সরলরেখা-১ (Straightline-1)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • সরলরেখার সঙ্গা ও বিস্তারিত বিবরণ।
  • সরলরেখার সমীকরণ চিনবার উপায়।
  • সরলরেখার ঢাল।
  • সরলরেখার বিভিন্ন আকার।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

সরলরেখা (Straight line): একটি বিন্দু-সেট দ্বারা সৃষ্ট সঞ্চারপথ দিক পরিবর্তন না করলে সেই সঞ্চারপথকে সরলরেখা বলে। সঞ্চারপথের সমীকরণকে সরলরেখার সমীকরণ বলে।

সরলরেখার ঢাল (Slope or Gradient): কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার ত্রিকোণমিতিক ট্যানজেন্টকে রেখাটির ঢাল বলে। ঢালকে সাধারণত \(m\) দ্বারা সূচিত করা হয়। \(AB\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল \(m=\tan\theta\).

সরলরেখার সমীকরণ চিহ্নিত করণের উপায়ঃ \(x\) এবং \(y\) এর একঘাত সমীকরণ সর্বদা সরলরেখা প্রকাশ করে। যেমনঃ \(ax+by+c=0\) ইহাকে সরলরেখার সাধারণ সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।

পরামিতিক সমীকরন (Parametric Equation): যখন একটি সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত কোনো বিন্দু \((x, y)\) এর স্থানাঙ্ক শুধুমাত্র একটি চলরাশি (Variable) এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, তখন ঐ চলরাশিকে পরামিতি বা প্যারামিটার ( Parameter ) এবং উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ককে পরামিতিক স্থানাঙ্ক বা প্যারামিটার যুক্ত স্থানাঙ্ক বলা হয়। \(x\) ও \(y\) এর মান জ্ঞাপক সমীকরণদ্বয়কে একত্রে ঐ সঞ্চারপথের পরামিতিক বা প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণ বলে। পরামিতিকে অপসারণ করে যে সমীকরণ পাওয়া যাবে, তা কার্তেসীয় সমীকরণ হবে। সরলরেখার পরামিতিক সমীকরণকে লিখা হয়ঃ \(x=a+bt\), \(y=c+dt\) যখন \(a, b, c, d\) ধ্রুবক এবং \(t\) পরিবর্তনশীল রাশি। এখানে \(t\) কে পরামিতি বলা হয় ।

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল

\(1.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, তার ঢাল

\(m=\tan\theta=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).

Proof

\(2.\) \(X\) অক্ষের সমীকরণ

\(y=0\).

Proof

\(3.\) \(Y\) অক্ষের সমীকরণ

\(x=0\).

Proof

\(4.\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ

\(y=b\).

Proof

\(5.\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ

\(x=a\).

Proof

\(6.\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ

\(y=mx\).

এখানে, \(m\) সরলরেখাটির ঢাল।

Proof

\(7.\) \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \((c)\) এবং ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ

\(y=mx+c\).

Proof

\(8.\) উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \((a, b)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).

Proof

\(9.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং তার ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ

\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\).

Proof

\(10.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ

\(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\).

Proof

\(11.\) মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ

\(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\).

Proof

\(12.\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ

\(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\).

Proof

\(13.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ

\(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\).

যেখানে, \((x, y)\) বিন্দু হতে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর দূরত্ব=\(r\).

Proof

\(14.\) তিনটি সরলরেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ

ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\)
উপরক্ত \((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} \frac{\Delta^{2}}{C_{1}C_{2}C_{3}}\)

যেখানে,\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\ a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\) এবং \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) হচ্ছে \(\Delta\) নির্ণায়কটির যথাক্রমে \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) উপাদানের সহ-গুণক।

অর্থাৎ \(C_{1}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}),\) \(C_{2}= -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}),\) \(C_{3}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\)

Proof

St81

\(15.\)দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুঃ

ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
উপরক্ত \((1)\) এবং \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})\)

Proof

সুত্র প্রতিপাদন

\(1.\) দুইটি বিন্দুর সংযোগ সরলরেখার ঢাল নির্ণয়ঃ

মনে করি, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(A(x_{1}, y_{1})\), \(B(x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে।

\(A\) ও \(B\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(AM\) ও \(BN\) লম্ব আঁকি।
\(RM\parallel BS\) বলে, \(\angle ARM=\angle ABS=\theta \).
এখানে,
\(ON=x_{2}, OM=x_{1}, BN=y_{2}, AM=y_{1} \)
আবার,
\(BS=NM=OM-ON=x_{1}-x_{2}=\delta_{x}\)
\(AS=AM-SM=AM-BN=y_{1}-y_{2}=\delta_{y} \)
সরলরেখাটির ঢাল \(=m=\tan\theta=\frac{AS}{BS}\)
\(=\frac{\delta_{y}}{\delta_{x}}\)
\(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)

\(2.\) \(X\) অক্ষের সমীকরণ নির্ণয়ঃ


\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((x_{1}, 0)\), \((x_{2}, 0)\), \((x_{3}, 0)\) ……\((x_{n}, 0)\).
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\).
\(\therefore X\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\).

\(3.\) \(y\) অক্ষের সমীকরণ নির্ণয়ঃ


\(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, y_{1})\), \((0, y_{2})\), \((0, y_{3})\) ………\((0, y_{n})\).
এখানে, ইহা স্পষ্ট যে, \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত সকল বিন্দুর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\).
\(\therefore Y\) অক্ষের সমীকরণ \(x=0\).

\(4.\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(X\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=b\) এবং \(O\acute{R}=\left|-b\right|=b\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\), \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow y=b\) আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow y=\left|-b\right|=b\)
\(\therefore X\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(Y\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(y=b\).

\(5.\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) সরলরেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং রেখাদ্বয় \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(R\) ও \(\acute{R}\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OR=a\) এবং \(O\acute{R}=\left|-a\right|=a\) হয়।
ধরি, \(PQ\) এবং \(\acute{P}\acute{Q}\) এর উপর যথাক্রমে \(A(x, y)\) ও \(\acute{A}(x, y)\) দুইটি বিন্দু ।
\(X\) অক্ষের উপর \(A(x, y)\), \(\acute{A}(x, y)\) বিন্দু হতে যথাক্রমে \(AC\) ও \(\acute{A}\acute{C}\) লম্ব অঙ্কন করি।
\(\therefore AC=RO \Rightarrow x=a\) আবার, \(\acute{A}\acute{C}=\acute{R}O\Rightarrow x=\left|-a\right|=a\)
\(\therefore Y\) অক্ষের সমান্তরাল বা, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ \(x=a\).

\(6.\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OM=x, PM=y\) এবং \(\angle POM=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PM}{OM}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y}{x}\) [\(\because m=\tan\theta\)]
\(\Rightarrow y=mx \)
\(\therefore\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\).

\(7.\) \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \((c)\) এবং ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c, OM=QR=x, PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) [\(\because m=\tan\theta\)]
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\).

\(8.\) উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \((a, b)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(CD\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(CD\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এবং \(OY\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) এবং \(PN\) লম্ব অঙ্কন করি। অতপর \(P, O\) যোগ করি।
এখানে,
\(OA=a, OB=b, OM=PN=x, PM=y.\)
তাহলে,
\(\triangle AOB=\triangle AOP+\triangle BOP\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a.b=\frac{1}{2}a.y+\frac{1}{2}b.x\) [\(\because \triangle =\frac{1}{2}\times Base \times Height\)]
\(\Rightarrow \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(ay+bx)\)
\(\Rightarrow ab=ay+bx\) [উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow \frac{ab}{ab}=\frac{ay}{ab}+\frac{bx}{ab}\) [উভয় পার্শে \(ab\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow 1=\frac{y}{b}+\frac{x}{a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\).

\(9.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং তার ঢাল \((m)\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) এবং \(Q\) বিন্দু হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\) ও \(QN\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(ON=x_{1}, OM=x, PM=y, QN=y_{1}.\)
\(QR=OM-ON=x-x_{1},\) \(PR=PM-RM=PM-QN=y-y_{1}.\)
এবং \(\angle PCM=\angle PQR=\theta.\)
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\) [\(\because \tan\theta=m\)]
\(\Rightarrow y-y_{1}=m(x-x_{1})\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\).

\(10.\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি দুইটি নির্দিষ্ট \(Q(x_{1}, y_{1})\), \(R(x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং \(X\) অক্ষকে \(E\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\)।
এখন,
\(PQ\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\).
\(QR\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\).
\(P, \ Q, \ R\) একই সরলরেখা \(AB\) এর উপর অবস্থিত।
তাহলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\).

\(11.\) মূলবিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(P(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ।
অর্থাৎ \(OP\) এর সমীকরণ
\(\frac{x-0}{0-x_{1}}=\frac{y-0}{0-y_{1}}\) [\(\because \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\)]
\(\Rightarrow \frac{x}{-x_{1}}=\frac{y}{-y_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x\times -y_{1}}{-x_{1}}=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{x\times y_{1}}{x_{1}}\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\).

\(12.\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয়ঃ


মনে করি, \(PQ\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(O\) বিন্দু হতে \(PQ\) এর উপর \(OC\) লম্ব আঁকি। \(OC\) লম্বের দৈর্ঘ্য \(p\) এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে।
এখন,
\(OA=\frac{OA}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OA=\sec\alpha \times p\)
\(\Rightarrow OA=p\sec\alpha \)
আবার,
\(OB=\frac{OB}{OC}\times OC\)
\(\Rightarrow OB=\sec\angle COB \times p\)
\(\Rightarrow OB=p\sec(90^{o}-\alpha)\) [ \(\because \angle COB=90^{o}-\alpha \) ]
\(\Rightarrow OB=p\ cosec\alpha \)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{OA}+\frac{y}{OB}=1\) [ \(\because \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ]
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sec\alpha}+\frac{y}{p\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\times \frac{1}{\sec\alpha}+\frac{y}{p}\times \frac{1}{\ cosec\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{p}\cos\alpha+\frac{y}{p}\sin\alpha=1\)
\(\Rightarrow x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) [ উভয় পার্শে \(p\) গুণ করে। ]
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x\cos\alpha + y\sin\alpha=p\).

\(13.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমনকারী এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয়ঃ

মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(Q(x_{1}, y_{1})\) দিয়ে গমন করে, \(X\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta \) কোণ উৎপন্ন করে। \(P\) ও \(Q\) হতে \(OX\) এর উপর যথাক্রমে \(PM\), \(QN\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QL\) লম্ব আঁকি।
এখানে,
\(OM=x, \ ON=x_{1}, \ PM=y,\) \(QN=y_{1}, \ PQ=r,\) \(\angle PCM=\angle PQL=\theta \)
\(QL=NM=OM-ON=x-x_{1},\) \(PL=PM-LM=PM-QN=y-y_{1}\)
\(\sin\theta=\frac{PL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \sin\theta=\frac{y-y_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r ……..(i)\)
আবার,
\(\cos\theta=\frac{QL}{PQ}\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{x-x_{1}}{r}\)
\(\Rightarrow r=\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=r ……..(ii)\)
\((i)\) ও \((ii)\) হতে পাই,
\(\Rightarrow \frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x-x_{1}}{\cos\theta}=\frac{y-y_{1}}{\sin\theta}=r\).

\(14.\)একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ দেওয়া আছে । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

মনে করি, কোনো ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ………(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ………(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ………(3)\)
\((1)\), \((2)\), \((3)\) হতে \(x, y\) অপনয়ন করে পাই
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)

ধরি,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(x_{1},y_{1})\Rightarrow a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 ……..(4),\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 ………(5)\)
\((3)\) ও \((1)\) এর ছেদবিন্দু \(B(x_{2},y_{2})\Rightarrow a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}=0 ……..(6),\) \(a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1}=0 ……..(7) \)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(C(x_{3},y_{3})\Rightarrow a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1}=0 ……..(8),\)
\(a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2}=0 ……..(9) \)

এখন, \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right| \)
\(=\frac{1}{2}\frac{\left|\begin{array}{c}x_{1} \ \ y_{1} \ \ \ \ 1\\x_{2} \ \ y_{2} \ \ \ \ 1\\x_{3} \ \ y_{3} \ \ \ \ 1\end{array}\right|\times \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3} \\ a_{1}x_{2}+b_{1}y_{2}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{2}+b_{3}y_{2}+c_{3}\\ a_{1}x_{3}+b_{1}y_{3}+c_{1} \ \ \ \ a_{2}x_{3}+b_{2}y_{3}+c_{2} \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \)
\(=\frac{\left|\begin{array}{c}a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}\end{array}\right|}{2\Delta} \) [(4),(5),(6),(7),(8),(9) এর সাহায্যে ]
\(=\frac{(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2})(a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3})}{2\Delta} ……….(10)\)
ধরি,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=k_{1}\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}-k_{1}=0 …………. (11)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0 …………(12)\)
\(a_{3}x_{1}+b_{3}y_{1}+c_{3}=0 …………. (13)\)
\((11), (12), (13)\) হতে \(x_{1}, y_{1}\) অপনয়ন করে পাই ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}-k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{2} \ \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ c_{3} \ \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ -k_{1}\\a_{2} \ \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \\a_{3} \ \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}\left|\begin{array}{c}a_{2} \ \ \ \ b_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\)
\(\Rightarrow \Delta-k_{1}C_{1}=0\) [ \(C_{1}= \Delta \) নির্ণায়কে \( c_{1}\) এর সহগুণক। ]
\(\Rightarrow \Delta=k_{1}C_{1}\)
\(\Rightarrow k_{1}C_{1}=\Delta\)
\(\therefore k_{1}=\frac{\Delta}{C_{1}}\)
অনুরূপভাবে,
\(a_{2}x_{2}+b_{2}y_{2}+c_{2}=k_{2}, \ a_{3}x_{3}+b_{3}y_{3}+c_{3}=k_{3} \) কল্পনা করে পাই
\(k_{2}=-\frac{\Delta}{C_{2}}, \ k_{3}=\frac{\Delta}{C_{3}}\) [ \(C_{2}, C_{3}\) যথাক্রমে \(\Delta \) নির্ণায়কে \( c_{2},c_{3} \) এর সহগুণক। ]
এখন \((10)\) হতে পাই,
\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{\frac{\Delta}{C_{1}}\times -\frac{\Delta}{C_{2}}\times \frac{\Delta}{C_{3}}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=-\frac{\Delta^{3}}{2\Delta\times C_{1}C_{2}C_{3}}\)
\(=\frac{\Delta^{2}}{2C_{1}C_{2}C_{3}}\) [\(\triangle \neq -ve\)]

\(15.\)দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়ঃ

মনে করি,St81
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ………(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ \frac{y}{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}=\frac{1}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \ y=\frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}, \frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}})\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.