ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 5.\)

\((i)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হবে? Ans: \(k=3\)।
সমাধান
\((ii)\) \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। এর কৌনিক বিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(k=3\) বর্গ একক।
সমাধান
\((iii)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\); \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। Ans: \(2:3\)। [রাঃ ২০১৫, কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, দিঃ ২০১৩।]
সমাধান
\((iv)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) কে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। Ans: \(2:1\)।
সমাধান
\((v)\) \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -8)\), \((-3, 4)\), \((0, 7)\) এবং \((3, 16)\); \(AB\) কে \(CD\) সরলরেখা যে অনুপাতে ভাগ করে তা নির্ণয় কর এবং \(CD\) কে \(AB\) সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তাও নির্ণয় কর। Ans: \(3:1\); \(2:5\) বহির্বিভক্ত করে।
সমাধান
\((vi)\) \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((t-4, -2)\), \((t, t+3)\), \((2t+1, 1)\) এবং \((t-3, 1)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু \(\triangle OAB\) এবং \(\triangle OCD\) এর অনুপাত নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=4\) হলে ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে । Ans: \((t-3):1\)।
সমাধান
\((vii)\) \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে নিয়ে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(3\) বর্গ একক।
সমাধান
\((viii)\) একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-b, 0)\), \((0, a)\) এবং \((0, -b)\) দেখাও যে, এর ক্ষেত্রফল শুন্য; এর ব্যাখ্যা দাও।
সমাধান
\((ix)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((1, 0)\) হলে (a) \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (b) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু এবং (c) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। \((a)\) Ans: \((-1, -2)\); \((b)\) Ans: \((1, 1)\); \((c)\) Ans: \(4\) বর্গ একক।
সমাধান
\((x)\) \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(41\) বর্গ একক।
সমাধান
\((xi)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(k=3\)।
সমাধান
\((xii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, 2)\), \((-4, -3)\), \((1, -7)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। Ans: \((2, -2)\); \(29\) বর্গ একক।
সমাধান

\(Q 5.(i)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হবে? Ans: \(k=3\)।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, -2)\)
শর্তমতে,\(\Box ABCD=0\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ -5 \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ k \ \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 6 \ \ -4 \ \ -2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}[1.6-(-5).2+(-5).(-4)-7.6+7.(-2)-k.(-4)+k.2-1.(-2)]=0\)
\(\Rightarrow (6+10+20-42-14+4k+2k+2)=0\times 2\)
\(\Rightarrow 6k+38-56=0\)
\(\Rightarrow 6k-18=0\)
\(\Rightarrow 6k=18\)
\(\Rightarrow k=\frac{18}{6}\)
\(\therefore k=3\)

\(Q 5.(ii)\) \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। এর কৌনিক বিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(k=3\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(Q 5.(i)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 5.(iii)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\); \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। Ans: \(2:3\)। [রাঃ ২০১৫, কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, দিঃ ২০১৩।]

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 5.(iv)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) কে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর। Ans: \(2:1\)।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 5.(v)\) \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -8)\), \((-3, 4)\), \((0, 7)\) এবং \((3, 16)\); \(AB\) কে \(CD\) সরলরেখা যে অনুপাতে ভাগ করে তা নির্ণয় কর এবং \(CD\) কে \(AB\) সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তাও নির্ণয় কর। Ans: \(3:1\); \(2:5\) বহির্বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 5.(vi)\) \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((t-4, -2)\), \((t, t+3)\), \((2t+1, 1)\) এবং \((t-3, 1)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু \(\triangle OAB\) এবং \(\triangle OCD\) এর অনুপাত নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=4\) হলে ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে । Ans: \((t-3):1\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(t-4, -2)\), \(B(t, t+3)\), \(C(2t+1, 1)\), \(D(t-3, 1)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ t-4 \ \ \ \ t \ \ \ \ \ 0\\0 \ \ -2 \ \ t+3 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.(-2)-(t-4).0+(t-4).(t+3)-t.(-2)+t.0-0.(t+3)]\)
\(=\frac{1}{2}(0-0+t^{2}-4t+3t-12+2t+0-0)\)
\(=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle OCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 2t+1 \ \ t-3 \ \ \ \ 0\\0 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\)
\(=\frac{1}{2}[0.1-(2t+1).0+(2t+1).1-(t-3).1+(t-3).0-0.1]\)
\(=\frac{1}{2}(0-0+2t+1-t+3+0-0)\)
\(=\frac{1}{2}(t+4)\)
\(\therefore \triangle OCD=\frac{1}{2}(t+4)\) বর্গ একক।
এখন,
\(\frac{\triangle OAB}{\triangle OCD}=\frac{\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)}{\frac{1}{2}(t+4)}\)
\(=\frac{t^{2}+t-12}{t+4}\)
\(=\frac{t^{2}+4t-3t-12}{t+4}\)
\(=\frac{t(t+4)-3(t+4)}{t+4}\)
\(=\frac{(t+4)(t-3)}{t+4}\)
\(=t-3\)
\(\therefore \frac{\triangle OAB}{\triangle OCD}=(t-3)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB:\triangle OCD=(t-3):1\)
[ দেখানো হলো। ]
আবার,
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(4^{2}+4-12)\) [\(\because t=4\)]
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(16+4-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(20-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}\times 8\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=4\)
\(\triangle OCD=\frac{1}{2}(t+4)\)
\(\Rightarrow \triangle OCD=\frac{1}{2}(4+4)\) [\(\because t=4\)]
\(\Rightarrow \triangle OCD=\frac{1}{2}\times 8\)
\(\Rightarrow \triangle OCD=4\)
\(\therefore t=4\) হলে, ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে ।

\(Q 5.(vii)\) \((-2, 3)\), \((-3, -4)\), \((5, -1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে নিয়ে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(31\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-2, 3)\), \(B(-3, -4)\), \(C(5, -1)\) এবং \(D(2, 2)\)
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-2 \ \ -3 \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 2 \ \ -2\\3 \ \ -4 \ \ -1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(-2).(-4)-(-3).3+(-3).(-1)-5.(-4)+5.2-2.(-1)+2.3-(-2).2]\)
\(=\frac{1}{2}(8+9+3+20+10+2+6+4)\)
\(=\frac{1}{2}\times 62\)
\(=31\) বর্গ একক।

\(Q 5.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-b, 0)\), \((0, a)\) এবং \((0, -b)\) দেখাও যে, এর ক্ষেত্রফল শুন্য; এর ব্যাখ্যা দাও।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, 0)\), \(B(-b, 0)\), \(C(0, a)\) এবং \(D(0, -b)\)
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ -b \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ a\\0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ a \ \ -b \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a.0-(-b).0+(-b).a-0.0+0.(-b)-0.a+0.0-a.(-b)]\)
\(=\frac{1}{2}(0+0-ab-0-0-0+0+ab)\)
\(=\frac{1}{2}(-ab+ab)\)
\(=\frac{1}{2}\times 0\)
\(=0\)
\(\therefore \Box ABCD=0\)
[ দেখানো হলো। ]
ব্যাখ্যাঃ বিন্দুগুলি সমরেখ তাই ,বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভজের ক্ষেত্রফল শুন্য।

\(Q 5.(ix)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((1, 0)\) হলে (a) \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (b) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু এবং (c) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। \((a)\) Ans: \((-1, -2)\); \((b)\) Ans: \((1, 1)\); \((c)\) Ans: \(4\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\), \(C(1, 0)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2})\) [\(\because \) মধ্যবিন্দু \(E(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)]
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow E(1, 1)\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+x}{2}, \frac{4+y}{2})\) [\(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
\(\therefore E(\frac{3+x}{2}, \frac{4+y}{2})\Rightarrow E(1, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x}{2}=1, \frac{4+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 3+x=1\times 2, 4+y=1\times 2\)
\(\Rightarrow 3+x=2, 4+y=2\)
\(\Rightarrow x=2-3, y=2-4\)
\(\Rightarrow x=-1, y=-2\)
\(\therefore D(-1, -2)\)
\((b)\) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু \(E(1, 1)\)
\((c)\) \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0 \ \ -2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.4-3.2+3.0-1.4+1.(-2)-(-1).0+(-1).2-1.(-2)]\)
\(=\frac{1}{2}(4-6+0-4-2+0-2+2)\)
\(=\frac{1}{2}(6-14)\)
\(=\frac{1}{2}\times -8\)
\(=-4\)
\(\therefore \Box ABCD=4\) বর্গ একক। [\(\because \Box \neq -ve\)]

\(Q 5.(x)\) \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। Ans: \(41\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\).
\(\therefore \Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -3 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 2\\3 \ \ \ \ 6 \ \ -5 \ \ -7 \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.6-(-3).3+(-3).(-5)-0.6+0.(-7)-4.(-5)+4.3-2.(-7)]\)
\(=\frac{1}{2}(12+9+15-0-0+20+12+14)\)
\(=\frac{1}{2}\times 82\)
\(=41\)
\(\therefore \Box ABCD=41\) বর্গ একক।

\(Q 5.(xi)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর। Ans: \(k=3\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\).
শর্তমতে,
\(\Box ABCD=12\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ -5 \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ k \ \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ \ 6 \ \ -4 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|=12\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}[1.6-(-5).2+(-5).(-4)-7.6+7.2-k.(-4)+k.2-1.2]=12\)
\(\Rightarrow (6+10+20-42+14+4k+2k-2)=12\times 2\)
\(\Rightarrow 6k+50-44=24\)
\(\Rightarrow 6k+6=24\)
\(\Rightarrow 6k=24-6\)
\(\Rightarrow k=\frac{18}{6}\)
\(\therefore k=3\)

\(Q 5.(xii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, 2)\), \((-4, -3)\), \((1, -7)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। Ans: \((2, -2)\); \(29\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(Q 5.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.