ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) নীচের বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((a)\) \((1, 0)\), \((2, 1)\) এবং \((4, 5)\). Ans: \(1\)বর্গ একক। \((b)\) \((0, 0)\), \((3, 3)\) এবং \((3, -5)\). Ans: \(12\)বর্গ একক। \((c)\) \((-4, 3)\), \((-1, -2)\) এবং \((3, -2)\). Ans: \(10\) বর্গ একক। \((d)\) \((a, a^{2})\), \((b, b^{2})\) এবং \((c, c^{2})\). Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.C\) সমাধান

\(Q 1.(i)\) নীচের বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((a)\) \((1, 0)\), \((2, 1)\) এবং \((4, 5)\). Ans: \(1\)বর্গ একক। \((b)\) \((0, 0)\), \((3, 3)\) এবং \((3, -5)\). Ans: \(12\)বর্গ একক। \((c)\) \((-4, 3)\), \((-1, -2)\) এবং \((3, -2)\). Ans: \(10\) বর্গ একক। \((d)\) \((a, a^{2})\), \((b, b^{2})\) এবং \((c, c^{2})\). Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।
.

সমাধানঃ

\((a)\) মনে করি, \(A(1, 0)\), \(B(2, 1)\) এবং \(B(4, 5)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.1-0.2+2.5-4.1+4.0-1.5]\)
\(=\frac{1}{2}[1-0+10-4+0-5]\)
\(=\frac{1}{2}[11-9]\)
\(=\frac{1}{2}\times 2\)
\(=1\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((b)\) মনে করি, \(A(0, 0)\), \(B(3, 3)\) এবং \(B(3, -5)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ 3 \ \ -5 \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.3-3.0+3.(-5)-3.3+3.0-0.(-5)]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0-15-9+0+0]\)
\(=\frac{1}{2}[-15-9]\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(\therefore \triangle ABC=12\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]

সমাধানঃ

\((c)\) মনে করি, \(A(-4, 3)\), \(B(-1, -2)\) এবং \(C(3, -2)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-4 \ \ -1 \ \ \ \ 3 \ \ -4\\ 3 \ \ -2 \ \ -2 \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-4).(-2)-(-1).3+(-1).(-2)-3.(-2)+3.3-(-4).(-2)]\)
\(=\frac{1}{2}[8+3+2+6+9-8]\)
\(=\frac{1}{2}\times 20\)
\(=10\)
\(\therefore \triangle ABC=10\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((d)\) মনে করি, \(A(a, a^{2})\), \(B(b, b^{2})\) এবং \(C(c, c^{2})\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ b \ \ \ \ c \ \ \ \ a\\ a^{2} \ \ b^{2} \ \ c^{2} \ \ a^{2}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a.b^{2}-b.a^{2}+b.c^{2}-c.b^{2}+c.a^{2}-a.c^{2}]\)
\(=\frac{1}{2}[ab^{2}-a^{2}b+bc^{2}-b^{2}c+ca^{2}-c^{2}a]\)
\(=\frac{1}{2}[c(a^{2}-b^{2})-ab(a-b)-c^{2}(a-b)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[c(a+b)-ab-c^{2}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[ca+bc-ab-c^{2}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[c(b-c)-a(b-c)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)[c-a]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.