ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) দুইটি সলরেখা পরস্পর লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) ও \(B\) এর ধনাত্মক স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) মূল নিয়মে প্রমান কর যে, \(\triangle OAB\) এর ক্ষেত্রফলের সংখ্যা মান \(\frac{1}{2}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\) বর্গ একক হবে। [ঢাঃ২০০৯, দিঃ ২০১২।]
সমাধান
\((ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \((5, -8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(44\) বর্গ একক।
সমাধান
\((iii)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, bc)\), \(B(b, ca)\) এবং \((c, ab)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।
সমাধান
\((iv)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, b+c)\), \(B(b, c+a)\) এবং \((c, a+b)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(0\) বর্গ একক।
সমাধান
\((v)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) যথাক্রমে \(\triangle ABC\) এর বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(32\) বর্গ একক।
সমাধান
\((vi)\) \((3, 5)\), \((3, 8)\) এবং মূলবিন্দু একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।
সমাধান
\((vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির মধ্যবিন্দু \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(128\)বর্গ একক।
সমাধান
\((viii)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\) এবং \((x_{1}+h, y_{1}+k)\), \((x_{2}+h, y_{2}+k)\), \((x_{3}+h, y_{3}+k)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দইটির ক্ষেত্রফল সমান।
সমাধান
\((ix)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((3, 0)\), \((0, 7)\), \((1, 1)\) এবং \((13, 3)\), \((2, 3)\), \((-11, 2)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফল সমান।
সমাধান

\(Q 2.(i)\) দুইটি সলরেখা পরস্পর লম্বভাবে \(O\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) ও \(B\) এর ধনাত্মক স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) মূল নিয়মে প্রমান কর যে, \(\triangle OAB\) এর ক্ষেত্রফলের সংখ্যা মান \(\frac{1}{2}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\) বর্গ একক হবে।

সমাধানঃ

area4
মনে করি, \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(O(0, 0)\).
\(A\) ও \(B\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(AL\) ও \(BM\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(OL=x_{1}, OM=x_{2} \therefore LM=OM-OL=x_{2}-x_{1}\)
\(AL=y_{1}, BM=y_{2}\)
এখন,
\(\triangle OAB=\triangle AOL+\)ট্রাপিজিয়াম \(ALMB\) -\(\triangle OBM\)
\(=\frac{1}{2}\times OL\times AL+\)\(\frac{AL+BM}{2}\times LM\) -\(\frac{1}{2}\times BM\times OM\)
\(=\frac{1}{2}\times x_{1}\times y_{1}+\)\(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\times (x_{2}-x_{1})\) -\(\frac{1}{2}\times y_{2}\times x_{2}\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{1}+(y_{1}+y_{2})(x_{2}-x_{1})-x_{2}y_{2}]\)
\(=\frac{1}{2}(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2}-x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{2})\)
\(=\frac{1}{2}(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})\)
\(=-\frac{1}{2}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\)
\(=\frac{1}{2}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]

\(Q 2.(ii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \((5, -8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(44\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(-3, -2)\), \(B(-3, 9)\) এবং \((5, -8)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-3 \ \ -3 \ \ \ \ 5 \ \ -3\\ -2 \ \ \ \ 9 \ \ -8 \ \ -2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-3).9-(-3).(-2)+(-3).(-8)-5.9+5.(-2)-(-3).(-8)]\)
\(=\frac{1}{2}[-27-6+24-45-10-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times -88\)
\(=-44\)
\(\therefore \triangle ABC=44\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]

\(Q 2.(iii)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, bc)\), \(B(b, ca)\) এবং \((c, ab)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, bc)\), \(B(b, ca)\) এবং \((c, ab)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ b \ \ \ \ c \ \ \ \ a\\ bc \ \ ca \ \ ab \ \ bc\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a.ca-b.bc+b.ab-c.ca+c.bc-a.ab]\)
\(=\frac{1}{2}[a^{2}c-b^{2}c+ab^{2}-ac^{2}+bc^{2}-a^{2}b]\)
\(=\frac{1}{2}[c(a^{2}-b^{2})-ab(a-b)-c^{2}(a-b)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[c(a+b)-ab-c^{2}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[ca+bc-ab-c^{2}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[c(b-c)-a(b-c)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)[c-a]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\) বর্গ একক।

\(Q 2.(iv)\) \(A, B, C\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(a, b+c)\), \(B(b, c+a)\) এবং \((c, a+b)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(0\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, b+c)\), \(B(b, c+a)\) এবং \((c, a+b)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ \ \ c \ \ \ \ \ \ \ \ a\\ b+c \ c+a \ a+b \ b+c\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a.(c+a)-b.(b+c)+b.(a+b)-c.(c+a)+c.(b+c)-a.(a+b)]\)
\(=\frac{1}{2}[ac+a^{2}-b^{2}-bc+ab+b^{2}-c^{2}-ac+bc+c^{2}-a^{2}-ab]\)
\(=\frac{1}{2}\times 0\)
\(=0\)
\(\therefore \triangle ABC=0\) বর্গ একক।

\(Q 2.(v)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) যথাক্রমে \(\triangle ABC\) এর বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(32\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(BC\), \(CA\) এবং \(AB\) এর মধ্যবিন্দুগুলি যথাক্রমে \(D(1, 2)\), \(E(4, 4)\) এবং \(F(2, 8)\)
\(\therefore \triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1\\ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.4-4.2+4.8-2.4+2.2-1.8]\)
\(=\frac{1}{2}[4-8+32-8+4-8]\)
\(=\frac{1}{2}[40-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times 16\)
\(=8\)
\(\therefore \triangle DEF=8\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC=4\times \triangle DEF\)
\(=4\times 8\)
\(=32\) বর্গ একক।

\(Q 2.(vi)\) \((3, 5)\), \((3, 8)\) এবং মূলবিন্দু একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি,\(A(3, 5)\), \(B(3, 8)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.5-3.0+3.8-3.5+3.0-0.8]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+24-15+0-0]\)
\(=\frac{1}{2}[24-15]\)
\(=\frac{1}{2}\times 9\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(\therefore \triangle DEF=4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।

\(Q 2.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির মধ্যবিন্দু \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(128\)বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি,\(\triangle ABC\) এর মধ্যমাগুলি \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\) এর মধ্যবিন্দুগুলি যথাক্রমে \(P(1, 2)\), \(Q(4, 4)\) এবং \(R(2, 8)\)
\(\therefore \triangle PQR=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1\\ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.4-4.2+4.8-2.4+2.2-1.8]\)
\(=\frac{1}{2}[4-8+32-8+4-8]\)
\(=\frac{1}{2}[40-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times 16\)
\(=8\)
\(\therefore \triangle PQR=8\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC=16\times \triangle PQR\)
\(=16\times 8\)
\(=128\) বর্গ একক।

\(Q 2.(viii)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((x_{1}, y_{1})\), \((x_{2}, y_{2})\), \((x_{3}, y_{3})\) এবং \((x_{1}+h, y_{1}+k)\), \((x_{2}+h, y_{2}+k)\), \((x_{3}+h, y_{3}+k)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দইটির ক্ষেত্রফল সমান।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(P(x_{1}+h, y_{1}+k)\), \(Q(x_{2}+h, y_{2}+k)\), \(R(x_{3}+h, y_{3}+k)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ \ \ x_{2} \ \ \ \ x_{3} \ \ \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ \ \ y_{2} \ \ \ \ y_{3} \ \ \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}]\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}]\) বর্গ একক।
আবার,
\(\triangle PQR=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1}+h \ \ \ \ x_{2}+h \ \ \ \ x_{3}+h \ \ \ \ x_{1}+h\\ y_{1}+k \ \ \ \ y_{2}+k \ \ \ \ y_{3}+k \ \ \ \ y_{1}+k\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(x_{1}+h)(y_{2}+k)-(x_{2}+h)(y_{1}+k)+(x_{2}+h)(y_{3}+k)-(x_{3}+h)(y_{2}+k)+\)
\((x_{3}+h)(y_{1}+k)-(x_{1}+h)(y_{3}+k)]\)
\(=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}+kx_{1}+hy_{2}+hk-x_{2}y_{1}-kx_{2}-hy_{1}-hk+x_{2}y_{3}+kx_{2}+\)
\(hy_{3}+hk-x_{3}y_{2}-kx_{3}-hy_{2}-hk+x_{3}y_{1}+kx_{3}+hy_{1}+hk-x_{1}y_{3}-kx_{1}-hy_{3}-hk]\)
\(\therefore \triangle PQR=\frac{1}{2}[x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}]\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle ABC= \triangle PQR\)
[দেখানো হলো।]

\(Q 2.(ix)\) দুইটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \((3, 0)\), \((0, 7)\), \((1, 1)\) এবং \((13, 3)\), \((2, 3)\), \((-11, 2)\) দেখাও যে, ত্রিভুজ দুইটির ক্ষেত্রফল সমান।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(3, 0)\), \(B(0, 7)\), \(C(1, 1)\) এবং \(P(13, 3)\), \(Q(2, 3)\), \(R(-11, 2)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 3\\ 0 \ \ \ \ 7 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}(3.7-0.0+0.1-1.7+1.0-3.1)\)
\(=\frac{1}{2}(21-0+0-7+0-3)\)
\(=\frac{1}{2}(21-10)\)
\(=\frac{1}{2}\times 11\)
\(=\frac{11}{2}\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle PQR=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}13 \ \ \ \ 2 \ \ -11 \ \ \ \ 13\\ 3 \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[13.3-2.3+2.2-(-11).3+(-11).3-13.2]\)
\(=\frac{1}{2}(39-6+4+33-33-26)\)
\(=\frac{1}{2}(76-65)\)
\(=\frac{1}{2}\times 11\)
\(=\frac{11}{2}\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle ABC=\triangle PQR\)
[দেখানো হলো।]

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.