রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

অনুশীলনী \(3.B\) প্রশ্নসমূহ

সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

\((i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

সমাধানঃ \(Q 4.(i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।

\((a)\) মনে করি, \(A(3, 5)\), \(B(7, -1)\), \(C(x, y)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \(G(7, 2)\).
এখন, \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})\) [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\) ]
carte
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\)
কিন্তু, দেওয়া আছে, \(G(7, 2)\).
\(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{}{3}=2 \)
\(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6 \)
\(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4 \)
\(\Rightarrow x=11, \ y=2 \)
\(\therefore C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((11, 2)\).
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\). carte
ধরি, সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C\) এবং \(D\) যা \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{1\times 6+2\times -3}{1+2}, \frac{1\times 4+2\times -2}{1+2})\)
\(\Rightarrow (\frac{6-6}{3}, \frac{4-4}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{0}{3}, \frac{0}{3})\)
\(\Rightarrow (0, 0)\)
\(\therefore D\) এর স্থানাঙ্ক \((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1})\)
\(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3})\)
\(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3})\)
\(\Rightarrow (3, 2)\)
\(\therefore \) সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় \(C(0, 0)\) এবং \(D(3, 2)\).
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\) এবং \(B(6, 4)\).
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{-3+6}{2}, \frac{-2+4}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(\frac{3}{2}, 1)\)
\(C\) হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু \(D(x, 2x)\) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
\(\therefore DC=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\) ]
\(\Rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}=\frac{5}{4}\)carte
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+(2x)^{2}-2.2x.1+(1)^{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+4x^{2}-4x+1=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-3)^{2}+16x^{2}-16x+4=5\)
\(\Rightarrow (2x)^{2}-2.2x.3+(3)^{2}+16x^{2}-16x+4-5=0\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-12x+9+16x^{2}-16x-1=0\)
\(\Rightarrow 20x^{2}-28x+8=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}-7x+2=0\) [ উভয়পার্শে \(4\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow 5x^{2}-5x-2x+2=0\)
\(\Rightarrow 5x(x-1)-2(x-1)=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(5x-2)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ 5x-2=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ 5x=2\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{2}{5}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে \((1, 2)\) অথবা, \((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.