সঞ্চারপথ ( Locus )

# অনুশীলনী \(3.D\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(2x+1=0\).
সমাধান
\((ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4ax\).
সমাধান
\((iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\). [ রাঃ ২০০৯।]
সমাধান
\((iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).
সমাধান
\((v)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \(Y\) অক্ষ থেকে তার দূরত্বের তিনগুন। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\). [ রাঃ ২০০৯।]
সমাধান
\((vi)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \((2, 2)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(3x^{2}+4y^{2}-16x-16y+32=0\).
সমাধান
\((vii)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\). [রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২]
সমাধান
\((viii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).
সমাধান
\((ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.
সমাধান
\((x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).
সমাধান
\((xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).
সমাধান
\((xii)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4ax\).
সমাধান

অনুশীলনী \(3.D\) সমাধান

\(Q 1.(i)\) \((3, 0)\) ও \((-4, 0)\) বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(2x+1=0\).

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(3, 0)\) ও \(B(-4, 0)\) সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}=x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}+8x+16+y^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}-x^{2}-8x-16-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow -14x-7=0\)
\(\Rightarrow -7(2x+1)=0\)
\(\Rightarrow (2x+1)=\frac{0}{-7}\) [ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।]
\(\therefore (2x+1)=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(ii)\) \((a, 0)\) বিন্দু ও \(x+a=0\) সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4ax\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(a, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\). locus4
\(P\) থেকে \(x+a=0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x+a\right|\)
শর্তমতে, \(PA=\left| x+a\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(x+a)^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}=(x+a)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=(x+a)^{2}-(x-a)^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax\) [\(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)]
\(\therefore y^{2}=4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(iii)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি চলমান বিন্দুর দূরত্ব \(x=0\) সরলরেখা থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের তিনগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\). [ রাঃ ২০০৯।]

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(2, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(P\) থেকে \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ রেখার লম্ব দূরত্ব=\(\left| x\right|\)
শর্তমতে, \(PA=3\left| x\right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=9x^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-0)^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}=9x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\)
\(\therefore y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(iv)\) \((3, 0)\) ও \((-3, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে যে সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা \(10\) একক, ঐ সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(16x^{2}+25y^{2}=400\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(3, 0)\) ও \(B(-3, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA+PB=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}}=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=10\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=(10-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=10^{2}-2.10.\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-3)^{2}+y^{2}=100-20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+(x+3)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}+y^{2}-(x-3)^{2}-y^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+(x+3)^{2}-(x-3)^{2}\)
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+4.x.3\) [\(\because (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\)]
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=100+12x\)locus4
\(\Rightarrow 20\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4(25+3x)\)
\(\Rightarrow 5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=25+3x\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow (5\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}})^{2}=(25+3x)^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow 25[x^{2}+2.x.3+3^{2}+y^{2}]=25^{2}+2.25.3x+(3x)^{2}\)
\(\Rightarrow 25[x^{2}+6x+9+y^{2}]=625+150x+9x^{2}\)
\(\Rightarrow 25x^{2}+150x+225+25y^{2}-625-150x-9x^{2}=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}-400=0\)
\(\Rightarrow 16x^{2}+25y^{2}=400\)
\(\therefore 16x^{2}+25y^{2}=400\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(v)\) \((2, 0)\) বিন্দু থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \(Y\) অক্ষ থেকে তার দূরত্বের তিনগুন। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}-8x^{2}-4x+4=0\).[ রাঃ ২০০৯।]

সমাধানঃ

\(Q 1.(iii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(vi)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি সেটের বিন্দুসমূহের দূরত্ব, \((2, 2)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের দ্বিগুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(3x^{2}+4y^{2}-16x-16y+32=0\).

সমাধানঃ

\(Q 1.(iii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(vii)\) একটি সেটের বিন্দুসমূহ \((2, -1)\) বিদু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\). [রাঃ ২০০৫, কুঃ ২০১২].

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(2, -1)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=4\)
\(\Rightarrow PA^{2}=4^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.1+1^{2}=16\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+2y+1-16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(viii)\) একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদান \((2, -1)\) বিন্দু থেকে সর্বদা \(4\) একক দূরত্বে অবস্থান করে। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-4x+2y-11=0\).

সমাধানঃ

\(Q 1.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(ix)\) একটি বিন্দু এমনভাবে চলে যে, \((4, 0)\) এবং \((-4, 0)\) বিন্দু হতে তার দূরত্বের অন্তর সর্বদা একই হয়। বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ.

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(4, 0)\) এবং \(B(-4, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA=PB\) locus4
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+(y-0)^{2}=(x+4)^{2}+(y-0)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}-(x+4)^{2}-y^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x-4)^{2}-(x+4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (x+4)^{2}-(x-4)^{2}=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 4.x.4=0\)
\(\Rightarrow 16x=0\)
\(\Rightarrow x=0\) [ উভয় পার্শে \(16\) ভাগ করে। ]
\(\therefore x=0\) বা, \(Y\) অক্ষ। ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(x)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের 4a গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=\pm 4ax\).

সমাধানঃ

মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).locus4
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4a\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4ax\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(xi)\) \((2a, 0)\) বিন্দু এবং \(Y\) অক্ষ রেখা থেকে একটি সেটের বিন্দুগুলির দূরত্ব সমান । সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4a(x-a)\).

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(2a, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).locus4
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(PA=\left| x \right|\)
\(\Rightarrow PA^{2}=(\left| x \right|)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2a)^{2}+(y-0)^{2}=x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}=x^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2a+(2a)^{2}+y^{2}-x^{2}=0\)
\(\Rightarrow -4ax+4a^{2}+y^{2}=0\)
\(\Rightarrow y^{2}=4ax-4a^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}=4a(x-a)\)
\(\therefore y^{2}=4a(x-a)\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 1.(xii)\) \((a, 0)\) বিন্দু এবং \(x+a=0\) রেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চারপথ গঠন করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(y^{2}=4ax\).

সমাধানঃ

\(Q 1.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.