সরলরেখা-২ (Straightline-2)

অনুশীলনী \(3.F\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

\((i)\)
\(x+y+3=0 ………..(1)\)
\(x-y+2=0 ………….(2)\)
\(4x+3y+5=0 ………….(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ……….(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধান

\(Q 4.\)

\((ii)\) চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধান

\(Q 4.\)

\((iii)\) \(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.F\)সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

সমাধানঃ \(Q 4.(i)\)
\(x+y+3=0 ………..(1)\)
\(x-y+2=0 ………….(2)\)
\(4x+3y+5=0 ………….(3)\)
এবং \(x+3y-12=0 ……….(4)\)
\((a)\) দেখাও যে, \((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\) \((3)\) নং সরলরেখার সমান্তরাল এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((4)\) নং সরলরেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশকে সমান তিনভাগে বিভক্ত করে এমন বিন্দুদ্বয়ের সাথে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

\((a)\)locus4
শর্তমতে,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখা হলো।
\(x+y+3=0 ………..(1)\)
\(x-y+2=0 ………….(2)\)
এখানে,
\(a_{1}=1, \ b_{1}=1, \ a_{2}=1, \ b_{2}=-1, \)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.1+1.(-1)\)
\(=1-1\)
\(=0\)
\(\because a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0 \therefore (1)\) ও \((2)\) সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
\((b)\)locus4
\((3)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+5=0 ………….(3)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((3)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 ………….(4)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((4)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 4.1+3.2+k=0\)
\(\Rightarrow 4+6+k=0\)
\(\Rightarrow 10+k=0\)
\(\Rightarrow k=-10\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y-10=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((c)\) locus4
\((4)\) নং সরলরেখার সমীকরণ,
\(x+3y-12=0 ……….(4)\)
\(\Rightarrow x+3y=12\)
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{3y}{12}=\frac{12}{12}\) [ উভয় পার্শে \(12\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow \frac{x}{12}+\frac{y}{4}=1 \)
\(\therefore (4)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(12, 0)\) ও \(B(0, 4)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
শর্তমতে,
\(AB\) কে \(C\) এবং \(D\) বিন্দুদ্বয় যথাক্রমে \(1:2\) এবং \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore C(\frac{1.0+2.12}{1+2}, \frac{1.4+2.0}{1+2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{0+24}{3}, \frac{4+0}{3})\)
\(\Rightarrow C(\frac{24}{3}, \frac{4}{3})\)
\(\Rightarrow C(8, \frac{4}{3})\)
এবং
\(D(\frac{2.0+1.12}{2+1}, \frac{2.4+1.0}{2+1})\)
\(\Rightarrow D(\frac{0+12}{3}, \frac{8+0}{3})\)
\(\Rightarrow D(\frac{12}{3}, \frac{8}{3})\)
\(\Rightarrow D(4, \frac{8}{3})\)
\(OC\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{4}{3}}{8}x\) [\(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)]
\(\Rightarrow y=\frac{4}{3\times 8}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{3\times 2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{x}{6}\)
\(\therefore x=6y\)
\(OD\) এর সমীকরণ ,
\(y=\frac{\frac{8}{3}}{4}x\) [\(\because y=\frac{y_{1}}{x_{1}}x\)]
\(\Rightarrow y=\frac{8}{3\times 4}x\)
\(\Rightarrow y=\frac{2x}{3}\)
\(\therefore 2x=3y\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \(x=6y, \ 2x=3y \)।

সমাধানঃ \(Q 4.(ii)\)
\(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)। locus4
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(AB\) সরলরেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের একটি বাহু কল্পনা করে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

\((a)\)
চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0 ……..(i)\)
\(\Rightarrow 3x-y=-7\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-7}-\frac{y}{-7}=\frac{-7}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{7}{3}}+\frac{y}{7}=1\)
\(\therefore A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{-1}\)
\(=3\)
\(\therefore A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
এবং \(AB\) এর ঢাল \(=3\)।
\((b)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=3\)
\((-1, 2)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+1) ……….(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
শর্তমতে,
\(\tan45^{o}=\pm \frac{3-m}{1+3.m}\) [ \(\because \tan\theta=\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)]
\(\Rightarrow 1=\pm \frac{3-m}{1+3m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{3-m}{1+3m}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 1+3m=3-m\)locus4
\(\Rightarrow 3m+m=3-1\)
\(\Rightarrow 4m=2\)
\(\Rightarrow m=\frac{2}{4}\)
\(\therefore m=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 1=-\frac{3-m}{1+3m}\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 1+3m=-3+m\)
\(\Rightarrow 3m-m=-3-1\)
\(\Rightarrow 2m=-4\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore m=-2\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-2=\frac{1}{2}(x+1)\) [ যখন, \(m=\frac{1}{2}\) ]
\(\Rightarrow 2(y-2)=x+1\) [ উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 2y-4=x+1\)
\(\Rightarrow x+1=2y-4\)
\(\Rightarrow x+1-2y+4=0\)
\(\therefore x-2y+5=0\)
আবার,
\(y-2=-2(x+1)\) [ যখন, \(m=-2\) ]
\(\Rightarrow y-2=-2x-2\)
\(\Rightarrow y-2+2x+2=0\)
\(\therefore 2x+y=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ \( x-2y+5=0, \ 2x+y=0 \)।
\((c)\)locus4
\((a)\) হতে প্রাপ্ত \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( A(-\frac{7}{3}, 0), \ B(0, 7)\)
\(\therefore AB=\sqrt{(-\frac{7}{3}-0)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-\frac{7}{3})^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{49}{9}+49}\)
\(=\sqrt{49(\frac{1}{9}+1)}\)
\(=\sqrt{7^{2}\times (\frac{1+9}{9})}\)
\(=7\sqrt{\frac{10}{9}}\)
\(=\frac{7}{3}\sqrt{10}\)
\(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\)
\(\therefore \) বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল \(=(\frac{7\sqrt{10}}{3})^{2}\)
\(=\frac{49\times 10}{9}\)
\(=\frac{490}{9}\)
\(=54\frac{4}{9}\)বর্গ একক।
আবার,
কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=\frac{7\sqrt{10}}{3}\times \sqrt{2}\)
\(=\frac{7\sqrt{20}}{3}\)
\(=\frac{7\sqrt{4\times 5}}{3}\)
\(=\frac{7\times 2\sqrt{5}}{3}\)
\(=\frac{14\sqrt{5}}{3}\) একক।

সমাধানঃ \(Q 4.(iii)\)
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\((a)\) তিনটি বিন্দুর সমরেখ হওয়ার শর্তটি লিখ এবং \(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C\) এর স্থানাঙ্ক এবং রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং এর সাহায্যে মূলবিন্দু হতে \(BD\) রেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।

locus4
\((a)\) তিনটি বিন্দু \(P, Q, R\) সমরেখ হবে যদি তারা একই সরলরেখায় অবস্থান করে অর্থাৎ \(\triangle PQR=0\) হয়।
দেওয়া আছ,
\(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(\triangle ABD\) এর ভরকেন্দ্র \(G(\frac{2+5+6}{3}, \frac{5+9+8}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\)
\(\therefore \) ভরকেন্দ্র \(G(\frac{13}{3}, \frac{22}{3})\)
\((b)\)
দেওয়া আছ,
\(ABCD\) রম্বসের তিনটি শীর্ষবিন্দু \(A(2, 5)\), \(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
ধরি, রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(x, y)\)
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\) locus4
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+6}{2}, \frac{9+8}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে,
\(\therefore E(\frac{2+x}{2}, \frac{5+y}{2})\Rightarrow E(\frac{11}{2}, \frac{17}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{2}=\frac{11}{2}, \frac{5+y}{2}=\frac{17}{2}\)
\(\Rightarrow 2+x=11, 5+y=17\)
\(\Rightarrow x=11-2, y=17-5\)
\(\Rightarrow x=9, y=12\)
\(\therefore \) রম্বসের চতুর্থ শীর্ষবিন্দু \(C(9, 12)\).
\(ABCD\) রম্বসের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times AC\times BD\)
\(=\frac{1}{2}\times [\sqrt{(2-9)^{2}+(5-12)^{2}}]\times [\sqrt{(5-6)^{2}+(9-8)^{2}}]\)
\(=\frac{1}{2}\times [\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}]\times [\sqrt{(-1)^{2}+(1)^{2}}]\)
\(=\frac{1}{2}\times [\sqrt{(49+49}]\times [\sqrt{1+1}]\)
\(=\frac{1}{2}\times [\sqrt{2\times 49}]\times [\sqrt{2}]\)
\(=\frac{1}{2}\times [7\sqrt{2}]\times [\sqrt{2}]\)
\(=\frac{1}{2}\times 7\times 2\)
\(=7\) বর্গ একক।
\((c)\)locus4
দেওয়া আছ,
\(B(5, 9)\) এবং \(D(6, 8)\) ।
\(BD\) এর সমীকরণ, \(\frac{x-5}{5-6}=\frac{y-9}{9-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-5}{-1}=\frac{y-9}{1}\)
\(\Rightarrow x-5=-(y-9)\)
\(\Rightarrow x-5=-y+9\)
\(\Rightarrow x-5+y-9=0\)
\(\therefore x+y-14=0 ……..(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y+k=0 ……..(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা।]
\((2)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 0-0+k=0\)
\(\Rightarrow k=0\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-y+0=0\)
\(\Rightarrow x-y=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\) এর সাহায্যে,
\(x+y-14+x-y=0\)
\(\Rightarrow 2x-14=0\)
\(\Rightarrow 2x=14\)
\(\Rightarrow x=\frac{14}{2}\)
\(\Rightarrow x=7\)
\((3)\) হতে,
\(7-y=0 \)
\(\Rightarrow 7=y \)
\(\therefore y=7 \)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \(P(7, 7)\)
এবং লম্ব দূরত্ব \(OP=\sqrt{(0-7)^{2}+(0-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}\)
\(=\sqrt{49+49}\)
\(=\sqrt{2\times 49}\)
\(=7\sqrt{2}\) একক।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.