ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \((6, 5)\), \((-9, -4)\) এবং \((-5, 0)\).

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) \((a)\) এর মান কত হলে, \((a, 2-2a)\), \((1-a, 2a)\) এবং \((-4-a, 6-2a)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে। [চঃ ২০০৯,২০১৪, যঃ ২০০৮, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০১১,২০১৩, কুঃ ২০১২,২০১৪, মাঃ ২০১৩,২০১৫ বঃ ২০১৫]

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হলে, দেখাও যে, \(x+y=15\) অথবা \(x+y+9=0\). [যঃ ২০১১, ঢাঃ ২০০৪, রাঃ ২০৬,২০১১,২০১৩, বঃ ২০০৪,২০০৯, কুঃ ২০১৩, সিঃ ২০১৪]

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \(C(5, -8)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(B\) বিন্দু হতে \(CA\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) বিন্দু হতে \(BC\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) যদি \(A(3, 4)\), \(B(2t, 5)\) এবং \(C(6, t)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(+19\frac{1}{2}\) বর্গ একক হয় তবে \(t\) এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) কোন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(3, 2)\), \(B(-2, 3)\), \(C(-1, -1)\) এবং \(D(2, -1)\); চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(8.\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 1)\), \(B(1, 0)\), \(C(5, 1)\) এবং \(D(-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \((6, 5)\), \((-9, -4)\) এবং \((-5, 0)\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(6, 5)\), \(B(-9, -4)\) এবং \(C(-5, 0)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ -9 \ \ -5 \ \ \ \ 6\\5 \ \ -4 \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[6.(-4)-5.(-9)+(-9).0-(-5).(-4)+(-5).5-0.6]\)
\(=\frac{1}{2}[-24+45-0-20-25-0]\)
\(=\frac{1}{2}[45-69]\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(=12\) [\(\because \triangle \neq -ve\)]
\(\therefore \triangle ABC=12\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(2.\) \((a)\) এর মান কত হলে, \((a, 2-2a)\), \((1-a, 2a)\) এবং \((-4-a, 6-2a)\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হবে। [চঃ ২০০৯,২০১৪, যঃ ২০০৮, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০১১,২০১৩, কুঃ ২০১২,২০১৪, মাঃ ২০১৩,২০১৫ বঃ ২০১৫]

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, 2-2a)\), \(B(1-a, 2a)\) এবং \(C(-4-a, 6-2a)\) বিন্দুতিনটি সমরেখ।
\(\therefore \delta_{ABC}=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ 1-a \ \ -4-a \ \ \ \ a\\ 2-2a \ \ 2a \ \ 6-2a \ \ 2-2a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow [a.2a-(1-a)(2-2a)+(1-a)(6-2a)-(-4-a).2a+(-4-a)(2-2a)-a(6-2a)]=0\)
\(\Rightarrow 2a^{2}-2+2a+2a-2a^{2}+6-6a-2a+2a^{2}+8a+2a^{2}-8-2a+8a+2a^{2}-6a+2a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 8a^{2}+4a-4=0\)
\(\Rightarrow 2a^{2}+a-1=0\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow 2a^{2}+2a-a-1=0\)
\(\Rightarrow 2a(a+1)-1(a+1)=0\)
\(\Rightarrow (a+1)(2a-1)=0\)
\(\Rightarrow a+1=0, 2a-1=0\)
\(\Rightarrow a=-1, 2a=1\)
\(\Rightarrow a=-1, a=\frac{1}{2}\)
\(\therefore a=-1, \frac{1}{2}\).

উদাহরণ \(3.\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয় \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হলে, দেখাও যে, \(x+y=15\) অথবা \(x+y+9=0\). [যঃ ২০১১, ঢাঃ ২০০৪, রাঃ ২০৬,২০১১,২০১৩, বঃ ২০০৪,২০০৯, কুঃ ২০১৩, সিঃ ২০১৪]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\)।
শর্তমতে, \(\triangle ABC=\pm 6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ 1 \ \ 2 \ \ x\\ y \ \ 2 \ \ 1 \ \ y\end{array}\right|=\pm 6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}[(2x-y)+(1-4)+(2y-x)]=\pm6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}[2x-y+1-4+2y-x]=\pm 6\)
\(\Rightarrow 2x-y+1-4+2y-x=\pm 12\)
\(\Rightarrow x+y-3=\pm 12\)
\(\Rightarrow x+y=\pm 12+3\)
\(\Rightarrow x+y=+12+3\) [ধনাত্মক চিহ্ন \(+ve\) ব্যাবহার করে।]
\(\therefore x+y=15\)
আবার,
\(\Rightarrow x+y=-12+3\) [ঋনাত্মক চিহ্ন \(-ve\) ব্যাবহার করে।]
\(\Rightarrow x+y=-9\)
\(\therefore x+y+9=0\)
[দেখানো হলো।]

উদাহরণ \(4.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \(C(5, -8)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(B\) বিন্দু হতে \(CA\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \(C(5, -8)\)।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-3 \ \ -3 \ \ \ \ 5 \ \ -3\\ -2 \ \ \ \ 9 \ \ -8 \ \ -2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-3).9-(-3).(-2)+(-3).(-8)-5.9+5.(-2)-(-3)(-8)]\)
\(=\frac{1}{2}[-27-6+24-45-10-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times -88\)
\(=-44\)
\(=44\) [\(\because \triangle \neq -ve\)]
\(\therefore \triangle ABC=44\) বর্গ একক।
এখন,
\(CA=\sqrt{(5+3)^{2}+(-8+2)^{2}}\)
\(=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}\)
\(CA=\sqrt{64+36}\)
\(CA=\sqrt{100}\)
\(CA=\sqrt{10^{2}}\)
\(\therefore CA=10\)
\(B\) বিন্দু হতে \(CA\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(BD\)
\(\therefore \frac{1}{2}\times CA\times BD=\triangle ABC\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 10\times BD=44\)
\(\Rightarrow 5\times BD=44\)
\(\therefore BD=\frac{44}{5}\) একক।

উদাহরণ \(5.\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\); ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) বিন্দু হতে \(BC\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\)।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}5 \ \ -9 \ \ -3 \ \ \ \ \ 5\\6 \ \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ \ 6\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[5.1-(-9).6+(-9).(-1)-(-3).1+(-3).6-5.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}[5+54+9+3-18+5]\)area4
\(=\frac{1}{2}[76-18]\)
\(=\frac{1}{2}\times 58\)
\(=29\)
\(\therefore \triangle ABC=29\) বর্গ একক।
এখন,
\(BC=\sqrt{(-9+3)^{2}+(1+1)^{2}}\)
\(=\sqrt{6^{2}+2^{2}}\)
\(CA=\sqrt{36+4}\)
\(CA=\sqrt{10\times 4}\)
\(CA=\sqrt{10\times 2^{2}}\)
\(\therefore CA=2\sqrt{10}\)
\(A\) বিন্দু হতে \(BC\) বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(AD\)
\(\therefore \frac{1}{2}\times BC\times AD=\triangle ABC\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2\sqrt{10}\times AD=29\)
\(\Rightarrow \sqrt{10} AD=29\)
\(\Rightarrow AD=\frac{29}{\sqrt{10}}\)
\(\therefore AD=\frac{29\times \sqrt{10}}{(\sqrt{10})^{2}}\)
\(\therefore AD=\frac{29}{10}\sqrt{10}\) একক।

উদাহরণ \(6.\) যদি \(A(3, 4)\), \(B(2t, 5)\) এবং \(C(6, t)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(+19\frac{1}{2}\) বর্গ একক হয় তবে \(t\) এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 4)\), \(B(2t, 5)\) এবং \(C(6, t)\)।
শর্তমতে,
\(\triangle ABC=+19\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ 2t \ \ 6 \ \ 3\\ 4 \ \ 5 \ \ t \ \ 4\end{array}\right|=+19\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}3 \ \ 2t \ \ 6 \ \ 3\\ 4 \ \ 5 \ \ t \ \ 4\end{array}\right|=+\frac{39}{2}\times 2\)
\(\Rightarrow 3.5-2t.4+2t.t-5.6+6.4-3.t=39\)
\(\Rightarrow 15-8t+2t^{2}-30+24-3t-39=0\)
\(\Rightarrow 2t^{2}-11t-30+39-39=0\)
\(\Rightarrow 2t^{2}-11t-30=0\)
\(\Rightarrow 2t^{2}-15t+4t-30=0\)
\(\Rightarrow t(2t-15)+2(2t-15)=0\)
\(\Rightarrow (2t-15)(t+2)=0\)
\(\Rightarrow 2t-15=0, \ t+2=0\)
\(\Rightarrow 2t=15, \ t=-2\)
\(\Rightarrow t=\frac{15}{2}, \ t=-2\)
\(\therefore t=\frac{15}{2}, -2\)

উদাহরণ \(7.\) কোন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(3, 2)\), \(B(-2, 3)\), \(C(-1, -1)\) এবং \(D(2, -1)\); চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 2)\), \(B(-2, 3)\), \(C(-1, -1)\) এবং \(D(2, -1)\)।
\(\therefore \triangle ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ -2 \ \ -1 \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3\\2 \ \ \ \ \ 3 \ \ -1 \ \ -1 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[3.3-(-2).2+(-2)(-1)-(-1).3+(-1)(-1)-2.(-1)+2.2-3.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}[9+4+2+3+1+2+4+3\)
\(=\frac{1}{2}[28]\)
\(=14\)
\(\therefore \triangle ABCD=14\) বর্গ একক।

উদাহরণ \(8.\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(3, 1)\), \(B(1, 0)\), \(C(5, 1)\) এবং \(D(-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\), \(B(1, 0)\), \(C(5, 1)\) এবং \(D(-10, -4)\)।
মনে করি, \(CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে \(P(x, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বহিঃস্থভাবে বিভক্ত করে।
\(\therefore P(\frac{m\times 1-n\times 3}{m-n}, \frac{m\times 0-n\times 1}{m-n})\)
\(\Rightarrow P(\frac{m-3n}{m-n}, \frac{-n}{m-n})\)
এখন,
\(C, D, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore \delta_{CDP}=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}5 \ \ -10 \ \ \frac{m-3n}{m-n} \ \ \ \ 5\\ 1 \ \ -4 \ \ \frac{-n}{m-n} \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) [\(\because \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)]
\(\Rightarrow 5.(-4)-(-10).1+(-10).(\frac{-n}{m-n})-(4).(\frac{m-3n}{m-n})+\frac{m-3n}{m-n}.1-5.(\frac{-n}{m-n})=0\)
\(\Rightarrow -20+10+\frac{10n}{m-n}+\frac{4m-12n}{m-n}+\frac{m-3n}{m-n}+\frac{5n}{m-n}=0\)
\(\Rightarrow -10+\frac{10n}{m-n}+\frac{4m-12n}{m-n}+\frac{m-3n}{m-n}+\frac{5n}{m-n}=0\)
\(\Rightarrow -10m+10n+10n+4m-12n+m-3n+5n=0\) [ উভয়পার্শে \((m-n)\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow -5m+10n=0\)
\(\Rightarrow -5m=-10n\)
\(\Rightarrow m=2n\) [ উভয়পার্শে \((-5)\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m:n=2:1\)
\(\therefore CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে \(2:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 1)\), \(B(1, 0)\), \(C(5, 1)\) এবং \(D(-10, -4)\) এবং \(CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে বিভক্ত করে।
এখন,
\(\delta_{ACD}=\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 5 \ \ -10 \ \ \ \ 3\\ 1 \ \ \ \ 1 \ \ -4 \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=3.1-5.1+5.(-4)-(-10).1+(-10).1-3.(-4)\)
\(=3-5-20+10-10+12\)
\(=25-35\)
\(=-10\)
আবার,
\(\delta_{BCD}=\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 5 \ \ -10 \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 1 \ \ -4 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=1.1-5.0+5.(-4)-(-10).1+(-10).0-1.(-4)\)
\(=1-0-20+10+0+4\)
\(=15-20\)
\(=-5\)
আবার,
\(\therefore \frac{\delta_{ACD}}{\delta_{BCD}}=\frac{-10}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{\delta_{ACD}}{\delta_{BCD}}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow \delta_{ACD}:\delta_{BCD}=2:1\)
\(\therefore CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে \(2:1\) অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে। [\(\because\) অনুপাত ধনাত্মক \((+ve)\)]

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.