ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) দেখাও যে, \((-1, 3)\), \((2, 9)\) এবং \((-3, -1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধান
\((ii)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((k,-1)\), \((2, 3)\) এবং \((0, 1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে। Ans: \(k=-2\)।
সমাধান
\((iii)\) \((2, \frac{3}{2})\), \((-3, -\frac{7}{2})\) এবং \((x, \frac{9}{2})\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(x=5\) একক।
সমাধান
\((iv)\) যদি \((x, y)\), \((1, 2)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x+y=15\).
সমাধান
\((v)\) যদি \((x, y)\), \((2, 4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-5y=0\).
সমাধান
\((vi)\) \(A, B, C \) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) , \((-5, 1)\), \((x, y)\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-6y=25\).
সমাধান
\((vii)\) যদি \((x, y)\), \((2, -4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(7x+5y+24=0\).
সমাধান
\((viii)\) যদি \((x, y)\), \((2, 3)\) এবং \((3, 4)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-y+17=0\).
সমাধান
\((ix)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1, 2)\), \((2, 3)\) এবং \((3, -4)\); \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\).
সমাধান
\((x)\) \((a, b)\), \((b, a)\) এবং \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(a+b=0\).
সমাধান
\((xi)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).
সমাধান
\((xii)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((5, 3)\) এবং \((-2, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে, দেখাও যে, \(x-y-2=0\).
সমাধান

সমাধানঃ \(Q 3.(i)\) দেখাও যে, \((-1, 3)\), \((2, 9)\) এবং \((-3, -1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

মনে করি, \(A(-1, 3)\), \(B(2, 9)\) এবং \(C(-3, -1)\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}-1 \ \ \ \ 2 \ \ -3 \ \ -1\\ 3 \ \ \ \ 9 \ \ -1 \ \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=(-1).9-2.3+2.(-1)-(-3).9+(-3).3-(-1)(-1)\)
\(=-9-6-2+27-9-1\)
\(=27-27\)
\(=0\)
\(\because \delta_{ABC}=0 \therefore \) প্রদত্ত বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধানঃ \(Q 3.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((k,-1)\), \((2, 3)\) এবং \((0, 1)\) বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে। Ans: \(k=-2\)।

মনে করি, \(A(k,-1)\), \(B(2, 3)\) এবং \(C(0, 1)\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}k \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ k\\ -1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=k.3-2.(-1)+2.1-0.3+0.(-1)-k.1\)
\(=3k+2+2-0+0-k\)
\(=2k+4\)
\(\because \) প্রদত্ত বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore \delta_{ABC}=0\)
\(\Rightarrow 2k+4=0\)
\(\Rightarrow 2k+4=0\)
\(\Rightarrow 2k=-4\)
\(\Rightarrow k=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore k=-2\).

সমাধানঃ \(Q 3.(iii)\) \((2, \frac{3}{2})\), \((-3, -\frac{7}{2})\) এবং \((x, \frac{9}{2})\) বিন্দুত্রয় একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে \(x\) এর মান নির্ণয় কর।

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর। Ans: \(x=5\) একক।

সমাধানঃ \(Q 3.(iv)\) যদি \((x, y)\), \((1, 2)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x+y=15\).

মনে করি, \(A(x, y)\), \(B(1, 2)\) এবং \(C(2, 1)\)
শর্তমতে,
\(\triangle ABC=6\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ y\end{array}\right|=6\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ y\end{array}\right|=6\times 2\)
\(\Rightarrow x.2-1.y+1.1-2.2+2.y-x.1=12\)
\(\Rightarrow 2x-y+1-4+2y-x=12\)
\(\Rightarrow x+y-3-12=0\)
\(\Rightarrow x+y-15=0\)
\(\therefore x+y=15\)
[দেখানো হলো।]

সমাধানঃ \(Q 3.(v)\) যদি \((x, y)\), \((2, 4)\) এবং \((-3, 3)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-5y=0\).

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(vi)\) \(A, B, C \) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক \((1, 2)\) , \((-5, 1)\), \((x, y)\) এবং \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(18\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-6y=25\).

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(vii)\) যদি \((x, y)\), \((2, 3)\) এবং \((3, 4)\) বিন্দু তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(8\) বর্গ একক হয় তবে, দেখাও যে, \(x-y+17=0\).

\(Q 3.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(viii)\) \(ABC\) ত্রিভুজে \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-1, 2)\), \((2, 3)\) এবং \((3, -4)\); \(p\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((x, y)\) হলে দেখাও যে, \(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\).

দেওয়া আছে, \(A(-1, 2)\), \(B(2, 3)\), \(C(3, -4)\) এবং \(P(x, y)\)
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ -1\\ 2 \ \ \ \ 3 \ \ -4 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-1).3-2.2+2.(-4)-3.3+3.2-(-1)(-4)]\)
\(=\frac{1}{2}[-3-4-8-9+6-4]\)
\(=\frac{1}{2}[-3-4-8-9+6-4]\)
\(=\frac{1}{2}[6-28]\)
\(=\frac{1}{2}[-22]\)
\(=-11\)
\(\therefore \triangle ABC=11\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
আবার,
\(\triangle PAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ -1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ y\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[x.2-(-1).y+(-1).3-2.2+2.y-x.3]\)
\(=\frac{1}{2}[2x+y-3-4+2y-3x]\)
\(=\frac{1}{2}[-x+3y-7]\)
\(=\frac{1}{2}[-(x-3y+7)]\)
\(=-\frac{1}{2}(x-3y+7)\)
\(\therefore \triangle PAB=\frac{1}{2}(x-3y+7)\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
এখন,
\(\frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{\frac{1}{2}(x-3y+7)}{11}\)
\(\Rightarrow \frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{(x-3y+7)}{2\times 11}\)
\(\therefore \frac{\triangle PAB}{\triangle ABC}=\frac{x-3y+7}{22}\)
[দেখানো হলো।]

সমাধানঃ \(Q 3.(ix)\) \((a, b)\), \((b, a)\) এবং \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(a+b=0\).

মনে করি, \(A(a, b)\), \(B(b, a)\) এবং \(C(\frac{1}{a}, \frac{1}{b})\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ b \ \ \ \ \frac{1}{a} \ \ \ \ a\\ b \ \ \ \ a \ \ \ \ \frac{1}{b}\ \ \ \ b\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a.a-b.b+b.\frac{1}{b}-\frac{1}{a}.a+\frac{1}{a}.b-a.\frac{1}{b}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}+1-1+\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}+\frac{b^{2}-a^{2}}{ab}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-b^{2}-\frac{a^{2}-b^{2}}{ab}=0\)
\(\Rightarrow (a^{2}-b^{2})(1-\frac{1}{ab})=0\)
\(\Rightarrow (a+b)(a-b)(1-\frac{1}{ab})=0\)
\(\Rightarrow a+b=0, a-b\neq 0, 1-\frac{1}{ab}\neq 0\) [\(\because a-b=0, 1-\frac{1}{ab}=0\) হলে, বিন্দুগুলির ভিন্নতা থাকে না।]
\(\therefore a+b=0\)
[দেখানো হলো।]

সমাধানঃ \(Q 3.(x)\) \((a, 0)\), \((0, b)\) এবং \((1, 1)\) ভিন্ন বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\).

মনে করি, \(A(a, 0)\), \(B(0, b)\) এবং \(C(1, 1)\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ a\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ 1\ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow a.b-0.0+0.1-1.b+1.0-a.1=0\)
\(\Rightarrow ab-0+0-b+0-a=0\)
\(\Rightarrow ab-b-a=0\)
\(\Rightarrow ab=b+a\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{b+a}{ab}\) [উভয় পার্শে \(ab\) ভাগ করে]
\(\Rightarrow 1=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)
[দেখানো হলো।]

সমাধানঃ \(Q 3.(xi)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \((5, 3)\) এবং \((-2, -4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে, দেখাও যে, \(x-y-2=0\).

মনে করি, \(A(x, y)\), \(B(5, 3)\) এবং \(C(-2, -4)\)
শর্তমতে,
\(\delta_{ABC}=0\)
\(\therefore \delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 5 \ \ -2 \ \ \ \ x\\ y \ \ \ \ 3 \ \ -4 \ \ \ \ y\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow x.3-5.y+5.(-4)-(-2).3+(-2).y-x.(-4)=0\)
\(\Rightarrow 3x-5y-20+6-2y+4x=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y-14=0\)
\(\therefore x-y-2=0\) [ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে। ]
[ দেখানো হলো। ]

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.