সরলরেখা-১ (Straightline-1)

# উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশ \((1, 5)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে \(y=m_{1}x\), \(y=m_{2}x\) এবং \(y=b\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{b^{2}}{2}\left|(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\right|\)। [ ঢাঃ ২০০৯, কুঃ ২০১০, দিঃ ২০১২ ]

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরী করে এবং মূলবিন্দু থেকে উক্ত রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে । [ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) \(x=3\), \(x=5\), \(y=4\) এবং \(y=6\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত আয়তের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১১ ]

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) \(x+3y-12=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\)

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) মূলবিন্দু এবং \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাসমুহের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\)

সমাধান

উদাহরণ \(8.\) \(ax+by+c=0\), \(bx+cy+a=0\), \(cx+ay+b=0\) সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হলে দেখাও যে, \(a+b+c=0\)। [ ঢঃ ২০১৪ ]

সমাধান

উদাহরণ \(9.\) যে সরলরেখা \((-1, 3)\) এবং \((4,-2)\) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং অক্ষদুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪ ] উত্তরঃ \(x+y=2\); \(2\sqrt{2}\)।

সমাধান

উদাহরণ \(10.\) \(3x-4y-12=0\) সরলরেখার ঢাল এবং অক্ষদুইটি থেকে ছেদিতাংশ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪ ] উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{3}{4}\); \(4\) এবং \(-3\)।

সমাধান

উদাহরণ \(11.\) \(3x+4y+6=0\) সরলরেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। \(3x+4y+6=0\) এর উপরস্থ \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে এর উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); \((10, -9)\) এবং \((-6, 3)\)

সমাধান

উদাহরণ \(12.\) একটি ফ্যাক্টরিতে \(200\) বাল্ব তৈরী করতে \(800\) টাকা এবং \(400\) বাল্ব তৈরী করতে \(1200\) টাকা খরচ হয়। যদি ব্যায় রেখাটি সরলরেখা হয়, তবে এর সমীকরণ নির্ণয় কর। এ থেকে \(300\) বাল্ব তৈরী করতে কত টাকা খরচ হবে তা বের কর।

সমাধান

সৃজনশীল উদাহরণ \(13.\) \(ax+by=c ……..(1)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(2)\) ।
\((a)\) যে সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) একই সরলররেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) ও \(c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\((c)\) \(a=3, \ b=4, \ c=25 \) হলে \((1)\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশ \((1, 5)\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……..(1)\).
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

শর্তমতে, \(A(a, 0)\) এবং \(B(0, b)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু \(C(1, 5)\)।
আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\)।
\(\therefore C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\Rightarrow C(1, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{a+0}{2}=1, \frac{0+b}{2}=5\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=1, \frac{b}{2}=5\)
\(\Rightarrow a=2, b=10\)
\(a\) ও \(b\) এর মান \(\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5x+y}{10}=1\)
\(\Rightarrow 5x+y=10\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(2.\) দেখাও যে \(y=m_{1}x\), \(y=m_{2}x\) এবং \(y=b\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{}{}\left|(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\right|\)। [ ঢাঃ ২০০৯, কুঃ ২০১০, দিঃ ২০১২ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(y=m_{1}x……..(1)\).
\(y=m_{2}x……..(2)\).
\(y=b……..(3)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{1}x=m_{2}x\)
\(\Rightarrow m_{1}x-m_{2}x=0\)
\(\Rightarrow x(m_{1}-m_{2})=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{m_{1}-m_{2}}\)
\(\therefore x=0\)
\((1)\) হতে পাই \(y=0\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{2}x=b\)
\(\Rightarrow x=\frac{b}{m_{2}}\)
\((3)\) হতে পাই \(y=b\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(\frac{b}{m_{2}}, b)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি। \(m_{1}x=b\)
\(\Rightarrow x=\frac{b}{m_{1}}\)
\((3)\) হতে পাই \(y=b\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(B(\frac{b}{m_{1}}, b)\)
এখন,
\(\triangle OAB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 \ \ \frac{b}{m_{2}} \ \ \frac{b}{m_{1}} \ \ \ \ 0\\ 0 \ \ \ \ b \ \ \ \ b \ \ \ \ 0\end{array}\right| \)
\(\Rightarrow OAB=\frac{1}{2}[(0-0)+(\frac{b^{2}}{m_{2}}-\frac{b^{2}}{m_{1}})+(0-0)] \)
\(\Rightarrow OAB=\frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{m_{2}}-\frac{b^{2}}{m_{1}})\)
\(\Rightarrow OAB=-\frac{b^{2}}{2}(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\)
\(\therefore OAB=\frac{b^{2}}{2}(\frac{1}{m_{1}}-\frac{1}{m_{2}})\) বর্গ একক। [ \(\because \triangle \neq -ve\) ]

উদাহরণ \(3.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ তৈরী করে এবং মূলবিন্দু থেকে উক্ত রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে । [ যঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) যেখানে \(\alpha = 45^{o}\)।
\(\therefore x\cos45^{o}+y\sin45^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\times \frac{1}{\sqrt{2}}+y\times \frac{1}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}p}+\frac{y}{\sqrt{2}p}=1 ………(1)\) [ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।]
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}p, 0)\) এবং \(B(0, \sqrt{2}p)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে, \(\triangle AOB=\frac{1}{2}\times OA\times OB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \sqrt{2}p\times \sqrt{2}p=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times 2p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{8}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{2\times 4}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{2\times 2^{2}}\)
\(\Rightarrow p=2\sqrt{2}\) [\(\because p \neq -ve\)]
\(p\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\)
\(\therefore x+y=4\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(4.\) \(x=3\), \(x=5\), \(y=4\) এবং \(y=6\) রেখাগুলি দ্বারা গঠিত আয়তের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১১ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(x=3 …….(1)\)
\(x=5 …….(2)\)
\(y=4 …….(3)\)
\(y=6 …….(4)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(A(3, 4)\)
\((3)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(B(5, 4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(C(5, 6)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(D(3, 6)\)
এখন,
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-5}=\frac{y-4}{4-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{-2}\)
\(\Rightarrow x-3=y-4\)
\(\Rightarrow x-3-y+4=0\)
\(\therefore x-y+1=0\)
আবার,
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-5}{5-3}=\frac{y-4}{4-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-2}\)
\(\Rightarrow x-5=-(y-4)\)
\(\Rightarrow x-5=-y+4\)
\(\Rightarrow x-5+y-4=0\)
\(\therefore x+y-9=0\)
\(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+1=0\) এবং \(x+y-9=0\)।

উদাহরণ \(5.\) \(x+3y-12=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-6y=0\) এবং \(2x-3y=0\). [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ]

locus4

সমাধানঃ

\(x+3y-12=0\)
\(\Rightarrow x+3y=12\)
\(\Rightarrow \frac{x+3y}{12}=\frac{12}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{3y}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং রেখাটি অক্ষ দ্বয়কে যথাক্রমে \(A(12, 0)\) এবং \(B(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
ধরি, \(P\) এবং \(Q\) বিন্দু দুইটি \(AB\) রেখাংশকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ \(P\) এবং \(Q\) বিন্দু দুইটি \(\) রেখাংশকে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{1.0+2.12}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{0+24}{3}, \frac{4+0}{3})\)
\(\Rightarrow P(\frac{24}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\therefore P(8, \frac{4}{3})\)
আবার,
\(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(Q(\frac{2.0+1.12}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{0+12}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{12}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\therefore Q(4, \frac{8}{3})\)
এখন,
\(OP\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{0-\frac{4}{3}}{0-8}\)
\(=\frac{\frac{4}{3}}{8}\)
\(=\frac{4}{3\times 8}\)
\(=\frac{1}{3\times 2}\)
\(=\frac{1}{6}\)
আবার,
\(OQ\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-\frac{8}{3}}{0-4}\)
\(=\frac{\frac{8}{3}}{4}\)
\(=\frac{8}{3\times 4}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(OP\) এর সমীকরণ \(y=m_{1}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{6}x\)
\(\Rightarrow 6y=x\)
\(\Rightarrow x=6y\)
\(\therefore x-6y=0\)
\(OQ\) এর সমীকরণ \(y=m_{2}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=2x\)
\(\Rightarrow 2x=3y\)
\(\therefore 2x-3y=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \(\therefore x-6y=0\) এবং \(\therefore 2x-3y=0\).

উদাহরণ \(6.\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\).

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(7.\) মূলবিন্দু এবং \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশের সমত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাসমুহের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১০, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(5x-8y=0\) এবং \(5x-2y=0\).

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(8.\) \(ax+by+c=0\), \(bx+cy+a=0\), \(cx+ay+b=0\) সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হলে দেখাও যে, \(a+b+c=0\)। [ ঢঃ ২০১৪ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\(bx+cy+a=0 ……..(2)\)
\(cx+ay+b=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times c-(2)\times b\) এর সাহায্যে,
\((ax+by+c)\times c-(bx+cy+a)\times b=0\times c-0\times b\)
\(\Rightarrow acx+bcy+c^{2}-b^{2}x-bcy-ab=0-0\)
\(\Rightarrow acx+c^{2}-b^{2}x-ab=0\)
\(\Rightarrow x(ac-b^{2})+c^{2}-ab=0\)
\(\Rightarrow x(ac-b^{2})=ab-c^{2}\)
\(\therefore x=\frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}\)
আবার,
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times b-(2)\times a\) এর সাহায্যে,
\((ax+by+c)\times b-(bx+cy+a)\times a=0\times b-0\times a\)
\(\Rightarrow abx+b^{2}y+bc-abx-acy-a^{2}=0-0\)
\(\Rightarrow b^{2}y+bc-acy-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow y(b^{2}-ac)-a^{2}+bc=0\)
\(\Rightarrow y(b^{2}-ac)=a^{2}-bc\)
\(\therefore y=\frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac}\)
\(\therefore \) \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবন্দু \((\frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}, \frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac})\) যা \((3)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore c\times \frac{ab-c^{2}}{ac-b^{2}}+a\times \frac{a^{2}-bc}{b^{2}-ac}+b=0\)
\(\Rightarrow \frac{abc-c^{3}}{ac-b^{2}}-\frac{a^{3}-abc}{ac-b^{2}}+b=0\)
\(\Rightarrow \frac{abc-c^{3}-a^{3}+abc+b(ac-b^{2})}{ac-b^{2}}=0\)
\(\Rightarrow abc-c^{3}-a^{3}+abc+abc-b^{3}=0\times (ac-b^{2})\)
\(\Rightarrow -a^{3}-b^{3}-c^{3}+3abc=0\)
\(\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\times -1\)
\(\Rightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) কিন্তু \(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \neq 0\) [\((a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=0\) হলে, সমীকরণ তিনটির ভিন্নতা থাকে না।]
\(\therefore a+b+c=0\) দেখানো হলো।

উদাহরণ \(9.\) যে সরলরেখা \((-1, 3)\) এবং \((4,-2)\) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং অক্ষদুইটির মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪ ] উত্তরঃ \(x+y=2\); \(2\sqrt{2}\).

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(-1, 3)\) এবং \(B(4,-2)\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-3}{3+2}\) [\(\because \frac{x+x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y+y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) ]
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{1}\)
\(\Rightarrow x+1=-(y-3)\)
\(\Rightarrow x+1=-y+3\)
\(\Rightarrow x+1+y-3=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\)
\(\therefore x+y=2\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
\(x+y=2\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1 ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(C(2, 0)\) ও \(D(0, 2 )\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন,
\(CD=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{4+4}\)
\(=\sqrt{8}\)
\(=\sqrt{2\times 4}\)
\(=\sqrt{2\times (2)^{2}}\)
\(=2\sqrt{2}\) ইহাই অক্ষদ্বয় দ্বারা খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য।

উদাহরণ \(10.\) \(3x-4y-12=0\) সরলরেখার ঢাল এবং অক্ষদুইটি থেকে ছেদিতাংশ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪ ] উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{3}{4}\); \(4\) এবং \(-3\).

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(3x-4y-12=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{-4}\) । [ \(\because m=-\frac{x-এর সহগ}{y-এর সহগ}\) ] ।
\(=\frac{3}{4}\)
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-12}{3}\) [ \(\because a=-\frac{constant}{x-এর সহগ}\) ] ।
\(=4\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-12}{-4}\) [ \(\because b=-\frac{constant}{y-এর সহগ}\) ] ।
\(=-3\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{3}{4}\); ছেদিতাংশ \(=4\) এবং \(=-3\)

উদাহরণ \(11.\) \(3x+4y+6=0\) সরলরেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। \(3x+4y+6=0\) এর উপরস্থ \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে এর উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); \((10, -9)\) এবং \((-6, 3)\)

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(3x+4y+6=0 …….(1)\)
\(\Rightarrow 3x+4y=-6\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{5}+\frac{4y}{5}=\frac{-6}{5}\) [\(\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) দ্বারা ভাগ করে।]
\(\Rightarrow x\frac{3}{5}+y\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow x(-\frac{3}{5})+y(-\frac{4}{5})=\frac{6}{5}\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে। ]
এখানে,
\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}, \sin\alpha=-\frac{4}{5}, p=\frac{6}{5}\) [ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) এর সঙ্গে তুলুনা করে। ]
\(\therefore \) মূলবিন্দু হতে সরলরেখাটির দূরত্ব \(=\frac{6}{5}\)
আবার,
ধরি \((1)\) নং সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)
এ ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়।
\(\frac{x-2}{\cos\alpha}=\frac{y+3}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\cos\alpha}=10, \ \frac{y+3}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow x-2=10\cos\alpha, \ y+3=10\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=10\cos\alpha+2, \ y=10\sin\alpha-3\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times -\frac{4}{5}+2, \ y=10\times \frac{3}{5}-3\)
\(\Rightarrow x=-8+2, \ y=6-3\)
\(\therefore x=-6, \ y=3\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times \frac{4}{5}+2, \ y=10\times -\frac{3}{5}-3\)
\(\Rightarrow x=8+2, \ y=-6-3\)
\(\therefore x=10, \ y=-9\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((-6, 3)\) এবং \((10, -9)\) ।

উদাহরণ \(12.\) একটি ফ্যাক্টরিতে \(200\) বাল্ব তৈরী করতে \(800\) টাকা এবং \(400\) বাল্ব তৈরী করতে \(1200\) টাকা খরচ হয়। যদি ব্যায় রেখাটি সরলরেখা হয়, তবে এর সমীকরণ নির্ণয় কর। এ থেকে \(300\) বাল্ব তৈরী করতে কত টাকা খরচ হবে তা বের কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(x\) সংখ্যক বাল্ব তৈরী করতে খরচ হয় \(y\) টাকা।
তাহলে,
\(P(x_{1}, y_{1})\Rightarrow P(200, 800)\)
\(Q(x_{2}, y_{2})\Rightarrow Q(400, 1200)\)
\(PQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-200}{200-400}=\frac{y-800}{800-1200}\)
\(\Rightarrow \frac{x-200}{-200}=\frac{y-800}{-400}\)
\(\Rightarrow x-200=\frac{y-800}{2}\)
\(\Rightarrow 2(x-200)=y-800\)
\(\Rightarrow 2x-400=y-800\)
\(\Rightarrow y-800=2x-400\)
\(\Rightarrow y=2x-400+800\)
\(\therefore y=2x+400\) যা নির্ণেয় সমীকরণ।
এখন, বাল্বের সংখ্যা \(x=300\) হলে,
\(y=2\times 300+400\)
\(\Rightarrow y=600+400\)
\(\Rightarrow y=1000\)
\(\therefore 300\) বাল্ব তৈরী করতে খরচ হবে \(1000 \) টাকা।

সৃজনশীল উদাহরণ \(13.\) \(ax+by=c ……..(1)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(2)\) ।
\((a)\) যে সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয় তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) ও \((2)\) একই সরলররেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) ও \(c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর
\((c)\) \(a=3, \ b=4, \ c=25 \) হলে \((1)\) রেখার উপর \((-5, 10)\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

\((a)\) মনে করি, রেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……(3) \)।
\((3)\) নং রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\) ।
আবার, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু দেওয়া আছে \(C(2, 3)\)।
\(\therefore C(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\Rightarrow C(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a+0}{2}=2 , \frac{0+b}{2}=3 \)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=2 , \frac{b}{2}=3 \)
\(\Rightarrow a=4 , b=6 \)
\((3)\) নং হতে পাই,
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x+2y=12\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(3x+2y=12\)।

সমাধানঃ

\((b)\) দেওয়া আছে,locus4
\(ax+by-c=0 ……..(1)\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{p}, \ \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=ap, \ c\sin\alpha=bp \)
\(\Rightarrow \cos\alpha=\frac{ap}{c} ………(3), \ \sin\alpha=\frac{bp}{c} ……..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=(\frac{ap}{c})^{2}+(\frac{bp}{c})^{2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}+b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

সমাধানঃ

\((c)\) দেওয়া আছে, \(a=3, b=4, c=25\)।
সে ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণ দাঁড়ায় \(3x+4y-25=0 ………(1) \)।
এখন, \((1)\) নং সরলরেখা যদি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে।
তবে, এর ঢাল হবে \(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)।
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)locus4
এ ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণকে লিখা যায়।
\(\frac{x+5}{\cos\alpha}=\frac{y-10}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{\cos\alpha}=10, \ \frac{y-10}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow x+5=10\cos\alpha, \ y-10=10\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=10\cos\alpha-5, \ y=10\sin\alpha+10\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times -\frac{4}{5}-5, \ y=10\times \frac{3}{5}+10\)
\(\Rightarrow x=-8-5, \ y=6+10\)
\(\therefore x=-13, \ y=16\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times \frac{4}{5}-5, \ y=10\times -\frac{3}{5}+10\)
\(\Rightarrow x=8-5, \ y=-6+10\)
\(\therefore x=3, \ y=4\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((16, -13)\) এবং \((3, 4)\) ।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.