সরলরেখা-২ (Straightline-2)

# অনুশীলনী \(3.F\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(y=5\) এবং \(x+y-2=0\); সমাধান
\((b)\) \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0\); সমাধান
\((c)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x-3y+7=0\); সমাধান
\((d)\) \(y-\sqrt{3}x-5=0\) এবং \(\sqrt{3}y-x+6=0\); সমাধান
\((e)\) \((2-\sqrt{3})x-y+5=0\) এবং \((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\); সমাধান
\((f)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x+3y+7=0\)এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণ নির্ণয় কর। সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}; \ (b) \ 45^{o};\) \((c) \ 90^{o}; \ (d) \ 30^{o};\) \((e) \ 60^{o};\) \((f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24});\)।

\((ii)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-1=0\) এবং \(2x+ky-7=0\) রেখাদুইটি সমান্তরাল হবে? উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।
সমাধান
\((iii)\) \(a\) এর মান কত হলে \(2x-y+3=0\) এবং \(3x+ay-2=0\) রেখাদুইটি পরস্পর লম্ব হবে? উত্তরঃ \( a=6\).
সমাধান
\((iv)\) মূলবিন্দু এবং \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
সমাধান
\((v)\) মূলবিন্দু এবং \(4x+3y-8=0\) ও \(x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।[ কুঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(4x+5y=0\)।
সমাধান
\((vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ও \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(x-y=0\)।
সমাধান
\((vii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(2x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।
সমাধান
\((viii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((4, 6)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার মধ্যবিন্দু এবং \(2x+3y-6=0\) ও \(5x+4y-1=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।
সমাধান
\((ix)\) \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(2x-3y=7\) রেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০৭ ] উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।
সমাধান
\((x)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((2, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(3x+12y-7=0\) রেখার উপর লম্ব। [ কুঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(12x-3y-9=0\)।
সমাধান
\((xi)\) একটি সরলরেখা \((-3, -2)\) বিন্দুগামী এবং \(4x+5y-2=0\) রেখার উপর লম্ব । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০০ ] উত্তরঃ \(5x-4y+7=0\)।
সমাধান
\((xii)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2y-11x+7=0\) রেখার উপর লম্ব এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২] উত্তরঃ \(2x+11y+17=0\)।
সমাধান
\((xiii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(3x+2y+6=0\) এবং \(2x+3y-11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+6y+15=0\) রেখার উপর লম্ব । উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।
সমাধান
\((xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১২] উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।
সমাধান
\((xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x+2y=7\)।
সমাধান
\((xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।। [ কুঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।
সমাধান
\((xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।
সমাধান
\((xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।
সমাধান
\((xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।
সমাধান
\((xx)\) \((8, 5)\),\((-4, -3)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+y=10\)।
সমাধান
\((xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।
সমাধান
\((xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব। উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।
সমাধান
\((xxiii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।
সমাধান
\((xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-6=0\) ও \(2x+ky+9=0\) রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে? উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5} \)।
সমাধান
\((xxv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(2x-y+7=0\) ও \(3x+ky-5=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে? উত্তরঃ \(k=6 \)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.F\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 1.(i)\) নিচের রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ নির্ণয় কর।
\((a)\) \(y=5\) এবং \(x+y-2=0\) ;
\((b)\) \(x-2y+1=0\) এবং \(3x-y+5=0\) ;
\((c)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x-3y+7=0\);
\((d)\) \(y-\sqrt{3}x-5=0\) এবং \(\sqrt{3}y-x+6=0\);
\((e)\) \((2-\sqrt{3})x-y+5=0\) এবং \((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\);
\((f)\) \(3x+4y-2=0\) এবং \(4x+3y+7=0\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 45^{o}; \ (b) \ 45^{o}; \ (c) \ 90^{o}; \ (d) \ 30^{o}; (e) \ 60^{o}; (f) \ \tan^{-1}(-\frac{25}{24});\)।
.

সমাধানঃ

locus4
\((a)\) মনে করি, \(y-5=0 …….(1)\)
\(x+y-2=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=0, \ m_{2}=-\frac{1}{1}=-1\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0-(-1)}{1+0.(-1)})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{0+1}{1+0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm 1)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) [\(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ]
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

সমাধানঃ

\((b)\) মনে করি, \(x-2y+1=0 …….(1)\)
\(3x-y+5=0 …………(2)\)locus4
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}, \ m_{2}=-\frac{3}{-1}=3\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1}{2}-3}{1+\frac{1}{2}.3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{1-6}{2}}{1+\frac{3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-5}{2}}{\frac{2+3}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\pm (-1)}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}1\) [\(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ]
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan45^{o}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

সমাধানঃ

\((c)\) মনে করি, \(3x+4y-2=0 …….(1)\)
\(4x-3y+7=0 …………(2)\)locus4
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}-\frac{4}{3}}{1-\frac{3}{4}.\frac{4}{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9-16}{12}}{1-1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-25}{12}}{0})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\infty)\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\infty\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan90^{o}\)
\(\therefore \theta=90^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

সমাধানঃ

\((d)\) মনে করি, \(y-\sqrt{3}x-5=0 …….(1)\)
\(\sqrt{3}y-x+6=0 …………(2)\)locus4
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{-\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan30^{o}\) [\(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ]
\(\therefore \theta=30^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

সমাধানঃ

\((e)\) মনে করি, \((2-\sqrt{3})x-y+5=0 …….(1)\)
\((2+\sqrt{3})(x-3)-y=0\)locus4
\(\Rightarrow (2+\sqrt{3})x-y-3(2+\sqrt{3})=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2-\sqrt{3}}{-1}=2-\sqrt{3}, \ m_{2}=-\frac{2+\sqrt{3}}{-1}=2+\sqrt{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{2-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1+(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{1+4-3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-2\sqrt{3}}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \times -\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\sqrt{3})\)[\(\because \theta\) সূক্ষ্ণকোণ]
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\tan60^{o}\)
\(\therefore \theta=60^{o}\) ইহাই নির্ণেয় সূক্ষ্ণকোণ।

সমাধানঃ

\((f)\) মনে করি, \(3x+4y-2=0 …….(1)\)
\(4x+3y+7=0 …………(2)\)locus4
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{4}, \ m_{2}=-\frac{4}{3}\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{-\frac{3}{4}+\frac{4}{3}}{1+(-\frac{3}{4}).(-\frac{4}{3})})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{-9+16}{12}}{1+1})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{12}\frac{1}{2})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{7}{24})\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}(-\frac{7}{24})\)[\(\because \theta\) সস্থুলকোণ]
ইহাই নির্ণেয় সস্থুলকোণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(ii)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-1=0\) এবং \(2x+ky-7=0\) রেখাদুইটি সমান্তরাল হবে? উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5}\)।

locus4
মনে করি, \(5x+4y-1=0 …….(1)\)
\(2x+ky-7=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{5}{4}, \ m_{2}=-\frac{2}{k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{5}{4}=-\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4}=\frac{2}{k}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{k}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 5k=8\)
\(\therefore k=\frac{8}{5}\)

সমাধানঃ \(Q 1.(iii)\) \(a\) এর মান কত হলে \(2x-y+3=0\) এবং \(3x+ay-2=0\) রেখাদুইটি পরস্পর লম্ব হবে? উত্তরঃ \( a=6\).

locus4
মনে করি, \(2x-y+3=0 …….(1)\)
\(3x+ay-2=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{-1}=2, \ m_{2}=-\frac{3}{a}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow 2\times -\frac{3}{a}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{a}=1\)
\(\therefore a=6\)

সমাধানঃ \(Q 1.(iv)\) মূলবিন্দু এবং \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-y=0\)।

locus4
মনে করি, \(x-y-4=0 …….(1)\)
\(7x+y+20=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+k(20)=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\therefore k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(5(x-y-4)+7x+y+20=0\times 5\) [ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে]
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=0\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(v)\) মূলবিন্দু এবং \(4x+3y-8=0\) ও \(x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।[ কুঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(4x+5y=0\)।

\(Q 1.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু এবং \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) ও \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। উত্তরঃ \(x-y=0\)।

\(Q 1.(iv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(vii)\) \((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(2x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+4y-11=0\)।

locus4
মনে করি, \(x-y+4=0 …….(1)\)
\(2x-y+5=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(2x-y+5)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখটি \((3, 2)\) দিয়ে যায়,
\(3-2+4+k(2.3-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(6-2+5)=0 \)
\(\Rightarrow 5+k(9)=0 \)
\(\Rightarrow 9k=-5 \)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{9}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4-\frac{5}{9}(2x-y+5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)-5(2x-y+5)=0\times 9\)[ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে]
\(\Rightarrow 9x-9y+36-10x+5y-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\therefore x+4y-11=0\)[ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(viii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((4, 6)\) ও \((-2, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার মধ্যবিন্দু এবং \(2x+3y-6=0\) ও \(5x+4y-1=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x-4y+19=0\)।

locus4
মনে করি, \(A(4, 6)\) ও \(B(-2, 4)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{4-2}{2}, \frac{6+4}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{2}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\therefore C(1, 5)\)
\(2x+3y-6=0 …….(1)\)
\(5x+4y-1=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-6+k(5x+4y-1)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখটি \(C(1, 5)\) দিয়ে যায়,
\(2.1+3.5-6+k(5.1+4.5-1)=0\)
\(\Rightarrow 2+15-6+k(5+20-1)=0\)
\(\Rightarrow 11+k(24)=0\)
\(\Rightarrow 24k=-11\)
\(\Rightarrow k=\frac{-11}{24}\)
\(\therefore k=-\frac{11}{24}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-6-\frac{11}{24}(5x+4y-1)=0\)
\(\Rightarrow 24(2x+3y-6)-11(5x+4y-1)=0\) [ উভয় পার্শে \(16\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 48x+72y-144-55x-44y+11=0\)
\(\Rightarrow -7x+28y-133=0\)
\(\therefore x-4y+19=0\) [ উভয় পার্শে \(-7\) ভাগ করে]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(ix)\) \((2, -3)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী এবং \(2x-3y=7\) রেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০৭ ] উত্তরঃ \(3x+2y=0\)।

locus4
মনে করি, \(A(2, -3)\)
\(2x-3y-7=0 …….(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ……(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(2, -3)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.2+2.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 6-6+k=0\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+0=0\)
\(\therefore 3x+2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(x)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((2, 5)\) বিন্দুগামী এবং \(3x+12y-7=0\) রেখার উপর লম্ব। [ কুঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(12x-3y-9=0\)।

\(Q 1.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xi)\) একটি সরলরেখা \((-3, -2)\) বিন্দুগামী এবং \(4x+5y-2=0\) রেখার উপর লম্ব । রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০০ ] উত্তরঃ \(5x-4y+7=0\)।

\(Q 1.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xii)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2y-11x+7=0\) রেখার উপর লম্ব এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর । [ ঢাঃ ২০০২] উত্তরঃ \(2x+11y+17=0\)।

\(Q 1.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xiii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় যা \(3x+2y+6=0\) এবং \(2x+3y-11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+6y+15=0\) রেখার উপর লম্ব । উত্তরঃ \(3x-2y+42=0\)।

locus4
মনে করি, \(3x+2y+6=0 …….(1)\)
\(2x+3y-11=0 …….(2)\)
\(4x+6y+15=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+6+k(2x+3y-11)=0 ……(4)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow 3x+2y+6+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y+6-11k=0 ……(5)\)
\((3)\) ও \((5)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3}\) ও \(m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) [ পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত \(m_{1}\times m_{2}=-1\)]
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2(3+2k)}{3(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6+4k}{6+9k)}=-1\)
\(\Rightarrow 6+9k=-1(6+4k)\)
\(\Rightarrow 6+9k=-6-4k\)
\(\Rightarrow 9k+4k=-6-6\)
\(\Rightarrow 13k=-12\)
\(\therefore k=-\frac{12}{13}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y+6-\frac{12}{13}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 13(3x+2y+6)-12(2x+3y-11)=0\) [ উভয় পার্শে \(13\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 39x+26y+78-24x-36y+132=0\)
\(\Rightarrow 15x-10y+210=0\)
\(\therefore 3x-2y+42=0\) [ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে ]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xiv)\) \(5x-9y+13=0\)এবং \(9x-5y+11=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১২] উত্তরঃ \(7x-7y+12=0; \ 2x+2y-1=0\)।

locus4
মনে করি, \(5x-9y+13=0 …….(1)\)
\(9x-5y+11=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ……(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে ]
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) [ উভয় পার্শে \(14\) ভাগ করে ]
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\) [ যখন \(k=1\)]
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\) [ যখন \(k=-1\)]
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) [ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।

সমাধানঃ \(Q 1.(xv)\) \(AB\) ও \(AC\)রেখা দুইটির সমীকরণ \(y=2x+1\) ও \(y=4x-1\) হলে, \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব \(AP\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২, কুঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x+2y=7\)।

locus4
মনে করি, \(y=2x+1 \Rightarrow 2x-y+1=0 …….(1)\)
\(y=4x-1 \Rightarrow 4x-y-1=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((2) – (1)\) এরসাহায্যে,
\(4x-y-1-2x+y-1=0\)
\(\Rightarrow 2x-2=0\)
\(\Rightarrow 2x=2\)
\(\Rightarrow x=1\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
\(x\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(2.1-y+1=0\)
\(\Rightarrow 2-y+1=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\Rightarrow y=3\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে ]
\(\therefore A(1, 3)\)
\(AB\) তথা \((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+2y+k=0 ……(3)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 3)\) বিন্দুগামী,
\(1+2.3+k=0\)
\(\Rightarrow 1+6+k=0\)
\(\Rightarrow 7+k=0\)
\(\therefore k=-7\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-7=0\)
\(\therefore x+2y=7\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xvi)\) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর লম্ব এবং প্রদত্ত রেখা ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।। [ কুঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(ax+by=a^{2}\)।

locus4
মনে করি, \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1 …….(1)\)
\((1)\) নং রেখা যখন \(X\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(y=0\),
\(\therefore (1)\) হতে,
\(\frac{x}{a}-\frac{0}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}-0=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}=1\)
\(\therefore x=a\)
\((1)\) ও \(X\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(A(a, 0)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}+k=0 ……….(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(a, 0)\) বিন্দুগামী,
\(\frac{a}{b}+\frac{0}{a}+k=0\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}+0+k=0\)
\(\therefore k=-\frac{a}{b}\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}-\frac{a}{b}=0\)
\(\Rightarrow \frac{ax+by}{ab}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow ax+by=\frac{a}{b}\times ab\)
\(\therefore ax+by=a^{2}\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xvii)\) \((4, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+11y-2=0\) রেখাটির সমান্তরাল এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ বঃ ২০১২ ] উত্তরঃ \(2x+11y+25=0\)।

locus4
মনে করি, \(2x+11y-2=0 …….(1)\) এবং \(A(4, -3)\)
\((1)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+11y+k=0 ……….(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(4, -3)\) বিন্দুগামী,
\(2.4+11.(-3)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-33+k=0\)
\(\Rightarrow -25+k=0\)
\(\Rightarrow k=25\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+11y+25=0\)
\(\therefore 2x+11y+25=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xviii)\) \(4x+3y+12=0\) রেখার সমান্তরাল এবং \(x+y-5=0\) ও \(2x-y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+3y-19=0\)।

locus4
মনে করি, \(4x+3y+12=0 …….(1)\)
\(x+y-5=0 …….(2)\)
\(2x-y-7=0 …….(3)\)
\((2)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+y-5+k(2x-y-7)=0 ……(4)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow x+y-5+2kx-ky-7k=0\)
\(\Rightarrow (1+2k)x+(1-k)y-(5+7k)=0 …..(5)\)
\((1)\) ও \((5)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{4}{3}, \ m_{2}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}=m_{2}\)
\(\Rightarrow -\frac{4}{3}=-\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{3}=\frac{1+2k}{1-k}\)
\(\Rightarrow 3+6k=4-4k\)
\(\Rightarrow 6k+4k=4-3\)
\(\Rightarrow 10k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{10}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-5+\frac{1}{10}(2x-y-7)=0\)
\(\Rightarrow 10(x+y-5)+1(2x-y-7)=0\) [ উভয় পার্শে \(10\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 10x+10y-50+2x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 12x+9y-57=0\)
\(\therefore 4x+3y-19=0\) [ উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে ]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xix)\) \(A(8, 5)\)\(B(-4, -3)\) রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১২, যঃ ২০১২, সিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(3x+2y-8=0\)।

locus4
দেওয়া আছে, \(A(8, 5)\), \(B(-4, -3)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow C(2, 1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{2}\)
\(\therefore C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(-\frac{3}{2}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 3x+2y-2-6=0\)
\(\therefore 3x+2y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xx)\) \((8, 5)\),\((-4, -3)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখাংশের লম্বদ্বিখন্ডক সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+y=10\)।

\(Q 1.(xix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xxi)\) \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু । \(A\) বিন্দুগামী এবং \(BC\) রেখার উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-3y+2=0 \)।

locus4
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\),\(B(3, 4)\)\(C(5, -2)\) বিন্দুগুলি \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{4+2}{3-5}\)
\(=\frac{6}{-2}\)
\(=-3\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore A(1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{1}{3}\)ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{1}{3}(x-1)\)
\(\Rightarrow 3(y-1)=1(x-1)\) [ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 3y-3=x-1\)
\(\Rightarrow x-1=3y-3\)
\(\Rightarrow x-3y-1+3=0\)
\(\Rightarrow x-3y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xxii)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(3x+2y=9\) ও \(2x+3y=11\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং প্রথম রেখার উপর লম্ব। উত্তরঃ \(2x-3y+7=0 \)।

locus4
মনে করি, \(3x+2y=9\Rightarrow 3x+2y-9=0 …….(1)\)
\(2x+3y=11\Rightarrow 2x+3y-11=0…….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y-9+k(2x+3y-11)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow 3x+2y-9+2kx+3ky-11k=0\)
\(\Rightarrow (3+2k)x+(2+3k)y-(9+11k)=0 ……(4)\)
\((1)\) ও \((4)\) নং সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{3}{2}, \ m_{2}=-\frac{3+2k}{2+3k}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{3+2k}{2+3k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{3(3+2k)}{2(2+3k)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{9+6k}{4+6k}=-1\)
\(\Rightarrow 9+6k=-4-6k\)
\(\Rightarrow 6k+6k=-4-9\)
\(\Rightarrow 12k=-13\)
\(\Rightarrow k=-\frac{13}{12}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y-9-\frac{13}{12}(2x+3y-11)=0\)
\(\Rightarrow 12(3x+2y-9)-13(2x+3y-11)=0\) [ উভয় পার্শে \(12\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 36x+24y-108-26x-39y+143=0\)
\(\Rightarrow 10x-15y+35=0\)
\(\Rightarrow 2x-3y+7=0\) [ উভয় পার্শে \(5\) ভাগ করে ]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 1.(xxiii)\)\((3, 2)\) বিন্দু এবং \(x-y+4=0\) ও \(y-2x-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এই রেখার সাথে প্রদত্ত রেখ দুইটি কি কোণে আনত তাও নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।

locus4
মনে করি, \(x-y+4=0 …….(1)\)
\(y-2x-5=0…….(2)\)
এবং \(A(3, 2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+4+k(y-2x-5)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(3-2+4+k(2-2.3-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(2-6-5)=0\)
\(\Rightarrow 5+k(-9)=0\)
\(\Rightarrow -9k=-5\)
\(\Rightarrow k=\frac{-5}{-9}\)
\(\Rightarrow k=\frac{5}{9}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+4+\frac{5}{9}(y-2x-5)=0\)
\(\Rightarrow 9(x-y+4)+5(y-2x-5)=0\) [ উভয় পার্শে \(9\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 9x-9y+36+5y-10x-25=0\)
\(\Rightarrow -x-4y+11=0\)
\(\Rightarrow x+4y-11=0\) [ উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow x+4y=11\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার,
ধরি,
\(x+4y=11 ………..(3)\)
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{-1}=1, \ m_{2}=-\frac{-2}{1}=2, \ m_{3}=-\frac{1}{4}\)
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{1+\frac{1}{4}}{1+1.(-\frac{1}{4})})\) [\(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)]
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{4+1}{4}}{1-\frac{1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4-1}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{4}\times \frac{4}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{5}{3})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{5}{3})\) [ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে। ]
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(=\tan^{-1}(\pm \frac{2+\frac{1}{4}}{1+2.(-\frac{1}{4})})\) [\(\because \theta=\tan^{-1}(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)]
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{8+1}{4}}{1-\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{9}{4}}{\frac{2-1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{4}\times \frac{2}{1})\)
\(=\tan^{-1}(\pm \frac{9}{2})\)
\(=\tan^{-1}(\frac{9}{2})\) [ সূক্ষ্ণকোণের জন্য ধনাত্মক মান নিয়ে। ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা ও মধ্যবর্তী কোণগুলি যথাক্রমে \(x+4y=11; \ \tan^{-1}(\frac{5}{3}), \ \tan^{-1}(\frac{9}{2}) \)।

সমাধানঃ \(Q 1.(xxiv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(5x+4y-6=0\) ও \(2x+ky+9=0\) রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে? উত্তরঃ \(k=\frac{8}{5} \)।

\(Q 1.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 1.(xxv)\) \(k\) এর মান কত হলে \(2x-y+7=0\) ও \(3x+ky-5=0\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হবে? উত্তরঃ \(k=6 \)।

\(Q 1.(iii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.