সরলরেখা-২ (Straightline-2)

# অনুশীলনী \(3.F\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়। উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।
সমাধান
\((ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।
সমাধান
\((iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3sqrt{3}\)।
সমাধান
\((iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব। [ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।
সমাধান
\((v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ] উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।
সমাধান
\((vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।
সমাধান
\((vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) । [কুঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।
সমাধান
\((viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।
সমাধান
\((ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।
সমাধান
\((x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে । উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।
সমাধান
\((xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \((1, 8)\)।
সমাধান
\((xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।
সমাধান
\((xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) । [ ঢাঃ ২০১৩, রাঃ ২০১৩ ] ।
সমাধান
\((xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।
সমাধান
\((xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।
সমাধান
\((xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।
সমাধান
\((xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।
সমাধান
\((xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।
সমাধান
\((xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।
সমাধান
\((xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর। [ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।
সমাধান
\((xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। [ বঃ ২০০৩ ] উত্তরঃ \(a=3\)।
সমাধান
\((xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) । [সিঃ ২০০১ ] ।
সমাধান
\((xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৭ ] উত্তরঃ \(y-1=0\)।
সমাধান
\((xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ] উত্তরঃ \(y+2=0\)।
সমাধান
\((xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(5x-1=0\)।
সমাধান
\((xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-4=0\)।
সমাধান
\((xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়। উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।
সমাধান
\((xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে। উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।
সমাধান
\((xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3\) একক।
সমাধান
\((xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।
সমাধান
\((xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\)রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।
সমাধান
\((xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।
সমাধান
\((xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।
সমাধান
\((xxxiii)\) \(Y\)অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.E\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 2.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, 2)\) ও \((3, 8)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং উক্ত রেখার উপর লম্ব হয়। উত্তরঃ \(x+y-3=0\)।

locus4
মনে করি, \(A(-3, 2)\) ও \(B(3, 8)\)
\(AB\) কে \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{1.3+2.(-3)}{1+2}, \frac{1.8+2.2}{1+2})\)।
\(\Rightarrow C(\frac{3-6}{3}, \frac{8+4}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{-3}{3}, \frac{12}{3})\)
\(\Rightarrow C(-1, 4)\)
\(AB\)এর ঢাল \(=\frac{2-8}{-3-3}\),
\(=\frac{-6}{-6}\)
\(=1\)
\(AB\)এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\),
\(\therefore C(-1, 4)\) বিন্দুগামী \(-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-4=-1(x+1)\)
\(\Rightarrow y-4=-x-1\)
\(\Rightarrow x+y-4+1=0\)
\(\therefore x+y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(ii)\) দুইটি সরলরেখা \((6, -7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(y+x\sqrt{3}-1=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৫,কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(y+7=0; \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।

locus4
মনে করি, \(y+x\sqrt{3}-1=0 ………(1)\)
এবং \(A(6, -7)\)।
\(A(6, -7)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+7=m(x-6) ………….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(=-\frac{\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}, \ m\)
শর্তমতে,
\(\tan60^{o}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1+(-\sqrt{3}).m}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{-\sqrt{3}-m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\pm \frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+m=\sqrt{3}-3m\)
\(\Rightarrow m+3m=\sqrt{3}-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 4m=0\)
\(\Rightarrow m=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}+m}{1-m\sqrt{3}}\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow -\sqrt{3}(1-m\sqrt{3})=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow -\sqrt{3}+3m=\sqrt{3}+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=\sqrt{3}+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 2m=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow m=\sqrt{3}\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
\(m\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y+7=0.(x-6)\) [যখন \(m=0\)]
\(\Rightarrow y+7=0\)
\(y+7=\sqrt{3}(x-6)\) [যখন \(m=\sqrt{3}\)]
\(\therefore \) নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(y+7=0, \ y+7=\sqrt{3}(x-6)\)।

সমাধানঃ \(Q 2.(iii)\) দুইটি সরলরেখা \((3, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x-y+4=0\) রেখার সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((2\pm \sqrt{3})x+y=10\pm 3\sqrt{3}\)।

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(iv)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং এদের সমীকরণ থেকে প্রমাণ কর যে, তারা পরস্পর লম্ব। [ ঢাঃ ২০১১, যঃ ২০১১, সিঃ ২০১২, চঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(2x+y=0\) বা, \(x-2y+5=0\)।

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(v)\) দুইটি সরলরেখা \((6, 7)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x+4y=11\) রেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। এদের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১১, ২০১৩, চঃ ২০১১, ২০১৩ ] উত্তরঃ \((x-7y+43=0; \ 7x+y-49=0\)।

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(vi)\) \(3x+8y-10=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((3, -4)\) এ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(11x+5y-13=0; \ 5x-11y-59=0\)।

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।


[ Hints: \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(3x+8y-10=0\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। ]

সমাধানঃ \(Q 2.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \(x-2y-1=0\) এবং \(2x+3y+2=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল \(\tan45^{o}\) । [কুঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(7x-7y-3=0\)।

locus4
মনে করি, \(x-2y-1=0 ………(1)\)
\(2x+3y+2=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y-1+k(2x+3y+2)=0 ……(3)\) [ \(k\)শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(x-2y-1+2kx+3ky+2k=0\)
\((1+2k)x+(3k-2)y+(2k-1)=0 ………..(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{1+2k}{3k-2}\) ।
শর্তমতে, \(-\frac{1+2k}{3k-2}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow -\frac{1+2k}{3k-2}=1\) [\(\because \tan45^{o}=1\)]
\(\Rightarrow 3k-2=-(1+2k)\)
\(\Rightarrow 3k-2=-1-2k\)
\(\Rightarrow 3k+2k=-1+2\)
\(\Rightarrow 5k=1\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y-1+\frac{1}{5}(2x+3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-2y-1)+1(2x+3y+2)=0\) [ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 5x-10y-5+2x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(viii)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা, \((3, -2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(2x+y-4=0\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\) কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \(x+y-1=0, \ 7x+y-19=0\)।

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(ix)\) দুইটি সরলরেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3y=2x\) রেখার সাথে \(\tan^{-1}\frac{1}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ যঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x=8y, \ 7x=4y\)।
সমাধান

\(Q 2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(x)\) একটি সরলরেখা \((2, 5)\) এবং \((5, 6)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে; ঐ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \((-4, 5)\) ও \((-3, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার উপর লম্ব হবে । উত্তরঃ \(x-3y+13=0\)।

locus4
মনে করি, \(A(2, 5)\) এবং \(B(5, 6)\)
\(AB\) এর সমীকরণ , \(\frac{x-2}{2-5}=\frac{y-5}{5-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-3}=\frac{y-5}{-1}\)
\(\Rightarrow x-2=3(y-5)\) [ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow x-2=3y-15\)
\(\Rightarrow x-2-3y+15=0\)
\(\therefore x-3y+13=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
উপরোক্ত নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(C(-4, 5)\) ও \(D(-3, 2)\)
\(CD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{5-2}{-4+3}\)
\(=\frac{3}{-1}\)
\(=-3\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা \(CD\) এর উপর লম্ব।

সমাধানঃ \(Q 2.(xi)\) \(a, B, C\) বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, -2)\), \((-3, 0)\) এবং \((5, 6)\), প্রমাণ কর যে, \(AB\) ও \(AC\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুগুলিকে কোনো আয়তক্ষেত্রের তিনটি শীর্ষবিন্দু ধরলে তার চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ যঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \((1, 8)\)।

locus4
মনে করি, \(A(1, -2)\), \(B(-3, 0)\) , \(C(5, 6)\) এবং \(D(x, y)\).
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{-2-0}{1+3}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{-2-6}{1-5}\)
\(=\frac{-8}{-4}\)
\(=2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-\frac{1}{2}\times 2\)
\(\Rightarrow m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore AB\) ও \(Ac\) পরস্পর লম্ব।
শর্তমতে, \(AD\) ও \(BC\) আয়তক্ষেত্রটির দুইটি কর্ণ যারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-3+5}{2}, \frac{0+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{2}{2}, \frac{6}{2})\)
\(\therefore E(1, 3)\)
এখন,
\(E(\frac{1+x}{2}, \frac{-2+y}{2})\Rightarrow E(1, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=1, \frac{-2+y}{2}=3\)
\(\Rightarrow 1+x=2, -2+y=6\)
\(\Rightarrow x=2-1, y=6+2\)
\(\Rightarrow x=1, y=8\)
\(\therefore \) চতুর্থ শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((1, 8)\) .

সমাধানঃ \(Q 2.(xii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x-2y+3=0\) ও \(2x+3y-1=0\) এবং এর কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \((2, -3)\), ঐ সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(2x+3y+11=0; \ x-2y-19=0\)।

locus4
মনে করি, \(AB\) এর সমীকরণ \(x-2y+3=0 ……..(1)\)
\(AD\) এর সমীকরণ \(2x+3y-1=0 ………(2)\)
এবং \(C(x, y)\).
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\((1)\times 2-(2)\) এর সাহয্যে,
\(2(x-2y+3)-(2x+3y-1)=0\)
\(\Rightarrow -7y+7=0\)
\(\Rightarrow -7y=-7\)
\(\Rightarrow y=\frac{-7}{-7}\)
\(\therefore y=1\)
\(y\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x-2.1+3=0\)
\(\Rightarrow x-2+3=0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
\(\therefore x=-1\)
\(\therefore A(-1, 1)\)
শর্তমতে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে \(AC\) ও \(BD\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
কিন্তু কর্ণের মধ্যবিন্দু দেওয়া আছে \(E(2, -3)\)
\(\therefore E(\frac{-1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{-1+x}{2}=2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow -1+x=4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=4+1, y=-6-1\)
\(\Rightarrow x=5, y=-7\)
\(\therefore C(5, -7)\)
সামান্তরিকের \(DC\) বাহু \(AB\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AB \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(x-2y+k=0 ……..(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(5-2.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 5+14+k=0\)
\(\Rightarrow 19+k=0\)
\(\Rightarrow k=-19\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(x-2y-19=0\)
আবার,
সামান্তরিকের \(BC\) বাহু \(AD\) এর সমান্তরাল,
\(\therefore AD \) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ , \(2x+3y+k=0 ……..(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(5, -7)\) বিন্দুগামী,
\(2.5+3.(-7)+k=0\)
\(\Rightarrow 10-21+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x+3y+11=0\)
\(\therefore \) সামান্তরিকের অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+3y+11=0, \ x-2y-19=0 \)

সমাধানঃ \(Q 2.(xiii)\) মূলবিন্দু এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা যদি \((b, 0)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোজক সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) ।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(O(0, 0)\), \(A(x_{1}, y_{1})\),\(B(b, 0)\) এবং \(C(x_{2}, y_{2})\)
\(AO\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y_{1}-0}{x_{1}-0}\)
\(=\frac{y_{1}}{x_{1}}\)
\(CB\)এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y_{2}-0}{x_{2}-b}\)
\(=\frac{y_{2}}{x_{2}-b}\)
শর্তমতে, \(m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}}{x_{1}}\times \frac{y_{2}}{x_{2}-b}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}(x_{2}-b)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}-bx_{1}}=-1\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}=-x_{1}x_{2}+bx_{1}\)
\(\Rightarrow y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2}=bx_{1}\)
\(\therefore x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=bx_{1}\) দেখানো হলো।

সমাধানঃ \(Q 2.(xiv)\) \((2, 3)\) বিন্দু হতে \(4x+3y-7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১০, কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \((\frac{2}{5}, \frac{9}{5}); \ 2 \)।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(A(2, 3)\)
এবং \(4x+3y-7=0 …………(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …………(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(2, 3)\) বিন্দুগামী,
\(3.2-4.3+k=0\)
\(\Rightarrow 6-12+k=0\)
\(\Rightarrow -6+k=0\)
\(\Rightarrow k=6\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(3x-4y+6=0 …………(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)\times 4+(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(4(4x+3y-7)+3(3x-4y+6)=0\)
\(\Rightarrow 16x+12y-28+9x-12y+18=0\)
\(\Rightarrow 25x-10=0\)
\(\Rightarrow 25x=10\)
\(\Rightarrow x=\frac{10}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2}{5}\)
\(x\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3.(\frac{2}{5})-4y+6=0\)
\(\Rightarrow \frac{6-20y+30}{5}=0\)
\(\Rightarrow 6-20y+30=0\times 5\)
\(\Rightarrow -20y+36=0\)
\(\Rightarrow -20y=-36\)
\(\Rightarrow y=\frac{-36}{-20}\)
\(\Rightarrow y=\frac{9}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\).
বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(=AP\)
\(=\sqrt{(2-\frac{2}{5})^{2}+(3-\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{10-2}{5})^{2}+(\frac{15-9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{8}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{25}+\frac{36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{64+36}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{100}{25}}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( P(\frac{2}{5}, \frac{9}{5})\) এবং লম্বদূরত্ব \(2\) একক।

সমাধানঃ \(Q 2.(xv)\) \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x+y-3=0\)রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে বিন্দুটি থেকে সরলরেখার লম্বদূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)।

\(Q 2.(xiv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xvi)\) দেখাও যে, \(x=4-2t\), \(y=t+3\) এবং \(2x=3-4t\), \(y=t+2\) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

locus4

সমাধানঃ

মনে করি, \(x=4-2t …………(1)\)
\(y=t+3 …………(2)\)
\(2x=3-4t …………(3)\)
\(y=t+2 …………(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(x=4-2t, \ y=t+3\)
\(\Rightarrow 2t=4-x, \ t+3=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{4-x}{2}, \ t=y-3\)
\(\therefore \frac{4-x}{2}=y-3\)
\(\Rightarrow 2(y-3)=4-x\)
\(\Rightarrow 2y-6=4-x\)
\(\Rightarrow x+2y-6-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-10=0 …………(5)\)
আবার,
\((3)\) ও \((4)\) হতে,
\(2x=3-4t, \ y=t+2\)
\(\Rightarrow 4t=3-2x, \ t+2=y\)
\(\Rightarrow t=\frac{3-2x}{4}, \ t=y-2\)
\(\therefore \frac{3-2x}{4}=y-2\)
\(\Rightarrow 4(y-2)=3-2x\)
\(\Rightarrow 4y-8=3-2x\)
\(\Rightarrow 2x+4y-8-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+4y-11=0 …………(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{1}{2}\) এবং \(m_{2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)
\(\because m_{1}=m_{2} \therefore \) রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

সমাধানঃ \(Q 2.(xvii)\) দেখাও যে, \(x=t\), \(y=2t+1\) এবং \(x=2t\), \(y=-t-4\) রেখা দুইটি \((-2, -3)\) বিন্দুতে পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে।

\(Q 2.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xviii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((-3, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(2x+3y=3\) রেখার উপর লম্ব হয়। মূলবিন্দু এবং উপরোক্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখাটিরও সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0 \)।

locus4
মনে করি, \(A(-3, -2)\)
\(2x+3y=3 \Rightarrow 2x+3y-3=0 …….(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-2y+k=0 ……(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((2)\) নং সরলরেখটি \(A(-3, -2)\) দিয়ে যায়,
\(\therefore 3.(-3)-2.(-2)+k=0\)
\(\Rightarrow -9+4+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-2y+5=0\)
\(\therefore 3x-2y+5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x-2y+5=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-3+k(3x-2y+5)=0 ……(4)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((4)\) নং সরলরেখটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়,
\(2.0+3.0-3+k(3.0-2.0+5)=0\)
\(\Rightarrow 0+0-3+k(0-0+5)=0\)
\(\Rightarrow -3+k(5)=0\)
\(\Rightarrow -3+5k=0\)
\(\Rightarrow 5k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{5}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-3+\frac{3}{5}(3x-2y+5)=0\)
\(\Rightarrow 5(2x+3y-3)+3(3x-2y+5)=0\) [ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 10x+15y-15+9x-6y+15=0\)
\(\therefore 19x+9y=0\)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখারদ্বয়ের সমীকরণ, \(3x-2y+5=0, \ 19x+9y=0\)

সমাধানঃ \(Q 2.(xix)\) \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর ; রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১০, রাঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(3x+y=12, \ (0, 12) \)।

locus4
দেওয়া আছে, \(A(2, 1)\) ও \(B(5, 2)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(C(\frac{2+5}{2}, \frac{1+2}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{2-5}\)
\(=\frac{-1}{-3}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-3\)
\(\therefore C(\frac{7}{2}, \frac{3}{2})\) বিন্দুগামী এবং \(-3\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{3}{2}=-3(x-\frac{7}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=-3x+\frac{21}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2y-3}{2}=\frac{-6x+21}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-3=-6x+21\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 6x+2y-24=0\)
\(\therefore 3x+y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
আবার, ধরি,
\(3x+y-12=0 …….(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\((1)\) হতে,
\(3.0+y-12=0\)
\(\Rightarrow 0+y-12=0\)
\(\Rightarrow y-12=0\)
\(\Rightarrow y=12\)
\(Y\) অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 12)\) .

সমাধানঃ \(Q 2.(xx)\) \(3x+5y-2=0\), \(2x+3y=0\) ও \(ax+by+1=0\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে, \(a\) ও \(b\) এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর। [ দিঃ ২০১১, চঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(6a-4b=1\)।

locus4
মনে করি,
\(3x+5y-2=0 …………(1)\)
\(2x+3y+0=0 …………(2)\)
\(ax+by+1=0 …………(3)\)
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে যদি,
\(\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 5 \ \ -2\\2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ 0\\a \ \ \ \ b \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|=0\) হয়। [ সমবিন্দু হওয়ার শর্ত, \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\)]
\(\Rightarrow 3(3.1-b.0)-5(2.1-0.a)-2(2.b-3.a)=0\)
\(\Rightarrow 3(3-0)-5(2-0)-2(2b-3a)=0\)
\(\Rightarrow 9-10-4b+6a=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b-1=0\)
\(\Rightarrow 6a-4b=1\)
ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxi)\) \(a\) এর মান কত হলে \(x-3y+2=0\), \(x-6y+3=0\) ও \(x+ay=0\) রেখাত্রয় একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। [ বঃ ২০০৩ ] উত্তরঃ \(a=3\)।

\(Q 2.(xx)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxii)\) \(ax+by+c=0\) রেখাটি \(bx+cy+a=0\) এবং \(cx+ay+b=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে গেলে প্রমাণ কর যে, \(a+b+c=0\) । [সিঃ ২০০১ ] ।

\(Q 2.(xx)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxiii)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(x-3y+2=0\) ও \(x+y-2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৭ ] উত্তরঃ \(y-1=0\)।

মনে করি,locus4
\(X\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ
\(y=b \Rightarrow y-b=0 \Rightarrow x.0+y-b=0…………(1)\)
এবং
\(x-3y+2=0 …………(2)\)
\(x+y-2=0 …………(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) এবং \((3)\) রেখাত্রয় সমবিন্দু হবে ,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}0 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -b\\1 \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 2\\1 \ \ \ \ \ \ 1 \ \ -2\end{array}\right|=0\) [ সমবিন্দু হওয়ার শর্ত, \(\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|=0\)]
\(\Rightarrow 0{(-3).(-2)-2.1}-1{1.(-2)-2.1}-b{1.1-(-3).1}=0\)
\(\Rightarrow 0{6-2}-1{-2-2}-b{1+3}=0\)
\(\Rightarrow 0-1{-4}-b{4}=0\)
\(\Rightarrow 4-4b=0\)
\(\Rightarrow -4b=-4\)
\(\Rightarrow b=\frac{-4}{-4}\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y=1\)
\(\therefore y-1=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxiv)\) \(X\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(4x+3y=6\) ও \(x-2y=7\) রেখাদ্বয়ের সমবিন্দু রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০৫, দিঃ ২০১০, সিঃ ২০১০, ঢাঃ ২০০৭, ২০১৩ ] উত্তরঃ \(y+2=0\)।

\(Q 2.(xxiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxv)\) \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-3y+4=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০০৪,যঃ ২০১০,বঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \(5x-1=0\)।

\(Q 2.(xxiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxvi)\) \(2x-3y-15=0\) ও \(3x+3y-5=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে একটি সরলরেখা সমবিন্দু এবং \(x=0\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-4=0\)।

\(Q 2.(xxiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।


[Hint: \(x=0\) অর্থাৎ \(Y\) অক্ষ। ]

সমাধানঃ \(Q 2.(xxvii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((1, 2)\) ও \((4, 5)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এবং ঐ রেখার উপর লম্ব হয়। উত্তরঃ \(2x+2y=15\)।

locus4
মনে করি,
\(A(1, 2)\) ও \(B(4, 5)\)
\(AB\) কে \(3:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে এরূপ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(\frac{3.4+1.1}{3+1}, \frac{3.5+1.2}{3+1})\)
\(\Rightarrow P(\frac{12+1}{4}, \frac{15+2}{4})\)
\(\therefore P(\frac{13}{4}, \frac{17}{4})\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{1-4}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(P\) বিন্দুগামী \(=-1\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-\frac{17}{4}=-1(x-\frac{13}{4})\)
\(\Rightarrow y-\frac{17}{4}=-x+\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-17}{4}=\frac{-4x+13}{4}\)
\(\Rightarrow 4y-17=-4x+13 \) [ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে ]
\(\Rightarrow 4x+4y-17-13=0 \)
\(\Rightarrow 4x+4y-30=0 \)
\(\Rightarrow 2x+2y-15=0 \) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxviii)\) এরূপ একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(4x+7y=11\) রেখার উপর লম্ব এবং \(Y\) অক্ষ হতে \(2\) একক দৈর্ঘ্য কর্তন করে। উত্তরঃ \(7x-4y\pm 8=0\)।

মনে করি,
\(4x+7y=11 ………..(1)\)locus4
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(7x-4y+k=0 ………..(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow 7x-4y=-k\)
\(\Rightarrow \frac{7x-4y}{-k}=1\) [ উভয় পার্শে \(-k\) ভাগ করে ]
\(\Rightarrow \frac{7x}{-k}+\frac{-4y}{-k}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{-k}{-4}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-k}{7}}+\frac{y}{\frac{k}{4}}=1\)
\((2)\) নং সরলরেখা দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=\frac{k}{4}\)
শর্তমতে,
\(\left|\frac{k}{4}\right|=2\)
\(\Rightarrow \pm (\frac{k}{4})=2\)
\(\Rightarrow \frac{k}{4}=\pm 2\)
\(\Rightarrow k=\pm 2\times 4\)
\(\Rightarrow k=\pm 8\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(7x-4y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxix)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা হতে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3\) একক।

মনেকরি,
\(3x-4y+8=0 ……(1)\)locus4
\(3x+y+4=0 ……(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ……(3)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 ……(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((4)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y+5-3x-y-4=0\)
\(\Rightarrow -5y+1=0\)
\(\Rightarrow -5y=-1\)
\(\Rightarrow y=\frac{-1}{-5}\)
\(\therefore y=\frac{1}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3x+\frac{1}{5}+4=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{1+20}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x+\frac{21}{5}=0\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5}\)
\(\Rightarrow 3x=-\frac{21}{5\times 3}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\(\therefore (2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxx)\) যে সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\tan^{-1}(\frac{3}{4})\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x+5y-11=0\) রেখা হতে \((-1, 1)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{5}{3}\) একক।

মনেকরি,
\(3x+5y-11=0 ……(1)\)locus4
এবং \(A(-1, 1)\)
\(A(-1, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(\frac{3}{4}\) ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=\frac{3}{4}(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(y-1)=3(x+1)\) [ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 4y-4=3x+3\)
\(\Rightarrow 3x+3=4y-4\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3+4=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+7=0 ………….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(3x+5y-11-3x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 9y-18=0\)
\(\Rightarrow 9y=18\)
\(\Rightarrow y=\frac{18}{9}\)
\(\therefore y=2\)
\((1)\) হতে,
\(3x+5.2-11=0\)
\(\Rightarrow 3x+10-11=0\)
\(\Rightarrow 3x-1=0\)
\(\Rightarrow 3x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(B(\frac{1}{3}, 2)\)
\(AB=\sqrt{(-1-\frac{1}{3})^{2}+(1-2)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-3-1}{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{-4}{3})^{2}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16}{9}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxxi)\) যে সরলরেখা \(y=2x\) রেখার সঙ্গে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার সমান্তরাল বরাবর \(3x-4y=15\) রেখা হতে মূলবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।

locus4
মনেকরি,
\(y=2x\Rightarrow y-2x=0 ……(1)\)
\(3x-4y=15\Rightarrow 3x-4y-15=0 ………..(2) \)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ,
\(y=mx …………(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=2, \ m_{2}=m\)
এখন,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{2-m}{1+2m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{2-m}{1+2m}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে]
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow m+2m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{2-m}{1+2m}\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে]
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\Rightarrow m=-3\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{1}{3}x\) [ যখন ,\(m=\frac{1}{3}\) ]
\(\Rightarrow 3y=x\)
\(\Rightarrow x=3y\)
\(\Rightarrow x-3y=0 ………..(4)\)
\(y=-3x\) [ যখন ,\(m=-3\) ]
\(\Rightarrow 3x+y=0 ………..(5)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)-(4)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15-3x+9y=0\)
\(\Rightarrow -15+5y=0\)
\(\Rightarrow 5y=15\)
\(\Rightarrow y=\frac{15}{5}\)
\(\therefore y=3\)
\((4)\) হতে,
\(x-3.3=0\)
\(\Rightarrow x-9=0\)
\(\therefore x=9\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(A(9, 3)\)
আবার,
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)+(5)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(3x-4y-15+12x+4y=0\)
\(\Rightarrow 15x-15=0\)
\(\Rightarrow 15x=15\)
\(\Rightarrow x=\frac{15}{15}\)
\(\therefore x=1\)
\((5)\) হতে,
\(3.1+y=0\)
\(\Rightarrow 3+y=0\)
\(\therefore y=-3\)
\((2)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু \(B(1, -3)\)
\(AO=\sqrt{(9-0)^{2}+(3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(9)^{2}+(3)^{2}}\)
\(=\sqrt{81+9}\)
\(=\sqrt{90}\)
\(=\sqrt{10\times 9}\)
\(=3\sqrt{10}\)
আবার,
\(BO=\sqrt{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}}\)
\(=\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}}\)
\(=\sqrt{1+9}\)
\(=\sqrt{10}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় দূরত্ব \(\sqrt{10}\) একক বা, \(3\sqrt{10}\) একক।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxxii)\) \(ABCD\) রম্বসের দুইটি বাহু \(x-y=5\) ও \(7x-y=3\) এর সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় \((2, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত হলে \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\) ।

locus4
মনে করি,
\(x-y=5 ……(1)\)
\(7x-y=3 ……(2)\)
\(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত \(A(a, 0)\) এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু \(E(2, 1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ……(3)\)
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(a-0+k=0\)
\(\Rightarrow a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-a\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-a=0 ……(4)\)
আবার,
\((3)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\Rightarrow k=-1\)
\((3)\) হতে,
\(x-y-1=0 ……(5)\)
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(7x-y+k=0 ……(6)\)
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(A(a, 0)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7a-0+k=0\)
\(\Rightarrow 7a+k=0\)
\(\Rightarrow k=-7a\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-7a=0 ……(7)\)
আবার,
\((6)\) নং সরলরেখাটি \(E(2, 1)\) বিন্দু দিয়ে গেলে,
\(7.2-1+k=0\)
\(\Rightarrow 14-1+k=0\)
\(\Rightarrow 13+k=0\)
\(\Rightarrow k=-13\)
\((6)\) হতে,
\(7x-y-13=0 ……(8)\)
\((4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((8)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-13-x+y+a=0\)
\(\Rightarrow 6x-13+a=0\)
\(\Rightarrow 6x=13-a\)
\(\Rightarrow x=\frac{13-a}{6}\)
\((8)\) হতে,
\(7\times \frac{13-a}{6}-y-13=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)}{6}-13=y \)
\(\Rightarrow \frac{7(13-a)-78}{6}=y \)
\(\Rightarrow y=\frac{91-7a-78}{6}\)
\(\Rightarrow y=\frac{13-7a}{6}\)
\(\therefore (4)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(F(\frac{13-a}{6}, \frac{13-7a}{6})\)
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((7)-(5)\) এর সাহায্যে,
\(7x-y-7a-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 6x+1-7a=0\)
\(\Rightarrow 6x=7a-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{7a-1}{6}\)
\((7)\) হতে,
\(7\times \frac{7a-1}{6}-y-7a=0 \)
\(\Rightarrow \frac{7(7a-1)}{6}-7a=y \)
\(\Rightarrow \frac{49a-7-42a}{6}=y \)
\(\therefore y=\frac{7a-7}{6}\)
\(\therefore (5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু \(G(\frac{7a-1}{6}, \frac{7a-7}{6})\)
\(F\) এবং \(G\) রম্বসের সন্নিহিত দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দু,
\(\therefore AF=AG\)
\(\Rightarrow AF^{2}=AG^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে। ]
\(\Rightarrow (a-\frac{13-a}{6})^{2}+(0-\frac{13-7a}{6})^{2}=(a-\frac{7a-1}{6})^{2}+(0-\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{6a-13+a}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{6a-7a+1}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{7a-13}{6})^{2}+(\frac{13-7a}{6})^{2}=(\frac{1-a}{6})^{2}+(\frac{7a-7}{6})^{2}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(13-7a)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}}{36}+\frac{(7a-7)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{36}+\frac{(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(a-1)^{2}}{36}+\frac{49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{(1-a)^{2}+49(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{2(7a-13)^{2}}{36}=\frac{50(a-1)^{2}}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{(7a-13)^{2}}{18}=\frac{25(a-1)^{2}}{18}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=25(a-1)^{2}\)
\(\Rightarrow (7a-13)^{2}=[5(a-1)]^{2}\)
\(\Rightarrow 7a-13=\pm 5(a-1)\)
\(\Rightarrow 7a-13=5(a-1)\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে]
\(\Rightarrow 7a-13=5a-5\)
\(\Rightarrow 7a-5a=13-5\)
\(\Rightarrow 2a=8\)
\(\Rightarrow a=\frac{8}{2}\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow 7a-13=-5(a-1)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে]
\(\Rightarrow 7a-13=-5a+5\)
\(\Rightarrow 7a+5a=13+5\)
\(\Rightarrow 12a=18\)
\(\Rightarrow a=\frac{18}{12}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(\therefore A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((4, 0)\) বা, \((\frac{3}{2}, 0)\).

সমাধানঃ \(Q 2.(xxxiii)\) \(P(h, k)\) বিন্দু হতে মূলবিন্দুগামী সরলরেখার উপর লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}=hx+ky\) ।

মনে করি,locus4
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx \Rightarrow y-mx=0 ………(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(my+x+E=0 ……..(2)\) [ \(E\) যে কোনো বাস্থব সংখ্যা। ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(h, k)\) বিন্দুগামী,
\(mk+h+E=0\)
\(\Rightarrow E=-(h+km)\)
\(E\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(my+x-(h+km)=0 ……….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদ বিন্দু হবে পাদবিন্দু।
\((1)\) হতে \(m\) এরমান নির্ণয় করে \((3)\) এ বসিয়ে পাই,
\(\frac{y}{x}\times y+x-(h+k\times \frac{y}{x})=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}}{x}+x-(\frac{ky}{x}+h)=0\)
\(\Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=\frac{ky+hx}{x}\)
\(\Rightarrow y^{2}+x^{2}=ky+hx\) [ উভয় পার্শে \(x\) গুণ করে। ]
\(\therefore x^{2}+y^{2}=hx+ky\)
ইহাই পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ।

সমাধানঃ \(Q 2.(xxxiii)\) \(Y\)অক্ষের সমান্তরাল এবং \(2x-7y+11=0\) ও \(x+3y-8=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(13x-23=0 \) ।

\(Q 2.(xxiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.