)]
\(\Rightarrow R(\frac{36-24}{-1}, \frac{40-30}{-1})\)
\(\Rightarrow R(\frac{12}{-1}, \frac{10}{-1})\)
\(\therefore R(-12, -10)\)
আবার,
\(P\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(P(\frac{8+18}{2}, \frac{10+20}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{26}{2}, \frac{30}{2})\)
\(\Rightarrow P(13, 15)\)
আবার,
\(PB^{2}=(13-18)^{2}+(15-20)^{2}\)
\(=(-5)^{2}+(-5)^{2}\)
\(=25+25\)
\(=50\)
\(PQ=\sqrt{(13-12)^{2}+(15-14)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(PR=\sqrt{(13+12)^{2}+(15+10)^{2}}\)
\(=\sqrt{(25)^{2}+(25)^{2}}\)
\(=\sqrt{625+625}\)
\(=\sqrt{2\times 625}\)
\(=\sqrt{2\times 25^{2}}\)
\(=25\sqrt{2}\)
এখন,
\(PQ.PR=\sqrt{2}\times 25\sqrt{2}=25\times (\sqrt{2})^{2}=25\times 2=50=PB^{2}\)
\(\therefore PQ.PR=PB^{2}\) দেখানো হলো।

\(Q 1.(xxiv)\) \((8, 3)\) এবং \((2, -9)\) বিন্দু দুইটি যে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু তার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,\(A(8, 3)\) এবং \(B(2, -9)\)।
এখন,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুই হবে বৃত্তের কেন্দ্র,carte
\((\frac{8+2}{2}, \frac{3-9}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{10}{2}, \frac{-6}{2})\)
\(\Rightarrow (5, -3)\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((5, -3)\)
ব্যসার্ধ \(=\frac{1}{2}\times AB\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{(8-2)^{2}+(3+9)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{6^{2}+12^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{36+144}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{180}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 36}\)
\(=\frac{1}{2}\times \sqrt{5\times 6^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}\)
\(=3\sqrt{5}\) একক।

\(Q 1.(xxv)\) মূলবিন্দুটি \((x, y)\) এবং \((r\cos\theta, r\sin\theta)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)।

সমাধানঃ

মনে করি,\(A(x, y)\) এবং \(B(r\cos\theta, r\sin\theta)\)। carte
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\) এটি যদি মূলবিন্দু হয় তাহলে,
\((\frac{x+r\cos\theta}{2}, \frac{y+r\sin\theta}{2})\Rightarrow (0, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{x+r\cos\theta}{2}=0, \ \frac{y+r\sin\theta}{2}=0\)
\(\Rightarrow x+r\cos\theta=0, \ y+r\sin\theta=0\)
\(\Rightarrow x=-r\cos\theta ……..(i), \ y=-r\sin\theta ……..(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\therefore x^{2}+y^{2}=(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2}.1\) [\(\because \ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\)]
\(\therefore x^{2}+y^{2}=r^{2}\) প্রমাণিত।

\(Q 1.(xxvi)\) \((-6, 8)\) এবং \((8, -6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে সমান চারভাগে বিভক্ত করা হয়। বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-6, 8)\) এবং \(B(8, -6)\)।
\(AB\) কে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর সংখ্যা তিনটি। \(C, D, E\)।
\(C\), \(AB\) কে \(1:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore C(\frac{1\times 8+3\times -6}{1+3}, \frac{1\times -6+3\times 8}{1+3})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow C(\frac{8-18}{4}, \frac{-6+24}{4})\) carte
\(\Rightarrow C(\frac{-10}{4}, \frac{18}{4})\)
\(\therefore C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\).
\(D\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু। \(\therefore D(\frac{-6+8}{2}, \frac{8-6}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore D(1, 1)\).
\(E\), \(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore E(\frac{3\times 8+1\times -6}{3+1}, \frac{3\times -6+1\times 8}{3+1})\) [\(\because R(\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}, \frac{my_{2}+ny_{1}}{m+n})\)]
\(\Rightarrow E(\frac{24-6}{4}, \frac{-18+8}{4})\)
\(\Rightarrow E(\frac{18}{4}, \frac{-10}{4})\)
\(\therefore E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).
\(\therefore \).বিভাজন বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \(C(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2})\), \(D(1, 1)\) এবং \(E(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.