রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.3\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 2)\)
সমাধান
\(Q.3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(D(2, 2)\)
সমাধান
\(Q.3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(=170\) বর্গ একক
সমাধান
\(Q.3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(=20\) বর্গ একক। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
সমাধান
\(Q.3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(C(9, 12)\). [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]
সমাধান
\(Q.3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। উত্তরঃ চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\). [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
সমাধান

অনুশীলনী \(3.B\) / \(Q.3\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 2)\)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
\(A(-2, -1)\), \(B(1, 3)\) এবং \(C(1, 6)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+1}{2}, \frac{-1+6}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) | Note \(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=\frac{-1}{2}, \ \frac{3+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1+x=-1, \ 3+y=5\)
\(\Rightarrow x=-1-1, \ y=5-3\)
\(\Rightarrow x=-2, \ y=2\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\).

\(Q 3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(D(2, 2)\)

সমাধানঃ

\(Q.3.(v)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(=170\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
\(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\).
ধরি চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{8-4}{2}, \frac{8-6}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore E(2, 1)\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\) | Note \(\because \) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\Rightarrow E(2, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{2}=2, \ \frac{-5+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 9+x=4, \ -5+y=2\)
\(\Rightarrow x=4-9, \ y=2+5\)
\(\Rightarrow x=-5, \ y=7\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-5, 7)\).
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\) | Note \(\because a\) বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=a^{2}\) বর্গ একক।
\(=(8-9)^{2}+(8+5)^{2}\)
\(=(-1)^{2}+(13)^{2}\)
\(=1+169\)
\(=170\) বর্গ একক।

\(Q 3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(=20\) বর্গ একক। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

মনে করি,\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) এবং \(D(x, y)\).carte
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\) | Note \(\because \) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \ \frac{-1+y}{2}=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, \ -1+y=-1\)
\(\Rightarrow x=11-2, \ y=-1+1\)
\(\Rightarrow x=9, \ y=0\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((9, 0)\).
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=AB\times BC\) | Note \(\because \) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ \(\times \) প্রস্ত।
\(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\times \sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}}\) | Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\times \sqrt{(-6)^{2}+2^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\times \sqrt{36+4}\)
\(=\sqrt{10}\times \sqrt{40}\)
\(=\sqrt{10\times 40}\)
\(=\sqrt{400}\)
\(=\sqrt{20^{2}}\)
\(=20\) বর্গ একক।

\(Q 3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(C(9, 12)\). [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\)। ধারি, \(C(x, y)\)।
এখন,
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})=E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2},\ \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11,\ 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2,\ y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9,\ y=12\)
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((9, 12)\).

\(Q 3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। উত্তরঃ চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\). [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]

সমাধানঃ

মনে করি, \(ABCD\) সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু চারটি \(A(-2, -1)\), \(B(3, -4)\) \(C(x, y)\) এবং \(D(-6, 5)\).
\(\therefore BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3-6}{2}, \frac{-4+5}{2})=E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
আবার,
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। \(\therefore E(\frac{-2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-3}{2}, \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-2+x}{2}=\frac{-3}{2},\ \frac{-1+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow -2+x=-3,\ -1+y=1\)
\(\Rightarrow x=2-3,\ y=1+1\)
\(\Rightarrow x=-1,\ y=2\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply