সরলরেখা-২ (Straightline-2)

অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।
সমাধান
উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]
সমাধান
উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]
সমাধান
উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। [ সিঃ ২০১১,যঃ ২০১২ ]
সমাধান
উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\)এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]
সমাধান
উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]
সমাধান
উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণটি নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।
সমাধান
উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।
সমাধান
উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।
সমাধান
উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান
উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১৪ ]
সমাধান
উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\) [ বঃ ২০০১ ]
সমাধান

অনুশীলনী \(3.F\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) বিন্দুগামী এবং \((a) \ 3x-4y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়। \((b) \ 3x-4y+8=0 \) রেখার সমান্তরাল হয়।

locus4

সমাধানঃ

\((a) \ 3x-4y+8=0 …..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …..(2)\) | Note \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\therefore k=-10\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-10=0\)
\(\therefore 4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b) \ 3x-4y+8=0 …..(3)\)locus4
\((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …..(4)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+5=0\)
\(\therefore 3x-4y+5=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(2.\) \(2x-y+2=0\) এবং \(x+3y-6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় থেকে একই চিহ্ন বিশিষ্ট সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x-y+2=0……..(1)\).
\(x+3y-6=0……..(2)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+2+k(x+3y-6)=0……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+kx+3ky-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y+2-6k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-1)y=6k-2\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{6k-2}+\frac{(3k-1)y}{6k-2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{6k-2}{2+k}}+\frac{y}{\frac{6k-2}{3k-1}}=1\)
এখানে,
\(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{2+k}\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{6k-2}{3k-1}\)
শর্তমতে,
\(\frac{6k-2}{2+k}=\frac{6k-2}{3k-1}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\frac{1}{3k-1}\) | Note \(\because 6k-2\neq 0\) উভয় পার্শে \(6k-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3k-1=2+k\)
\(\Rightarrow 3k-k=2+1\)
\(\Rightarrow 2k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{2}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+2+\frac{3}{2}(x+3y-6)=0\)
\(\Rightarrow 2(2x-y+2)+3(x+3y-6)=0\) | Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4x-2y+4+3x+9y-18=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y-14=0\)
\(\Rightarrow x+y-2=0\) | Note উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে।
\(\therefore x+y-2=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(3.\) \(2x+by+4=0\), \(4x-y-2b=0\) এবং \(3x+y-1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+by+4=0 …….(1)\)
\(4x-y-2b=0 …….(2)\)
\(3x+y-1=0 …….(3)\)
\((1), \ (2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 4\\4 \ -1 \ -2b\\3 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -1\end{array}\right|=0\) হয়।
\(\Rightarrow 2{(-1).(-1)-1.(-2b)}-b{4.(-1)-(-2b).3}\)\(+4{4.1-(-1).3}=0\)
\(\Rightarrow 2{1+2b}-b{-4+6b}+4{4+3}=0\)locus4
\(\Rightarrow 2+4b+4b-6b^{2}+4.7=0\)
\(\Rightarrow 2+8b-6b^{2}+28=0\)
\(\Rightarrow -6b^{2}+8b+30=0\)
\(\Rightarrow 3b^{2}-4b-15=0\) | Note উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 3b^{2}-9b+5b-15=0\)
\(\Rightarrow 3b(b-3)+5(b-3)=0\)
\(\Rightarrow (b-3)(3b+5)=0\)
\(\Rightarrow b-3=0\) বা, \( 3b+5=0\)
\(\Rightarrow b=3\) বা, \( 3b=-5\)
\(\therefore b=3\) বা, \( b=-\frac{5}{3}\)

উদাহরণ \(4.\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০০৫, ২০০৭, ২০১২, যঃ ২০০৬, ২০১২, কুঃ ২০০৪, চঃ ২০০৭, ২০১০, রাঃ ২০১২, দিঃ ২০১২ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(3x-4y+5=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …….(2)\) | Note \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।

উদাহরণ \(5.\) দুইটি সরলরেখা \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+y=7\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি, \(2x+y-7=0 ………(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2\)
\((1, 3)\) বিন্দুগামী \(m\) ঢাল বিশিষ্ট যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-3=m(x-1) ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(45^{o}\).
\(\therefore \tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-2-m}{1+(-2)m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{m+2}{1-2m}\)
\(\Rightarrow 1-2m=\pm (m+2)\)
\(\Rightarrow 1-2m=m+2\) | Note \(+ve\)চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow -2m-m=2-1\)
\(\Rightarrow -3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{-3}\)
\(\therefore m=-\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1-2m=-(m+2)\) | Note \(-ve\)চিহ্ন ব্যাবহার করে।
\(\Rightarrow 1-2m=-m-2)\)
\(\Rightarrow -2m+m=-2-1\)
\(\Rightarrow -m=-3\)
\(\therefore m=3\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(m\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
যখন, \(m=-\frac{1}{3}\) তখন, \(y-3=-\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-3)=-(x-1)\)
\(\Rightarrow 3y-9=-x+1\)
\(\Rightarrow x+3y-9-1=0\)
\(\therefore x+3y-10=0\)
যখন, \(m=3\) তখন, \(y-3=3(x-1)\)
\(\Rightarrow y-3=3x-3)\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-3\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+3=0\)
\(\therefore 3x-y=0\)
\(\therefore \) রেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-10=0; \ 3x-y=0\)।

উদাহরণ \(6.\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। তাদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [সিঃ ২০১০, কুঃ ২০০৬, ২০১৩, দিঃ ২০১১ ]

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(7.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি,
\(2x-7y+11=0 ……..(1)\)
\(x+3y-8=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-7y+11+k(x+3y-8)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-7y+11+kx+3ky-8k=0 \)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3k-7)y+11-8k=0 ……(4)\)
\(\because (4)\) নং সরলরেখা \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল ,
\(\therefore y\) এর সহগ \(=0\) হবে,
\(\therefore 3k-7=0\)
\(\Rightarrow 3k=7\)
\(\therefore k=\frac{7}{3}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-7y+11+\frac{7}{3}(x+3y-8)=0\)
\(\Rightarrow 3(2x-7y+11)+7(x+3y-8)=0\) | Note উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x-21y+33+7x+21y-56=0\)
\(\Rightarrow 13x-23=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(8.\) \(AB\) ও \(AC\) রেখাদুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\)। \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৬, সিঃ ২০০৮, কুঃ ২০১২, বঃ ২০১২, ২০১৫, যঃ ২০১৩। ]

সমাধানঃ

\(y=2x+1\)locus4
\(\Rightarrow 2x+1=y\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=0 ……..(1)\)
\(y=4x-1\)
\(\Rightarrow 4x-1=y\)
\(\Rightarrow 4x-y-1=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(4x-y-1)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+4kx-ky-k=0 \)
\(\Rightarrow (2+4k)x-(1+k)y+(1-k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((1)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 2(2+4k)+(-1){-(1+k)}=0\) | Note \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 4+8k+1+k=0\)
\(\Rightarrow 9k+5=0\)
\(\Rightarrow 9k=-5\)
\(\therefore k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+1-\frac{5}{9}(4x-y-1)=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-y+1)-5(4x-y-1)=0\) | Note উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 18x-9y+9-20x+5y+5=0\)
\(\Rightarrow -2x-4y+14=0\)
\(\Rightarrow x+2y-7=0\) | Note উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে।
\(\therefore x+2y-7=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(9.\) \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\), \(ax+by+1=0\) ও \(x+ay=0\) সরলরেখাচতুষ্টয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি,
\(x-3y+2=0 ……..(1)\)
\(x-6y+3=0 ……..(2)\)
\(ax+by+1=0 ……..(3)\)
\(x+ay=0 ……..(4)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\a \ \ \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। | Note\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

\(\Rightarrow 1{b.0-1.a}-(-3){1.0-3.1}+2{1.a-(-6).1}=0\)
\(\Rightarrow {0-3a}+3{0-3}+2{a+6}=0\)
\(\Rightarrow -3a-9+2a+12=0\)
\(\Rightarrow -a+3=0\)
\(\Rightarrow -a=-3\)
\(\therefore a=3\)| Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
আবার,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু বলে,
\(\left|\begin{array}{c}1 \ \ -3 \ \ \ \ 2\\1 \ \ -6 \ \ \ \ 3\\1 \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ 0\end{array}\right|=0\) হয়। | Note\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\) \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\) \(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 ……..(3)\) \((1)\) , \((2)\) , \((3)\) নং সরলরেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি ,
\(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\) হয় ।

\(\Rightarrow 1{(-6).1-3.b}-(-3){1.1-3.a}+2{1.b-(-6).a}=0\)
\(\Rightarrow {-6-3b}+3{1-3a}+2{b+6a}=0\)
\(\Rightarrow -6-3b+3-9a+2b+12a=0\)
\(\Rightarrow -b+3a-3=0\)
\(\Rightarrow -b+3.3-3=0\) | Note \(\because a=3\)
\(\Rightarrow -b+9-3=0\)
\(\Rightarrow -b+6=0\)
\(\Rightarrow -b=-6\)
\(\therefore b=6\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\(\therefore a=3, \ b=6\).

উদাহরণ \(10.\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [যঃ ২০০৮, চঃ ২০০৮, রাঃ ২০১১, বঃ ২০০৭, ঢঃ ২০১০ ]

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\) | Note \(\because C(\frac{x_{1}+x_{}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AB\) উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) | Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 6x+2y-3-21=0\)
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(11.\) \(k\) এর মান যাই হক না কেন \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\) সরলরেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় তা নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, \((1+2k)x+(2-k)y+(3+7k)=0\)
\(\Rightarrow x+2kx+2y-ky+3+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+2kx-ky+7k=0\)
\(\Rightarrow x+2y+3+k(2x-y+7)=0 ……..(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং রেখাটি \(x+2y+3=0 ……..(2)\) এবং \(2x-y+7=0 ……..(3)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\((2)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(x+2y+3+4x-2y+14=0\)
\(\Rightarrow 5x+17=0\)
\(\Rightarrow 5x=-17\)
\(\Rightarrow x=-\frac{17}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2.(-\frac{17}{5})-y+7=0\)
\(\Rightarrow -\frac{34}{5}-y+7=0\)
\(\Rightarrow \frac{-34-5y+35}{5}=0\)
\(\Rightarrow -34-5y+35=0\times 5\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় নির্দিষ্ট বিন্দুটি \((-\frac{17}{5}, \frac{1}{5})\)।

উদাহরণ \(12.\) \(2x+3y-1=0\) এবং \(x-2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষনকোণটি নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+3y-1=0 …….(1)\)
\(x-2y+3=0 ………(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{3}\)
\((2)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{1+(-\frac{2}{3}).\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-4-3}{6}}{1-\frac{1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{3-1}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-7}{6}}{\frac{2}{3}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{6}\times \frac{3}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{2}\times \frac{1}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{-7}{4})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{4})\)
\(\therefore \) সূক্ষনকোণটি \(=\tan^{-1}(\frac{7}{4})\) [ সূক্ষ্ণকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক। ]

উদাহরণ \(13.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(2x+3y+4=0\) এবং \(3x+4y-5=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(6x-7y+8=0\) রেখার উপর লম্ব হয়।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(2x+3y+4=0 …….(1)\)
\(3x+4y-5=0 …….(2)\)
\(6x-7y+8=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y+4+k(3x+4y-5)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4+3kx+4ky-5k=0 \)
\(\Rightarrow (2+3k)x+(3+4k)y+(4-5k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,
\(\therefore 6(2+3k)+(-7)(3+4k)=0\) | Note \(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0\)
\(\Rightarrow 12+18k-21-28k=0\)
\(\Rightarrow -10k-9=0\)
\(\Rightarrow -10k=9\)
\(\Rightarrow k=\frac{9}{-10}\)
\(\therefore k=-\frac{9}{10}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+4+(-\frac{9}{10})(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y+4-\frac{9}{10}(3x+4y-5)=0\)
\(\Rightarrow 10(2x+3y+4)-9(3x+4y-5)=0\) | Note উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 20x+30y+40-27x-36y+45=0\)
\(\Rightarrow -7x-6y+85=0\)
\(\therefore 7x+6y-85=0\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(14.\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(5x-3y-7=0\) এবং \(4x+y-9=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(13x-y-1=0\) রেখার সমান্তরাল হয়।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(5x-3y-7=0 …….(1)\)
\(4x+y-9=0 …….(2)\)
\(13x-y-1=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-3y-7+k(4x+y-9)=0 ……..(3)\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+4kx+ky-9k=0 \)
\(\Rightarrow (5+4k)x+(k-3)y-(7+9k)=0 ……..(4)\)
শর্তমতে, \((3)\) ও \((4)\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ,
\(\therefore 13.(k-3)=(5+4k).(-1)\) | Note \(\because a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\)
\(\Rightarrow 13k-39=-5-4k\)
\(\Rightarrow 13k+4k=-5+39\)
\(\Rightarrow 17k=34\)
\(\Rightarrow k=\frac{34}{17}\)
\(\therefore k=2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(5x-3y-7+2(4x+y-9)=0\)
\(\Rightarrow 5x-3y-7+8x+2y-18=0\)
\(\Rightarrow 13x-y-25=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(15.\) \(4x-2y+7=0\) সরলরেখার উপর এমন একটি বিন্দু নির্ণয় কর যা \((2, 3)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(4x-2y+7=0 ……….(1)\)
\((1)\) এর উপর অবস্থিত \(P(x, y)\) বিন্দুটি \(A(2, 3)\) ও \(B(-2, 4)\) বিন্দু দুইটি থেকে সমদূরবর্তী,
\(PA=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\)
\(PB=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{(x+2)^{2}+(y-4)^{2}}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x+2)^{2}+(y-4)^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}-(x+2)^{2}-(y-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x+^{2}-4x-4-y^{2}+8y-16=0\)
\(\Rightarrow -8x+2y-7=0\)
\(\Rightarrow 8x-2y+7=0 ………(2)\) | Note উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(8x-2y+7-4x+2y-7=0 \)
\(\Rightarrow 4x=0 \)
\(\Rightarrow x=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow x=0 \)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(4.0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow 0-2y+7=0 \)
\(\Rightarrow -2y=-7 \)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-2} \)
\(\Rightarrow y=\frac{7}{2} \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বিন্দুটি \((0, \frac{7}{2})\)।

উদাহরণ \(16.\) একটি আলোক রশ্মি \(x-2y-3=0\) সরলরেখা বরাবর পাঠানো হয়। \(3x-2y-5=0\) সরলরেখাতে আসার পর তা থেকে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(AB\)এর সমীকরণ \(x-2y-3=0 ………..(1)\)
\(EF\)এর সমীকরণ \(3x-2y-5=0 ………..(2)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}\) | Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-2}\) | Note \(ax+by+c=0\) সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{3}{2}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-2y-5-x+2y+3=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(1-2y-3=0\)
\(\Rightarrow -2y-2=0\)
\(\Rightarrow -2y=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{-2}\)
\(\Rightarrow y=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(EF\)এর ছেদবিন্দু \(B(1, -1)\)
প্রতিফলিত রশ্মি \(BC\) এর সমীকরণ \(y+1=m(x-1) …..(3)\)
শর্তমতে, \(AB\) ও \(BC\) উভয়ে \((2)\) নং সরলরেখার সহিত সমান কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore \tan^{-1}(\frac{m-m_{2}}{1+m.m_{2}})=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}-m_{2}})\)
\(\Rightarrow \frac{m-\frac{3}{2}}{1+m.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}.\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2m-3}{2}}{\frac{2+3m}{2}}=\frac{\frac{1-3}{2}}{1+\frac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2}\times \frac{2}{2+3m}=\frac{\frac{-2}{2}}{\frac{4+3}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{-2}{2}\times\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=-\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow \frac{2m-3}{2+3m}=\frac{4}{7}\) | Note সূক্ষনকোণের জন্য \(\tan\theta\) এর মান ধনাত্মক।
\(\Rightarrow 7(2m-3)=4(2+3m)\)
\(\Rightarrow 14m-21=8+12m)\)
\(\Rightarrow 14m-21-12m-8=0\)
\(\Rightarrow 2m-29=0\)
\(\Rightarrow 2m=29\)
\(\therefore m=\frac{29}{2}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow y+1=\frac{29}{2}(x-1)\)
\(\Rightarrow 2(y+1)=29(x-1)\)
\(\Rightarrow 2y+2=29x-29\)
\(\Rightarrow 29x-29=2y+2\)
\(\Rightarrow 29x-29-2y-2=0\)
\(\Rightarrow 29x-2y-31=0\) ইহাই প্রতিফলিত রশ্মি বরাবর সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(17.\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) সরলরেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১৪ ]

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(2x+3y-3=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 ………(2)\) | Note \(k\) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0 ………(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{3.5-(-3).(-2)}=\frac{y}{(-3).3-2.5}=\frac{1}{2.(-2)-3.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{15-6}=\frac{y}{-9-10}=\frac{1}{-4-9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{1}{-13}, \ \frac{y}{-19}=\frac{1}{-13}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-13}\times 9, \ y=\frac{1}{-13}\times -19\)
\(\Rightarrow x=-\frac{9}{13}, \ y=\frac{19}{13}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{9}{13}, \frac{19}{13})\)
\(OB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0+\frac{9}{13}}=\frac{y-0}{0-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{9}{13}}=\frac{y}{-\frac{19}{13}}\)
\(\Rightarrow \frac{13x}{9}=\frac{-13y}{19}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{9}=\frac{-y}{19}\) | Note উভয় পার্শে \(13\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow 19x=-9y\)
\(\Rightarrow 19x+9y=0\)ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(18.\) দেখাও যে, \((a, b)\) ও \((c, d)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \((a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\) [ বঃ ২০০১ ]

locus4

সমাধানঃ

মনেকরি,
\(A(a, b)\) ও \(B(c, d)\)
\(AB\)এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2})\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{b-d}{a-c}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a-c}{b-d}\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এবং \(C\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y-\frac{b+d}{2}=-\frac{a-c}{b-d}(x-\frac{a+c}{2})\)
\(\Rightarrow y-\frac{b+d}{2}=-\frac{(a-c)x}{b-d}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow y+\frac{(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a-c)}{b-d}\times \frac{a+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{b+d}{2}+\frac{(a+c)(a-c)}{2(b-d)}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}{b+d+\frac{(a+c)(a-c)}{b-d}}\)
\(\Rightarrow \frac{(b-d)y+(a-c)x}{b-d}=\frac{1}{2}\frac{(b+d)(b-d)+(a+c)(a-c)}{b-d}\)
\(\Rightarrow (b-d)y+(a-c)x=\frac{1}{2}(b^{2}-d^{2}+a^{2}-c^{2})\) | Note উভয় পার্শে \((b-d)\) গুণ করে।
\(\Rightarrow (a-c)x+(b-d)y=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\)
[ দেখানো হলো। ]

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply