ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কের মাধ্যমে ত্রিভুজ তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
  • দুইয়ের অধীক বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্ত।
  • একটি রেখাংশের সাপেক্ষে দুইটি বিন্দুর আপেক্ষিক অবস্থান নির্ণয়।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমুহ

ত্রিভুজের বা, বহুভুজের ক্ষেত্রফল (Area of the Triangle or polygon. )

# ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,

area1

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)

# \(\triangle ABC=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)

Proof

# চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দুচারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে,

area1

# \(\Box ABCD=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+y_{4}x_{1})]\)

Proof

অনুরূপভাবে যে কোন সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা সম্ভব।

# বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

কোন সমতলে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\)…… \((x_{n}, y_{n})\) বিন্দুগুলি কোন বহুভুজের শীর্ষবিন্দু হলে,

area1

# বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+…+x_{n}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{4}+…+y_{n}x_{1})]\)

# আলোচনার সুবিধার্থে, \(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\) এবং \(\triangle ABC= \frac{1}{2}\mid \delta_{ABC} \mid\) বর্গ একক বিবেচনা করা হলো।

\((i)\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার একই পার্শে অবস্থান করার শর্ত, \(\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}>0\).
Proof
\((ii)\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করার শর্ত, \(\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}<0\).
Proof
\((iii)\) \(AB\) রেখাটি \(CD\) রেখাংশকে \(E\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করার শর্ত, \(\delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\).
# \(\delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\) অনুপাত যথাক্রমে ঋনাত্মক \((-ve)\) ও ধনাত্মক \((+ve)\) হলে, \(AB\) রেখাটি \(CD\) রেখাংশকে \(E\) বিন্দুতে যথাক্রমে অন্তর্বিভক্ত এবং বহির্বিভক্ত করবে।
Proof

# সমরেখ হওয়ার শর্তঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করা বা সমরেখ হওয়ার শর্ত,

\(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|=0.\)

Proof

সুত্র প্রতিপাদন

# ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

মনে করি, কোন সমতলে \(\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় যথক্রমে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)। \(A, B, C\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের উপর যথাক্রমে \(AL\), \(BM\) এবং \(CN\) লম্ব আঁকি।
তাহলে, \(OL=x_{1}\) area4
\(OM=x_{2}\)
\(ON=x_{3}\)
\(AL=y_{1}\)
\(BM=y_{2}\)
\(CN=y_{3}\).
আবার,
\(ML=OL-OM=x_{1}-x_{2}\)
\(LN=ON-OL=x_{3}-x_{1}\)
\(MN=ON-OM=x_{3}-x_{2}\).
এখন,
\(\triangle ABC=\) ট্রাপিজিয়াম \(ABML\) এর ক্ষেত্রফল + ট্রাপিজিয়াম \(ALNC\) এর ক্ষেত্রফল -ট্রাপিজিয়াম \(MBNC\) এর ক্ষেত্রফল।
\(=\frac{1}{2}(AL+BM)\times ML+\frac{1}{2}(AL+CN)\times LN-\frac{1}{2}(BM+CN)\times MN\)
\(=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})\times (x_{1}-x_{2})+\frac{1}{2}(y_{1}+y_{3})\times (x_{3}-x_{1})-\frac{1}{2}(y_{2}+y_{3})\times (x_{3}-x_{2})\)
\(=\frac{1}{2}[(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+(y_{1}+y_{3})(x_{3}-x_{1})-(y_{2}+y_{3})(x_{3}-x_{2})]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{2}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{3}y_{3}-x_{1}y_{1}-x_{1}y_{3}-(x_{3}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{2}y_{2}-x_{2}y_{3})]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{2}y_{2}+x_{3}y_{1}+x_{3}y_{3}-x_{1}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{3}y_{3}+x_{2}y_{2}+x_{2}y_{3}]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3}]\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})]\)
\(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
আবার,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})-y_{1}(x_{2}-x_{3})+1(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})]\)
\(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ 1\end{array}\right|\)
আবার,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})]\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)

# চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ

মনে করি, কোন সমতলে \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষচতুষ্টয় যথক্রমে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{3}, y_{3})\)। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যাবহার করে।
\(\Box ABCD=\triangle ABC+\triangle ACD\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1})-(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{3}+y_{3}x_{1})]\)+\(\frac{1}{2}[(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1})-(y_{1}x_{3}+y_{3}x_{4}+y_{4}x_{1})]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{1}\)+\(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-y_{1}x_{3}-y_{3}x_{4}-y_{4}x_{1}]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-y_{1}x_{2}-y_{2}x_{3}-y_{3}x_{4}-y_{4}x_{1}]\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})+(x_{4}y_{1}-y_{4}x_{1})]\)
\(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4}\end{array}\right|\)
\(\therefore \Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4}\end{array}\right|\)

area5
\((i)\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার একই পার্শে অবস্থান করার শর্ত নির্ণয়ঃ
\(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার একই পার্শে অবস্থান করবে যদি,
\(\delta_{ABC}>0, \ \ \delta_{ABD}>0\) অথবা, \(\delta_{ABC}<0, \ \ \delta_{ABD}<0\) হয়। তাহলে ইহা স্পষ্ট যে, \(\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}>0\).
area5
\((ii)\) \(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করার শর্ত নির্ণয়ঃ
\(C\) এবং \(D\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখার বিপরীত পার্শে অবস্থান করবে যদি,
\(\delta_{ABC}>0, \ \ \delta_{ABD}<0\) অথবা, \(\delta_{ABC}<0, \ \ \delta_{ABD}>0\) হয়।
তাহলে ইহা স্পষ্ট যে,
\(\delta_{ABC}\times \delta_{ABD}<0\).
area5
\((iii)\) \(AB\) রেখাটি \(CD\) রেখাংশকে \(E\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করার শর্ত,
\(\delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\).
প্রমাণঃ \(AB\) এর উপর \(CN\) ও \(DM\) লম্ব হলে, \(\triangle CNE\) ও \(\triangle DME\) সদৃশ।
\(\therefore \frac{CN}{DM}=\frac{CE}{DE}=\frac{m}{n}\) [\(\because CE=m, DE=n\)]
\(\Rightarrow \frac{CN}{DM}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}AB\times CN}{\frac{1}{2}AB\times DM}=\frac{m}{n}\) [ বাম পার্শের লব ও হর কে \(\frac{1}{2}AB\) দ্বারা গুণ করে। ]
\(\Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle ABD}=\frac{m}{n}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{2}\delta_{ABC}}{\frac{1}{2}\delta_{ABD}}=\frac{m}{n}\) [\(\because \triangle ABC=\frac{1}{2}\delta_{ABC}, \triangle ABD=\frac{1}{2}\delta_{ABD}\)]
\(\Rightarrow \frac{\delta_{ABC}}{\delta_{ABD}}=\frac{m}{n}\) [ বাম পার্শের লব ও হর কে \(2\) দ্বারা গুণ করে। ]
\(\therefore \delta_{ABC}:\delta_{ABD}=m:n\)

# সমরেখ হওয়ার শর্ত নির্ণয়ঃ

কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করবে বা সমরেখ হবে যদি,\(\triangle ABC=0\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\mid \delta_{ABC} \mid=0\) [ \(\because \triangle ABC= \frac{1}{2}\mid \delta_{ABC} \mid\) ]
\(\Rightarrow \mid \delta_{ABC} \mid=0\)
\(\Rightarrow \delta_{ABC}=0\)

\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|=0.\)

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.