রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

# অনুশীলনী \(3.B\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষে মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরে অবস্থিত। ত্রিভুজটির দুইটি কৌনিক বিন্দু \((-3, 5)\) এবং \((12, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)। [কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]
সমাধান
\((iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
সমাধান
\((iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।
সমাধান
\((vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
সমাধান
\((vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((2, 4)\), \((5, 0)\) এবং \((4, -2)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধান
\((xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।
সমাধান

সমাধানঃ \(Q 2.(i)\) একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষে মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরে অবস্থিত। ত্রিভুজটির দুইটি কৌনিক বিন্দু \((-3, 5)\) এবং \((12, 4)\) হলে তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

মনে করি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(-3, 5)\), \(B(12, 4)\) এবং \(C(x, y)\).carte
শর্তমতে, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(2. 0)\)
কিন্তু \(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{-3+12+x}{3}, \frac{5+4+y}{3})\). [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\Rightarrow G(\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3})\)
\(\therefore (\frac{9+x}{3}, \frac{9+y}{3}) \Rightarrow (2. 0)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{3}=2, \ \frac{9+y}{3}=0\)
\(\Rightarrow 9+x=6, \ 9+y=0\)
\(\Rightarrow x=6-9, \ y=-9\)
\(\Rightarrow x=-3, \ y=-9\)
\(\therefore \) তৃতীয় কৌনিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(-3, -9)\)

সমাধানঃ \(Q 2.(ii)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \((at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \((at_{3}^{2}, 2at_{3})\)। এর ভরকেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে দেখাও যে, \(t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\)। [কুঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৫, যঃ ২০০৯, বঃ ২০১৪]

মনে করি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(at_{1}^{2}, 2at_{1})\), \(B(at_{2}^{2}, 2at_{2})\) এবং \(C(at_{3}^{2}, 2at_{3})\).carte
\(ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{at_{1}^{2}+at_{2}^{2}+at_{3}^{2}}{3}, \frac{2at_{1}+2at_{2}+2at_{3}}{3})\). [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3})\)
কিন্তু \(X\) অক্ষের উপর যে কোন বিন্দু \(G(x, 0)\)
\(\therefore G(\frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}, \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}) \Rightarrow G(x, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{a(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2})}{3}=x, \ \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})}{3}=0\)
\(\Rightarrow 2a(t_{1}+t_{2}+t_{3})=0\)
\(\Rightarrow t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\) [ উভয়পার্শে \(2a\) ভাগ করে। ]
\(\therefore t_{1}+t_{2}+t_{3}=0\) [দেখানো হলো।]

সমাধানঃ \(Q 2.(iii)\) \(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\); \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়। দেখাও যে \(AB\) ও \(AC\) বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাটি তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

দেওয়া আছে,\(A(1, 1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(-2, 2)\)।carte
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{1+2}{2}, \frac{1+3}{2})\)। [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow D(\frac{3}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(\frac{3}{2}, 2)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1-2}{2}, \frac{1+2}{2})\)।
\(\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\therefore E(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\( DE=\sqrt{(\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^{2}+(2-\frac{3}{2})^{2}}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)]
\(=\sqrt{(\frac{3+1}{2})^{2}+(\frac{4-3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(2)^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{4+\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(2+2)^{2}+(3-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(4)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{16+1}\)
\(=\sqrt{17}\)
এখন,
\(DE=\frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{1}{2}\times \sqrt{17}=\frac{1}{2}\times BC\)
\(\therefore DE\) তৃতীয় বাহু \(BC\) এর অর্ধেক।

সমাধানঃ \(Q 2.(iv)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\), \(C(-8, -5)\) এবং \(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু; \(G\) বিন্দু \(AD\) রেখাকে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন \(AG:GD=2:1\) হয়। \(G\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,\(A(5, 6)\), \(B(-3, 2)\) এবং \(C(-8, -5)\)।carte
প্রশ্নমতে,\(G\) , \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{5-3-8}{3}, \frac{6+2-5}{3})\) [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\Rightarrow G(\frac{-6}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\Rightarrow G(-2, 1)\)
\(\therefore G\) এর স্থানাঙ্ক \(G(-2, 1)\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(v)\) দেখাও যে, \(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\) বিন্দুত্রয় একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,\(A(1, -1)\), \(B(-1, 1)\) এবং \(C(\sqrt{3}, \sqrt{3})\)।
এখন,
\( AB=\sqrt{(1+1)^{2}+(-1-1)^{2}}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)]
\( AB=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}\)carte
\( AB=\sqrt{4+4}\)
\( AB=\sqrt{8}\)
\( AB=\sqrt{2\times 4}\)
\( AB=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AB=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(-1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}\)
\( BC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) [\(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\) ]
\( BC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( BC=\sqrt{2+6}\)
\( BC=\sqrt{8}\)
\( BC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore BC=2\sqrt{2}\)
আবার,
\( AC=\sqrt{(-1-\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}+(1-\sqrt{3})^{2}}\)
\( AC=\sqrt{2.1^{2}+2.(\sqrt{3})^{2}}\) [\(\because (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}\) ]
\( AC=\sqrt{2.1+2.3}\)
\( AC=\sqrt{2+6}\)
\( AC=\sqrt{8}\)
\( AC=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\therefore AC=2\sqrt{2}\)
\(\because AB=BC=AC\) \(\therefore ABC\) ত্রিভুজ সমবাহু।
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{1-1+\sqrt{3}}{3}, \frac{-1+1+\sqrt{3}}{3})\)।
\(\Rightarrow G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)
\(\therefore \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(vi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((2, 7)\), \((6, 1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((6, 4)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।

মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে, \(A(2, 7)\), \(B(6, 1)\), \(C(x, y)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(6, 4)\)
এখন,
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+6+x}{3}, \frac{7+1+y}{3})\) [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\) carte
কিন্তু দেওয়া আছে, \(G(6, 4)\)
\(\therefore G(\frac{8+x}{3}, \frac{8+y}{3})\Rightarrow G(6, 4)\)
\(\Rightarrow \frac{8+x}{3}=6, \ \frac{8+y}{3}=4\)
\(\Rightarrow 8+x=18, \ 8+y=12\)
\(\Rightarrow x=18-8, \ y=12-8\)
\(\Rightarrow x=10, \ y=4\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(10, 4)\).

সমাধানঃ \(Q 2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((7, 2)\)। \(A\) ও \(B\) শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, 5)\) এবং \((7, -1)\) । \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q 2.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \((11, 2)\)

সমাধানঃ \(Q 2.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((3, -5)\), \((5, -2)\) এবং \((-2, -1)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\((a)\) মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)
\(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D(3, -5)\), \(E(5, -2)\) এবং \(F(-2, -1)\).carte
কিন্তু
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\)
\(\therefore D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})\Rightarrow D(3, -5)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=3, \ \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=-5\)
\(\Rightarrow x_{2}+x_{3}=6 …….(i), \ y_{2}+y_{3}=-10 ……(ii)\)
আবার,
\(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\)
\(\therefore E(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2})\Rightarrow E(5, -2)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=5, \ \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=-2\)
\(\Rightarrow x_{3}+x_{1}=10 …….(iii), \ y_{3}+y_{1}=-4 ……(iv)\)
আবার,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)
\(\therefore F(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\Rightarrow F(-2, -1)\)
\(\Rightarrow \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2, \ \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}=-4 …….(v), \ y_{1}+y_{2}=-2 ……(vi)\)
এখন,
\((i)+(iii)+(v)\) এর সাহায্যে,
\(x_{2}+x_{3}+x_{3}+x_{1}+x_{1}+x_{2}=6+10-4\)
\(\Rightarrow 2(x_{1}+x_{2}+x_{3})=12\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{12}{2}\)
\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 ……..(vii)\)
\((ii)+(iv)+(vi)\) এর সাহায্যে,
\(y_{2}+y_{3}+y_{3}+y_{1}+y_{1}+y_{2}=-10-4-2\)
\(\Rightarrow 2(y_{1}+y_{2}+y_{3})=-16\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=\frac{-16}{2}\)
\(\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=-8 ……..(viii)\)
আবার,
\((vii)-(i)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{2}-x_{3}=6-6\) \(\Rightarrow x_{1}=0\)
\((vii)-(iii)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{3}-x_{1}=6-10\) \(\Rightarrow x_{2}=-4\)
\((vii)-(v)\) এর সাহায্যে, \(x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{1}-x_{2}=6+4\) \(\Rightarrow x_{3}=10\)
আবার,
\((viii)-(ii)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{2}-y_{3}=-8+10\) \(\Rightarrow y_{1}=2\)
\((viii)-(iv)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{3}-y_{1}=-8+4\) \(\Rightarrow y_{2}=-4\)
\((viii)-(vi)\) এর সাহায্যে, \(y_{1}+y_{2}+y_{3}-y_{1}-y_{2}=-8+2\) \(\Rightarrow y_{3}=-6\)
\(\therefore \) শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(0, 2), B(-4, -4), C(10, -6)\).
\((b)\) \(ABC\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(\frac{0-4+10}{3}, \frac{2-4-6}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{6}{3}, \frac{-8}{3})\)
\(\therefore G(2, -\frac{8}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(G(2, -\frac{8}{3})\)

সমাধানঃ \(Q 2.(ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \((2, 4)\), \((5, 0)\) এবং \((4, -2)\) হলে, \((a)\) \(A, \ B, \ C\) শীর্ষত্রয়ের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। \((b)\) ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

\(Q 2.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(A(7, -6), B(1, 2), C(3, 6)\) এবং ভরকেন্দ্র \(G(\frac{11}{3}, \frac{2}{3})\)

সমাধানঃ \(Q 2.(x)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)। \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) হলে \(GBC\) ত্রিভুজের \(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(10, 20)\), \(B(20, 30)\) এবং \(C(30, 10)\)।
\(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{10+20+30}{3}, \frac{20+30+10}{3})\)carte
\(\Rightarrow G(\frac{60}{3}, \frac{60}{3})\)
\(\Rightarrow G(20, 20)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{20+30}{2}, \frac{30+10}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{50}{2}, \frac{40}{2})\)
\(\Rightarrow D(25, 20)\)
এখন,
\(GD=\sqrt{(20-25)^{2}+(20-20)^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{25+0}\)
\(\Rightarrow GD=\sqrt{5^{2}}\)
\(\Rightarrow GD=5\)
\(GD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(5\).

সমাধানঃ \(Q 2.(xi)\) স্থানাঙ্কের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক।

মনে করি, \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\) [\(\because R(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2})\)carte
\(DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-\frac{x_{1}+x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}-\frac{y_{1}+y_{3}}{2})^{2}}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)]
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{1}+x_{2}-x_{1}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{1}+y_{2}-y_{1}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{(\frac{x_{2}-x_{3}}{2})^{2}+(\frac{y_{2}-y_{3}}{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\sqrt{\frac{(x_{2}-x_{3})^{2}}{4}+\frac{(y_{2}-y_{3})^{2}}{4}}\)
\(\therefore DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
আবার,
\(BC=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)]
এখন,
\(DE=\frac{1}{2}\times \sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)
\(\Rightarrow DE=\frac{1}{2}\times BC\) [\(\because BC=\sqrt{(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}\)]
\(\therefore \) ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা এর তৃতীয় বাহুর অর্ধেক। [ দেখানো হলো। ]

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.