সঞ্চারপথ ( Locus )

অনুশীলনী \(3.D\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

\((i)\) \(A, B, P\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(\triangle OAP=3\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0\); \((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\); \((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)
সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান

\(Q 4.(i)\) \(A, B, P\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
\((a)\) \(\theta\) পরিবর্তনশীল হলে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\angle APB=90^{o}\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) ও \(P\) বিন্দু \(OA\) এর বিপরীত পার্শে অবস্থিত। \(3\triangle OAP=\triangle OAB\) হলে, \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
Ans: \((a)\) \(x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0\); \((b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\); \((c)\) \(3bx-3ay-ab=0\)

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে, \(P(1+2\cos\theta, -2+2\sin\theta)\)
এখানে, \(1+2\cos\theta=x, -2+2\sin\theta=y\)
\(\Rightarrow 2\cos\theta=x-1, 2\sin\theta=y+2\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-1}{2} ……(i), \sin\theta=\frac{y+2}{2} …….(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\Rightarrow \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta=(\frac{x-1}{2})^{2}+(\frac{y+2}{2})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y+2)^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{x^2-2.x.1+1^{2}}{4}+\frac{y^{2}+2.y.2+2^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow 4=x^2-2.x.1+1^{2}+y^{2}+2.y.2+2^{2}\)[ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^{2}+4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^2+y^{2}-2x+4y+5-4=0\)
\(\therefore x^2+y^{2}-2x+4y+1=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\).
এবং \(\angle APB=90^{o}\)
\(\therefore PA^2+PB^{2}=AB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(x-0)^{2}+(y-b)^{2}=(a-0)^{2}+(b-b)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-a)^{2}+2(y-b)^{2}+x^{2}=(-a)^{2}+0^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.a+a^{2}+2(y^{2}-2.y.b+b^{2})+x^{2}=a^{2}+0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax+a^{2}-4by+2b^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}-2ax-4by+2b^{2}=0\)locus4
\(\Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=\frac{0}{2}\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।]
\(\therefore x^{2}+y^{2}-ax-2by+b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
\((c)\) দেওয়া আছে, \(A(a, b)\), \(B(0, b)\), \(P(x, y)\) এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)।
এবং \(3\triangle OAP=\triangle OAB\).
শর্তমতে, \(3\triangle OAP=-\triangle OAB\).
\(\Rightarrow 3\times \frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ x \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ y \ \ \ \ 0\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ a \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ b \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(\Rightarrow 3(0.b-a.0+a.y-x.b+x.0-0.y)=-(0.b-a.0+a.b-0.b+0.0-0.b)\)
\(\Rightarrow 3(0-0+ay-bx+0-0)=-(0-0+ab-0+0-0)\)
\(\Rightarrow 3ay-3bx=-ab\)
\(\Rightarrow 3bx-3ay=ab\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 3bx-3ay-ab=0\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.