সরলরেখা-১ (Straightline-1)

# অনুশীলনী \(3.E\) প্রশ্নসমূহ

সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

\((i)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০০৬; সিঃ ২০১১; বঃ ২০১৩। ]
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। [ চঃ ২০০৬, ২০১৩; দিঃ ২০১৩; রাঃ ২০১৪; কুঃ ২০১৪। ]
উত্তরঃ \((a) \ x+y=0; \ (b) \ 9x-20y+96=0; \ (c) \ x+y+4=0\) বা, \(x+y-4=0\) ।
সমাধান
\((ii)\) চিত্র হতে।
\((a)\) \(AB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) রেখাকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করলে \(OP\) ও \(OQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৫, সিঃ ২০০৯, চঃ ২০১৩ ]।
\((c)\) \(A\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরত্বে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x+3y=12 \ (b) \ 2x-3y=0=0; \ 8x-3y=0. \ (c) \ (-3, 8)\) বা, \((9, -8) \) ।
সমাধান

সমাধানঃ \(Q 4.(i)\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(135^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((b)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশ \((-4, 3)\) বিন্দুতে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকে উল্লেখিত সলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর যা অক্ষদ্বয়ের সাথে \(8\) বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে এবং মূলবিন্দু থেকে যার উপর অঙ্কিত লম্ব \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \((a) \ x+y=0; \ (b) \ 9x-20y+96=0; \ (c) \ x+y+4=0\) বা, \(x+y-4=0\) ।

\((a)\) দেওয়া আছে, \( \theta=135^{o}\)locus4
\(\Rightarrow m=\tan\theta=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan135^{o}\)
\(\Rightarrow m=\tan(90^{o}\times 2-45^{o})\)
\(\Rightarrow m=-\tan45^{o}\) [ দ্বিতীয় চৌকোণে \(\tan\) অনুপাত ঋণাত্মক ]
\(\Rightarrow m=-1\) [\(\because \tan45^{o}=1\)]
এখন,
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ \(y=mx\)।
\(\Rightarrow y=-1\times x\)
\(\Rightarrow y=-x\)
\(\therefore x+y=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……..(1)\) ।locus4
\((1)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) কে \(5:3\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দু \(E(\frac{5.0+3.a}{5+3}, \frac{5.b+3.0}{5+3})\)।
\(\Rightarrow E(\frac{0+3a}{8}, \frac{5b+0}{8})\)
\(\Rightarrow E(\frac{3a}{8}, \frac{5b}{8})\)
শর্তমতে, \(E(\frac{3a}{8}, \frac{5b}{8}) \Rightarrow E(-4, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{3a}{8}=-4, \frac{5b}{8}=3\)
\(\Rightarrow 3a=-32, 5b=24\)
\(\Rightarrow a=\frac{-32}{3}, b=\frac{24}{5}\)
\(\Rightarrow a=-\frac{32}{3}, b=\frac{24}{5}\)
\((1)\) নং সমীকরণ হতে পাই।
\(\frac{x}{-\frac{32}{3}}+\frac{y}{\frac{24}{5}}=1\)
\(\frac{3x}{-32}+\frac{5y}{24}=1\)
\(\Rightarrow \frac{-9x+20y}{96}=1\)
\(\Rightarrow -9x+20y=96\)
\(\Rightarrow -9x+20y-96=0\)
\(\therefore 9x-20y+96=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((c)\) মনে করি, সরলরেখাটির সমীকরণ \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(1)\)
দেওয়া আছে, \(\alpha=45^{o}\)locus4
\((1)\) হতে পাই।
\(x\cos45^{o}+y\sin45^{o}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{\sqrt{2}}+y\frac{1}{\sqrt{2}}=p\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{p\sqrt{2}}+y\frac{1}{p\sqrt{2}}=\frac{p}{p}\) [ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{p\sqrt{2}}+\frac{y}{p\sqrt{2}}=1 ………(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(p\sqrt{2}, 0)\) ও \(B(0, p\sqrt{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
অর্থাৎ \(OA=p\sqrt{2}, OB=p\sqrt{2}\)
\(\therefore \triangle OAB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}OA\times OB=8\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times p\sqrt{2}\times p\sqrt{2}=8\)
\(\Rightarrow \frac{2p^{2}}{2}=8\)
\(\Rightarrow p^{2}=8\)
\(\Rightarrow p=\pm \sqrt{8}\)
\(\Rightarrow p=\pm \sqrt{2\times 4}\)
\(\Rightarrow p=\pm 2\sqrt{2}\)
\((2)\) নং সমীকরণে \(p\) এর মান বসিয়ে।
\(\frac{x}{\pm 2\sqrt{2}.\sqrt{2}}+\frac{y}{\pm 2\sqrt{2}.\sqrt{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\pm 2.2}+\frac{y}{\pm 2.2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\pm 4}+\frac{y}{\pm 4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{\pm 4}=1\)
\(\Rightarrow x+y=\pm 4\) [ উভয় পার্শে \(\pm 4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x+y\pm 4=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(x+y+4=0\) বা, \(x+y-4=0\)

সমাধানঃ \(Q 4.(ii)\) চিত্র হতে।
\((a)\) \(AB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) রেখাকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করলে \(OP\) ও \(OQ\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৫, সিঃ ২০০৯, চঃ ২০১৩ ]।
\((c)\) \(A\) বিন্দু হতে \(10\) একক দূরত্বে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x+3y=12 \ (b) \ 2x-3y=0; \ 8x-3y=0. \ (c) \ (-3, 8) \) বা, \((9, -8) \) ।

locus4
\((a)\) \(AB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y}{12}=1\)
\(\therefore 4x+3y=12\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\) \(P\) ও \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) রেখাকে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে।
চিত্র হতে, \(A(3, 0)\) \(B(0, 4)\) ।
\(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে।
অর্থাৎ \(P\) এবং \(Q\) বিন্দুদ্বয় \(AB\) কে যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(P\) এর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{1.0+2.3}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{0+6}{3}, \frac{4+0}{3})\)locus4
\(\Rightarrow P(\frac{6}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\therefore P(2, \frac{4}{3})\)
\(Q\) এর স্থানাঙ্ক \(Q(\frac{2.0+1.3}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{0+3}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow Q(\frac{3}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\therefore Q(1, \frac{8}{3})\)
\(OP\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-2}=\frac{y-0}{0-\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-2}=\frac{y}{-\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{\frac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3y}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3y}{2}\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 2x=3y\)
\(\therefore 2x-3y=0\)

\(OQ\) এর সমীকরণ \(\frac{x-0}{0-1}=\frac{y-0}{0-\frac{8}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-1}=\frac{y}{-\frac{8}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{y}{\frac{8}{3}}\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x=\frac{3y}{8}\)
\(\Rightarrow 8x=3y\)
\(\therefore 8x-3y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(\therefore 2x-3y=0\) এবং \(\therefore 8x-3y=0\)।
\((c)\) \(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-4}{3-0}\)
\(=-\frac{4}{3}\)
ধরি সরলরেখাটি \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\alpha \) কোণ উৎপন্ন করে ।
তবে,
\(m=\tan\alpha=-\frac{4}{3}\)locus4
\(\Rightarrow \tan\alpha=-\frac{4}{3} \Rightarrow \sin\alpha=\frac{4}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{3}{5}\) অথবা, \( \sin\alpha=-\frac{4}{5}, \ \cos\alpha=\frac{3}{5}\)
এ ক্ষেত্রে সরলরেখাটির সমীকরণ হবে নিম্নরূপ।
\(\frac{x-3}{\cos\alpha}=\frac{y-0}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\cos\alpha}=10, \ \frac{y}{\sin\alpha}=10\)
\(\Rightarrow x-3=10\cos\alpha, \ y=10\sin\alpha\)
\(\Rightarrow x=10\cos\alpha+3, \ y=10\sin\alpha\)
যখন, \(\sin\alpha=\frac{4}{5}, \ \cos\alpha=-\frac{3}{5}\) তখন, \( x=10\times -\frac{3}{5}+3, \ y=10\times \frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow x=-6+3, \ y=8\)
\(\therefore x=-3, \ y=8\)
যখন, \(\sin\alpha=-\frac{3}{5}, \ \cos\alpha=\frac{4}{5}\) তখন, \( x=10\times \frac{3}{5}+3, \ y=10\times -\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow x=6+3, \ y=-8\)
\(\therefore x=9, \ y=-8\)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((-3, 8)\) এবং \((9, -8)\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.