সরলরেখা-১ (Straightline-1)

# অনুশীলনী \(3.E\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) নিম্নলিখিত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \((2, -1)\) এবং \((-3, 5)\) ; \((b)\) \((7, 5)\) এবং \((0, -4)\) ; \((c)\) \((a, b)\) এবং \((-a, -b)\); \((d)\) \((a, b)\) এবং \((a+b, a-b)\) । উত্তরঃ \((a)\ 6x+5y-7=0; \ (b) \ 11x-6y-24=0; \ (c) \ bx-ay=0; \ (d) \ (2b-a)x+by+a^{2}-2ab-b^{2}\)।
সমাধান
\((ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(4x-3y=0\)।
সমাধান
\((iii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সাথে \((a)\) \(60^{o}\) এবং \((b)\) \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \((a)\) \(y-\sqrt{3}x=0\); \((b)\) \(x+y=0\)।
সমাধান
\((iv)\) \(6x-5y+30=0\) সরলরেখাটির ঢাল এবং অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); খন্ডিতাংশ \(=-5\) এবং \(6\)।
সমাধান
\((v)\) দুইটি সরলরেখা উভয়ে \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা যথাক্রমে \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর উপর লম্ব । রেখা দ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y+4=0\) এবং \(x-3=0\)।
সমাধান
\((vi)\) \(ax+by=c\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) এবং \(c\) তে প্রকাশ কর । [ দিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(p=\pm\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)।
সমাধান
\((vii)\) \(3x+7y=21\) এবং \(2ax-3by+6=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।
সমাধান
\((viii)\) \(12x+5y-6=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\frac{6}{13}\)।
সমাধান
\((ix)\) \(3x+\sqrt{3}y+2=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)।
সমাধান
\((x)\) \(3x-4y=12\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এবং \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\pm \frac{12}{5}\); \(\tan^{-1}(-\frac{4}{3})\)।
সমাধান
\((xi)\) দেখাও যে \(x-2y+5=0\) রেখাটি \((-3, 6)\) বিন্দু হতে \(x-2y-5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত সকল সরলরেখাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। [ ঢাঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, দিঃ ২০১২ ] ।
সমাধান
\((xii)\) একটি সরলরেখা \((1, 2)\) ও \((3, 4)\) বিন্দুগামী এবং \((x, y)\) বিন্দুটি তার উপর অবস্থিত । দেখাও যে, \(x-y+1=0\)। [ ঢাঃ ২০০৩,রাঃ ২০০৬ ] ।
সমাধান
\((xiii)\) \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\) রেখাটি \(A(-7, 3)\) \(B(1, -5)\) রেখার উপর লম্ব হলে, দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।
সমাধান
\((xiv)\) \((a, b)\), \((\acute{a}, \acute{b})\), \((a-\acute{a}, b-\acute{b})\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)। [ কুঃ ২০০৯ ] ।
সমাধান
\((xv)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((3, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x+y-8=0\)।
সমাধান
\((xvi)\) কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(3x+2y=12\)।
সমাধান
\((xvii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((6, 2)\) বিন্দুতে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ দিঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x+2y-10=0\)।
সমাধান
\((xviii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(9x-20y+96=0\)।
সমাধান
\((xix)\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে, এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(5x-2y=0\); \(5x-8y=0\)।
সমাধান
\((xx)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\sin^{-1}(\frac{5}{13})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের ছেদাংশ \(5\) একক । উত্তরঃ \(12y=5x+60\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.E\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 1.(i)\) নিম্নলিখিত দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \((2, -1)\) এবং \((-3, 5)\) ; \((b)\) \((6, 7)\) এবং \((0, -4)\) ; \((c)\) \((a, b)\) এবং \((-a, -b)\); \((d)\) \(a, b)\) এবং \((a+b, a-b)\) । উত্তরঃ \((a)\ 6x+5y-7=0; \ (b) \ 11x-6y-24=0; \ (c) bx-ay=0; \ (d) (2b-a)x+by+a^{2}-2ab-b^{2}=0\)।
.

locus4
\((a)\)মনে করি, \(A(2, -1)\) এবং \(B(-3, 5)\)
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2+3}=\frac{y+1}{-1-5}\) [ \(\because \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) ]
\(\Rightarrow \frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{-6}\)
\(\Rightarrow 5(y+1)=-6(x-2)\)
\(\Rightarrow 5y+5=-6x+12\)
\(\Rightarrow 5y+5+6x-12=0\)
\(\therefore 6x+5y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\)মনে করি, \(A(6, 7)\) এবং \(B(0, -4)\)locus4
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-6}{6-0}=\frac{y-7}{7+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{6}=\frac{y-7}{11}\)
\(\Rightarrow 11(x-6)=6(y-7)\)
\(\Rightarrow 11x-66=6y-42\)
\(\Rightarrow 11x-66-6y+42=0\)
\(\therefore 11x-6y-24=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((c)\)মনে করি, \(A(a, b)\) এবং \(B(-a, -b)\)locus4
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a+a}=\frac{y-b}{b+b}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{2a}=\frac{y-b}{2b}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{a}=\frac{y-b}{b}\)
\(\Rightarrow b(x-a)=a(y-b)\)
\(\Rightarrow bx-ab=ay-ab\)
\(\Rightarrow bx-ab-ay+ab=0\)
\(\therefore bx-ay=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((d)\)মনে করি, \(A(a, b)\) এবং \(B(a+b, a-b)\)locus4
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a-a-b}=\frac{y-b}{b-a+b}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{-b}=\frac{y-b}{2b-a}\)
\(\Rightarrow (2b-a)(x-a)=-b(y-b)\)
\(\Rightarrow x(2b-a)-2ab+a^{2}=-by+b^{2}\)
\(\Rightarrow x(2b-a)-2ab+a^{2}+by-b^{2}=0\)
\(\therefore (2b-a)x+by+a^{2}-2ab-b^{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(4x-3y=0\)

মনে করি, \(O(0, 0)\) এবং \(A(3, 4)\)locus4
\(AB\)এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-3}=\frac{y-0}{0-4}\) [ \(\because \frac{x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y-y_{1}}{y_{1}-y_{2}}\) ]
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}=\frac{y}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=3y\)
\(\therefore 4x-3y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(iii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সাথে \((a)\) \(60^{o}\) এবং \((b)\) \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \((a)\) \(y-\sqrt{3}x=0\); \((b)\) \(x+y=0\)।

locus4
\((a)\) দেওয়া আছে, \( \theta=60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow m=\sqrt{3}\) [\(\because \tan60^{o}=\sqrt{3}\)]
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=\sqrt{3}x\)
\(\therefore y-\sqrt{3}x=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) দেওয়া আছে, \( \theta=135^{o}\) locus4
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(\Rightarrow m=-\tan45^{o}\) [ দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক ]
\(\Rightarrow m=-1\) [\(\because \tan45^{o}=1\)]
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=-1\times x\)
\(\Rightarrow y=-x\)
\(\therefore x+y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(iv)\) সরলরেখাটির ঢাল এবং অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ ঢাল \(=\frac{6}{5}\); খন্ডিতাংশ \(=-5\) এবং \(6\)।

মনে করি, \(6x-5y+30=0 ……..(1)\)locus4
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{6}{-5}\) [ \(\because m=-\frac{x-এর সহগ}{y এর সহগ}\) ] ।
\(=\frac{6}{5}\)
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{30}{6}\) [ \(\because a=-\frac{constant}{x এর সহগ}\) ] ।
\(=-5\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{30}{-5}\) [ \(\because b=-\frac{constant}{y এর সহগ}\) ] ।
\(=6\)
\(\therefore \) ঢাল \(=\frac{6}{5}\); ছেদিতাংশ \(=-5\) এবং \(=6\)

সমাধানঃ \(Q 1.(v)\) দুইটি সরলরেখা উভয়ে \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা যথাক্রমে \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং এর উপর লম্ব । রেখা দ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y+4=0\) এবং \(x-3=0\)।

locus4
মনে করি, \(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(y=b ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((3, -4)\) বন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore -4=b\)
\(\Rightarrow b=-4\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে।
\(y=-4\)
\(\therefore y+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
মনে করি, \(X\) অক্ষের উপর লম্ব বা \(Y\) সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ \(x=a ……..(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((3, -4)\) বন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3=a\)
\(\Rightarrow a=3\)
\((2)\) নং সমীকরণ হতে।
\(x=3\)
\(\therefore x-3=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(vi)\) \(ax+by=c\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান \(a, b\) এবং \(c\) তে প্রকাশ কর । [ দিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(p=\pm\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)।

মনে করি, \(ax+by-c=0 ………(1)\)
এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0 ………..(2)\)locus4
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{p}, \ \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{p}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=ap, \ c\sin\alpha=bp \)
\(\Rightarrow \cos\alpha=\frac{ap}{c} ………(3), \ \sin\alpha=\frac{bp}{c} ……..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি।
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=(\frac{ap}{c})^{2}+(\frac{bp}{c})^{2}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}p^{2}+b^{2}p^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore p=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ইহাই নির্ণেয় \(p\) এর মান।

সমাধানঃ \(Q 1.(vii)\) \(3x+7y=21\) এবং \(2ax-3by+6=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(a=-\frac{3}{7}, b=\frac{2}{3}\)।

মনে করি, \(3x+7y-21=0 ………(1)\)locus4
\(2ax-3by+6=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{2a}{3}=\frac{-3b}{7}=\frac{6}{-21}\) হয়।
\(\Rightarrow \frac{2a}{3}=\frac{6}{-21}, \ \frac{-3b}{7}=\frac{6}{-21}\)
\(\Rightarrow a=\frac{6}{-21}\times \frac{3}{2}, \ b=\frac{6}{-21}\times \frac{7}{-3}\)
\(\therefore a=-\frac{3}{7}, \ b=\frac{2}{3}\)।

সমাধানঃ \(Q 1.(viii)\) \(12x+5y-6=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\frac{6}{13}\)।

\(Q 1.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(ix)\) \(3x+\sqrt{3}y+2=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)।

\(Q 1.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(x)\) \(3x-4y=12\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে \(p\) এবং \(\alpha\) এর মান নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(p=\pm \frac{12}{5}\); \(\tan^{-1}(-\frac{4}{3})\)।

\(Q 1.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xi)\) দেখাও যে \(x-2y+5=0\) রেখাটি \((-3, 6)\) বিন্দু হতে \(x-2y-5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত সকল সরলরেখাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। [ ঢাঃ ২০০৯, চঃ ২০১১, দিঃ ২০১২ ] ।

মনে করি,
\(x-2y+5=0 ………(1)\)locus4
\(x-2y-5=0 ………(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখার উপর যে কোনো বিন্দু \(A(x, y)\)
এবং দেওয়া আছে নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(B(-3, 6)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \((\frac{x-3}{2}, \frac{y+6}{2})\) এই বিন্দুটি \((1)\) এ বসিয়ে পাই।
\(\frac{x-3}{2}-2\frac{y+6}{2}+5=0\)
\(\Rightarrow \frac{x-3-2(y+6)+10}{2}=0\)
\(\Rightarrow x-3-2(y+6)+10=0\times 2\)
\(\Rightarrow x-3-2y-12+10=0\)
\(\Rightarrow x-2y-15+10=0\)
\(\therefore x-2y-5=0\) যা \((2)\) সমীকরণ।
দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 1.(xii)\) একটি সরলরেখা \((1, 2)\) ও \((3, 4)\) বিন্দুগামী এবং \((x, y)\) বিন্দুটি তার উপর অবস্থিত । দেখাও যে, \(x-y+1=0\)। [ ঢাঃ ২০০৩,রাঃ ২০০৬ ] ।

মনে করি,
\(A(1, 2)\) ও \(B(3, 4)\) এবং \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \((x, y)\)। locus4
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-2}{2-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{-2}\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\) দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 1.(xiii)\) \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\) রেখাটি \(A(-7, 3)\) \(B(1, -5)\) রেখার উপর লম্ব হলে, দেখাও যে, \(x-y+1=0\)।

দেওয়া আছে, \(P(x, y)\) \(C(1, 2)\), \(A(-7, 3)\) এবং \(B(1, -5)\)locus4
\(PC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-2}{x-1}\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{3+5}{-7-1}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{8}{-8}\)
\(\therefore m_{2}=-1\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-1}\times -1=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-1}=1\)
\(\Rightarrow x-1=y-2\)
\(\Rightarrow x-1-y+2=0\)
\(\therefore x-y+1=0\) দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 1.(xiv)\) \((a, b)\), \((\acute{a}, \acute{b})\), \((a-\acute{a}, b-\acute{b})\) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, দেখাও যে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)। [ কুঃ ২০০৯ ] ।

মনে করি, \(A(a, b)\), \(B(\acute{a}, \acute{b})\), \(C(a-\acute{a}, b-\acute{b})\)locus4
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{b-\acute{b}}{a-\acute{a}}\)
\(AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{b-(b-\acute{b})}{a-(a-\acute{a})}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{b-b+\acute{b}}{a-a+\acute{a}}\)
\(\Rightarrow m_{2}=\frac{\acute{b}}{\acute{a}}\)
বিন্দুগুলি সমরেখ বলে,
\(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{b-\acute{b}}{a-\acute{a}}=\frac{\acute{b}}{\acute{a}}\)
\(\Rightarrow a\acute{b}-\acute{a}\acute{b}=\acute{a}b-\acute{a}\acute{b}\)
\(\Rightarrow a\acute{b}-\acute{a}\acute{b}+\acute{a}\acute{b}=\acute{a}b\)
\(\therefore a\acute{b}=\acute{a}b\)
এখন ,
\(AC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-a}{a-a+\acute{a}}=\frac{y-b}{b-b+\acute{b}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-a}{\acute{a}}=\frac{y-b}{\acute{b}}\)
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}=\acute{a}y-\acute{a}b\)
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}=\acute{a}y-a\acute{b}\) [\(\because a\acute{b}=\acute{a}b\)]
\(\Rightarrow \acute{b}x-a\acute{b}+a\acute{b}=\acute{a}y\)
\(\Rightarrow \acute{b}x=\acute{a}y\) যা মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
\(\therefore \) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, এদের সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(a\acute{b}=\acute{a}b\)।
দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 1.(xv)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((3, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x+y-8=0\)।

দেওয়া আছে, সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে ।locus4
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan135^{o}\)।
\(=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(=\tan135^{o}\)
\(=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(=-\tan45^{o}\) [ দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক ]
\(=-1\) [\(\because \tan45^{o}=1\)]
\(\therefore \) \(A(3, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ।
\(y-5=-1(x-3)\) [\(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)]
\(\Rightarrow y-5=-x+3\)
\(\Rightarrow y-5+x-3=0\)
\(\Rightarrow x+y-8=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xvi)\) কোনো সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((2, 3)\) বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(3x+2y=12\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……..(1)\) ।locus4
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2})\)।
\(\Rightarrow E(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \Rightarrow E(2, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{a}{2}=2, \frac{b}{2}=3\)
\(\Rightarrow a=4, b=6\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{12}=1\)
\(\therefore 3x+2y=12\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xvii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((6, 2)\) বিন্দুতে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ দিঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x+2y-10=0\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……..(1)\) ।locus4
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) কে \(2:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দু \(E(\frac{2.0+3.a}{2+3}, \frac{2.b+3.0}{2+3})\)।
\(\Rightarrow E(\frac{0+3a}{5}, \frac{2b+0}{5})\)
\(\Rightarrow E(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5}) \Rightarrow E(6, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{5}=6, \frac{2b}{5}=2\)
\(\Rightarrow 3a=30, 2b=10\)
\(\Rightarrow a=\frac{30}{3}, b=\frac{10}{2}\)
\(\Rightarrow a=10, b=5\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+2y}{10}=1\)
\(\Rightarrow x+2y=10\)
\(\therefore x+2y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xviii)\) একটি সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়; রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ সিঃ ২০১১, বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(9x-20y+96=0\)।

\(Q 1.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xix)\) \(5x+4y-20=0\) সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে, এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(5x-2y=0\); \(5x-8y=0\)।

দেওয়া আছে, \(5x+4y-20=0 \) ।locus4
\(\Rightarrow 5x+4y=20 \)
\(\Rightarrow \frac{5x}{20}+\frac{4y}{20}=\frac{20}{20} \) [ উভয় পার্শে \(20\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1 ……….(1) \)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(4, 0)\) ও \(B(0, 5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ \(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) এর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{1.0+2.4}{1+2}, \frac{1.5+2.0}{1+2})\)।
\(\Rightarrow P(\frac{0+8}{3}, \frac{5+0}{3})\)।
\(\Rightarrow P(\frac{8}{3}, \frac{5}{3})\)।
\(Q\) এর স্থানাঙ্ক \(Q(\frac{2.0+1.4}{2+1}, \frac{2.5+1.0}{2+1})\)।
\(\Rightarrow Q(\frac{0+4}{3}, \frac{10+0}{3})\)।
\(\Rightarrow Q(\frac{4}{3}, \frac{10}{3})\)।
\(OP\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-\frac{8}{3}}=\frac{y-0}{0-\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{8}{3}}=\frac{y}{-\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{8}{3}}=\frac{y}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{8}=\frac{3y}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8}=\frac{y}{5}\) [ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow 5x=8y\)
\(\therefore 5x-8y=0\)
\(OQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-\frac{4}{3}}=\frac{y-0}{0-\frac{10}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{4}{3}}=\frac{y}{-\frac{10}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{4}{3}}=\frac{y}{\frac{10}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{4}=\frac{3y}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{10}\) [ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow 10x=4y\)
\(\Rightarrow 5x=2y\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।]
\(\therefore 5x-2y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(\therefore 5x-8y=0\) এবং \(\therefore 5x-2y=0\)।

সমাধানঃ \(Q 1.(xx)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\sin^{-1}(\frac{5}{13})\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(Y\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের ছেদাংশ \(5\) একক । উত্তরঃ \(12y=5x+60\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(y=mx+c ……..(1)\)locus4
দেওয়া আছে, \(\theta=\sin^{-1}(\frac{5}{13}), \ c= 5 \) ।
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan\theta=\tan\sin^{-1}(\frac{5}{13})\)
\(=\tan\tan^{-1}(\frac{5}{12})\) [\(\because \sin^{-1}(\frac{5}{13})=\tan^{-1}(\frac{5}{12})\)]
\(=\frac{5}{12}\)
\((1)\) হতে পাই।
\(y=\frac{5}{12}x+5\)
\(\Rightarrow 12y=5x+60\)[ উভয় পার্শে \(12\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 5x+60=12y\)
\(\therefore 5x-12y+60=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.