রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

# অনুশীলনী \(3.B\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
সমাধান
\((ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান
\((iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]
সমাধান
\((v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]
সমাধান
\((vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]
সমাধান

\(Q 3.(i)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((1, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
\(A(-2, -1)\), \(B(1, 3)\) এবং \(C(1, 6)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-2+1}{2}, \frac{-1+6}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\) [ \(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{3+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=\frac{-1}{2}, \ \frac{3+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1+x=-1, \ 3+y=5\)
\(\Rightarrow x=-1-1, \ y=5-3\)
\(\Rightarrow x=-2, \ y=2\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-2, 2)\).

\(Q 3.(ii)\) \(ABCD\) রম্বসের \(A, \ B, \ C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-2, -1)\), \((1, 3)\) এবং \((5, 6)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(D(2, 2)\); 7 বর্গ একক।

\(Q 3.(iii)\) \(ABCD\) বর্গক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\) হলে, এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,carte
\(A(8, 8)\), \(B(9, -5)\) এবং \(C(-4, -6)\).
ধরি চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক, \(D(x, y)\)
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{8-4}{2}, \frac{8-6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore E(2, 1)\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\) [ \(\because \) বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
\(\therefore E(\frac{9+x}{2}, \frac{-5+y}{2})\Rightarrow E(2, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{9+x}{2}=2, \ \frac{-5+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 9+x=4, \ -5+y=2\)
\(\Rightarrow x=4-9, \ y=2+5\)
\(\Rightarrow x=-5, \ y=7\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-5, 7)\).
বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\) [\(\because \) বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=(বাহু)^{2}\)]
\(=(8-9)^{2}+(8+5)^{2}\)
\(=(-1)^{2}+(13)^{2}\)
\(=1+169\)
\(=170\) বর্গ একক।

\(Q 3.(iv)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 2)\), \((2, -1)\) এবং \((8, -3)\)। এর চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(D\) এর স্থানাঙ্ক এবং আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০৩, চঃ ২০০৬, বঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

মনে করি,\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) এবং \(D(x, y)\).carte
\(AC\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+8}{2}, \frac{2-3}{2})\)
\(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(BD\) কর্ণের মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\) [ \(\because \) আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{-1+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \ \frac{-1+y}{2}=\frac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, \ -1+y=-1\)
\(\Rightarrow x=11-2, \ y=-1+1\)
\(\Rightarrow x=9, \ y=0\)
\(\therefore D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((9, 0)\).
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(=AB\times BC\) [\(\because \) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ \(\times \) প্রস্ত]
\(=\sqrt{(3-2)^{2}+(2+1)^{2}}\times \sqrt{(2-8)^{2}+(-1+3)^{2}}\)
\(=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\times \sqrt{(-6)^{2}+2^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\times \sqrt{36+4}\)
\(=\sqrt{10}\times \sqrt{40}\)
\(=\sqrt{10\times 40}\)
\(=\sqrt{400}\)
\(=\sqrt{20^{2}}\)
\(=20\) বর্গ একক।

\(Q 3.(v)\) যদি \(A(2, 5)\), \((5, 9)\) এবং \((6, 8)\) বিন্দু তিনটি \(ABCD\) রম্বসের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০, ২০০৫, সিঃ ২০০৯, বঃ ২০০৯ ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(D(9, 12)\); 7 বর্গ একক।

\(Q 3.(vi)\) কোন সামান্তরিকের একটি কর্ণের প্রান্তবিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এবং \((-6, 5)\)। এর তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \((-2, -1)\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণিয় কর। [ঢাঃ ২০০৭, রাঃ ২০১৪, চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১৪, যঃ ২০১১, বঃ ২০০৮]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(4.\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \((-1, 2)\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.