সরলরেখা-১ (Straightline-1)

# অনুশীলনী \(3.E\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) একটি সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-8y-18=0\)।
সমাধান
\((ii)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x-2y-8=0\)।
সমাধান
\((iii)\)এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA-OB=2\) হয়। যখন \(O\) মূলবিন্দু । [ সিঃ,রাঃ ২০১২ ] । উত্তরঃ \(2x+3y=12\) বা, \(x-y=1\)।
সমাধান
\((iv)\) \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশ ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটির যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক বের কর। উত্তরঃ \(x-y+3=0\); \((3, 6)\)।
সমাধান
\((v)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-10=0\).
সমাধান
\((vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(16\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। [ সিঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\).
সমাধান
\((vii)\) \(x+2y+7=0\) সরলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপরক্ত খন্ডিতাংশ কোন বর্গের বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\); \(61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।
সমাধান
\((viii)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2t+2, t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y=10\); \(25\) বর্গ একক।
সমাধান
\((ix)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((t+5, 2t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয় থেকে যে পরিমান অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y=14\); \(7\) এবং (-14\).
সমাধান
\((x)\) \(3x+by+1=0\) এবং \(ax+6y+1=0\) রেখা দুইটি \((5, 4 )\) বিন্দুতে ছেদ করে; \(a\) ও \(b\) এর মান কত? যদি প্রথম রেখাটি \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=-5, \ b=-4\); \(3x+6y+1=0\).
সমাধান
\((xi)\) \(a\) এর মান কত হলে \((i) 3x+2y-5=0\), \((ii) ax+4y-9=0\), \((iii) x+2y-7=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে? বিশেষ অবস্থা দুইটি আলোচনা কর, যখন \(a=2\) এবং \(a=6\)। উত্তরঃ \(a=7\); প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে। দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।
সমাধান
\((xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\); \(AB\) ও \(AC\)এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল। [ ঢঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(6x+2y-17=0\)।
সমাধান
\((xiii)\) \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে, ঐ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।
সমাধান
\((xiv)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) বিন্দুত্রয় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু ; ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।
সমাধান
\((xv)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত । \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) । \(A\) ও \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AC\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১১, রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(A(3, 0)\), \(C(1, 2)\), \(x+y-3=0\)।
সমাধান
\((xvi)\) \(x+by=b\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \(OA=3.OB\), যখন \(O\) মূলবিন্দু এবং \(Q\) এর স্থনাংক \((0, -9)\) হয়, তবে \(AQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AQ\perp AB\) । উত্তরঃ \(3x-y=9\)।
সমাধান
\((xvii)\) \(x=4\), \(x=8\), \(y=6\) এবং \(y=10\) রেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তার পরস্পর লম্ব । [ চঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।
সমাধান
\((xviii)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+3=0\) এবং \(y+2=0\) সমীকরণ চারটি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর । [ ঢঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(x-y+1=0\), \(x+y-2=0\)।
সমাধান
\((xix)\) \(X\) অক্ষের উপর \(P, Q\) বিন্দুদ্বয় \(Y\) অক্ষের উপর \(R, S\) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত। \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\) ; দেখাও যে, \(PQ=RS\) । [ ঢঃ ২০০৮ ] ।
সমাধান
\((xx)\) \((2, -1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\) এ রেখার উপর \((2, -1\) বিন্দু হতে \(15\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((14, -10)\), \((-10. 8)\)।
সমাধান
\(Q 3.(xxi)\) \((-1, 1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \((-1, 1\) বিন্দু হতে \(26\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((23, 11)\), \((-25, -9)\)।
সমাধান
\((xxii)\) \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেন, \(AP=\frac{13}{2}\) হয়। উত্তরঃ \((9, -1)\), \((-3. -6)\)।
সমাধান
\((xxiii)\) একটি কারখনায় \(75\) একক এবং \(100\) একক জিনিস তৈরী করতে যথাক্রমে \(350\) টাকা এবং \(400\) টাকা খরচ হয়। জিনিস্টির খরচ ও পরিমানের মধ্যকার বিদ্যমান সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং তা থেকে \(150\) একক জিনিস তৈরী করার খরচ বের কর। উত্তরঃ \(y=2x+200\); \(500\) টাকা ।
সমাধান
\((xxiv)\) কোনো একটি ছাত্রাবাসের মোট ব্যায় \(y\) এবং সদস্য সংখ্যা \(x\); \(12\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1040\) টাকা এবং \(20\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1600\) টাকা হলে, \((a)\) \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর। \((b)\) সদস্য সংখ্যা \(15\) হলে, মোট ব্যায় কত হবে? । উত্তরঃ \(y=70x+200\); \(1250\) টাকা।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.E\) সমাধান

\(Q 3.(i)\) একটি সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(3x-8y=18\)।

সমাধানঃ

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ………(1)\)locus4
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=a, OB=b\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা \((-2, -3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ।
\(\therefore \frac{-2}{a}+\frac{-3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-2b-3a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow -2b-3a=ab\)
\(\Rightarrow -2b-3a-ab=0\)
\(\Rightarrow -b(a+2)=3a\)
\(\Rightarrow b=\frac{3a}{-(a+2)}\)
\(\therefore b=-\frac{3a}{a+2} ………(2)\)
শর্তমতে, \(OA+2.OB=0\)
\(a+2b=0\) [\(\because OA=a, \ OB=b\)]
\(\Rightarrow a-2\frac{3a}{a+2}=0\) [\(\because b=\frac{6a}{a-2}\)]
\(\Rightarrow \frac{a^{2}+2a-6a}{a+2}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-6a=0\)
\(\Rightarrow a(a-6)=0\)
\(\Rightarrow a\neq 0, a-6=0\)
\(\Rightarrow a=6\)

\((2)\) হতে যখন \(a=6 \Rightarrow b=-\frac{3.6}{6+2}\)
\(\Rightarrow b=-\frac{18}{8}\)
\(\therefore b=-\frac{9}{4}\)
\(\therefore (1)\) নং সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান বসিয়ে ।
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{-\frac{9}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{6}-\frac{4y}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x-8y}{18}=1\)
\(\therefore 3x-8y=18\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 3.(ii)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA+2.OB=0\) হয়। \(O\) মূলবিন্দু হলে, সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x-2y-8=0\)।

সমাধানঃ

\(Q 3.(i)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(iii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন \(OA-OB=2\) হয়। যখন \(O\) মূলবিন্দু । [ সিঃ,রাঃ ২০১২ ] । উত্তরঃ \(2x+3y=12\) বা, \(x-y=1\)।

সমাধানঃ

\(Q 3.(i)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(iv)\) \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখাটি অক্ষদ্বয় থেকে সমমানের বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট অংশ ছেদ করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটির যে বিন্দুতে কটি ভুজের দ্বিগুণ তার স্থানাঙ্ক বের কর। উত্তরঃ \(x-y+3=0\); \((3, 6)\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে, সরলরেখাটির সমীকরণ হবে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\).
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x-y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x-y=a ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখটি \(A(2, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2-5=a \)
\(\Rightarrow -3=a \)
\(\Rightarrow a=-3\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(x-y=-3\)
\(\therefore x-y+3=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
ধরি, বিন্দুটির ভুজ=\(x\)
\(\therefore \) বিন্দুটির কটি \(2x\)
\(\therefore \) বিন্দুটি \(P(x, 2x)\)
\(P\) বিন্দুটি নির্ণেয় সরলরেখা \(x-y=-3\) এর উপর অবস্থিত তাই।
\(x-2x=-3\)
\(\Rightarrow -x=-3\)
\(\Rightarrow x=3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \(P(3, 2\times 3)\)
\(\Rightarrow P(3, 6)\) ইহাই নির্ণেয় বিন্দু।

\(Q 3.(v)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(30^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(\sqrt{3}x+y-10=0\).

সমাধানঃ

মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(1)\)
দেওয়া আছে, \(\alpha=30^{o}\)locus4
\((1)\) হতে পাই।
\(x\cos30^{o}+y\sin30^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{\sqrt{3}}{2}+y\frac{1}{2}=p\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{2p}+\frac{y}{2p}=\frac{p}{p}\) [ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{2p}{\sqrt{3}}}+\frac{y}{2p}=1 ………(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0)\) ও \(B(0, 2p)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=\frac{2p}{\sqrt{3}}, OB=2p\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}OA\times OB=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times \frac{2p}{\sqrt{3}}\times 2p=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{2p^{2}}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow p^{2}=\frac{50}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow p^{2}=25\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow p=5\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(p\) এর মান বসিয়ে।
\(\frac{x}{\frac{2\times 5}{\sqrt{3}}}+\frac{y}{2\times 5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{10}+\frac{y}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}+y}{10}=1\)
\(\Rightarrow x\sqrt{3}+y=10\) [ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।]
\(\therefore \sqrt{3}x+y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(16\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। [ সিঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(v)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(vii)\) \(x+2y+7=0\) সরলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উপরক্ত খন্ডিতাংশ কোন বর্গের বাহু হলে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\); \(61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,\(x+2y+7=0\)locus4
\(\Rightarrow x+2y=-7\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-7}+\frac{2y}{-7}=\frac{-7}{-7}\) [ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{-7}+\frac{y}{-\frac{7}{2}}=1 ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(-7, 0)\) ও \(B(0, -\frac{7}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{-7+0}{2}, \frac{0-\frac{7}{2}}{2})\)
\(\Rightarrow (\frac{-7}{2}, \frac{-\frac{7}{2}}{2})\)
\(\Rightarrow (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(\therefore (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\) ইহাই নির্ণেয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ।
শর্তমতে বর্গের একবাহু \(=AB\)
\(\therefore \) বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^{2}\)
\(=(-7-0)^{2}+(0+\frac{7}{2})^{2}\)
\(=(-7)^{2}+(\frac{7}{2})^{2}\)
\(=49+\frac{49}{4}\)
\(=49(1+\frac{1}{4})\)
\(=49\times \frac{4+1}{4}\)
\(=49\times \frac{5}{4}\)
\(=\frac{245}{4}\)
\(=61\frac{1}{4}\) বর্গ একক।

\(Q 3.(viii)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2t+2, t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y=10\); \(25\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

ধরি, \(p(x, y)\)locus4
\(\therefore (2t+2, t-4)\Rightarrow (x, y)\)
\(\Rightarrow 2t+2=x, \ t-4=y\)
\(\Rightarrow 2t=x-2, \ t=y+4\)
\(\Rightarrow t=\frac{x-2}{2} ……..(1), \ t=y+4 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে পাই।
\(\frac{x-2}{2}=y+4\)
\(\Rightarrow x-2=2(y+4)\)
\(\Rightarrow x-2=2y+8\)
\(\Rightarrow x-2y=8+2\)
\(\Rightarrow x-2y=10\) ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।
আবার, সঞ্চারপথটিকে লিখা যায়।
\( x-2y=10\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}-\frac{2y}{10}=\frac{10}{10}\) [ উভয় পার্শে \(10\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{-5}=1 ………(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(10, 0)\) ও \(B(0, -5)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=10, OB=-5\)
\(\therefore \triangle OAB=\frac{1}{2}\times OA\times OB\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\times -5\)
\(=5\times -5\)
\(=-25\)
\(\therefore \triangle OAB=25\) বর্গ একক। [\(\because \triangle \neq -ve\)]
\(\therefore \) সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=25\) বর্গ একক।

\(Q 3.(ix)\) \(t\)এর যে কোন বাস্থব মানের জন্য \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((t+5, 2t-4)\) হলে, এর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর। সঞ্চারপথটি অক্ষদ্বয় থেকে যে পরিমান অংশ ছেদ করে তার পরিমাণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y=14\); \(7\) এবং (-14\).

সমাধানঃ

\(Q 3.(viii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(x)\) \(3x+by+1=0\) এবং \(ax+6y+1=0\) রেখা দুইটি \((5, 4 )\) বিন্দুতে ছেদ করে; \(a\) ও \(b\) এর মান কত? যদি প্রথম রেখাটি \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে, তবে \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=-5, \ b=-4\); \(3x+6y+1=0\).

সমাধানঃ

মনে করি,
\(3x+by+1=0 ……….(1)\)locus4
\(ax+6y+1=0 ………..(2)\)
শর্তমতে, \(C(5, 4 )\) বিন্দুটি উভয় সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\((1)\) হতে, \(3.5+b.4+1=0\)
\(\Rightarrow 15+4b+1=0\)
\(\Rightarrow 4b+16=0\)
\(\Rightarrow 4b=-16\)
\(\Rightarrow b=\frac{-16}{4}\)
\(\Rightarrow b=-4\)
আবার,
\((2)\) হতে, \(a.5+6.4+1=0\)
\(\Rightarrow 5a+24+1=0\)
\(\Rightarrow 5a+25=0\)
\(\Rightarrow 5a=-25\)
\(\Rightarrow a=\frac{-25}{5}\)
\(\Rightarrow a=-5\)
\(\therefore a=-5, \ b=-4\)
আবার,
\((1)\) নং সরলরেখা যখন \(X\) অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে ছেদ করে তখন \(y=0\)।
\((1)\) হতে, \(3x+b.0+1=0\)
\(\Rightarrow 3x+0+1=0\)
\(\Rightarrow 3x+1=0\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1}{3}\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\)
\(\therefore A(-\frac{1}{3}, 0)\)
\((2)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে তখন \(x=0\)।
\((2)\) হতে, \(a.0+6y+1=0\)
\(\Rightarrow 0+6y+1=0\)
\(\Rightarrow 6y+1=0\)
\(\Rightarrow 6y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{6}\)
\(\therefore y=-\frac{1}{6}\)
\(\therefore B(0, -\frac{1}{6})\)
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x+\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-0}=\frac{y-0}{0+\frac{1}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{3x+1}{3}}{-\frac{1}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+1}{3}\times-\frac{3}{1}=y\times \frac{6}{1}\)
\(\Rightarrow -(3x+1)=6y\)
\(\Rightarrow -3x-1=6y\)
\(\Rightarrow -3x-6y-1=0\)
\(\Rightarrow 3x+6y+1=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(\therefore AB\) সরলরেখার সমীকরণ \(3x+6y+1=0\).

\(Q 3.(xi)\) \(a\) এর মান কত হলে \((i) 3x+2y-5=0\), \((ii) ax+4y-9=0\), \((iii) x+2y-7=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে? বিশেষ অবস্থা দুইটি আলোচনা কর, যখন \(a=2\) এবং \(a=6\)। উত্তরঃ \(a=7\); প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে। দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।

সমাধানঃ

মনে করি,
\(3x+2y-5=0 ……….(1)\) locus4
\(ax+4y-9=0 ………..(2)\)
\(x+2y-7=0 ………..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{2.(-7)-(-5).2}=\frac{y}{(-5).1-3.(-7)}=\frac{1}{3.2-2.1}\) [ বজ্রগুণ করে ]
\(\Rightarrow \frac{x}{-14+10}=\frac{y}{-5+21}=\frac{1}{6-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y}{16}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{1}{4}, \frac{y}{16}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\times -4, \ y=\frac{1}{4}\times 16\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=4\)
\(\therefore \) ছেদ বিন্দু \((-1, 4)\)
শর্তমতে, \((-1, 4)\) বিন্দুটি \((2)\) নং সরলরেখার উপর অবস্থিত।
\((2)\) হতে পাই ।
\(a.(-1)+4.4-9=0\)
\(\Rightarrow -a+16-9=0\)
\(\Rightarrow -a+7=0\)
\(\Rightarrow -a=-7\)
\(\Rightarrow a=7\)
প্রথম অবস্থাঃ \(a=2\) হলে, \((ii)\) ও \((iii)\) সমান্তরাল হবে।
দ্বিতীয় অবস্থাঃ \(a=6\) হলে, \((i)\) ও \((ii)\) সমান্তরাল হবে।

\(Q 3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\); \(AB\) ও \(AC\)এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল। [ ঢঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(6x+2y-17=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)locus4
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{1+3}{2}, \frac{1+4}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow D(2, \frac{5}{2})\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+5}{2}, \frac{1-2}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{6}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow E(3, -\frac{1}{2})\)
\(DE\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{5+1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{6}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{2}\times\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{6}\)
\(\Rightarrow 6(x-2)=-(2y-5)\)
\(\Rightarrow 6x-12=-2y+5\)
\(\Rightarrow 6x-12+2y-5=0\)
\(\therefore 6x+2y-17=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
\(DE\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{6}{2}\)
\(=-3\)
\(BC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{4+2}{3-5}\) [\(\because m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)]
\(m_{2}=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(\because m_{1}=m_{2}\)
\(\therefore DE\) ও \(BC\) পরস্পর সমান্তরাল।
[ দেখানো হলো ]

\(Q 3.(xiii)\) \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\) বিন্দুত্রয় একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হলে, ঐ ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু \(A(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(C(6, -8)\)locus4
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{2-4}{2}, \frac{4-6}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2})\)
\(\Rightarrow D(-1, -1)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-4+6}{2}, \frac{-6-8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{-14}{2})\)
\(\Rightarrow E(1, -7)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{2+6}{2}, \frac{4-8}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{8}{2}, \frac{-4}{2})\)
\(\Rightarrow F(4, -2)\)
\(ABC\) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলি হবে \(AE, BF, CD\)।
এখন,
\(AE\) এর সমীকরণ \(\frac{x-2}{2-1}=\frac{y-4}{4+7}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{11}\)
\(\Rightarrow 11(x-2)=y-4\)
\(\Rightarrow 11x-22=y-4\)
\(\Rightarrow 11x-22-y+4=0\)
\(\Rightarrow 11x-y-18=0\)
\(BF\) এর সমীকরণ \(\frac{x+4}{-4-4}=\frac{y+6}{-6+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-8}=\frac{y+6}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{2}=\frac{y+6}{1}\) [ উভয় পার্শে \(-4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x+4=2(y+6)\)
\(\Rightarrow x+4=2y+12\)
\(\Rightarrow x+4-2y-12=0\)
\(\Rightarrow x-2y-8=0\)
\(CD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-6}{6+1}=\frac{y+8}{-8+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{7}=\frac{y+8}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x-6}{1}=\frac{y+8}{-1}\) [ উভয় পার্শে \(7\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-6=-1(y+8)\)
\(\Rightarrow x-6=-y-8\)
\(\Rightarrow x-6+y+8=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\)
\(\therefore \) মধ্যমাগুলির সমীকরণ \(11x-y-18=0\), \(x-2y-8=0\), \(x+y+2=0\)।

\(Q 3.(xiv)\) \((1, 2)\), \((4, 4)\) এবং \((2, 8)\) বিন্দুত্রয় কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু ; ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(BC, AC, AB\) বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথক্রমে \(D(1, 2)\), \(E(4, 4)\) এবং \(F(2, 8)\)।
\(BC\) এবং \(EF\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।locus4
\(\therefore BC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{4-8}{4-2}\)
\(=\frac{-4}{2}\)
\(=-2\)
\(\therefore BC\) এর সমীকরণ \(y-2=m_{1}(x-1)\)
\(\Rightarrow y-2=-2(x-1)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+2)\)
\(\Rightarrow y-2+2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-4=0\)
\(AC\) এবং \(DF\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{2-8}{1-2}\)
\(=\frac{-6}{-1}\)
\(=6\)
\(\therefore AC\) এর সমীকরণ \(y-4=m_{2}(x-4)\)
\(\Rightarrow y-4=6(x-4)\)
\(\Rightarrow y-4=6x-24)\)
\(\Rightarrow y-4-6x+24=0\)
\(\Rightarrow -6x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 6x-y-20=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(AB\) এবং \(DE\) সমান্তরাল ফলে তাদের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore AB\) এর ঢাল \(m_{3}=\frac{2-4}{1-4}\)
\(=\frac{-2}{-3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ \(y-8=m_{3}(x-2)\)
\(\Rightarrow y-8=\frac{2}{3}(x-2)\)
\(\Rightarrow 3(y-8)=2(x-2))\)
\(\Rightarrow 3y-24=2x-4=0\)
\(\Rightarrow 3y-24-2x+4=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y-20=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y+20=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(\therefore \) ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(2x+y-4=0\), \(6x-y-20=0\), \(2x-3y+20=0\)।

\(Q 3.(xv)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত । \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 2)\) । \(A\) ও \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AC\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১১, রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(A(3, 0)\), \(C(1, 2)\), \(x+y-3=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(OC\) রেখার সমীকরণ \(y=2x …….(1)\) locus4
\(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত এবং \(B(4, 2)\)।
\(O\) মূলবিন্দু \(CB\) এবং \(OA\) সমান্তরাল । ফলে \(C\) ও \(B\) এর \(y\) স্থানাঙ্ক সমান।
ফলে \(C\) এর \(y\) স্থানাঙ্ক \(2\) ।
\((1)\) হতে \(2=2x\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\therefore C(1, 2)\)
এখন,
\(CB=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{3^{2}+0}\)
\(=\sqrt{3^{2}}\)
\(=3\)
\(\therefore CB=OA=3\)
\(\therefore A(3, 0)\)
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-1}=\frac{y-0}{0-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{2}=\frac{y}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow x-3=-y\)
\(\Rightarrow x+y-3=0\)
\(\therefore A(3, 0), C(1, 2); x+y-3=0\).

\(Q 3.(xvi)\) \(x+by=b\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \(OA=3.OB\), যখন \(O\) মূলবিন্দু এবং \(Q\) এর স্থনাংক \((0, -9)\) হয়, তবে \(AQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(AQ\perp AB\) । উত্তরঃ \(3x-y=9\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,\(x+by=b\) এবং \(Q(0, -9)\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x}{b}+\frac{by}{b}=\frac{b}{b}\) [ উভয় পার্শে \(b\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow \frac{x}{b}+\frac{y}{1}=1 ………(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(B(0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে ফলে \(OA=b, OB=1\) ।
আবার,
\(OA=3.OB\)
\(\Rightarrow b=3.1\)
\(\Rightarrow b=3\)
\(\therefore A(3, 0)\)
\(\therefore AQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-0}{0+9}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{3}=\frac{y}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y}{3}\) [ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 3(x-3)=y\)
\(\Rightarrow 3x-9=y\)
\(\therefore 3x-y=9\)
আবার, \(AQ\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{3}{-1}\)
\(=3\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-1}{3-0}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
এখন,
\(m_{1}m_{2}=3\times -\frac{1}{3}\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}m_{2}=-1\)
\(\therefore AQ\perp AB\).

\(Q 3.(xvii)\) \(x=4\), \(x=8\), \(y=6\) এবং \(y=10\) রেখাগুলি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তার পরস্পর লম্ব । [ চঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\(x=4 ……(1)\)locus4
\(x=8 ……(2)\)
\(y=6 ……(3)\)
\(y=10 ……(4)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু \(A(4, 6)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু \(B(8, 6)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদ বিন্দু \(C(8, 10)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদ বিন্দু \(D(4, 10)\)
\(AC\) এর সমীকরণ \(\frac{x-4}{4-8}=\frac{y-6}{6-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x-4}{-4}=\frac{y-6}{-4}\)
\(\Rightarrow x-4=y-6\) [ উভয় পার্শে \(-4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-4-y+6=0\)
\(\therefore x-y+2=0\)
\(BD\) এর সমীকরণ \(\frac{x-8}{8-4}=\frac{y-6}{6-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x-8}{4}=\frac{y-6}{-4}\)
\(\Rightarrow x-8=-1(y-6)\) [ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-8=-y+6)\)
\(\Rightarrow x-8+y-6=0\)
\(\therefore x+y-14=0\)
\(\therefore \) কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ \(x-y+2=0\), \(x+y-14=0\)।

\(Q 3.(xviii)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+3=0\) এবং \(y+2=0\) সমীকরণ চারটি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর । [ ঢঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(x-y+1=0\), \(x+y-2=0\)।

সমাধানঃ

\(Q 3.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xix)\) \(X\) অক্ষের উপর \(P, Q\) বিন্দুদ্বয় \(Y\) অক্ষের উপর \(R, S\) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত। \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\) ; দেখাও যে, \(PQ=RS\) । [ ঢঃ ২০০৮ ] ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(PR\) ও \(QS\) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y+6=0\) এবং \(x+2y-1=0\)
\(\Rightarrow 4x+3y=-6\)locus4
\(\Rightarrow \frac{4x}{-6}+\frac{3y}{-6}=\frac{-6}{-6}\) [ উভয় পার্শে \(-6\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{2x}{-3}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-3}{2}}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{3}{2}}+\frac{y}{-2}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(P(-\frac{3}{2}, 0)\) ও \(R(0, -2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার,
\(x+2y-1=0\)
\(\Rightarrow x+2y=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{2y}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}=1 ……..(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(Q(1, 0)\) ও \(S(0, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(PQ=\sqrt{(-\frac{3}{2}-1)^{2}+(0-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{3}{2}+1)^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{3+2}{2})^{2}+0}\)
\(=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(RS=\sqrt{(0-0)^{2}+(-2-\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{0^{2}+(2+\frac{1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{4+1}{2})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
\(\therefore PQ=RS\)
[ দেখানো হলো ]

\(Q 3.(xx)\) \((2, -1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\) এ রেখার উপর \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(15\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((14, -10)\), \((-10, 8)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \((2, -1)\) বিন্দুগামী সরলরেখা ঢাল \(-\frac{3}{4}\)
ধরি সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)locus4
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\)
এ ক্ষেত্রে সরলরেখাটির সমীকরণ হবে নিম্নরূপ।
\(\frac{x-2}{\cos\alpha}=\frac{y+1}{\sin\alpha}=15\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\cos\alpha}=15, \ \frac{y+1}{\sin\alpha}=15\)
\(\Rightarrow x-2=15\cos\alpha, \ y+1=15\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=15\cos\alpha+2, \ y=15\sin\alpha-1\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{4}{5}\) তখন, \( x=15\times -\frac{4}{5}+2, \ y=15\times \frac{3}{5}-1\)
\(\Rightarrow x=-12+2, \ y=9-1\)
\(\therefore x=-10, \ y=8\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=15\times \frac{4}{5}+2, \ y=15\times -\frac{3}{5}-1\)
\(\Rightarrow x=12+2, \ y=-9-1\)
\(\therefore x=14, \ y=-10\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((-10, 8\) এবং \((14, -10)\) ।

\(Q 3.(xxi)\) \((-1, 1)\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \((-1, 1\) বিন্দু হতে \(26\) একক দূরে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((23, 11)\), \((-25, -9)\)।

সমাধানঃ

\(Q 3.(xx)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxii)\) \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী একটি সরলরেখা ঢাল \(\frac{5}{12}\) এ রেখার উপর \(P\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যেন, \(AP=\frac{13}{2}\) হয়। উত্তরঃ \((9, -1)\), \((-3. -6)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \(A(3, -\frac{7}{2})\) বিন্দুগামী সরলরেখা ঢাল \(-\frac{5}{12}\)
ধরি সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে এবং \(P(x, y)\) ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=\frac{5}{12}\)locus4
\(\Rightarrow \tan\alpha=\frac{5}{12} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=\frac{12}{13}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=-\frac{12}{13}\)
এ ক্ষেত্রে সরলরেখাটির সমীকরণ হবে নিম্নরূপ।
\(\frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{y+\frac{7}{2}}{\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{13}{2}, \ \frac{\frac{2y+7}{2}}{\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{13}{2}, \ \frac{2y+7}{2\sin\alpha}=\frac{13}{2}\)
\(\Rightarrow x-3=\frac{13\cos\alpha}{2}, \ \frac{2y+7}{\sin\alpha}=13\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ 2y+7=13\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ 2y=13\sin\alpha-7\)
\(\Rightarrow x=\frac{13\cos\alpha}{2}+3, \ y=\frac{13\sin\alpha-7}{2}\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=\frac{12}{13}\) তখন, \( x=\frac{13\times \frac{12}{13}}{2}+3, \ y=\frac{13\times \frac{5}{13}-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{12}{2}+3, \ y=\frac{5-7}{2}\)
\(\therefore x=6+3, \ y=\frac{-2}{2}\)
\(\therefore x=9, \ y=-1\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{5}{13}, \ \cos\alpha=-\frac{12}{13}\) তখন, \( x=\frac{13\times -\frac{12}{13}}{2}+3, \ y=\frac{13\times -\frac{5}{13}-7}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-12}{2}+3, \ y=\frac{-5-7}{2}\)
\(\therefore x=-6+3, \ y=\frac{-12}{2}\)
\(\therefore x=-3, \ y=-6\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((9, -1)\), \((-3. -6)\) ।

\(Q 3.(xxiii)\) একটি কারখনায় \(75\) একক এবং \(100\) একক জিনিস তৈরী করতে যথাক্রমে \(350\) টাকা এবং \(400\) টাকা খরচ হয়। জিনিস্টির খরচ ও পরিমানের মধ্যকার বিদ্যমান সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর এবং তা থেকে \(150\) একক জিনিস তৈরী করার খরচ বের কর। উত্তরঃ \(y=2x+200\); \(500\) টাকা ।

সমাধানঃ

মনে করি, জিনিসের সংখ্যা \(=x\) এবং খরচ \(=y\)
তাহলে,
\(A(75, 350)\Rightarrow (x_{1}, y_{1})\) এবং \(B(100, 400)\Rightarrow (x_{2}, y_{2})\)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x-75}{75-100}=\frac{y-350}{350-400}\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x-75}{-25}=\frac{y-350}{-50}\)
\(\Rightarrow x-75=\frac{y-350}{2}\) [উভয় পার্শে \(-25\) গুণ করে]
\(\Rightarrow y-350=2(x-75)\)
\(\Rightarrow y-350=2x-150\)
\(\Rightarrow y=2x-150+350\)
\(\therefore y=2x+200\) ইহাই নির্ণেয় সরলরৈখিক সম্পর্ক ।
আবার,
\(x=150\) হলে, উপরক্ত সমীকরণ হতে পাই।
\(y=2\times 150+200\)
\(\Rightarrow y=300+200\)
\(\therefore y=500\)
\(\therefore \) খরচ \(500\) টাকা ।

\(Q 3.(xxiv)\) কোনো একটি ছাত্রাবাসের মোট ব্যায় \(y\) এবং সদস্য সংখ্যা \(x\); \(12\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1040\) টাকা এবং \(20\) জন সদস্যের জন্য মোট খরচ \(1600\) টাকা হলে, \((a)\) \(x\) এবং \(y\) এর মধ্যে সরলরৈখিক সম্পর্ক নির্ণয় কর। \((b)\) সদস্য সংখ্যা \(15\) হলে, মোট ব্যায় কত হবে? । উত্তরঃ \(y=70x+200\); \(1250\) টাকা।

সমাধানঃ

\(Q 3.(xxiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.