ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 4.\)

\((i)\) \((a^{2}, bc)\), \((b^{2}, ca)\) এবং \((c^{2}, ab)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে দেখাও যে, তারা সমরেখ। Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\) বর্গ একক।
সমাধান
\((ii)\) প্রমাণ কর যে, \((p, p-2)\), \((p+3, p)\) এবং \((p+2, p+2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(p\) বর্জিত হবে।
সমাধান
\((iii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। Ans: \(29\)বর্গ একক; \(\frac{29}{10}\sqrt{10}\) একক। [ ঢাঃ ২০১২, কুঃ ২০০৮, চঃ ২০১০,২০০৫, যঃ ২০০৭, দিঃ ২০১০,২০০৯। ]
সমাধান
\((iv)\) কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\) এবং \(C(a+2, a)\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং \(a\) এর মান কত হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে? Ans: \(\frac{1}{2}(2a-1)\) বর্গ একক; \(a=\frac{1}{2}\) । [রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, দিঃ ২০১৪।]
সমাধান
\((v)\) কোন ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((6, 3)\), \((-3, 5)\) এবং \((4, 2)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\triangle ABC\) ও \(\triangle DEF\) এর অনুপাত নির্ণয় কর। Ans: \(16:7\)।
সমাধান
\((vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((3, 5)\), \((-3, 3)\) এবং \((-1, -1)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু। \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(\triangle ABC=4\triangle DEF\) । Ans: \(14\) বর্গ একক; \(3.5\) বর্গ একক ।
সমাধান
\((vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \((4, -3)\), \((13, 0)\), \((-2, 9)\) এবং \(D, E, F\) ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর এমনভাবে অবস্থিত যেন \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=2\), \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে,\(\triangle ABC:\triangle DEF=3:1\) । Ans: \(63\) বর্গ একক; \(21\) বর্গ একক ।
সমাধান
\((viii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(-3, -1)\) এবং \(C(11, 9)\); \(AD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। আরও দেখাও যে, \(\triangle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC\) Ans: \(\sqrt{5}\) একক।
সমাধান
\((ix)\) \(\triangle OPQ\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(O(0, 0)\), \(P(A\cos\beta, -A\sin\beta)\) এবং \(Q(A\sin\alpha, A\cos\alpha)\) দেখাও যে, \(\alpha=\beta\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মান বৃহত্তম হবে এবং উক্ত বৃহত্তম মানটি নির্ণয় কর। Ans: \(\frac{1}{2}A^{2}\) বর্গ একক। [চঃ২০১২, যঃ ২০০৭]
সমাধান
\((x)\) \((t+1, 1)\), \((2t+1, 3)\) এবং \((2t+2, 2t)\) বিন্দুগুলি যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু; এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=2\) বা \(t=-\frac{1}{2}\) হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে। Ans: \(\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\) বর্গ একক। [ঢাঃ ২০০৬,রাঃ ২০১০,২০০৮, চঃ ২০১৬,২০১৫, কুঃ ২০১০, সিঃ ২০০৭, বঃ ২০১০]
সমাধান
\((xi)\) দেখাও যে, \((3, 90^{o})\) এবং \((3, 30^{o})\) শীর্ষবিশিষ্ট বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সহিত একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।। Ans: \(\frac{9}{4}\sqrt{3}\) বর্গ একক।
সমাধান
\((xii)\) \(A(2, 6)\),\(B(-7, -3)\), \(C(5,-6)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,\(\triangle ABC=3\triangle ABG=3\triangle BCG=3\triangle CAG\) Ans: \((0, -1)\)।
সমাধান
\((xiii)\) দেখাও যে, \(A(2, 6)\) এবং \(B(-7, -3)\) বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সঙ্গে একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।
সমাধান

\(Q 4.(i)\) \((a^{2}, bc)\), \((b^{2}, ca)\) এবং \((c^{2}, ab)\) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। যদি \(a+b+c=0\) হয় তবে দেখাও যে, তারা সমরেখ। Ans: \(\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a^{2}, bc)\), \(B(b^{2}, ca)\) এবং \(C(c^{2}, ab)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a^{2} \ \ \ \ b^{2} \ \ \ \ c^{2} \ \ \ \ a^{2}\\ bc \ \ \ \ ca\ \ \ \ ab\ \ \ \ bc\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a^{2}.ca-b^{2}.bc+b^{2}.ab-c^{2}.ca+c^{2}.bc-a^{2}.ab]\)
\(=\frac{1}{2}[a^{3}c-b^{3}c+ab^{3}-c^{3}a+bc^{3}-a^{3}b]\)
\(=\frac{1}{2}[c(a^{3}-b^{3})-ab(a^{2}-b^{2})-c^{3}(a-b)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[c(a^{2}+ab+b^{2})-ab(a+b)-c^{3}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[ca^{2}+abc+b^{2}c-a^{2}b-ab^{2}-c^{3}]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)[b^{2}(c-a)-c(c^{2}-a^{2})+ab(c-a)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(c-a)[b^{2}-c(c+a)+ab]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(c-a)[b^{2}-c^{2}-ca+ab]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(c-a)[(b^{2}-c^{2})+a(b-c)]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)[b+c+a]\)
\(=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\) বর্গ একক।
যদি,
\(a+b+c=0\) হয়।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a)\times 0\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=0\)
\(\because \delta_{ABC}=2\triangle ABC\)
\(\Rightarrow \delta_{ABC}=2\times 0\)
\(\Rightarrow \delta_{ABC}=0\)
\(\therefore A, B, C\) বিন্দুগুলি সমরেখ।
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 4.(ii)\) প্রমাণ কর যে, \((p, p-2)\), \((p+3, p)\) এবং \((p+2, p+2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(p\) বর্জিত হবে।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(p, p-2)\), \(B(p+3, p)\) এবং \(C(p+2, p+2)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}p \ \ \ \ p+3 \ \ \ \ p+2 \ \ \ \ p\\p-2 \ \ \ \ p \ \ \ \ p+2\ \ p-2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[p.p-(p+3)(p-2)+(p+3)(p+2)-(p+2).p+(p+2)(p-2)-p.(p+2)]\)
\(=\frac{1}{2}[p^{2}-p^{2}-3p+2p+6+p^{2}+3p+2p+6-p^{2}-2p+p^{2}-4-p^{2}-2p]\)
\(=\frac{1}{2}\times 8\)
\(=4\) বর্গ একক। [ যাহা \(p\) বর্জিত। ]
[ প্রমাণিত ]

\(Q 4.(iii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক \(A(5, 6)\), \(B(-9, 1)\) এবং \(C(-3, -1)\) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে \(A\) হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। Ans: \(29\)বর্গ একক; \(\frac{29}{10}\sqrt{10}\) একক। [ ঢাঃ ২০১২, কুঃ ২০০৮, চঃ ২০১০,২০০৫, যঃ ২০০৭, দিঃ ২০১০,২০০৯। ]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 4.(iv)\) \(ABC\) কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, -1)\), \(B(a+1, a-3)\) এবং \(C(a+2, a)\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং \(a\) এর মান কত হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে? Ans: \(\frac{1}{2}(2a-1)\) বর্গ একক; \(a=\frac{1}{2}\) । [রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, দিঃ ২০১৪।]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(2.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 4.(v)\) কোন ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((6, 3)\), \((-3, 5)\) এবং \((4, 2)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\triangle ABC\) ও \(\triangle DEF\) এর অনুপাত নির্ণয় কর। Ans: \(16:7\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(6, 3)\), \(B(-3, 5)\) এবং \(C(4, 2)\)
\(D\), \(BC\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore D(\frac{3.4+1.(-3)}{3+1}, \frac{3.2+1.5}{3+1})\)
\(\Rightarrow D(\frac{12-3}{4}, \frac{6+5}{4})\)
\(\therefore D(\frac{9}{4}, \frac{11}{4})\)
\(E\), \(CA\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore E(\frac{3.6+1.4}{3+1}, \frac{3.3+1.2}{3+1})\)
\(\Rightarrow E(\frac{18+4}{4}, \frac{9+2}{4})\)
\(\Rightarrow E(\frac{22}{4}, \frac{11}{4})\)
\(\therefore E(\frac{11}{2}, \frac{11}{4})\)
\(F\), \(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। \(\therefore F(\frac{3.(-3)+1.6}{3+1}, \frac{3.5+1.3}{3+1})\)
\(\Rightarrow F(\frac{-9+6}{4}, \frac{15+3}{4})\)
\(\Rightarrow F(\frac{-3}{4}, \frac{18}{4})\)
\(\therefore F(-\frac{3}{4}, \frac{9}{2})\)
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ -3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 6\\ 3 \ \ \ \ 5\ \ \ \ 2\ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[6.5-(-3).3+(-3).2-4.5+4.3-6.2]\)
\(=\frac{1}{2}[30+9-6-20+12-12]\)
\(=\frac{1}{2}[39-26]\)
\(=\frac{1}{2}\times 13\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{13}{2}\) বর্গ একক।
আবার,
\(\therefore \triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}\frac{9}{4} \ \ \ \ \ \frac{11}{2} \ \ -\frac{3}{4} \ \ \ \ \frac{9}{4}\\\frac{11}{4} \ \ \ \ \frac{11}{4} \ \ \ \ \frac{9}{2} \ \ \ \ \frac{11}{4}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[\frac{9}{4}\times \frac{11}{4}-\frac{11}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{11}{2}\times \frac{9}{2}-(-\frac{3}{4})\times \frac{11}{4}+(-\frac{3}{4})\times \frac{11}{4}-\frac{9}{4}\times \frac{9}{2}]\)
\(=\frac{1}{2}[\frac{99}{16}-\frac{121}{8}+\frac{99}{4}+\frac{33}{16}-\frac{33}{16}-\frac{81}{8}]\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{99-121\times 2+99\times 4+33-33-81\times 2}{16}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{99-242+396+33-33-162}{16}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{495-404}{16}\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{91}{16}\)
\(=\frac{91}{32}\)
\(\therefore \triangle DEF=\frac{91}{32}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\frac{\triangle ABC}{\triangle DEF}=\frac{\frac{13}{2}}{\frac{91}{32}}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{32}{91}\)
\(=\frac{16}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle DEF}=\frac{16}{7}\)
\(\therefore \triangle ABC:\triangle DEF=16:7\)

\(Q 4.(vi)\) \(ABC\) ত্রিভুজের কৌনিকবিন্দুগুলি \(A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক \((3, 5)\), \((-3, 3)\) এবং \((-1, -1)\) এবং \(D, E, F\) যথাক্রমে \(BC, CA, AB\) বাহুর মধ্যবিন্দু। \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(\triangle ABC=4\triangle DEF\) । Ans: \(14\) বর্গ একক; \(3.5\) বর্গ একক ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 5)\), \(B(-3, 3)\) এবং \(C(-1, -1)\)
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{-3-1}{2}, \frac{3-1}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{-4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore D(-2, 1)\)
\(E\), \(CA\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore E(\frac{-1+3}{2}, \frac{-1+5}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore E(1, 2)\)
\(F\), \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore F(\frac{3-3}{2}, \frac{5+3}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{0}{2}, \frac{8}{2})\)
\(\therefore F(0, 4)\)
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ -3 \ \ \ \ -1 \ \ \ \ 3\\ 5 \ \ \ \ \ 3 \ \ -1\ \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[3.3-(-3).5+(-3)(-1)-(-1).3+(-1).5-3.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}[9+15+3+3-5+3]\)
\(=\frac{1}{2}[33-5]\)
\(=\frac{1}{2}\times 28\)
\(=14\)
\(\therefore \triangle ABC=14\) বর্গ একক।
আবার,
\(\therefore \triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-2 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 0 \ \ -2\\1 \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-2).2-1.1+1.4-0.2+0.1-(-2).4]\)
\(=\frac{1}{2}[-4-1+4-0+0+8]\)
\(=\frac{1}{2}[12-5]\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\)
\(=\frac{7}{2}\)
\(=3.5\)
\(\therefore \triangle DEF=3.5\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC=14\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=4\times 3.5\)
\(\therefore \triangle ABC=4\triangle DEF\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 4.(vii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(A, B, C\) শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \((4, -3)\), \((13, 0)\), \((-2, 9)\) এবং \(D, E, F\) ত্রিভুজের বাহুগুলির উপর এমনভাবে অবস্থিত যেন \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=2\), \(ABC\) ও \(DEF\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং প্রমাণ কর যে,\(\triangle ABC:\triangle DEF=3:1\) । Ans: \(63\) বর্গ একক; \(21\) বর্গ একক ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(4, -3)\), \(B(13, 0)\), \(C(-2, 9)\)
এবং \(\frac{BD}{DC}=\frac{CE}{EA}=\frac{AF}{FB}=2\),
\(\Rightarrow BD:DC=2:1, CE:EA=2:1, AF:FB=2:1\)
অর্থাৎ \(D\), \(BC\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে \(D(\frac{2.(-2)+1.13}{2+1}, \frac{2.9+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow D(\frac{-4+13}{3}, \frac{18+0}{3})\)
\(\Rightarrow D(\frac{9}{3}, \frac{18}{3})\)
\(\therefore D(3, 6)\)
\(E\), \(CA\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে \(E(\frac{2.4+1.(-2)}{2+1}, \frac{2.(-3)+1.9}{2+1})\)
\(\Rightarrow E(\frac{8-2}{3}, \frac{-6+9}{3})\)
\(\Rightarrow E(\frac{6}{3}, \frac{3}{3})\)
\(\therefore E(2, 1)\)
\(F\), \(AB\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে \(F(\frac{2.13+1.4}{2+1}, \frac{2.0+1.(-3)}{2+1})\)
\(\Rightarrow F(\frac{26+4}{3}, \frac{0-3}{3})\)
\(\Rightarrow F(\frac{30}{3}, \frac{-3}{3})\)
\(\therefore F(10, -1)\)
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}4 \ \ \ \ 13 \ \ -2 \ \ \ \ 4\\ -3 \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 9\ \ \ -3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[4.0-13.(-3)+13.9-(-2).0+(-2).(-3)-4.9]\)
\(=\frac{1}{2}[0+39+117+0+6-36]\)
\(=\frac{1}{2}[162-36]\)
\(=\frac{1}{2}\times 126\)
\(=63\)
\(\therefore \triangle ABC=63\) বর্গ একক।
আবার,
\(\therefore \triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 10 \ \ \ \ 3\\6 \ \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ \ 6\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[3.1-2.6+2.(-1)-10.1+10.6-3.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}[3-12-2-10+60+3]\)
\(=\frac{1}{2}[66-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times 42\)
\(=21\)
\(\therefore \triangle DEF=21\) বর্গ একক।
এখন,
\(\frac{\triangle ABC}{\triangle DEF}=\frac{63}{21}\)
\(\Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle DEF}=\frac{3}{1}\)
\(\therefore \triangle ABC:\triangle DEF=3:1\)
[ প্রমাণিত। ]

\(Q 4.(viii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(-3, -1)\) এবং \(C(11, 9)\); \(AD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। আরও দেখাও যে, \(\triangle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC\) Ans: \(\sqrt{5}\) একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 5)\), \(B(-3, -1)\) এবং \(C(11, 9)\);
\(D\), \(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{-3+11}{2}, \frac{-1+9}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{8}{2}, \frac{8}{2})\)
\(\therefore D(4, 4)\)
\(AD\) মধ্যমার দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{(2-4)^{2}+(5-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}\)
\(=\sqrt{4+1}\)
\(=\sqrt{5}\) একক।
এখন,
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -3 \ \ \ \ 11 \ \ \ \ 2\\5 \ \ \ -1 \ \ \ \ 9 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.(-1)-(-3).5+(-3).9-11.(-1)+11.5-2.9]\)
\(=\frac{1}{2}[-2+15-27+11+55-18]\)
\(=\frac{1}{2}[81-47]\)
\(=\frac{1}{2}\times 34\)
\(=17\)
\(\therefore \triangle ABC=17\) বর্গ একক।
আবার,
\(\therefore \triangle ABD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -3 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 2\\5 \ \ \ -1 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.(-1)-(-3).5+(-3).4-4.(-1)+4.5-2.4]\)
\(=\frac{1}{2}[-2+15-12+4+20-8]\)
\(=\frac{1}{2}[39-22]\)
\(=\frac{1}{2}\times 17\)
\(=\frac{17}{2}\)
\(\therefore \triangle ABD=\frac{17}{2}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABD=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow \triangle ABD=\frac{1}{2}\times 17\)
\(\therefore \triangle ABD=\frac{1}{2}\triangle ABC\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 4.(ix)\) \(\triangle OPQ\) এর শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথক্রমে \(O(0, 0)\), \(P(A\cos\beta, -A\sin\beta)\) এবং \(Q(A\sin\alpha, A\cos\alpha)\) দেখাও যে, \(\alpha=\beta\) হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মান বৃহত্তম হবে এবং উক্ত বৃহত্তম মানটি নির্ণয় কর। Ans: \(\frac{1}{2}A^{2}\) বর্গ একক। [চঃ২০১২, যঃ ২০০৭]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(O(0, 0)\), \(P(A\cos\beta, -A\sin\beta)\) এবং \(Q(A\sin\alpha, A\cos\alpha)\)
\(\therefore \triangle OPQ=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ A\cos\beta \ \ A\sin\alpha \ \ \ \ 0\\0 \ \ -A\sin\beta \ \ A\cos\alpha\ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.(-A\sin\beta)-A\cos\beta.0+A\cos\beta.A\cos\alpha-A\sin\alpha.(-A\sin\beta)+A\sin\alpha.0-0.A\cos\alpha]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+A^{2}\cos\alpha\cos\beta+A^{2}\sin\alpha\sin\beta+0-0]\)
\(=\frac{1}{2}[A^{2}\cos\alpha\cos\beta+A^{2}\sin\alpha\sin\beta]\)
\(=\frac{1}{2}A^{2}(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\)
\(=\frac{1}{2}A^{2}\cos(\alpha-\beta)\)
\(\therefore \triangle OPQ=\frac{1}{2}A^{2}\cos(\alpha-\beta)\)
এখানে, \(\frac{1}{2}A^{2}\) ধ্রুবক। \(\therefore \triangle OPQ\) বৃহত্তম হবে যদি \(\cos(\alpha-\beta)\) বৃহত্তম হয়।
\(\cos(\alpha-\beta)\) এর বৃহত্তম মান \(1\). [\(\because -1<\cos\theta<1\)] \(\therefore \cos(\alpha-\beta)=1\) হলে \(\triangle OPQ\) বৃহত্তম হবে। \(\Rightarrow \cos(\alpha-\beta)=0\) \(\Rightarrow \cos(\alpha-\beta)=\cos0\) \(\Rightarrow \alpha-\beta=0\) \(\Rightarrow \alpha=\beta\) \(\therefore \alpha=\beta\) হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফলের মান বৃহত্তম হবে। ক্ষেত্রফলের বৃহত্তম মান \(=\frac{1}{2}A^{2}.1\) \(=\frac{1}{2}A^{2}\) বর্গ একক।

\(Q 4.(x)\) \((t+1, 1)\), \((2t+1, 3)\) এবং \((2t+2, 2t)\) বিন্দুগুলি যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু; এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=2\) বা \(t=-\frac{1}{2}\) হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে। Ans: \(\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\) বর্গ একক। [ঢাঃ ২০০৬,রাঃ ২০১০,২০০৮, চঃ ২০১৬,২০১৫, কুঃ ২০১০, সিঃ ২০০৭, বঃ ২০১০]

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(t+1, 1)\), \(B(2t+1, 3)\) এবং \(C(2t+2, 2t)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}t+1 \ \ 2t+1 \ \ 2t+2 \ \ t+1\\1 \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ \ \ 2t \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(t+1).3-(2t+1).1+(2t+1).2t-(2t+2).3+(2t+2).1-(t+1).2t]\)
\(=\frac{1}{2}(3t+3-2t-1+4t^{2}+2t-6t-6+2t+2-2t^{2}-2t)\)
\(=\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)\)
এখন, বিন্দুগুলি সমরেখ হবে যদি \(\triangle ABC=0\) হয়।
\(\therefore \triangle ABC=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}(2t^{2}-3t-2)=0\)
\(\Rightarrow 2t^{2}-3t-2=0\)
\(\Rightarrow 2t^{2}-4t+t-2=0\)
\(\Rightarrow 2t(t-2)+1(t-2)=0\)
\(\Rightarrow (t-2)(2t+1)=0\)
\(\Rightarrow t-2=0, 2t+1=0\)
\(\Rightarrow t=2, 2t=-1\)
\(\therefore t=2, t=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore t=2\) বা \(t=-\frac{1}{2}\) হলে বিন্দুগুলি সমরেখ হবে।
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 4.(xi)\) দেখাও যে, \((3, 90^{o})\) এবং \((3, 30^{o})\) শীর্ষবিশিষ্ট বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সহিত একটি সমবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।। Ans: \(\frac{9}{4}\sqrt{3}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(3, 90^{o})\), \(B(3, 30^{o})\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
\(A(3, 90^{o})\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(A(3\cos90^{o}, 3\sin90^{o})\)
\(\Rightarrow A(3\times 0, 3\times 1)\)
\(\therefore A(0, 3)\)
\(B(3, 30^{o})\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(B(3\cos30^{o}, 3\sin30^{o})\)
\(\Rightarrow B(3\times \frac{\sqrt{3}}{2}, 3\times \frac{1}{2})\)
\(\therefore B(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\(AO=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-0)^{2}}\) [\(\because PQ=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}\)]
\(=\sqrt{0^{2}+3^{2}}\)
\(=\sqrt{0+9}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=\sqrt{3^{2}}\)
\(=3\)
\(BO=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2}-0)^{2}+(\frac{3}{2}-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{27+9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{36}{4}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(AB=\sqrt{(0-\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}+(3-\frac{3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{(3\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{6-3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{27}{4}+(\frac{3}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{27+9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{36}{4}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(\because AO=BO=AB \therefore \triangle OAB\) সমবাহু।
আবার,
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \frac{3\sqrt{3}}{2} \ \ \ \ \ \ \ 0\\0 \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{3}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.3-0.0+0.\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}.3+\frac{3\sqrt{3}}{2}.0-0.\frac{3}{2}]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+0-\frac{9\sqrt{3}}{2}+0-0]\)
\(=\frac{1}{2}(-\frac{9\sqrt{3}}{2})\)
\(=-\frac{9}{4}\sqrt{3}\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{9}{4}\sqrt{3}\) [\(\because \triangle \neq -ve\)]

\(Q 4.(xii)\) \(A(2, 6)\),\(B(-7, -3)\), \(C(5,-6)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র \(G\) নির্ণয় কর এবং দেখাও যে,\(\triangle ABC=3\triangle ABG=3\triangle BCG=3\triangle CAG\) Ans: \((0, -1)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 6)\),\(B(-7, -3)\) এবং \(C(5,-6)\)
\(\therefore \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2-7+5}{3}, \frac{6-3-6}{3})\) [\(\because G(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})\)]
\(\Rightarrow G(\frac{0}{3}, \frac{-3}{3})\)
\(\Rightarrow G(0, -1)\)
\(\therefore \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(G(0, -1)\)
এখন,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -7 \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 2\\6 \ \ -3 \ \ -6 \ \ \ \ 6\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.(-3)-(-7).6+(-7).(-6)-5.(-3)+5.6-2.(-6)]\)
\(=\frac{1}{2}(-6+42+42+15+30+12)\)
\(=\frac{1}{2}(141-6)\)
\(=\frac{1}{2}\times 135\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{135}{2}\) বর্গ একক।
\(\triangle ABG=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -7 \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 2\\6 \ \ -3 \ \ -1 \ \ \ \ 6\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.(-3)-(-7).6+(-7).(-1)-0.(-3)+0.6-2.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}(-6+42+7+0+0+2)\)
\(=\frac{1}{2}(51-6)\)
\(=\frac{1}{2}\times 45\)
\(\therefore \triangle ABG=\frac{45}{2}\) বর্গ একক।
\(\triangle BCG=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-7 \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 0 \ \ -7\\-3 \ \ -6 \ \ -1 \ \ -3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-7).(-6)-5.(-3)+5.(-1)-0.(-6)+0.(-3)-(-7).(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}(42+15-5+0-0-7)\)
\(=\frac{1}{2}(57-12)\)
\(=\frac{1}{2}\times 45\)
\(\therefore \triangle BCG=\frac{45}{2}\) বর্গ একক।
\(\triangle CAG=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}5 \ \ \ \ \ 2 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 5\\-6 \ \ \ \ 6 \ \ -1 \ \ -6\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[5.6-2.(-6)+2.(-1)-0.6+0.(-6)-5.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}(30+12-2+0-0+5)\)
\(=\frac{1}{2}(47-2)\)
\(=\frac{1}{2}\times 45\)
\(\therefore \triangle CAG=\frac{45}{2}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC=\frac{135}{2}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=3\times \frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=3\triangle ABG\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=3\triangle BCG\)
\(\Rightarrow \triangle ABC=3\triangle CAG\)
\(\therefore \triangle ABC=3\triangle ABG=3\triangle BCG=3\triangle CAG\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 4.(xiii)\) দেখাও যে, \(A(3, 5)\) এবং \(B(3, 8)\) বিন্দু দুইটি মূলবিন্দুর সঙ্গে একটি ত্রিভুজ গঠন করে। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, 5)\), \(B(3, 8)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
\(AB=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-8)^{2}}\)
\(=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{0+9}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\(AO=\sqrt{(3-0)^{2}+(5-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+5^{2}}\)
\(=\sqrt{9+25}\)
\(=\sqrt{34}\)
\(=5.83\)
\(BO=\sqrt{(3-0)^{2}+(8-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+8^{2}}\)
\(=\sqrt{9+64}\)
\(=\sqrt{73}\)
\(=8.54\)
এখন,
\(AB+AO=3+5.83=8.83>8.54\)
\(\Rightarrow AB+AO>8.54\)
\(\Rightarrow AB+AO>BO\)
\(\therefore OAB\) একটি ত্রিভুজ।
[ দেখানো হলো। ]
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 0\\0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.5-3.0+3.8-3.5+3.0-0.8]\)
\(=\frac{1}{2}(0-0+24-15+0-0)\)
\(=\frac{1}{2}(24-15)\)
\(=\frac{1}{2}\times 9\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(=4\frac{1}{2}\) বর্গ একক।

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.