সঞ্চারপথ ( Locus )

অনুশীলনী \(3.D\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) এমন একটি সঞ্চারপথের সমীকরণ বের কর যা দুইটি প্রদত্ত বিন্দু \((b, 0)\) এবং \((-b, 0)\) থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী \((b\neq 0)\)।
সমাধান
উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(4.\) \((-2, 5)\) বিন্দু এবং \(X\) অক্ষ থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(5.\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\) একক হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.D\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) এমন একটি সঞ্চারপথের সমীকরণ বের কর যা দুইটি প্রদত্ত বিন্দু \((b, 0)\) এবং \((-b, 0)\) থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী \((b\neq 0)\)।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(b, 0)\) এবং \(B(-b, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\) locus4
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+(y-0)^{2}=(x+b)^{2}+(y-0)^{2}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}=(x+b)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}+y^{2}-(x+b)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-b)^{2}-(x+b)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+b)^{2}-(x-b)^{2}=0\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4xb=0\) | Note \(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)
\(\Rightarrow x=0\) | Note \(\because 4b\neq 0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সঞ্চারপথটি \(Y\) অক্ষ বা, \(x=0\)।

উদাহরণ \(2.\) মূলবিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্ত একটি ধ্রুবক \(a\) এর সমান সেই বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
শর্তমতে, \(PO=a\)
\(\Rightarrow PO^{2}=a^{2}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=a^{2}\)
\(\therefore x^{2}+x^{2}=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(3.\) মূলবিন্দু এবং \((0, 4)\) বিন্দু থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\) তাদের সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(0, 4)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
শর্তমতে, \(PO:PA=2:3\) locus4
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{4}{9}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PO^{2}=4PA^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=4\{(x-0)^{2}+(y-4)^{2}\}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2})\)
\(\Rightarrow 9(x^{2}+y^{2})=4(x^{2}+y^{2}-8y+16)\)
\(\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}+32y-64=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(4.\) \((-2, 5)\) বিন্দু এবং \(X\) অক্ষ থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-2, 5)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(P(x, y)\) বিন্দু হতে \(X\) অক্ষের দূরত্ব \(=y\)।
শর্তমতে, \(PA=y\) locus4
\(\Rightarrow PA^{2}=y^{2}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x+2)^{2}+(y-5)^{2}=y^{2}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.5+5^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x+4+y^{2}-10y+25-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+4x-10y+29=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\) একক হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}-PB^{2}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}-\{(x-0)^{2}+(y-a)^{2}\}=\pm 2a\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+y^{2}-\{x^{2}+y^{2}-2.a.y+a^{2}\}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+2ay-a^{2}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow -2ax+2ay=\pm 2a\)
\(\Rightarrow 2a(-x+y)=\pm 2a\)
\(\Rightarrow (-x+y)=\pm \frac{2a}{2a}\)
\(\Rightarrow -x+y=\pm 1\)
\(\Rightarrow y=x\pm 1\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

উদাহরণ \(6.\) মূলবিন্দু এবং \((-5, 0)\) বিন্দু থেকে একটি প্রদত্ত সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের অনুপাত \(3:4\). উক্ত সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-5, 0)\), সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\). locus4
শর্তমতে, \(PO:PA=3:4\)
\(\Rightarrow \frac{PO}{PA}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{PO^{2}}{PA^{2}}=\frac{9}{16}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 16PO^{2}=9PA^{2}\)
\(\Rightarrow 16\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}=9\{(x+5)^{2}+(y-0)^{2}\}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+2.x.5+5^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16(x^{2}+y^{2})=9(x^{2}+10x+25+y^{2})\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}=9x^{2}+90x+225+9y^{2}\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+16y^{2}-9x^{2}-90x-225-9y^{2}=0\)
\(\therefore 7x^{2}+7y^{2}-90x-225=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply