ত্রিভুজের তথা বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় ( Area of triangle and Polygon )

# অনুশীলনী \(3.C\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 6.\)

\((i)\) \(A, B, C, D\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
\((a)\) \(ABD\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, চতুর্থ শীর্ষ \(C\) এর স্থনাংক \((9, 12)\)।
\((c)\) রম্বসটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সাহায্যে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(3.5\) বর্গ একক; \(7\) বর্গ একক।
সমাধান
\((ii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\).
\((a)\) \(AB:CD\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC:\triangle ABD\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
Ans: \(3\sqrt{13}:\sqrt{37}\); \(2:3\)।
সমাধান
\((iii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\).
\((a)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) হলে চতুর্থ শীর্ষ \(D\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(CD\) সরলরেখা \(AB\) রেখাংশকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AD\) রেখাংশকে \(X\) অক্ষ এবং \(Y\) অক্ষ যে বিন্দুতে ছেদ করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \((9, 0)\); \((b)\)\(2:1\); \((c)\) \((9, 0)\) এবং \((0, -\frac{3}{2})\)।
সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

\(Q 6.(i)\) \(A, B, C, D\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
\((a)\) \(ABD\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, চতুর্থ শীর্ষ \(C\) এর স্থনাংক \((9, 12)\)।
\((c)\) রম্বসটির কর্ণের দৈর্ঘ্যের সাহায্যে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Ans: \(3.5\) বর্গ একক; \(7\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে, \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
\(\therefore \triangle ABD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ 6 \ \ \ \ \ 2\\5 \ \ \ \ 9 \ \ \ \ 8 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}(2.9-5.5+5.8-6.9+6.5-2.8)\)
\(=\frac{1}{2}(18-25+40-54+30-16)\)
\(=\frac{1}{2}(88-95)\)
\(=\frac{1}{2}\times -7\)
\(=-\frac{7}{2}\)
\(=-3.5\)
\(\therefore \triangle ABD=3.5\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\).
ধরি, চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\)
আবার,
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
এখন,
\(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\) [ রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ]
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \frac{5+y}{2})=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2, y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9, y=12\)
\(\therefore C(9, 12)\)
[ দেখানো হলো ]
\((c)\) কর্ণ \(AC=\sqrt{(2-9)^{2}+(5-12)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{49+49}\)
\(=\sqrt{2\times 49}\)
\(=\sqrt{2\times 7^{2}}\)
\(=7\sqrt{2}\)
কর্ণ \(BD=\sqrt{(5-6)^{2}+(9-8)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এখন,
\(\Box ABCD=\frac{1}{2}\times AC\times BD\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\sqrt{2}\times \sqrt{2}\) [\(\because AC=7\sqrt{2}, BD=\sqrt{2}\)]
\(=\frac{1}{2}\times 7\times 2\)
\(=\frac{1}{2}\times 14\)
\(=7\) বর্গ একক।

\(Q 6.(ii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, -1)\), \((15, 2)\), \((-1, 2)\) এবং \((4, -5)\).
\((a)\) \(AB:CD\) নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC:\triangle ABD\) নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রমাণ কর যে \(CD\) কে \(AB\) রেখাটি \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
Ans: \(3\sqrt{13}:\sqrt{37}\); \(2:3\)।

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে, \(A(0, -1)\), \(B(15, 2)\), \(C(-1, 2)\) এবং \(D(4, -5)\).
\(\therefore AB=\sqrt{(0-15)^{2}+(-1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-15)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{225+9}\)
\(=\sqrt{234}\)
\(=\sqrt{26\times 9}\)
\(=\sqrt{26\times 3^{2}}\)
\(=3\sqrt{26}\)
\(=3\sqrt{13\times 2}\)
\(=3\sqrt{13}\times\sqrt{2}\)
আবার,
\(CD=\sqrt{(-1-4)^{2}+(2+5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-5)^{2}+(7)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+49}\)
\(=\sqrt{74}\)
\(=\sqrt{37\times 2}\)
\(=\sqrt{37}\times\sqrt{2}\)
এখন,
\(\frac{AB}{CD}=\frac{3\sqrt{13}\times\sqrt{2}}{\sqrt{37}\times\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{37}}\)
\(\therefore AB:CD=3\sqrt{13}:\sqrt{37}\)
\((b)\) \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 15 \ \ \ -1 \ \ \ \ \ 0\\-1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 2 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.2-15.(-1)+15.2-(-1).2+(-1).(-1)-0.2]\)
\(=\frac{1}{2}(0+15+30+2+1-0)\)
\(=\frac{1}{2}\times 48\)
\(=24\)
\(\therefore \triangle ABC=24\) বর্গ একক।
\(\triangle ABD=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 15 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ \ 0\\-1 \ \ \ \ 2 \ \ -5 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[0.2-15.(-1)+15.(-5)-4.2+4.(-1)-0.(-5)]\)
\(=\frac{1}{2}(0+15-75-8-4+0)\)
\(=\frac{1}{2}(15-87)\)
\(=\frac{1}{2}\times -72\)
\(=-36\)
\(\therefore \triangle ABD=36\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
এখন,
\(\frac{\triangle ABC}{\triangle ABD}=\frac{24}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle ABD}=\frac{2}{3}\)
\(\therefore \triangle ABC:\triangle ABD=2:3\).
\((c)\) এখন,
\(\delta_{ABC}=\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 15 \ \ -1 \ \ \ \ 0\\-1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 2 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=0.2-15.(-1)+15.2-(-1).2+(-1).(-1)-0.2\)
\(=0+15+30+2+1-0\)
\(=48\)
আবার,
\(\delta_{ABD}=\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 15 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0\\-1 \ \ \ \ 2 \ \ -5 \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=0.2-15.(-1)+15.(-5)-4.2+4.(-1)-0.(-5)\)
\(=0+15-75-8-4+0\)
\(=15-87\)
\(=-72\)
আবার,
\(\therefore \frac{\delta_{ABC}}{\delta_{ABD}}=\frac{48}{-72}\)
\(\Rightarrow \frac{\delta_{ABC}}{\delta_{ABD}}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \delta_{ABC}:\delta_{ABD}=-2:3\)
\(\therefore CD\) সরলরেখা \(AB\) সরলরেখাকে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। [\(\because\) অনুপাত ঋণাত্মক \((-ve)\)]

\(Q 6.(iii)\) \(A, B, C\) এবং \(D\) বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((3, 1)\), \((1, 0)\), \((5, 1)\) এবং \((-10, -4)\).
\((a)\) \(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\) হলে চতুর্থ শীর্ষ \(D\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(CD\) সরলরেখা \(AB\) রেখাংশকে বহিঃস্থভাবে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AD\) রেখাংশকে \(X\) অক্ষ এবং \(Y\) অক্ষ যে বিন্দুতে ছেদ করে তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\)\((9, 0)\); \((b)\)\(2:1\); \((c)\) \((9, 0)\) এবং \((0, -\frac{3}{2})\)।

সমাধানঃ

\(Q 6.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6 7 8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.