সরলরেখা-২ (Straightline-2)

# অনুশীলনী \(3.F\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) একটি সরলরেখা \(2x+5y-9=0\) ও \(3x-4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু এবং \(x=y\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।
সমাধান
\((ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু । উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।
সমাধান
\((iii)\) \(3x-4y+1=0\) এবং \(5x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(23x+23y=11\)।
সমাধান
\((iv)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y=85\)।
সমাধান
\((v)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) ও \(5x-8y+7=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যা মানের অংশ ছেদ করে। উত্তরঃ \(x+y-9=0; \ x-y-1=0\)।
সমাধান
\((vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।
সমাধান
\((vii)\)\(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((14, 4)\)।
সমাধান
\((viii)\) \(x+2y+2=0\)রেখার উপর এরূপ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \((2, -1)\), \((3, 4)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। উত্তরঃ \((-10, 4)\)।
সমাধান
\((ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
সমাধান
\((x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।
সমাধান
\((xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৪ ] উত্তরঃ \((-2, -3)\)।
সমাধান
\((xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।
সমাধান
\((xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।
সমাধান
\((xiv)\) দেখাও যে, \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং \((4, 9)\) বিন্দুর সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দুগামী।
সমাধান
\((xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।
সমাধান
\((xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।
সমাধান
\((xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।
সমাধান
\((xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-1, 2)\)।
সমাধান
\((xix)\) দেখাও যে, \(k\) এর সকল বাস্থব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা \((3+2k)x+5ky-3=0\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((1, -\frac{2}{5})\)।
সমাধান
\((xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।
সমাধান
\((xxi)\) \(A(3,-1)\),\(B(-2, 3)\) বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং তার লম্ববিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-\frac{36}{7}, -\frac{45}{7})\)।
সমাধান
\((xxii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(x-y+1=0\) ও \(2x+3y-6=0\) এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((1, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের অপর দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+3y-1=0; \ x-y-2=0\)।
সমাধান
\((xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।
সমাধান
\((xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((3, -2)\)।
সমাধান
\((xxv)\) \((x, y)\) এমনেই একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((-1, 2)\) ও \((-5, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।
সমাধান
\((xxv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ,\(BC\) বাহু দুইটির সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) । \(AD\) ও \(DC\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+3y-1=0, \ x-y-2=0.\)।
সমাধান
\((xxvi)\) \(\lambda\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \(y(1+\lambda)-x(3+2\lambda)-11-9\lambda=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 5)\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.F\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 3.(i)\) একটি সরলরেখা \(2x+5y-9=0\) ও \(3x-4y-7=0\) রেখাদ্বয়ের সাথে সমবিন্দু এবং \(x=y\) রেখার সমান্তরাল হলে, রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(23x-23y=58\)।

মনেকরি,
\(2x+5y-9=0 ……………(1)\)locus4
\(3x-4y-7=0 …………..(2)\)
এবং \(x=y\Rightarrow x-y=0 …….(3)\)
\((3)\) নং রেখার সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 …….(4)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্থব সংখ্যা। ]
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((4)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ 5 \ \ -9\\3 \ \ -4 \ \ -7\\1 \ \ -1 \ \ \ \ k\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2[(-4).k-(-7).(-1)]-5[3.k-(-7).1]-9[3.(-1)-(-4).1]=0\)
\(\Rightarrow 2[-4k-7]-5[3k+7]-9[-3+4]=0\)
\(\Rightarrow -23k-58=0\)
\(\Rightarrow -23k=58\)
\(\Rightarrow k=\frac{58}{-23}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{58}{23}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-\frac{58}{23}=0\)
\(\Rightarrow x-y=\frac{58}{23}\)
\(\Rightarrow 23x-23y=58\) [ উভয় পার্শে \(23\) গুণ করে।]
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ \(Q 3.(ii)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যাদের অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এবং যারা \(2x+3y=1\) ও \(x-2y+3=0\) রেখাদুইটি সাথে সমবিন্দু । উত্তরঃ \(x-y+2=0; \ x+y=0\)।

locus4
মনেকরি,
\(2x+3y-1=0 ……………(1)\)
\(x-2y+3=0 …………..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+3y-1+k(x-2y+3)=0 ………(3)\) [ \(k\), শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ]
\(\Rightarrow 2x+3y-1+kx-2ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y-1+3k=0\)
\(\Rightarrow (2+k)x+(3-2k)y=1+3k\)
\(\Rightarrow \frac{(2+k)x}{1+3k}+\frac{(3-2k)y}{1+3k}=1\) [ উভয় পার্শে \(1+2k\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{1+3k}{2+k}}+\frac{y}{\frac{1+3k}{3-2k}}=1 ………(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশ যথাক্রমে \(\frac{1+3k}{2+k}, \ \frac{1+3k}{3-2k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{1+3k}{2+k}=\pm frac{1+3k}{3-2k}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=\pm frac{1}{3-2k}\) [ উভয়পার্শে \(1+3k\) ভাগ করে। \(\because 1+3k\ne 0\) ]
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=frac{1}{3-2k}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2+k=3-2k\)
\(\Rightarrow k+2k=3-2\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1}{2+k}=-frac{1}{3-2k}\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow -2-k=3-2k\)
\(\Rightarrow -k+2k=3+2\)
\(\therefore k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+3y-1+\frac{1}{3}(x-2y+3)=0\) [ যখন, \(k=\frac{1}{3}\)]
\(\Rightarrow 3(2x+3y-1)+1(x-2y+3)=0\) [ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 6x+9y-3+x-2y+3=0\)
\(\Rightarrow 7x+7y=0\)
\(\therefore x+y=0\) [ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে। ]
\(2x+3y-1+5(x-2y+3)=0\) [ যখন, \(k=5\)]
\(\Rightarrow 2x+3y-1+5x-10y+15=0\)
\(\Rightarrow 7x-7y+14=0\)
\(\therefore x-y+2=0\) [ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে। ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

মনেকরি,
\(2x+3y-1=0 ……………(1)\)
\(x-2y+3=0 …………..(2)\)
এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদক অংশের সংখ্যা মান সমান এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{\pm a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{a}\mp \frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x\mp y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x\mp y=a\)
\(\therefore x\mp y-a=0 ………(3)\)
শর্তমতে,
\((1)\), \((2)\) ও \((3)\) সমবিন্দু,
\(\therefore \left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ -1\\1 \ \ -2 \ \ \ \ \ \ \ 3\\1 \ \ \mp 1 \ \ -a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2[(-2).(-a)-3.(\mp 1)]-3[1.(-a)-3.1]-1[1.(\mp 1)-(-2).1]=0\)
\(\Rightarrow 2[2a\pm 3]-3[-a-3]-1[\mp 1+2]=0\)
\(\Rightarrow 4a\pm 6+3a+9\pm 1-2=0\)
\(\Rightarrow 4a+6+3a+9+1-2=0\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 7a+14=0\)
\(\Rightarrow 7a=-14\)
\(\Rightarrow a=-\frac{14}{7}\)
\(\therefore a=-2\)
আবার,
\(\Rightarrow 4a-6+3a+9-1-2=0\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 7a=0\)
\(\Rightarrow a=\frac{0}{7}\)
\(\therefore a=0\)
\(a\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-(-2)=0\) [ যখন, \(a=-2\)]
\(\Rightarrow x-y+2=0\)
\(x+y-0=0\) [ যখন, \(a=0\)]
\(\Rightarrow x+y=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y+2=0, \ x+y=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(iii)\) \(3x-4y+1=0\) এবং \(5x+y=1\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(23x+23y=11\)।

locus4

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(iv)\) \(3x-7y+5=0\) এবং \(x-2y-7=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয় হতে একই চিহ্নবিশিষ্ট সমান সমান অংশ ছেদ করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y=85\)।

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(v)\)দুইটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(7x+13y-87=0\) ও \(5x-8y+7=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষ দুইটি হতে সমান সংখ্যা মানের অংশ ছেদ করে। উত্তরঃ \(x+y-9=0; \ x-y-1=0\)।

\(Q 3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(vi)\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(4x-3y=1\) ও \(2x-5y+3=0\) রেখাদুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে। উত্তরঃ \(x+y=2; \ x-y=0\)।

locus4
মনেকরি,
\(4x-3y=1\Rightarrow 4x-3y-1=0……………(1)\)
\(2x-5y+3=0 …………..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x-3y-1+k(2x-5y+3)=0 ………(3)\) [ \(k\), শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ]
\(\Rightarrow 4x-3y-1+2kx-5ky+3k=0\)
\(\Rightarrow (4+2k)x-(3+5k)y-(1-3k)=0 ……(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{4+2k}{-(3+5k)}\)
\(=\frac{4+2k}{3+5k}\)
শর্তমতে,
\(\frac{4+2k}{3+5k}=\tan(\pm 45^{o})\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=1\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 3+5k=4+2k\)
\(\Rightarrow 5k-2k=4-3\)
\(\Rightarrow 3k=1\)
\(\therefore k=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{4+2k}{3+5k}=-1\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 3+5k=-4-2k\)
\(\Rightarrow 5k+2k=-4-3\)
\(\Rightarrow 7k=-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{-7}{7}\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-1+\frac{1}{3}(2x-5y+3)=0\) [ যখন, \(k=\frac{1}{3}\)]
\(\Rightarrow 3(4x-3y-1)+1(2x-5y+3)=0\) [ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে। ]
\(\Rightarrow 12x-9y-3+2x-5y+3=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y=0\)
\(\therefore x-y=0\) [ উভয় পার্শে \(7\) ভাগ করে। ]
\(4x-3y-1-1(2x-5y+3)=0\) [ যখন, \(k=-1\)]
\(\Rightarrow 4x-3y-1-2x+5y-3=0\)
\(\Rightarrow 2x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-2=0\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে। ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y=0, \ x+y-2=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(vii)\) \(P\) বিন্দুটি \(x-3y=2\)রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((2, 3)\), \((6, -5)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(P\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \((14, 4)\)।

মনেকরি,
\(x-3y=2\Rightarrow x-3y-2=0……………(1)\)locus4
এবং \(P(x, y)\), \(A(2, 3)\), \(B(6, -5)\)
শর্তমতে,
\(PA=PB\)
\(\Rightarrow PA^{2}=PB^{2}\)
\(\Rightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=(x-6)^{2}+(y+5)^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9=x^{2}-12x+36+y^{2}+10y+25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}-6y+9-x^{2}+12x-36-y^{2}-10y-25=0\)
\(\Rightarrow 8x-16y-48=0\)
\(\Rightarrow x-2y-6=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি, [ \(\because P\) এর উপর অবস্থিত।]
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(x-2y-6-x+3y+2=0\)
\(\Rightarrow y-4=0\)
\(\therefore y=4\)
\((1)\) হতে,
\(x-3.4-2=0\)
\(\Rightarrow x-12-2=0\)
\(\Rightarrow x-14=0\)
\(\therefore x=14\)
\(\therefore P(14, 4)\).

সমাধানঃ \(Q 3.(viii)\) \(x+2y+2=0\)রেখার উপর এরূপ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর যা \((2, -1)\), \((3, 4)\) বিন্দু হতে সমদূরবর্তী। উত্তরঃ \((-10, 4)\)।

\(Q 3.(vii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(ix)\) \(P(x, y)\)বিন্দুটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \(Q(2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\) রেখার উপর লম্ব। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।

দেওয়া আছে,
\(A(-1, 2)\) \(B(-5, 4)\)locus4
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{2-4}{-1+5}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=2\)
এখন,
\(PQ\) এর সমীকরণ, \(y-3=2(x-2)\) [\(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)]
\(\Rightarrow 2(x-2)=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4=y-3\)
\(\Rightarrow 2x-4-y+3=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(2x-y-1=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(x)\) \(P(h, k)\) বিন্দু থেকে \(X\) ও \(Y\) অক্ষের উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে \(PA\) ও \(PB\) হলে, \(P\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।

locus4
দেওয়া আছে,
\(P(h, k)\)
শর্তমতে,
\(A(h, 0)\)\(B(0, k)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-k}{h-0}\)
\(=\frac{-k}{h}\)
\(=-\frac{k}{h}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=\frac{h}{k}\)
এখন,
\(P\)বিন্দুগামী এবং \(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ, \(y-k=\frac{h}{k}(x-h)\) [\(\because y-y_{1}=m(x-x_{1})\)]
\(\Rightarrow \frac{h}{k}(x-h)=y-k\)
\(\Rightarrow h(x-h)=k(y-k)\)
\(\Rightarrow hx-h^{2}=ky-k^{2}\)
\(\therefore hx-ky=h^{2}-k^{2}\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(hx-ky=h^{2}-k^{2}\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xi)\) একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\); অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০০৪ ] উত্তরঃ \((-2, -3)\)।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু \(A(6, 1)\) ও \(B(1, 6)\) এবং এর লম্ববিন্দু \(P(3, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
এখন,
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বগুলি যথাক্রমে \(AD, BE, CF\) যারা পরস্পর \(P(3, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(BC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{6-y}{1-x}\)locus4
\(AP\) তথা, \(AD\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) [ \(\because BC\perp AD\)]
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{1-x}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6-y}{3(1-x)}=1\)
\(\Rightarrow 6-y=3(1-x)\)
\(\Rightarrow 6-y=3-3x\)
\(\Rightarrow 3x-y+6-3=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ……..(1)\)
আবার,
\(AC\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-y}{6-x}\)
\(BP\) তথা, \(BE\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-2}{1-3}\)
\(=\frac{4}{-2}\)
\(=-2\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) [ \(\because AC\perp BE\)]
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times -2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1-y}{6-x}\times 2=1\)
\(\Rightarrow \frac{2(1-y)}{6-x}=1\)
\(\Rightarrow 2-2y=6-x\)
\(\Rightarrow x-2y+2-6=0\)
\(\Rightarrow x-2y-4=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-1).(-4)-3.(-2)}=\frac{y}{3.1-3.(-4)}=\frac{1}{3.(-2)-(-1).1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+6}=\frac{y}{3+12}=\frac{1}{-6+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 10, \ y=\frac{1}{-5}\times 15\)
\(\therefore x=-2, \ y=-3\)
\(\therefore \) অবশিষ্ট শীর্ষের স্থানাঙ্ক \(C(-2, -3)\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xii)\) \(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\) হলে, \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।

দেওয়া আছে,
\(ABC\) ত্রিভুজের \(AD\), \(BE\) ও \(CF\)উচ্চতা তিনটির সমীকরণ যথাক্রমে \(4x+3y=6\), \(x-2y=7\) ও \(2x-y=8\) এবং \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2)\)locus4
ধরি,
\(4x+3y=6 ………..(1)\)
\(x-2y=7 ………..(2)\)
\(2x-y=8 ………..(3)\)
এবং \(A(0, 2)\)
\((3)\) নং সমীকরণ তথা \(CF\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(x+2y+k=0 ………(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, [ \(\because AB\perp CF\)]
\(0+2.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+k=0\)
\(\therefore k=-4\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x+2y-4=0\) যা, \(AB\) এর সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ তথা \(BE\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(2x+y+k=0 ………(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \(A(0, 2)\) বিন্দুগামী, [ \(\because AC\perp BE\)]
\(2.0+2+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\therefore k=-2\)
\(k\) এর মান \((5)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-2=0\) যা, \(AC\) এর সমীকরণ।
\(\therefore AB\) এবং \(AC\) বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে \(x+2y-4=0, \ 2x+y-2=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xiii)\) \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) সরলরেখাটি \(2x-y=1\) এবং \(3x-4y+6=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(4x+3y-6=0\) রেখার সমান্তরাল হয়, তবে \(a\) এবং \(b\) এর মান নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)।

মনে করি,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……(1)\)locus4
\(2x-y=1\Rightarrow 2x-y-1=0 …….(2)\)
\(3x-4y+6=0…….(3)\)
\(4x+3y-6=0…….(4)\)
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((4)\) সমান্তরাল,
\(\frac{4}{\frac{1}{a}}=\frac{3}{\frac{1}{b}}\)
\(\Rightarrow 4a=3b\)
\(\Rightarrow a=\frac{3b}{4} ……(5)\)
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-1).6-(-1).(-4)}=\frac{y}{(-1).3-2.6}=\frac{1}{2.(-4)-(-1).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-6-4}=\frac{y}{-3-12}=\frac{1}{-8+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-15}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times -10, \ y=\frac{1}{-5}\times -15\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((2, 3)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\frac{3b}{4}}+\frac{3}{b}=1\) [ \((5)\) এর সাহায্য]
\(\Rightarrow \frac{8}{3b}+\frac{3}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{8+9}{3b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{17}{3b}=1\)
\(\Rightarrow 3b=17\)
\(\therefore b=\frac{17}{3}\)
\((5)\) হতে
\(a=\frac{3\times \frac{17}{3}}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}\)
\(\therefore a=\frac{17}{4}, \ b=\frac{17}{3}\)

সমাধানঃ \(Q 3.(xiv)\) দেখাও যে, \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং \((4, 9)\) বিন্দুর সংযোগ রেখাটি মূলবিন্দুগামী।

locus4
মনেকরি,
\(3x+5y-6=0 ……….(1)\)
\(2x-3y+2=0 ………..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+5y-6+k(2x-3y+2)=0 ………(3)\) [ \(k\), শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ]
\((3)\) নং সরলরেখা \((4, 9)\) বিদু দিয়ে যায়,
\(3.4+5.9-6+k(2.4-3.9+2)=0\)
\(\Rightarrow 12+45-6+k(8-27+2)=0\)
\(\Rightarrow 57-6+k(10-27)=0\)
\(\Rightarrow 51+k.(-17)=0\)
\(\Rightarrow k.(-17)=-51\)
\(\Rightarrow k=\frac{-51}{-17}\)
\(\therefore k=3\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x+5y-6+3(2x-3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 3x+5y-6+6x-9y+6=0\)
\(\Rightarrow 9x-4y=0\) ধ্রূবক মুক্ত অর্থাৎ মূলবিন্দুগামী।

সমাধানঃ \(Q 3.(xv)\) \(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(2x+y-8=0\) ও \(x-y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\); অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।

দেওয়া আছে,
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(BC\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x+5y-6=0\) ও \(2x-3y+2=0\) এবং \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2, -4)\);
\(AD\) ও \(CD\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে, যারা যথাক্রমে \(BC\) ও \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(D\) বিন্দুগামী।
ধরি,
\(2x+y-8=0 ………(1)\)locus4
\(x-y+2=0 ……….(2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ………(3)\) [\(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। ]
\((3)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2.2+(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 4-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y+0=0\)
\(\Rightarrow 2x+y=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ………(4)\) [\(k\) যে কোন বাস্তব সংখ্যা। ]
\((4)\) নং সরলরেখা \(D(2, -4)\) বিন্দুগামী।
\(2-(-4)+k=0\)
\(\Rightarrow 2+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+k=0\)
\(\Rightarrow k=-6\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-6=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ, \(x-y-6=0, \ 2x+y=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xvi)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\) এবং কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \((4, 5)\) । এর অপর বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)।

মনে করি,
\(ABCD\) সামান্তরিকের \(AB\) ও \(AD\) বাহুদ্বয়ের সমীকরণ যথাক্রমে \(3x-4y+1=0\) ও \(2x-y-1=0\)
কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু \(E(4, 5)\) এবং তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ……..(1)\)locus4
\(2x-y-1=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{(-4).(-1)-1.(-1)}=\frac{y}{1.2-3.(-1)}=\frac{1}{3.(-1)-(-4).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4+1}=\frac{y}{2+3}=\frac{1}{-3+8}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{5}, \ \frac{y}{5}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}\times 5, \ y=\frac{1}{5}\times 5\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=1\)
\(\therefore A(1, 1)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
দেওয়া আছে, কর্ণদুইটির ছেদবিন্দু অর্থাৎ \(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(4, 5)\)
\(\therefore E(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow E(4, 5)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=4, \frac{1+y}{2}=5\)
\(\Rightarrow 1+x=8, 1+y=10\)
\(\Rightarrow x=8-1, y=10-1\)
\(\Rightarrow x=7, y=9\)
\(\therefore C(7, 9)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 ……..(3)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((3)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(3.7-4.9+k=0\)
\(\Rightarrow 21-36+k=0\)
\(\Rightarrow -15+k=0\)
\(\Rightarrow k=15\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+15=0\)
আবার,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ……..(4)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((4)\) সরলরেখা \(C(7, 9)\) বিন্দুগামী,
\(2.7-9+k=0\)
\(\Rightarrow 14-9+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\Rightarrow k=-5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-5=0\)
\(\therefore \) অপর বাহু দুইটির সমীকরণ, \(3x-4y+15=0, \ 2x-y-5=0\)

সমাধানঃ \(Q 3.(xvii)\) প্রমণ কর যে, \(2x+y+5=0\) এবং \(x-2y-3=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। রেখাদ্বয়কে কোনো আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু ধরলে এবং অপর বাহুদ্বয় \((3, 4)\) বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করলে অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।

মনেকরি,
\(2x+y+5=0 ………(1)\)locus4
\(x-2y-3=0 ……..(2)\)
এবং \(C(3, 4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=-\frac{2}{1}, \ m_{2}=-\frac{1}{-2}\)
\(\Rightarrow m_{1}=-2, \ m_{2}=\frac{1}{2}\)
এখন,
\(m_{1}\times m_{2}=-2\times -\frac{1}{2}\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1 \therefore \) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
\(ABCD\) আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহু যথাক্রমে \((1)\) ও \((2)\) তথা \(AB\) ও \(AD\) হলে,
\(BC\) ও \(DC\) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে,
\((2)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-2y+k=0 ………(3)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((3)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(3-2.4+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-2y+5=0\)
আবার,
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ………(4)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((4)\) নং সরলরেখা \(C(3, 4)\) বিন্দুগামী।
\(2.3+4+k=0\)
\(\Rightarrow 6+4+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-10=0\)
\(\therefore \) অপর বাহুদ্বয়ের সমীকরণ \(x-2y+5=0, \ 2x+y-10=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xviii)\) \(k\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-1, 2)\)।

দেওয়া আছে,
\((2k-3)x+(3k-2)y-(4k-1)=0\)locus4
\(\Rightarrow 2kx-3x+3ky-2y-4k+1=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+2kx+3ky-4k=0\)
\(\Rightarrow -3x-2y+1+k(2x+3y-4)=0 ………(1)\)
ইহা স্পষ্ট যে \((1)\) নং সরলরেখা সর্বদা \(-3x-2y+1=0 ……(2)\) এবং \(2x+3y-4=0 ……..(3)\) এর ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।
\((2)\) এবং \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-2).(-4)-1.3}=\frac{y}{1.2-(-3).(-4)}=\frac{1}{(-3).3-(-2).2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8-3}=\frac{y}{2-10}=\frac{1}{-9+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{-5}, \ \frac{y}{-10}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-5}\times 5, \ y=\frac{1}{-5}\times -10\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=2\)
\(\therefore (-1, 2)\)
\(\therefore \) বিন্দুটির স্থানাঙ্ক \((-1, 2)\).

সমাধানঃ \(Q 3.(xix)\) দেখাও যে, \(k\) এর সকল বাস্থব মানের জন্য একগুচ্ছ সরলরেখা \((3+2k)x+5ky-3=0\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((1, -\frac{2}{5})\)।

\(Q 3.(xviii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(xx)\) \(4x+7y-12=0\) রেখাটি একটি বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে এবং বর্গের একটি শীর্ষ \((3, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত। এ বিন্দুটি দিয়ে অতিক্রমকারী বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।

মনে করি,
\(4x+7y-12=0 ……(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখাটি কোনো বর্গের কর্ণ নির্দেশ করে যার সহিত বর্গের বাহুগুলি সর্বদা \(45^{o}\) কোণ তৈরী করে।
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{4}{7}\)
\((3, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x-3) ………..(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{-\frac{4}{7}-m}{1+(-\frac{4}{7})m}\) [ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)]
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{1-\frac{4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{\frac{-4-7m}{7}}{\frac{7-4m}{7}}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7}\times \frac{7}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{-4-7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{4+7m}{7-4m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4+7m}{7-4m}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 4+7m=7-4m\)locus4
\(\Rightarrow 4m+7m=7-4\)
\(\Rightarrow 11m=3\)
\(\Rightarrow m=\frac{3}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1=-\frac{4+7m}{7-4m}\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 4+7m=-7+4m\)
\(\Rightarrow -4m+7m=-7-4\)
\(\Rightarrow 3m=-11\)
\(\Rightarrow m=-\frac{11}{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{3}{11}(x-3)\) [ যখন \(m=\frac{3}{11}\)]
\(\Rightarrow 11(y-2)=3(x-3)\) [ উভয় পার্শে \(11\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 3(x-3)=11(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x-9=11y-22\)
\(\Rightarrow 3x-11y+22-9=0\)
\(\therefore 3x-11y+13=0\)
আবার,
\(y-2=-\frac{11}{3}(x-3)\) [ যখন \(m=-\frac{11}{3}\)]
\(\Rightarrow 3(y-2)=-11(x-3)\) [ উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 3y-6=-11x+33\)
\(\Rightarrow 11x-33+3y-6=0\)
\(\therefore 11x+3y-39=0\)
\(\therefore\) বর্গের বাহু দুইটির সমীকরণ \(3x-11y+13=0, \ 11x+3y-39=0\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxi)\) \(A(3,-1)\),\(B(-2, 3)\) বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং তার লম্ববিন্দুটি মূলবিন্দুতে অবস্থিত। তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-\frac{36}{7}, -\frac{45}{7})\)।

\(Q 3.(xi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxii)\) একটি সামান্তরিকের দুইটি বাহুর সমীকরণ \(x-y+1=0\) ও \(2x+3y-6=0\) এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরকে \((1, \frac{1}{2})\) বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের অপর দুই বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+3y-1=0; \ x-y-2=0\)।

\(Q 3.(xvi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxiii)\) \((2, 1)\), \((6, 3)\) বিন্দু দুইটি এবং \((6, 3)\), \((8, 1)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, এ লম্ব দ্বিখন্ডক দুইটির ছেদবিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0; \ (5, 0)\)।

মনে করি,
\(A(2, 1)\), \(B(6, 3)\) এবং \(C(8, 1)\) locus4
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow E(4, 2)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{1-3}{2-6}\)
\(=\frac{-2}{-4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=-2\)
\(A, B\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=-2(x-4)\)
\(\Rightarrow y-2=-2x+8\)
\(\Rightarrow 2x-8+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-10=0\)
আবার,
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{6+8}{2}, \frac{3+1}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{14}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\Rightarrow F(7, 2)\)
\(BC\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{3-1}{6-8}\)
\(=\frac{2}{-2}\)
\(=-1\)
\(BC\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=1\)
\(B, C\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(y-2=1(x-7)\)
\(\Rightarrow y-2=x-7\)
\(\Rightarrow x-7=y-2\)
\(\Rightarrow x-7-y+2=0\)
\(\therefore x-y-5=0\)
\(\therefore \) লম্বদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(2x+y-10=0, \ x-y-5=0;\)।
তাদের ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.(-5)-(-10).(-1)}=\frac{y}{(-10).1-2.(-5)}=\frac{1}{2.(-1)-1.1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-5-10}=\frac{y}{-10+10}=\frac{1}{-2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-15}=\frac{1}{-3}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-3}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-3}\times -15, \ y=\frac{1}{-3}\times 0\)
\(\Rightarrow x=5, \ y=0\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((5, 0)\) যার \(y\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং যা \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxiv)\) দেখাও যে, \(4x-6y-24=0\), \(3x+7y+5=0\) এবং \(4x-3y-18=0\)রেখাত্রয় সমবিন্দু। এদের ছেদবিন্দু নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((3, -2)\)।

মনে করি,
\(4x-6y-24=0 ………..(1)\)
\(3x+7y+5=0 ………….(2)\)
এবং \(4x-3y-18=0 ……….(3)\)
এখানে,
\(\Delta=\left|\begin{array}{c}4 \ \ -6 \ \ -24\\3 \ \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\\4 \ \ -3 \ \ -18\end{array}\right|\)
\(=4[7.(-18)-5.(-3)]-(-6)[3.(-18)-5.4]+(-24)[3.(-3)-7.4]\)
\(=4[-126+15]+6[-54-20]-24[-9-28]\)locus4
\(=4[-111]+6[-74]-24[-37]\)
\(=-444-444+888\)
\(=-888+888\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0\) অতএব, রেখাত্রয় সমবিন্দু।
এই ক্ষেত্রে উপরের যে কোনো দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করাই যতেষ্ট।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-6).5-(-24).7}=\frac{y}{(-24).3-4.5}=\frac{1}{4.7-(-6).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-30+168}=\frac{y}{-72-20}=\frac{1}{28+18}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{138}=\frac{1}{46}, \ \frac{y}{-92}=\frac{1}{46}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{46}\times 138, \ y=\frac{1}{46}\times -92\)
\(\Rightarrow x=3, \ y=-2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \((3, -2)\)।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxv)\) \((x, y)\) এমনেই একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত যা \((2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((-1, 2)\) ও \((-5, 4)\) বিন্দু দুইটির সংযোগ রেখার উপর লম্ব হয়। দেখাও যে, \(2x-y-1=0\)।

\(Q 3.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ \(Q 3.(xxvi)\) \(\lambda\) এর যে কোনো বাস্থব মানের জন্য \(y(1+\lambda)-x(3+2\lambda)-11-9\lambda=0\) রেখাটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়। বিন্দুটির স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 5)\)।

\(Q 3.(xviii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.