সরলরেখা-১ (Straightline-1)

# অনুশীলনী \(3.E\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) চলমান রেখাটি অক্ষরেখা দুইটিকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, এখানে \(P\) ধ্রুবক । দেখাও যে, \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে \(P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)।
সমাধান
\((ii)\) একটি বর্গের কর্ণদ্বয় অক্ষদ্বয় বরাবর এবং প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\) একক । বর্গের চারটি বাহুর সমীকরণ বের কর। উত্তরঃ \(x+y+2=0; \ x-y-2=0; \ x+y-2=0; \ x-y+2=0\)।
সমাধান
\((iii)\) একটি সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের সমষ্টি \(15\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।
সমাধান
\((iv)\) যে সরলরেখাটি \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(6\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(3x+2y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।
সমাধান
\((v)\) যে সরলরেখাটি \((6, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(=1\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(x+4y=2\) বা, \(x+9y+3=0\)।
সমাধান
\((vi)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমান সমান অংশ ছেদ করে এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [কুঃ ২০০৪, দিঃ ২০১১] উত্তরঃ \(x+y=\alpha+\beta\)।
সমাধান
\((vii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 8)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের ধনাত্মক অংশ ছেদ করে । উত্তরঃ \(x+y-5=0\)।
সমাধান
\((viii)\) একটি সরলরেখা \((3, 7)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-y+4=0\)।
সমাধান
\((ix)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(4\) একক । [ কুঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
সমাধান
\((x)\) একটি সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(4x+y=8\)।
সমাধান
\((xi)\) \(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত ; \(AB\) সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১১, যঃ,ঢাঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(x+y-6=0\)।
সমাধান
\((xii)\) দেখাও যে, \(x=a\), \(y=b\) এবং \(y=mx\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\) । [ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ] ।
সমাধান
\((xiii)\) \(2y+x-5=0\), \(y+2x-7=0\) এবং \(x-y+1=0\) রেখাত্রয়ের সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর । [ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)বর্গ একক ।
সমাধান
\((xiv)\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) একক এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ মাঃবঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(x-\sqrt{3}y+10=0\)।
সমাধান
\((xv)\) একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+2y-4=0\) এবং \(2x-y-3=0\) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমকোণী । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(7\frac{1}{2}\) বর্গ একক ।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.E\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 2.(i)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) চলমান রেখাটি অক্ষরেখা দুইটিকে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, এখানে \(P\) ধ্রুবক । দেখাও যে, \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে \(P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)।

মনে করি, \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(1)\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=\frac{p}{p}\) [ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}}=1 ……….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{p}{\cos\alpha}, 0)\) ও \(B(0, \frac{p}{\sin\alpha})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{\frac{p}{\cos\alpha}+0}{2}, \frac{0+\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{\frac{p}{\cos\alpha}}{2}, \frac{\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{p}{2\cos\alpha}, \frac{p}{2\sin\alpha})\).
এখানে,
\(\frac{p}{2\cos\alpha}=x, \frac{p}{2\sin\alpha}=y\).
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha=p, 2y\sin\alpha=p\).
\(\therefore \cos\alpha=\frac{p}{2x} ………(3), \sin\alpha=\frac{p}{2y} ………(4)\).
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\((\cos\alpha)^{2}+(\sin\alpha)^{2}=(\frac{p}{2x})^{2}+(\frac{p}{2y})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{p^{2}}{4x^{2}}+\frac{p^{2}}{4y^{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}}{4x^{2}y^{2}}\)
\(\Rightarrow p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}=4x^{2}y^{2}\)
\(\therefore p^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)
দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 2.(ii)\) একটি বর্গের কর্ণদ্বয় অক্ষদ্বয় বরাবর এবং প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য \(4\) একক । বর্গের চারটি বাহুর সমীকরণ বের কর। উত্তরঃ \(x+y+2=0; \ x-y-2=0; \ x+y-2=0; \ x-y+2=0\)।

মনে করি, বর্গের কর্ণদ্বয় \(AC\) ও \(BD\) যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) অক্ষ বরাবর ।
দেওয়া আছে, \(AC=BD=4\)।locus4
\(\Rightarrow AO=CO=BO=DO=2\)
তাহলে, \( A(-2, 0), C(2, 0), B(0, -2), D(0, 2)\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+2}{-2-0}=\frac{y-0}{0+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-1}=\frac{y}{1}\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x+2=-y\)
\(\therefore x+y+2=0\)
\(BC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-2}=\frac{y+2}{-2-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y+2}{-2}\)
\(\Rightarrow x=y+2\) [ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।]
\(\therefore x-y-2=\)
\(CD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-0}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-1}\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-2=-y\)
\(\therefore x+y-2=0\)
\(AD\) এর সমীকরণ \(\frac{x+2}{-2-0}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow x+2=y\) [ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।]
\(\therefore x-y+2=0\)
\(\therefore \) বর্গের চারটি বাহুগুলির সমীকরণ \(x+y+2=0; \ x-y-2=0; \ x+y-2=0; \ x-y+2=0\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(iii)\) একটি সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের সমষ্টি \(15\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।locus4
\(\therefore \frac{2}{a}+\frac{6}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2b+6a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow 2b+6a=ab\)
\(\Rightarrow 2b+6a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a-2)=-6a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6a}{-(a-2)}\)
\(\therefore b=\frac{6a}{a-2} ………(2)\)
শর্তমতে, \(a+b=15\)
\(\Rightarrow a+\frac{6a}{a-2}=15\) [\(\because b=\frac{6a}{a-2}\)]
\(\Rightarrow \frac{a^{2}-2a+6a}{a-2}=15\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}+4a}{a-2}=15\)
\(\Rightarrow a^{2}+4a=15a-30\)
\(\Rightarrow a^{2}+4a-15a+30=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-11a+30=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-5a-6a+30=0\)
\(\Rightarrow a(a-5)-6(a-5)=0\)
\(\Rightarrow (a-5)(a-6)=0\)
\(\Rightarrow a-5=0, \ a-6=0\)
\(\Rightarrow a=5, \ a=6\)
\((2)\) হতে যখন \(a=5 \Rightarrow b=\frac{6.5}{5-2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{30}{3}\)
\(\therefore b=10\)
\((2)\) হতে যখন \(a=6 \Rightarrow b=\frac{6.6}{6-2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{36}{4}\)
\(\therefore b=9\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
যখন \(a=5, b=10\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y}{10}=1\)
\(\therefore 2x+y=10\)
যখন \(a=6, b=9\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{6}+\frac{y}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{18}=1\)
\(\therefore 3x+2y=18\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(2x+y=10\) বা, \(3x+2y=18\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(iv)\) যে সরলরেখাটি \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(6\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(3x+2y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ………(1)\)locus4
\((1)\) নং সরলরেখা \((-2, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{-2}{a}+\frac{6}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-2b+6a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow -2b+6a=ab\)
\(\Rightarrow -2b+6a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a+2)=-6a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6a}{-(a+2)}\)
\(\therefore b=\frac{6a}{a+2} ………(2)\)
শর্তমতে, \(ab=6\)
\(\Rightarrow a\frac{6a}{a+2}=6\) [\(\because b=\frac{6a}{a-2}\)]
\(\Rightarrow \frac{6a^{2}}{a+2}=6\)
\(\Rightarrow 6a^{2}=6a+12\)
\(\Rightarrow 6a^{2}-6a-12=0\)
\(\Rightarrow 6(a^{2}-a-2)=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-a-2=\frac{0}{6}\) [ উভয় পার্শে \(6\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow a^{2}-2a+a-2=0\)
\(\Rightarrow a(a-2)+1(a-2)=0\)
\(\Rightarrow (a-2)(a+1)=0\)
\(\Rightarrow a-2=0, \ a+1=0\)
\(\Rightarrow a=2, \ a=-1\)
\((2)\) হতে যখন \(a=2 \Rightarrow b=\frac{6.2}{2+2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{12}{4}\)
\(\therefore b=3\)
\((2)\) হতে যখন \(a=-1 \Rightarrow b=\frac{6.(-1)}{-1+2}\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6}{1}\)
\(\therefore b=-6\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
যখন \(a=2, b=3\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+2y}{6}=1\)
\(\Rightarrow 3x+2y=6\)
\(\therefore 3x+2y-6=0\)
যখন \(a=-1, b=-6\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{-1}+\frac{y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6x+y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow 6x+y=-6\)
\(\therefore 6x+y+6=0\)
\(\therefore \) রেখাটির সমীকরণ \(6x+y-6=0\) বা, \(6x+y+6=0\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(v)\) যে সরলরেখাটি \((6, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং যা দ্বারা অক্ষদ্বয়ের খন্ডিতাংশের গুনফল \(=1\) রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(x+4y=2\) বা, \(x+9y+3=0\)।

\(Q 2.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(vi)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমান সমান অংশ ছেদ করে এবং \((\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [কুঃ ২০০৪, দিঃ ২০১১] উত্তরঃ \(x+y=\alpha+\beta\) বা, \(x-y=\alpha-\beta\)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{\pm a}=1\)।locus4
\(\Rightarrow \frac{x}{a}\pm \frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\pm y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x\pm y=a\)
\(\Rightarrow x+y=a ………(1)\)
\(\Rightarrow x-y=a ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) উভয় সরলরেখা \(A(\alpha, \beta)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\((1)\) ও \((2)\) হতে যথাক্রমে \(\alpha+\beta=a \) এবং \(\alpha-\beta=a \)
\(\Rightarrow a=\alpha+\beta\) এবং \(a=\alpha-\beta \)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x+y=\alpha+\beta\) বা, \(x-y=\alpha-\beta \)।

সমাধানঃ \(Q 2.(vii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 8)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের ধনাত্মক অংশ ছেদ করে । উত্তরঃ \(x+y-5=0\)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)।locus4
\(\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \((-3, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore -3+8=a \)
\(\Rightarrow 5=a \)
\(\Rightarrow a=5\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x+y=5\)
\(\therefore x+y-5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(viii)\) একটি সরলরেখা \((3, 7)\) বিন্দুগামী এবং অক্ষদ্বয় থেকে বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট সমমানের অংশ ছেদ করে । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-y+4=0\)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\)।
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \((3, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3-7=a \)
\(\Rightarrow -4=a \)
\(\Rightarrow a=-4\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x-y=-4\)
\(\therefore x-y+4=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(ix)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(4\) একক । [ কুঃ ২০১১, সিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)।locus4
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a ……….(1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\) [ উভয় পার্শে \(\sqrt{(x \ এর \ সহগ)^{2}+(y \ এর \ সহগ)^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow x\frac{1}{\sqrt{2}}+y\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) যেখানে \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ p=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore p=\frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\((1)\) সমীকরণ হতে পাই।
\(\therefore x+y=4\sqrt{2}\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(x)\) একটি সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে। সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(4x+y=8\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ………(1)\)locus4
\((1)\) নং সরলরেখা \((1, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{b+4a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow b+4a=ab\)
\(\Rightarrow b+4a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a-1)=-4a\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4a}{-(a-1)}\)
\(\therefore b=\frac{4a}{a-1} ………(2)\)
শর্তমতে, \(\frac{1}{2}ab=8\)
\(ab=8\times 2\)
\(\Rightarrow a\frac{4a}{a-1}=16\) [\(\because b=\frac{6a}{a-2}\)]
\(\Rightarrow \frac{4a^{2}}{a-1}=16\)
\(\Rightarrow 4a^{2}=16a-16\)
\(\Rightarrow 4a^{2}-16a+16=0\)
\(\Rightarrow 4(a^{2}-4a+4)=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-4a+4=\frac{0}{4}\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow (a-2)^{2}=0\)
\(\Rightarrow (a-2)=\sqrt{0}\)
\(\Rightarrow (a-2)=0\)
\(\Rightarrow a=2\)
\((2)\) হতে যখন \(a=2 \Rightarrow b=\frac{4.2}{2-1}\)
\(\Rightarrow b=\frac{8}{1}\)
\(\therefore b=8\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x+y}{8}=1\)
\(\therefore 4x+y=8\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xi)\) \(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত ; \(AB\) সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১১, যঃ,ঢাঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(x+y-6=0\)।

মনে করি,
\(6x-y-1=0 ………(1)\)locus4
\(2x-5y-5=0 ………(2)\)
\(A(h, k)\) ও \(B(k, h)\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \((1)\) ও \((2)\) এর উপর অবস্থিত তাই।
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(6h-k-1=0 ………(3)\)
এবং
\(2k-5h-5=0\)
\(\Rightarrow -5h+2k-5=0 ………(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সমীকরণদ্বয় সমাধান করি।
\(\frac{h}{(-1).(-5)-(-1).2}=\frac{k}{(-1).(-5)-6.(-5)}=\frac{1}{6.2-(-1).(-5)}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{5+2}=\frac{k}{5+30}=\frac{1}{12-5}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{7}=\frac{k}{35}=\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{h}{7}=\frac{1}{7}, \ \frac{k}{35}=\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow h=\frac{1}{7}\times 7, \ k=\frac{1}{7}\times 35\)
\(\therefore h=1, \ k=5\)
\(\therefore A(h, k), B(k, h)\Rightarrow A(1, 5), B(5, 1)\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-5}{5-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-5}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-5}{1}\)
\(\Rightarrow x-1=-(y-5)\)
\(\Rightarrow x-1=-y+5\)
\(\Rightarrow x-1+y-5=0\)
\(\Rightarrow x+y-6=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xii)\) দেখাও যে, \(x=a\), \(y=b\) এবং \(y=mx\) রেখাত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\) । [ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ] ।

মনে করি,
\(x=a ………(1)\)locus4
\(y=b ………(2)\)
\(y=mx ……..(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) ছেদ বিন্দু \(A(a, b)\)
\((2)\) ও \((3)\) ছেদ বিন্দু \(B(\frac{b}{m}, b)\) [ \(y=b, \ y=mx\Rightarrow b=mx\Rightarrow x=\frac{b}{m}\) ]
\((1)\) ও \((3)\) ছেদ বিন্দু \(C(a, ma)\) [ \(x=a, \ y=mx\Rightarrow y=ma\) ]
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}a \ \ \ \ \frac{b}{m}, b \ \ \ \ a \ \ \ \ a\\b \ \ \ \ b \ \ \ \ ma \ \ \ \ b\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[a.b-(\frac{b}{m}).b+(\frac{b}{m}).(ma)-a.b+a.b-a.(ma)]\)
\(=\frac{1}{2}[ab-\frac{b^{2}}{m}+ab-ab+ab-a^{2}m]\)
\(=\frac{1}{2}[2ab-\frac{b^{2}}{m}-a^{2}m]\)
\(=-\frac{1}{2}[\frac{b^{2}}{m}-2ab+a^{2}m]\)
\(=\frac{1}{2}[\frac{b^{2}-2abm+a^{2}m^{2}}{m}]\) [\(\triangle \neq -ve\)]
\(=\frac{1}{2m}[b^{2}-2abm+a^{2}m^{2}]\)
\(=\frac{1}{2m}[b^{2}-2b.ma+(ma)^{2}]\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2m}(b-ma)^{2}\)
[ দেখানো হলো ]

সমাধানঃ \(Q 2.(xiii)\) \(2y+x-5=0\), \(y+2x-7=0\) এবং \(x-y+1=0\) রেখাত্রয়ের সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর । [ কুঃ ২০১২, বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(\frac{3}{2}\)বর্গ একক ।

\(Q 2.(xii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xiv)\) মূলবিন্দু হতে কোনো সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\) একক এবং লম্বটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । [ মাঃবঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(x-\sqrt{3}y+10=0\)।

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(1)\)locus4
দেওয়া আছে, \(p=5, \alpha=120^{o}\)
\(\therefore (1)\) হতে পাই।
\(x\cos120^{o}+y\sin120^{o}=5\)
\(\Rightarrow x\cos(90^{o}\times 2-60^{o})+y\sin(90^{o}\times 2-60^{o})=5\)
\(\Rightarrow -x\cos60^{o}+y\sin60^{o}=5\)
\(\Rightarrow -x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=5\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y=5\times -2\) [ উভয় পার্শে \(-2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-\sqrt{3}y=-10\)
\(\therefore x-\sqrt{3}y+10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xv)\) একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+2y-4=0\) এবং \(2x-y-3=0\) প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমকোণী । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(7\frac{1}{2}\) বর্গ একক ।

\(Q 2.(xii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.