সঞ্চারপথ ( Locus )

# অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 3.\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\). [ রাঃ ২০১৪।]
সমাধান
\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\). [ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]
সমাধান
\(Q 3.(iii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\). [ যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।]
সমাধান
\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(\) হয়, তবে \(\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).
সমাধান
\(Q 3.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।
সমাধান
\(Q 3.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(5x-3y+16=0\).
সমাধান
\(Q 3.(vii)\) \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক হলে, \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x-y=\pm 5\).
সমাধান
\(Q 3.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x-y=\pm 5\).
সমাধান
\(Q 3.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(2cx=c^{2}-a^{2}\).
সমাধান
\(Q 3.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).
সমাধান
\(Q 3.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).
সমাধান
\(Q 3.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(4x-5y+5=0\).
সমাধান

অনুশীলনী \(3.D\) / \(Q 3.\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q 3.(i)\) \(A(0, 4)\) এবং \(B(0, 6)\) দুইটি স্থির বিন্দু। কার্তেসীয় সমতলে বিন্দুসমূহের এমন একটি সেট গঠন করা হয়েছে যে, \(AB\) রেখাংশ ঐ সেটের যে কোনো বিন্দুতে এক সমকোণ উৎপন্ন করে। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-10y+24=0\). [ রাঃ ২০১৪।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(0, 4)\), \(B(0, 6)\) ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-4)^{2}+(x-0)^{2}+(y-6)^{2}=(0-0)^{2}+(4-6)^{2}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2.y.4+4^{2}+x^{2}+y^{2}-2.y.6+6^{2}=0^{2}+(-2)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y+16+x^{2}+y^{2}-12y+36=0+4\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52=4\)locus4
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+52-4=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-20y+48=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-10y+24)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-10y+24=\frac{0}{2}\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10y+24=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(ii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A\) এবং \(B\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, b)\) ও\((a, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\). [ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩।]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(0, b)\) ও\(B(a, b)\) ধরি, সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-b)^{2}+(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=(0-a)^{2}+(b-b)^{2}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+2(y-b)^{2}+(x-a)^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)locus4
\(\Rightarrow x^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}-2.x.a+a^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-4by+2b^{2}-2ax+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(iii)\) একটি বিন্দু সেটের যে কোনো উপাদান \(A\) ও \(B\) বিন্দুর সাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে। \(A(a, b)\) এবং \(B(0, b)\) হলে, সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\). [ যঃ ২০১০, রাঃ ২০১৩।]

সমাধানঃ

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ নিজে কর।

\(Q 3.(iv)\) \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\), \(P(x, y)\) এবং \(P\) এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেকটি বিন্দুর জন্য \(AP\bot BP\) হয়, তবে \(P\) এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(1, 2)\), \(B(-4, 0)\) এবং সঞ্চারপথের উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\).
শর্তমতে, \(PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(x+4)^{2}+(y-0)^{2}=(1+4)^{2}+(2-0)^{2}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.2+2^{2}+x^{2}+2.x.4+4^{2}+y^{2}=5^{2}+2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2})-4y+4+x^{2}+8x+16+y^{2}=25+4\)locus4
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21=29\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y+21-29=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+6x-4y-8=0\)
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+3x-2y-4)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=\frac{0}{2}\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x^{2}+y^{2}+3x-2y-4=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(v)\) \(O, A, B, C\) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((0, 0)\), \((3, 5)\), \((2, 6)\), \((x, y)\); \(B\) ও \(C\) বিন্দু দুইটি \(OA\) রেখার এক পার্শে অবস্থিত। এবং \((x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রত্যেক বিন্দুর ক্ষেত্রে \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, তাহলে দেখাও যে, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ \(5x-3y+16=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(O(0, 0)\), \(A(3, 5)\), \(B(2, 6)\), \(C(x, y)\);.
এবং \(\triangle OAC=2\triangle OAB\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=2\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 0.5-3.0+3.y-x.5+x.0-0.y=2(0.5-3.0+3.6-2.5+2.0-0.6)\)
\(\Rightarrow 0-0+3y-5x+0-0=2(0-0+18-10+0-0)\)
\(\Rightarrow 3y-5x=2\times 8\)
\(\Rightarrow 3y-5x=16\)
\(\Rightarrow 3y-5x=16\)
\(\Rightarrow 5x-3y=-16\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore 5x-3y+16=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(vi)\) \(B(2, 6)\) ও \(C(x, y)\) বিন্দু দুইটি \((0, 0)\) ও \((3, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগরেখার একই পার্শে অবস্থিত। \(C(x, y)\) বিন্দুটি এরূপ সেটের সদস্য যার প্রতিটি বিন্দুর জন্য \(\triangle OAC=2\triangle OAB\) হয়, ঐ সেট দ্বারা গঠিত সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(5x-3y+16=0\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(v)\) এর অনুরূপ নিজে কর।

\(Q 3.(vii)\) \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক হলে, \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x-y=\pm 5\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(x, y)\), \(B(1, 1)\) ও \(C(-1, -1)\).
এবং \(\triangle ABC=\left| 5\right|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ x\\y \ \ \ \ 1 \ \ -1 \ \ \ \ y\end{array}\right|=\pm 5\) | Note কোন সমতলে \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) বিন্দুতিনটি \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দু হলে, \(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ x_{2} \ \ x_{3}\ \ x_{1}\\y_{1} \ \ y_{2} \ \ y_{3} \ \ y_{1}\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}[x.1-1.y+1.(-1)-(-1).1+(-1).y-x.(-1)]=\pm 5\)
\(\Rightarrow x-y-1+1-y+x=\pm 5\times 2\) | Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x-2y=\pm 5\times 2\)
\(\Rightarrow 2(x-y)=\pm 5\times 2\)
\(\Rightarrow x-y=\pm 5\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore x-y=\pm 5\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(viii)\) একটি সেটের প্রতিটি বিন্দু \((1, 1)\), \((-1, -1)\) বিন্দু দুইটির সঙ্গে এমন একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার ক্ষেত্রফল \(5\) বর্গ একক। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(x-y=\pm 5\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(vii)\) এর অনুরূপ নিজে কর।

\(Q 3.(ix)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((a, 0)\), \((-a, 0)\) ও \((c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু যেন, \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\). \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(2cx=c^{2}-a^{2}\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(a, 0)\), \(B(-a, 0)\) ও \(C(c, 0)\); \(P(x, y)\) একটি চলমান বিন্দু ।
এবং \(PA^{2}+PB^{2}=2PC^{2}\).
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-0)^{2}+(x+a)^{2}+(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\) | Note \(\because PQ^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (x+a)^{2}+(x-a)^{2}+2(y-0)^{2}=2\{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}\}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2(x^{2}-2.x.c+c^{2}+y^{2})\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}=2x^{2}-4cx+2c^{2}+2y^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2a^{2}+2y^{2}-2x^{2}+4cx-2y^{2}=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 2a^{2}+4cx=2c^{2}\)
\(\Rightarrow 4cx=2c^{2}-2a^{2}\)
\(\Rightarrow 2cx=c^{2}-a^{2}\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
\(\therefore 2cx=c^{2}-a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\(Q 3.(x)\) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\); \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(5\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=25\).

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) ।
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{-6+6}{2}, \frac{-3+3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{0}{2}, \frac{0}{2})\)
\(\Rightarrow D(0, 0)\)
শর্তমতে, \(AD=\left| 5 \right|\)
\(\Rightarrow AD^{2}=(\left| 5 \right|)^{2}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=5^{2}\)
\(\therefore x^{2}+x^{2}=25\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
[ দেখানো হলো ]

\(Q 3.(xi)\) \(A(x, y)\), \(B(-6, -3)\) এবং \(C(6, 3)\) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু। \(A\) বিন্দুটি একটি সেটের সদস্য যে সেটটির যে কোনো বিন্দু হতে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত মধ্যমার দৈর্ঘ্য একটি স্থির সংখ্যা \(7\) একক। দেখাও যে \(A\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}=49\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(x)\) এর অনুরূপ নিজে কর।

\(Q 3.(xii)\) \(A, B, C\) তিনটি স্থির বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((4, -3)\), \((2, 5)\), \((-3, 1)\). \(P(x, y)\) এমন একটি চলমান বিন্দু যেন সর্বদা \(\triangle PBC=\frac{1}{4}\triangle ABC\) খাটে। \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। Ans: \(4x-5y+5=0\)

সমাধানঃ

\(Q 3.(vi)\) এর অনুরূপ নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply