ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) দেখাও যে, \((-1, 3)\), \((2, 9)\) এবং \((-3, -1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধান
\((ii)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((k,-1)\), \((2, 3)\) এবং \((0, 1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে। Ans: \(k=-2\)।
সমাধান
\((iii)\) \((2, \frac{3}{2})\), \((-3, -\frac{7}{2})\) এবং \((x, \frac{9}{2})\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(x=5\) একক।
সমাধান
\((iv)\) যদি \((x, y)\), \((1, 2)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x+y=15\).
সমাধান
\((v)\) যদি \((x, y)\), \((2, 4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-5y=0\).
সমাধান
\((vi)\) \(A, B, C \) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) , \((-5, 1)\), \((x, y)\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-6y=25\).
সমাধান
\((vii)\) যদি \((x, y)\), \((2, -4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(7x+5y+24=0\).
সমাধান
\((viii)\) যদি \((x, y)\), \((2, 3)\) এবং \((3, 4)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-y+17=0\).
সমাধান
\((ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1, 2)\), \((2, 3)\) এবং \((3, -4)\); \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\).
সমাধান
\((x)\) \((a, b)\), \((b, a)\) এবং \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(a+b=0\).
সমাধান
\((xi)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).
সমাধান
\((xii)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((5, 3)\) এবং \((-2, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে, দেখাও যে, \(x-y-2=0\).
সমাধান

\(Q 3.(i)\) দেখাও যে, \((-1, 3)\), \((2, 9)\) এবং \((-3, -1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-1, 3)\), \(B(2, 9)\) এবং \(C(-3, -1)\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}-1 \ \ \ \ 2 \ \ -3 \ \ -1\\ 3 \ \ \ \ 9 \ \ -1 \ \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=(-1).9-2.3+2.(-1)-(-3).9+(-3).3-(-1)(-1)\)
\(=-9-6-2+27-9-1\)
\(=27-27\)
\(=0\)
\(\because \delta_{ABC}=0 \therefore \) প্রদত্ত বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

\(Q 3.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((k,-1)\), \((2, 3)\) এবং \((0, 1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে। Ans: \(k=-2\)।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(k,-1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(0, 1)\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}k \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ k\\ -1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=k.3-2.(-1)+2.1-0.3+0.(-1)-k.1\)
\(=3k+2+2-0+0-k\)
\(=2k+4\)
\(\because \) প্রদত্ত বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore \delta_{ABC}=0\)
\(\Rightarrow 2k+4=0\)
\(\Rightarrow 2k+4=0\)
\(\Rightarrow 2k=-4\)
\(\Rightarrow k=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore k=-2\).

\(Q 3.(iii)\) \((2, \frac{3}{2})\), \((-3, -\frac{7}{2})\) এবং \((x, \frac{9}{2})\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(x=5\) একক।

\(Q 3.(iv)\) যদি \((x, y)\), \((1, 2)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x+y=15\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\)
শর্তমতে,
\(\triangle ABC=6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ y\end{array}\right|=6\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ y\end{array}\right|=6\times 2\)
\(\Rightarrow x.2-1.y+1.1-2.2+2.y-x.1=12\)
\(\Rightarrow 2x-y+1-4+2y-x=12\)
\(\Rightarrow x+y-3-12=0\)
\(\Rightarrow x+y-15=0\)
\(\therefore x+y=15\)
[দেখানো হলো।]

\(Q 3.(v)\) যদি \((x, y)\), \((2, 4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-5y=0\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(vi)\) \(A, B, C \) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) , \((-5, 1)\), \((x, y)\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-6y=25\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(vii)\) যদি \((x, y)\), \((2, 3)\) এবং \((3, 4)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-y+17=0\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1, 2)\), \((2, 3)\) এবং \((3, -4)\); \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(-1, 2)\), \(B(2, 3)\), \(C(3, -4)\) এবং \(P(x, y)\)
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ -1\\ 2 \ \ \ \ 3 \ \ -4 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-1).3-2.2+2.(-4)-3.3+3.2-(-1)(-4)]\)
\(=\frac{1}{2}[-3-4-8-9+6-4]\)
\(=\frac{1}{2}[-3-4-8-9+6-4]\)
\(=\frac{1}{2}[6-28]\)
\(=\frac{1}{2}[-22]\)
\(=-11\)
\(\therefore \triangle ABC=11\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
আবার,
\(\triangle PAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ -1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ y\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[x.2-(-1).y+(-1).3-2.2+2.y-x.3]\)
\(=\frac{1}{2}[2x+y-3-4+2y-3x]\)
\(=\frac{1}{2}[-x+3y-7]\)
\(=\frac{1}{2}[-(x-3y+7)]\)
\(=-\frac{1}{2}(x-3y+7)\)
\(\therefore \triangle PAB=\frac{1}{2}(x-3y+7)\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
এখন,
\(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{\frac{1}{2}(x-3y+7)}{11}\)
\(\Rightarrow \frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{(x-3y+7)}{2\times 11}\)
\(\therefore \frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\)
[দেখানো হলো।]

\(Q 3.(ix)\) \((a, b)\), \((b, a)\) এবং \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(a+b=0\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, b)\), \(B(b, a)\) এবং \(C(\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ b \ \ \ \ \frac{1}{a} \ \ \ \ a\\ b \ \ \ \ a \ \ \ \ \frac{1}{b}\ \ \ \ b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a.a-b.b+b.\frac{1}{b}-\frac{1}{a}.a+\frac{1}{a}.b-a.\frac{1}{b}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}+1-1+\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}+\frac{b^{2}-a^{2}}{ab}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}-\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=0\)
\(\Rightarrow (a^{2}-b^{2})(1-\frac{1}{ab})=0\)
\(\Rightarrow (a+b)(a-b)(1-\frac{1}{ab})=0\)
\(\Rightarrow a+b=0, a-b\neq 0, 1-\frac{1}{ab}\neq 0\) [\(\because a-b=0, 1-\frac{1}{ab}=0\) হলে, বিন্দুগুলির ভিন্নতা থাকে না।]
\(\therefore a+b=0\)
[দেখানো হলো।]

\(Q 3.(x)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, 0)\), \(B(0, b)\) এবং \(C(1, 1)\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ a\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a.b-0.0+0.1-1.b+1.0-a.1=0\)
\(\Rightarrow ab-0+0-b+0-a=0\)
\(\Rightarrow ab-b-a=0\)
\(\Rightarrow ab=b+a\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{b+a}{ab}\) [উভয় পার্শে \(ab\) ভাগ করে]
\(\Rightarrow 1=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
[দেখানো হলো।]

\(Q 3.(xi)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((5, 3)\) এবং \((-2, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে, দেখাও যে, \(x-y-2=0\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(x, y)\), \(B(5, 3)\) এবং \(C(-2, -4)\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 5 \ \ -2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 3 \ \ -4 \ \ \ \ y\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow x.3-5.y+5.(-4)-(-2).3+(-2).y-x.(-4)=0\)
\(\Rightarrow 3x-5y-20+6-2y+4x=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y-14=0\)
\(\therefore x-y-2=0\) [ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে। ]
[ দেখানো হলো। ]

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.