সরলরেখা-২ (Straightline-2)

( ENGLISH VERSION )

# এ অধ্যায়ে আমরা যে বিষয় গুলি আলোচনা করব।

  • দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • দুইটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়।
  • সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব ও সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
  • নির্দিষ্ট বিন্দুগামী এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব বা, এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।
  • বিভিন্ন শর্তাধীনে সরলরেখার সমীকরণ।
  • সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান

প্রয়োজনীয় এবং স্মরণীয় সূত্রসমূহ।

দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ

\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণঃ

ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{1}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=m_{2}\)

সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে

অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ,
\(\theta=tan^{-1}(\pm \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}})\).
এখানে,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{1}}{b_{1}}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a_{2}}{b_{2}}\)

Proof

\(2.\)দুইটি সরলরেখার পরস্পর লম্ব এবং সমান্তরাল হওয়ার শর্ত

ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত,
\(m_{1}=m_{2}\).

\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\).

সরলরেখাদ্বয়ের আকার সাধারণ হলে

অর্থাৎ রেখাদ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((a) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত,
\(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\).
\((b) \ (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত,
\(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\).

Proof

\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ

ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\).
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

Proof

\(4.\)একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ

ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু এবং \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\).

Proof

\(5.\)একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ

ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(ax+by+k=0\).
এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

Proof

\(6.\)একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ

ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx-ay+k=0\).
এখানে,
\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।

Proof

\(7.\) তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত

ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\)
\((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

Proof

সুত্র প্রতিপাদন

\(1.\) দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা উভয়ই \(Y\) অক্ষের অসমান্তরাল হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ঃ


ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\).
\(BC\Rightarrow (1)\) ও \(AC\Rightarrow (2)\) রেখাদ্বয় পরস্পর \(C\) বিন্দুতে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(B\) ও \(A\) ছেদ করে ।
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সহিত যথাক্রমে \(\theta_{1}\) ও \(\theta_{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\)
এখানে,
\(\angle ACB=\theta, \ \angle CBA=\theta_{1}, \ \angle CAX=\theta_{2},\)
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\) [ ত্রিভুজের একবাহু বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃ কোণ, অন্তস্ত অপর দুই কোণের যোগফলের সমান। ]
\(\Rightarrow \theta+\theta_{1}=\theta_{2}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{2}-\theta_{1}\)
\(\therefore \theta=-(\theta_{1}-\theta_{2}) ……..(3)\)
আবার বিপরীতক্রমে,
\(BC\Rightarrow (2)\) ও \(AC\Rightarrow (1)\) বিবেচনা করে ।
\(\angle ACB+\angle CBA=\angle CAX\)
\(\Rightarrow \theta+\theta_{2}=\theta_{1}\)
\(\Rightarrow \theta=\theta_{1}-\theta_{2}\)
\(\therefore \theta=\theta_{1}-\theta_{2} ………..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সমন্বয় করে,
\(\theta=\pm (\theta_{1}-\theta_{2}) ………..(5)\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan\pm (\theta_{1}-\theta_{2})\) [ উভয় পার্শে \(\tan\) অনুপাত নিয়ে। ]
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \tan(\theta_{1}-\theta_{2})\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{\tan\theta_{1}-\tan\theta_{2}}{1+\tan\theta_{1}\tan\theta_{2}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\) [\(\because m_{1}=\tan\theta_{1}, \ m_{2}=\tan\theta_{2}\) ]
\(\therefore \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)

\(2.\)দুইটি সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হওয়ার শর্ত নির্ণয়ঃ

ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ……..(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ……..(2)\)
\( (1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\)
\((a)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=0\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan0\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=0\) [ \(\because \tan0=0\) ]
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\times (1+m_{1}m_{2})\)
\(\Rightarrow m_{1}-m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}=m_{2}\) ইহাই সমান্তরাল হওয়ার শর্ত।
\((b)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=90^{o}\) হয়।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\infty\) [ \(\because \tan90^{o}=\infty\) ]
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\)[ \(\because \infty=\frac{1}{0}\) ]
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\times (m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\) ইহাই লম্ব হওয়ার শর্ত।

\(3.\) দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \((x_{1}, y_{1})\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) হতে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}=0 ……..(3)\)
\(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0……..(4)\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) ও \((4)\) যোগ করে পাই,
\(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0……..(5)\)
\(\Rightarrow a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+ka_{2}x_{1}+kb_{2}y_{1}+kc_{2}=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x_{1}+(b_{1}+kb_{2})y_{1}+(c_{1}+kc_{2})=0\)
\(\Rightarrow (a_{1}+ka_{2})x+(b_{1}+kb_{2})y+(c_{1}+kc_{2})=0\)
ইহা স্পষ্ট যে \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((5)\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে। সমীকরণটি \(x, \ y\) এর একঘাত সমীকরণ তাই ইহা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। অতএব, \((5)\) নং সরলরেখাটি \((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত একটি সরলরেখা। প্রকৃতপক্ষে \(k\) এর বিভিন্ন মানের \((k\neq 0)\) জন্য \((5)\) সরলরেখাটি বিভিন্ন সরলরেখা প্রকাশ করে; যাদের প্রত্যেকটি \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়।

\(4.\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


ধরি,
নির্দিষ্ট বিন্দুটি \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং সরলরেখা দ্বয়,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0 ……..(3)\)
এখানে,
\(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(P(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}+k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow k(a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2})=-(a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1})\)
\(\therefore k=-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
\(k\) এর এই মান \((3)\) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+(-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}})(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}-\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0\)
\(\Rightarrow a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=\frac{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})\)
\(\therefore \frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{1}x_{1}+b_{1}y_{1}+c_{1}}=\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{2}x_{1}+b_{2}y_{1}+c_{2}}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(5.\)একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=-\frac{a}{b}x+d\)
\(\Rightarrow y=-\frac{ax}{b}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{-ax+bd}{b}\)
\(\Rightarrow by=-ax+bd\)
\(\Rightarrow ax+by-bd=0\)
\(\Rightarrow ax+by+k=0\) যেখানে \(-bd=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore ax+by+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।

\(6.\)একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ঃ


ধরি,
নির্দিষ্ট সরলরেখাটি,
\(ax+by+c=0 ……..(1)\)
\(\Rightarrow by=-ax-c\)
\(\Rightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(\therefore (1)\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=\frac{b}{a}\) হবে।
ফলে \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ \(y=\frac{b}{a}x+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx}{a}+d\)
\(\Rightarrow y=\frac{bx+ad}{a}\)
\(\Rightarrow ay=bx+ad\)
\(\Rightarrow -bx+ay-ad=0\)
\(\Rightarrow bx-ay+ad=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow bx-ay+k=0\) যেখানে \(ad=k\); \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ইহাকে ইচ্ছামূলক ধ্রুবক (Arbitrary Constant) ও বলা হয়ে থাকে।
\(\therefore bx-ay+k=0, \ (1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ।

\(7.\)তিনটি সরলরেখার সমবিন্দু তথা এক বিন্দুতে মিলিত হওয়ার শর্ত নির্ণয়ঃ


ধরি, সরলরেখা তিনটি ,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) ( বজ্রগুণ পদ্ধতিতে ) সমাধান করি,
\(\frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ \frac{y}{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}=\frac{1}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \ y=\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}\)
\(\therefore (2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(P(\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}, \frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}})\)
শর্তমতে ,\(P\) বিন্দুটি \(\) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।
\(a_{1}\frac{b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+b_{1}\frac{a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3}}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow \frac{a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+\frac{b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})}{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}+c_{1}=0\)
\(\Rightarrow a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})+b_{1}(a_{3}c_{2}-a_{2}c_{3})+c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})=0\) [ উভয় পার্শে \(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\) গুণ করে]
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\)
ইহাই নির্ণেয় শর্ত।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.