সঞ্চারপথ ( Locus )

অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 2.\)-এর প্রশ্নসমুহ

\(Q 2.(i)\) \((a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y=x\pm 1\).
[ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।]

\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]

\(Q 2.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]

\(Q 2.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).

\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]

\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).

অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 2.\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q 2.(i)\) \((a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) বিন্দু দুইটি থেকে একটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তরফল সর্বদা \(2a\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y=x\pm 1\).
[ঢাঃ ২০০৭, যঃ ২০০৭, ২০১২, বঃ ২০০৮, ২০০৩।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, a)\) সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}-PB^{2}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}-\{(x-0)^{2}+(y-a)^{2}\}=\pm 2a\) | \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+y^{2}-\{x^{2}+y^{2}-2.a.y+a^{2}\}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-x^{2}-y^{2}+2ay-a^{2}=\pm 2a\)
\(\Rightarrow -2ax+2ay=\pm 2a\)
\(\Rightarrow 2a(-x+y)=\pm 2a\)
\(\Rightarrow (-x+y)=\pm \frac{2a}{2a}\)
\(\Rightarrow -x+y=\pm 1\)
\(\Rightarrow y=x\pm 1\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 2.(ii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। \(P\) বিন্দুটি এমনভাবে চলে যে, \(PA:PB=2:3\) হয়। \(P\) বিন্দুটির সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
আবার, \(PA:PB=2:3\) locus4
\(\Rightarrow \frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{PA^{2}}{PB^{2}}=\frac{4}{9}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow 9PA^{2}=4PB^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}\}=4\{(x+1)^{2}+(y-4)^{2}\}\) | \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}-2.y.3+3^{2}\}=4\{x^{2}+2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}\}\)
\(\Rightarrow 9\{x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9]=4[x^{2}+2x+1+y^{2}-8y+16\}\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81=4x^{2}+8x+4+4y^{2}-32y+64\)
\(\Rightarrow 9x^{2}-36x+36+9y^{2}-54y+81-4x^{2}-8x-4-4y^{2}+32y-64=0\)
\(\Rightarrow 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
\(\therefore 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 2.(iii)\) \(A(2, 3)\) এবং \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থির বিন্দু। একটি বিন্দু-সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে। যেন, \(A\) এবং \(B\) বিন্দু থেকে সেটের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত \(2:3\)। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\).
[দিঃ ২০১১, চঃ ২০১১, বঃ ২০১২।]

সমাধানঃ

\(Q 2.(iv)\) একটি সেট এমনভাবে গঠন করা হয়েছে যে, \(X\) অক্ষ থেকে এর প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=\pm 4x\).

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
\(X\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| y \right|\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \((\left| y \right|)^{2}=4\left| x \right|\)
\(\Rightarrow y^{2}=4\times \pm x\)
\(\therefore y^{2}=\pm 4x\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 2.(v)\) \(Y\) অক্ষ থেকে একটি বিন্দু-সেটের যে কোনো উপাদেনের দূরত্ব মূলবিন্দু হতে তার দূরত্বের অর্ধেক। ঐ সেটটি দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(y^{2}=3x^{2}\).
[ বুয়েট ২০০৪, ২০০৫ ]

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P\) এর লম্ব দূরত্ব=\(\left| x \right|\).
শর্তমতে, \(\left| x \right|=\frac{1}{2}PO\)
\(\Rightarrow (\left| x \right|)^{2}=\frac{1}{4}PO^{2}\) | উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x)^{2}=\frac{1}{4}\{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}\}\) | \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{4}\{x^{2}+y^{2}\}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}=x^{2}+y^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow 3x^{2}=y^{2}\)
\(\Rightarrow y^{2}= 3x^{2}\)
\(\therefore y^{2}= 3x^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 2.(vi)\) \(K\) এর যে কোনো মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2ak, ak^{2})\)। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \(x^{2}=4ay\).

সমাধানঃ

locus4

দেওয়া আছে, \(P(2ak, ak^{2})\).
এখানে, \(2ak=x, ak^{2}=y\)
\(\Rightarrow k=\frac{x}{2a} ……(i), k^{2}=\frac{y}{a} …….(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) এর সাহায্যে
\(\Rightarrow (\frac{x}{2a})^{2}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a^{2}}=\frac{y}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{4a}=y\) | উভয় পার্শে \(a\) গুণ করে।
\(\therefore x^{2}=4ay\) | উভয় পার্শে \(4a\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article