ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.5\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.5.(i)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হবে?
Ans: \(k=3\)।

\(Q.5.(ii)\) \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। এর কৌনিক বিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\) বর্গ একক।

\(Q.5.(iii)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\); \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Ans: \(2:3\)।
[রাঃ ২০১৫, কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, দিঃ ২০১৩।]

\(Q.5.(iv)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) কে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Ans: \(2:1\)।

\(Q.5.(v)\) \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -8)\), \((-3, 4)\), \((0, 7)\) এবং \((3, 16)\); \(AB\) কে \(CD\) সরলরেখা যে অনুপাতে ভাগ করে তা নির্ণয় কর এবং \(CD\) কে \(AB\) সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তাও নির্ণয় কর।
Ans: \(3:1\); \(2:5\) বহির্বিভক্ত করে।

\(Q.5.(vi)\) \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((t-4, -2)\), \((t, t+3)\), \((2t+1, 1)\) এবং \((t-3, 1)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু \(\triangle OAB\) এবং \(\triangle OCD\) এর অনুপাত নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=4\) হলে ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে । Ans: \((t-3):1\)।

\(Q.5.(vii)\) \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে নিয়ে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(3\) বর্গ একক।

\(Q.5.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-b, 0)\), \((0, a)\) এবং \((0, -b)\) দেখাও যে, এর ক্ষেত্রফল শুন্য; এর ব্যাখ্যা দাও।

\(Q.5.(ix)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((1, 0)\) হলে (a) \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (b) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু এবং (c) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। \((a)\)
Ans: \((-1, -2)\); \((b)\) Ans: \((1, 1)\); \((c)\)
Ans: \(4\) বর্গ একক।

\(Q.5.(x)\) \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(41\) বর্গ একক।

\(Q.5.(xi)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\)।

\(Q.5.(xii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, 2)\), \((-4, -3)\), \((1, -7)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর।
Ans: \((2, -2)\); \(29\) বর্গ একক।

অনুশীলনী \(3.C\) / \(Q.5\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

\(Q.5.(i)\) \(k\) এর মান কত হলে, \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হবে?
Ans: \(k=3\)।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, -2)\)
শর্তমতে,\(\Box ABCD=0\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ -5 \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ k \ \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 6 \ \ -4 \ \ -2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|=0\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4} \ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\{1.6-(-5).2+(-5).(-4)-7.6+7.(-2)-k.(-4)+k.2-1.(-2)\}=0\)
\(\Rightarrow (6+10+20-42-14+4k+2k+2)=0\times 2\)
\(\Rightarrow 6k+38-56=0\)
\(\Rightarrow 6k-18=0\)
\(\Rightarrow 6k=18\)
\(\Rightarrow k=\frac{18}{6}\)
\(\therefore k=3\)

\(Q.5.(ii)\) \(ABCD\) একটি চতুর্ভুজ। এর কৌনিক বিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক \((1, 2)\), \((-5, 6)\), \((7, -4)\) এবং \((k, -2)\) বিন্দুগুলি দ্বারা উৎপন্ন চতর্ভুজের ক্ষেত্রফল শুন্য হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\(Q.5.(iii)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\); \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
Ans: \(2:3\)।
[ রাঃ ২০১৫, কুঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, দিঃ ২০১৩।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(0, -1)\), \(B(15, 2)\), \(C(-1, 2)\) এবং \(D(4, -5)\)।
মনে করি, \(AB\) সরলরেখা \(CD\) সরলরেখাকে \(P(x, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে।
\(\therefore P(\frac{m\times 4+n\times -1}{m+n}, \frac{m\times -5+n\times 2}{m+n})\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\) কে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে। \(\therefore R\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P(\frac{4m-n}{m+n}, \frac{-5m+2n}{m+n})\)
এখন,
\(A, B, P\) একই সরলরেখায় অবস্থিত।
\(\therefore \delta_{ABP}=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}0 \ \ 15 \ \ \frac{4m-n}{m+n} \ \ \ \ 0\\ -1 \ \ 2 \ \ \frac{-5m+2n}{m+n} \ \ \ \ -1\end{array}\right|=0\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে, \(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{1}\\ y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 0.(2)-15.(-1)+15.(\frac{-5m+2n}{m+n})-2.(\frac{4m-n}{m+n})+\frac{4m-n}{m+n}.(-1)-0.(\frac{-5m+n}{m+n})=0\)
\(\Rightarrow 0+15+\frac{-75m+30n}{m+n}-\frac{8m-2n}{m+n}-\frac{4m-n}{m+n}+0=0\)
\(\Rightarrow 15m+15n-75m+30n-8m+2n-4m+n=0\) | উভয়পার্শে \((m+n)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -72m+48n=0\)
\(\Rightarrow -72m=-48n\)
\(\Rightarrow 3m=2n\) | উভয়পার্শে \((-24)\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m:n=2:3\)
\(\therefore AB\) সরলরেখা \(CD\) সরলরেখাকে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

\(Q.5.(iv)\) \(A, B, C, D\) বিন্দু চতুষ্টয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\); \(CD\) সরলরেখা \(AB\) কে যে অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে তা নির
্ণয় কর। Ans: \(2:1\)।

সমাধানঃ

\(Q.5.(v)\) \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -8)\), \((-3, 4)\), \((0, 7)\) এবং \((3, 16)\); \(AB\) কে \(CD\) সরলরেখা যে অনুপাতে ভাগ করে তা নির্ণয় কর এবং \(CD\) কে \(AB\) সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তাও নির্ণয় কর।
Ans: \(3:1\); \(2:5\) বহির্বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

\(Q.5.(vi)\) \(A, B, C, D\) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((t-4, -2)\), \((t, t+3)\), \((2t+1, 1)\) এবং \((t-3, 1)\) এবং \(O\) মূলবিন্দু \(\triangle OAB\) এবং \(\triangle OCD\) এর অনুপাত নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(t=4\) হলে ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে ।
Ans: \((t-3):1\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(t-4, -2)\), \(B(t, t+3)\), \(C(2t+1, 1)\), \(D(t-3, 1)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ t-4 \ \ \ \ t \ \ \ \ \ 0\\0 \ \ -2 \ \ t+3 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.(-2)-(t-4).0+(t-4).(t+3)-t.(-2)+t.0-0.(t+3)\}\)
\(=\frac{1}{2}(0-0+t^{2}-4t+3t-12+2t+0-0)\)
\(=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\) বর্গ একক।
\(\therefore \triangle OCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ 2t+1 \ \ t-3 \ \ \ \ 0\\0 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{0.1-(2t+1).0+(2t+1).1-(t-3).1+(t-3).0-0.1\}\)
\(=\frac{1}{2}(0-0+2t+1-t+3+0-0)\)
\(=\frac{1}{2}(t+4)\)
\(\therefore \triangle OCD=\frac{1}{2}(t+4)\) বর্গ একক।
এখন,
\(\frac{\triangle OAB}{\triangle OCD}=\frac{\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)}{\frac{1}{2}(t+4)}\)
\(=\frac{t^{2}+t-12}{t+4}\)
\(=\frac{t^{2}+4t-3t-12}{t+4}\)
\(=\frac{t(t+4)-3(t+4)}{t+4}\)
\(=\frac{(t+4)(t-3)}{t+4}\)
\(=t-3\)
\(\therefore \frac{\triangle OAB}{\triangle OCD}=(t-3)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB:\triangle OCD=(t-3):1\)
[ দেখানো হলো। ]
আবার,
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}(t^{2}+t-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(4^{2}+4-12)\) | \(\because t=4\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(16+4-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}(20-12)\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=\frac{1}{2}\times 8\)
\(\Rightarrow \triangle OAB=4\)
\(\triangle OCD=\frac{1}{2}(t+4)\)
\(\Rightarrow \triangle OCD=\frac{1}{2}(4+4)\) | \(\because t=4\)
\(\Rightarrow \triangle OCD=\frac{1}{2}\times 8\)
\(\Rightarrow \triangle OCD=4\)
\(\therefore t=4\) হলে, ত্রিভুজ দ্বয়ের ক্ষেত্রফলের মান সমান এবং সমচিহ্ন বিশিষ্ট হবে ।

\(Q.5.(vii)\) \((-2, 3)\), \((-3, -4)\), \((5, -1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দুগুলি ক্রমান্বয়ে নিয়ে যে চতুর্ভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় ক
র। Ans: \(31\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-2, 3)\), \(B(-3, -4)\), \(C(5, -1)\) এবং \(D(2, 2)\)
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-2 \ \ -3 \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 2 \ \ -2\\3 \ \ -4 \ \ -1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(-2).(-4)-(-3).3+(-3).(-1)-5.(-4)+5.2-2.(-1)+2.3-(-2).2\}\)
\(=\frac{1}{2}(8+9+3+20+10+2+6+4)\)
\(=\frac{1}{2}\times 62\)
\(=31\) বর্গ একক।

\(Q.5.(viii)\) একটি চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-b, 0)\), \((0, a)\) এবং \((0, -b)\) দেখাও যে, এর ক্ষেত্রফল শুন্য; এর ব্যাখ্যা দাও।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, 0)\), \(B(-b, 0)\), \(C(0, a)\) এবং \(D(0, -b)\)
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ -b \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ a\\0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ a \ \ -b \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4} \ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{a.0-(-b).0+(-b).a-0.0+0.(-b)-0.a+0.0-a.(-b)\}\)
\(=\frac{1}{2}(0+0-ab-0-0-0+0+ab)\)
\(=\frac{1}{2}(-ab+ab)\)
\(=\frac{1}{2}\times 0\)
\(=0\)
\(\therefore \Box ABCD=0\)
[ দেখানো হলো। ]
ব্যাখ্যাঃ বিন্দুগুলি সমরেখ তাই ,বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভজের ক্ষেত্রফল শুন্য।

\(Q.5.(ix)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 2)\), \((3, 4)\), \((1, 0)\) হলে (a) \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (b) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু এবং (c) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর। \((a)\)
Ans: \((-1, -2)\); \((b)\)
Ans: \((1, 1)\); \((c)\)
Ans: \(4\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(3, 4)\), \(C(1, 0)\).
ধরি, \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2})\) | \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow E(1, 1)\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{3+x}{2}, \frac{4+y}{2})\) | \(\because \) সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
\(\therefore E(\frac{3+x}{2}, \frac{4+y}{2})\Rightarrow E(1, 1)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x}{2}=1, \frac{4+y}{2}=1\)
\(\Rightarrow 3+x=1\times 2, 4+y=1\times 2\)
\(\Rightarrow 3+x=2, 4+y=2\)
\(\Rightarrow x=2-3, y=2-4\)
\(\Rightarrow x=-1, y=-2\)
\(\therefore D(-1, -2)\)
\((b)\) \(AC\) ও \(BD\) এর ছেদবিন্দু \(E(1, 1)\)
\((c)\) \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0 \ \ -2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4} \ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{1.4-3.2+3.0-1.4+1.(-2)-(-1).0+(-1).2-1.(-2)\}\)
\(=\frac{1}{2}(4-6+0-4-2+0-2+2)\)
\(=\frac{1}{2}(6-14)\)
\(=\frac{1}{2}\times -8\)
\(=-4\)
\(\therefore \Box ABCD=4\) বর্গ একক। | \(\because \Box \neq -ve\)

\(Q.5.(x)\) \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\) চারটি বিন্দু। \(ABCD\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(41\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\), \(B(-3, 6)\), \(C(0, -5)\) এবং \(D(4, -7)\).
\(\therefore \Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ -3 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 2\\3 \ \ \ \ 6 \ \ -5 \ \ -7 \ \ \ \ 3\end{array}\right|\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4} \ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{2.6-(-3).3+(-3).(-5)-0.6+0.(-7)-4.(-5)+4.3-2.(-7)\}\)
\(=\frac{1}{2}(12+9+15-0-0+20+12+14)\)
\(=\frac{1}{2}\times 82\)
\(=41\)
\(\therefore \Box ABCD=41\) বর্গ একক।

\(Q.5.(xi)\) \(ABCD\) চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু \(A, B, C, D\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\) চতুর্ভজটির ক্ষেত্রফল \(12\) বর্গ একক হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
Ans: \(k=3\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(-5, 6)\), \(C(7, -4)\) এবং \(D(k, 2)\).
শর্তমতে,
\(\Box ABCD=12\)
\(\therefore \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ -5 \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ k \ \ \ \ \ 1\\2 \ \ \ \ \ 6 \ \ -4 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 2\end{array}\right|=12\) | কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\), \(C(x_{3}, y_{3})\) এবং \(D(x_{4}, y_{4})\) বিন্দু চারটি \(\Box ABCD\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\Box ABCD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3} \ \ x_{4} \ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{4} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\{1.6-(-5).2+(-5).(-4)-7.6+7.2-k.(-4)+k.2-1.2\}=12\)
\(\Rightarrow (6+10+20-42+14+4k+2k-2)=12\times 2\)
\(\Rightarrow 6k+50-44=24\)
\(\Rightarrow 6k+6=24\)
\(\Rightarrow 6k=24-6\)
\(\Rightarrow k=\frac{18}{6}\)
\(\therefore k=3\)

\(Q.5.(xii)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(A, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((-3, 2)\), \((-4, -3)\), \((1, -7)\) হলে, \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের কর।
Ans: \((2, -2)\); \(29\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6 7 8

Please comment on the Article