রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

# অনুশীলনী \(3.B\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

((i)) (ABCD) সামান্তরিকের (A, \ B, \ C) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ((-2, -1)), ((1, 3)) এবং ((1, 6)) হলে, (D) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
((ii)) (ABCD) রম্বসের (A, \ B, \ C) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ((-2, -1)), ((1, 3)) এবং ((5, 6)) হলে, (D) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
((iii)) (ABCD) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (A(8, 8)), (B(9, -5)) এবং (C(-4, -6)) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
((iv)) (ABCD) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (A(3, 2)), ((2, -1)) এবং ((8, -3))। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু (D) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
সমাধান
((v)) যদি (A(2, 5)), ((5, 9)) এবং ((6, 8)) বিন্দু তিনটি (ABCD) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু (C) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]
সমাধান
((vi)) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক ((3, -4)) এবং ((-6, 5))। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু ((-2, -1)) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
সমাধান

\(Q 3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
(A(-2, -1)), (B(1, 3)) এবং (C(1, 6)).
ধরি, (D(x, y))
(AC) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{-2+1}{2}, \frac{-1+6}{2}))
(\therefore E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2}))
(BD) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})) [ (\because ) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2}))
(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=\frac{-1}{2}, \ \frac{3+y}{2}=\frac{5}{2})
(\Rightarrow 1+x=-1, \ 3+y=5)
(\Rightarrow x=-1-1, \ y=5-3)
(\Rightarrow x=-2, \ y=2)
(\therefore D) বিন্দুর স্থানাঙ্ক ((-2, 2)).

\(Q 3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(D(2, 2)\); 7 বর্গ একক।

\(Q 3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
(A(8, 8)), (B(9, -5)) এবং (C(-4, -6)).
ধরি চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, (D(x, y))
(AC) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{8-4}{2}, \frac{8-6}{2}))
(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{2}{2}))
(\therefore E(2, 1))
(BD) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})) [ (\because ) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
(\therefore E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\Rightarrow E(2, 1))
(\Rightarrow \frac{9+x}{2}=2, \ \frac{-5+y}{2}=1)
(\Rightarrow 9+x=4, \ -5+y=2)
(\Rightarrow x=4-9, \ y=2+5)
(\Rightarrow x=-5, \ y=7)
(\therefore D) বিন্দুর স্থানাঙ্ক ((-5, 7)).
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল (=AB^{2}) [(\because ) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (=(বাহু)^{2})]
(=(8-9)^{2}+(8+5)^{2})
(=(-1)^{2}+(13)^{2})
(=1+169)
(=170) বর্গ একক।

\(Q 3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

মনে করি,(A(3, 2)), (B(2, -1)), (C(8, -3)) এবং (D(x, y)).carte
(AC) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2}))
(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2}))
(BD) কর্ণের মধ্যবিন্দু (E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})) [ (\because ) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2}))
(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \ \frac{-1+y}{2}=\frac{-1}{2})
(\Rightarrow 2+x=11, \ -1+y=-1)
(\Rightarrow x=11-2, \ y=-1+1)
(\Rightarrow x=9, \ y=0)
(\therefore D) বিন্দুর স্থানাঙ্ক ((9, 0)).
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (=AB\times BC) [(\because ) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ (\times ) প্রস্ত]
(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\times \sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}})
(=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\times \sqrt{(-6)^{2}+2^{2}})
(=\sqrt{1+9}\times \sqrt{36+4})
(=\sqrt{10}\times \sqrt{40})
(=\sqrt{10\times 40})
(=\sqrt{400})
(=\sqrt{20^{2}})
(=20) বর্গ একক।

\(Q 3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(D(9, 12)\); 7 বর্গ একক।

\(Q 3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(4.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \((-1, 2)\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply