রেখা বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক (Co-ordinates of the line Division point)

অনুশীলনী \(3.B\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

((i)) (A) ও (B) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ((-3, -2)) এবং ((6, 4)).
((a)) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে ((3, 5)), ((7, -1)) এবং এর ভরকেন্দ্র ((7, 2)); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
((b)) (AB) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
((c)) (AB) এর মধ্যবিন্দু হতে (\frac{\sqrt{5}}{2}) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

\(Q 4.(i)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, -2)\) এবং \((6, 4)\).
\((a)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 5)\), \((7, -1)\) এবং এর ভরকেন্দ্র \((7, 2)\); তৃতীয় শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) বাহুর সমত্রিখন্ডক বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হতে \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) একক দূরে অবস্থিত একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।

সমাধানঃ

((a)) মনে করি, (A(3, 5)), (B(7, -1)), (C(x, y)) এবং এর ভরকেন্দ্র (G(7, 2)).
এখন, (ABC) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (G(\frac{3+7+x}{3}, \frac{5-1+y}{3})) [(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})) ]
carte
(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3}))
কিন্তু, দেওয়া আছে, (G(7, 2)).
(\therefore G(\frac{10+x}{3}, \frac{4+y}{3})\Rightarrow G(7, 2))
(\Rightarrow \frac{10+x}{3}=7, \ \frac{}{3}=2 )
(\Rightarrow 10+x=21, \ 4+y=6 )
(\Rightarrow x=21-10, \ y=6-4 )
(\Rightarrow x=11, \ y=2 )
(\therefore C) বিন্দুর স্থানাঙ্ক ((11, 2)).

সমাধানঃ

((b)) দেওয়া আছে, (A(-3, -2)) এবং (B(6, 4)). carte
ধরি, সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় (C) এবং (D) যা (AB) কে যথাক্রমে (1:2) এবং (2:1) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
(\therefore C) এর স্থানাঙ্ক ((\frac{1\times 6+2\times -3}{1+2}, \frac{1\times 4+2\times -2}{1+2}))
(\Rightarrow (\frac{6-6}{3}, \frac{4-4}{3}))
(\Rightarrow (\frac{0}{3}, \frac{0}{3}))
(\Rightarrow (0, 0))
(\therefore D) এর স্থানাঙ্ক ((\frac{2\times 6+1\times -3}{2+1}, \frac{2\times 4+1\times -2}{2+1}))
(\Rightarrow (\frac{12-3}{3}, \frac{8-2}{3}))
(\Rightarrow (\frac{9}{3}, \frac{6}{3}))
(\Rightarrow (3, 2))
(\therefore ) সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয় (C(0, 0)) এবং (D(3, 2)).

সমাধানঃ

((c)) দেওয়া আছে, (A(-3, -2)) এবং (B(6, 4)).
(AB) এর মধ্যবিন্দু (C(\frac{-3+6}{2}, \frac{-2+4}{2}))
(\Rightarrow C(\frac{3}{2}, \frac{2}{2}))
(\therefore C(\frac{3}{2}, 1))
(C) হতে (\frac{\sqrt{5}}{2}) একক দূরে অবস্থিত বিন্দু (D(x, 2x)) যার কটি ভুজের দ্বিগুণ।
(\therefore DC=\frac{\sqrt{5}}{2})
(\Rightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}) [(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}) ]
(\Rightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}+(2x-1)^{2}=\frac{5}{4})carte
(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+(2x)^{2}-2.2x.1+(1)^{2}=\frac{5}{4})
(\Rightarrow \frac{(2x-3)^{2}}{4}+4x^{2}-4x+1=\frac{5}{4})
(\Rightarrow (2x-3)^{2}+16x^{2}-16x+4=5)
(\Rightarrow (2x)^{2}-2.2x.3+(3)^{2}+16x^{2}-16x+4-5=0)
(\Rightarrow 4x^{2}-12x+9+16x^{2}-16x-1=0)
(\Rightarrow 20x^{2}-28x+8=0)
(\Rightarrow 5x^{2}-7x+2=0) [ উভয়পার্শে (4) ভাগ করে। ]
(\Rightarrow 5x^{2}-5x-2x+2=0)
(\Rightarrow 5x(x-1)-2(x-1)=0)
(\Rightarrow (x-1)(5x-2)=0)
(\Rightarrow x-1=0, \ 5x-2=0)
(\Rightarrow x=1, \ 5x=2)
(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{2}{5})
(\therefore ) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হবে ((1, 2)) অথবা, ((\frac{2}{5}, \frac{4}{5})).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply