ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

নীচের বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\(Q 1.(i).(a)\) \((1, 0)\), \((2, 1)\) এবং \((4, 5)\). Ans: \(1\)বর্গ একক। সমাধান
\(Q 1.(i).(b)\) \((0, 0)\), \((3, 3)\) এবং \((3, -5)\). Ans: \(12\)বর্গ একক। সমাধান
\(Q 1.(i).(c)\) \((-4, 3)\), \((-1, -2)\) এবং \((3, -2)\). Ans: \(10\) বর্গ একক। সমাধান
\(Q 1.(i).(d)\) \((a, a^{2})\), \((b, b^{2})\) এবং \((c, c^{2})\). Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক। সমাধান

অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q 1.\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q 1.(i)(a)\) \((1, 0)\), \((2, 1)\) এবং \((4, 5)\). Ans: \(1\)বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 0)\), \(B(2, 1)\) এবং \(B(4, 5)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1-0+10-4+0-5\}\)
\(=\frac{1}{2}\{11-9\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 2\)
\(=1\) বর্গ একক।

\(Q 1.(i)(b)\) \((0, 0)\), \((3, 3)\) এবং \((3, -5)\). Ans: \(12\)বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(0, 0)\), \(B(3, 3)\) এবং \(B(3, -5)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ 3 \ \ -5 \ \ \ 0\end{array}\right|\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.3-3.0+3.(-5)-3.3+3.0-0.(-5)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0-0-15-9+0+0\}\)
\(=\frac{1}{2}\{-15-9\}\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(\therefore \triangle ABC=12\) বর্গ একক। | Note \(\because \triangle \neq -ve\)

\(Q 1.(i)(c)\) \((-4, 3)\), \((-1, -2)\) এবং \((3, -2)\). Ans: \(10\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-4, 3)\), \(B(-1, -2)\) এবং \(C(3, -2)\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-4 \ \ -1 \ \ \ \ 3 \ \ -4\\ 3 \ \ -2 \ \ -2 \ \ \ 3\end{array}\right|\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(-4).(-2)-(-1).3+(-1).(-2)-3.(-2)+3.3-(-4).(-2)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{8+3+2+6+9-8\}\)
\(=\frac{1}{2}\times 20\)
\(=10\)
\(\therefore \triangle ABC=10\) বর্গ একক।

\(Q 1.(i)(d)\) \((a, a^{2})\), \((b, b^{2})\) এবং \((c, c^{2})\). Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, a^{2})\), \(B(b, b^{2})\) এবং \(C(c, c^{2})\).
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ b \ \ \ \ c \ \ \ \ a\\ a^{2} \ \ b^{2} \ \ c^{2} \ \ a^{2}\end{array}\right|\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{a.b^{2}-b.a^{2}+b.c^{2}-c.b^{2}+c.a^{2}-a.c^{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}\{ab^{2}-a^{2}b+bc^{2}-b^{2}c+ca^{2}-c^{2}a\}\)
\(=\frac{1}{2}\{c(a^{2}-b^{2})-ab(a-b)-c^{2}(a-b)\}\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)\{c(a+b)-ab-c^{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)\{ca+bc-ab-c^{2}\}\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)\{c(b-c)-a(b-c)\}\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)\{c-a\}\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply