সরলরেখা-৩(straightline-3)

# অনুশীলনী \(3.G\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত। [কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০০৫।]

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]

সমাধান

উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। [বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]

সমাধান

উদাহরণ \(9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।

সমাধান

উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।

সমাধান

উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?

সমাধান

উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \((\pm 4, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(3x\cos\theta+5y\sin\theta=15\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\theta\) বর্জিত । [কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

সমাধান

উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]

সমাধান

উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(16.\)
locus4
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
সমাধান
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
সমাধান
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(17.\)
\(3y=4x-10 ……..(1)\)
\(y=1 ……..(2)\)
\(3x-4y=5 ……..(3)\)
\(5x+12y+13=0 ……..(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]।
সমাধান
\((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [চঃ ২০১০।]।
সমাধান
\((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(1.\) দেখাও যে, \((-6, 0)\) বিন্দুটি \(3x+4y-1=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(3x+4y-1=0 ……..(1)\)
\(4x-3y+5=0 ……..(2)\)
এবং \(P(-6, 0)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{\sqrt{25}}=\pm \frac{4x-3y+5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-1}{5}=\pm \frac{4x-3y+5}{5}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=\pm (4x-3y+5)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=4x-3y+5\) [ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 4x-3y+5=3x+4y-1\)
\(\Rightarrow 4x-3y+5-3x-4y+1=0\)
\(\therefore x-7y+6=0 ……….(3)\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-(4x-3y+5)\) [ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 3x+4y-1=-4x+3y-5\)
\(\Rightarrow 3x+4y-1+4x-3y+5=0\)
\(\therefore 7x+y+4=0 ……….(4)\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) এ বসাই,
\(-6-7.0+6=0\)
\(\Rightarrow -6-0+6=0\)
\(\Rightarrow -6+6=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((3)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে।
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) এ বসাই,
\( 7.(-6)+0+4=0\)
\(\Rightarrow -6-0+4=0\)
\(\Rightarrow -2=0\)
\(P(-6, 0)\) বিন্দুটি \((4)\) নং সমীকরণ সিদ্ধ করে না।
\(\therefore P(-6, 0)\) বিন্দুটি একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

উদাহরণ \(2.\) \(y=2x+1\) ও \(2y-x=4\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0……..(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) [ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ………..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) [ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ………..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।

উদাহরণ \(3.\) \(15x-8y+3=0\) ও \(4x+3y+5=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকসমুহ \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(PQ\) এর দূরত্ব নর্ণয় কর।

উদাহরণ \(2.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(4.\) একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয় হতে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু হতে রেখাটির দূরত্ব \(6\) একক। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

শর্তমতে,
রেখাটির সমীকরণ,locus4
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\) [ \(a\) দ্বারা গুণ করে।]
\(\Rightarrow x+y-a=0……..(1)\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(6\) একক।
\(\therefore \frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{1+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=6\)
\(\therefore a=6\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-6\sqrt{2}=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) দেখাও যে, \((\sqrt{5}, 0)\) ও \((-\sqrt{5}, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\alpha\) মুক্ত। [কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(P(\sqrt{5}, 0)\) ও \(Q(-\sqrt{5}, 0)\)
এবং
\(2x\cos\alpha-3y\sin\alpha=6\)
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha-3y\sin\alpha-6=0 ………..(1)\)
\(P(\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|2\times \sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|-(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(Q(-\sqrt{5}, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|2\times -\sqrt{5}\cos\alpha-3.0.\sin\alpha-6|}{\sqrt{(2\cos\alpha)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}}}\)
\(=\frac{|-2\sqrt{5}\cos\alpha-6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9\sin^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{|-(2\sqrt{5}\cos\alpha+6)|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9(1-\cos^{2}\alpha)}}\)
\(=\frac{|2\sqrt{5}\cos\alpha+6|}{\sqrt{4\cos^{2}\alpha+9-9\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
এখন,
\(d_{1}\times d_{2}=\frac{(6-2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\times \frac{(6+2\sqrt{5}\cos\alpha)}{\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{(\sqrt{9-5\cos^{2}\alpha})^{2}}\)
\(=\frac{6^{2}-(2\sqrt{5}\cos\alpha)^{2}}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-4\times 5\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{36-20\cos\alpha}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=\frac{4(9-5\cos\alpha)}{9-5\cos^{2}\alpha}\)
\(=4\) যা \(\alpha\) মুক্ত।
[ দেখানো হলো। ]

উদাহরণ \(6.\) \(4x-3y+2=0\) ও \(8x-6y-9=0\) সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০০৫।]

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(4x-3y+2=0 …………(1)\)
এবং
\(8x-6y-9=0\)
\(\Rightarrow 2(4x-3y-\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(\Rightarrow 4x-3y-\frac{9}{2}=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|2-(-\frac{9}{2})|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|2+\frac{9}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{\frac{4+9}{2}}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{5}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{13}{10}\) একক।

উদাহরণ \(7.\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) দুই একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১৪, সিঃ ২০১২।]

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(12x-5y-7=0 …………(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 …………(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক )।]
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(d=\frac{|-7-k|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-(7+k)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|(7+k)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|(7+k)|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(7+k)}{13}=2\)
\(\Rightarrow \frac{(7+k)}{13}=2\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 7+k=26\)
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{(7+k)}{13}=2\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 7+k=-26\)
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(k=19\), \(12x-5y+19=0\)
যখন, \(k=-33\), \(12x-5y-33=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সমীকরণ, \(12x-5y+19=0\) অথবা, \(12x-5y-33=0\)

উদাহরণ \(8.\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরাল দিকে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর। [বঃ ২০০৮, রাঃ ২০০২।]

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(3x-4y+8=0 …………(1)\)
\(3x+y+4=0 …………(2)\)
\(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …………(3)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক )।]
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 3.1-4.2+k=0\)
\(\Rightarrow 3-8+k=0\)
\(\Rightarrow -5+k=0\)
\(\Rightarrow k=5\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 …………(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 4+(4)\) এর সাহায্যে,
\(12x+4y+16+3x-4y+5=0\)
\(\Rightarrow 15x+21=0\)
\(\Rightarrow 15x=-21\)
\(\Rightarrow x=\frac{-21}{15}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}\)
\((2)\) হতে,
\(3.(-\frac{7}{5})+y+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{21}{5}+y+4=0\)
\(\Rightarrow y=\frac{21}{5}-4\)
\(\Rightarrow y=\frac{21-20}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\) একক।
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

উদাহরণ \(9.\) দেখাও যে, \(y=1\), \(3x-4y=5\) ও \(5x+12y+13=0\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক মূলবিন্দুতে অবস্থিত।

উদাহরণ \(17.(c)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(10.\) এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, 6)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু থেকে যার দূরত্ব \(6\) একক।

সমাধানঃ

locus4

ধরি,
\(A(3, 6)\)
\(A\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-3)\)
\(\Rightarrow m(x-3)=y-6\)
\(\Rightarrow mx-3m-y+6=0\)
\(\Rightarrow mx-y+6-3m=0 ………..(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(d=6\)
\(\Rightarrow \frac{|6-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(6-3m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow \frac{36-36m+9m^{2}}{m^{2}+1}=36\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=36-36m+9m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36-36+36m-9m^{2}=0\)
\(\Rightarrow 27m^{2}+36m=0\)
\(\Rightarrow 9m(3m+4)=0\)
\(\Rightarrow 9m=0, \ 3m+4=0\)
\(\Rightarrow m=0, \ 3m=-4\)
\(\Rightarrow m=0, \ m=-\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন, \(m=0\), \(y-6=0\)
যখন, \(m=m=-\frac{4}{3}\), \(-\frac{4}{3}\times x-y+6-3\times -\frac{4}{3}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+6+4=0\)
\(\Rightarrow -\frac{4x}{3}-y+10=0\)
\(\therefore 4x+3y-30=0\) [ উভয় পার্শে \(-3\) গুণ করে। ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখা দ্বয়ের সমীকরণ \(y-6=0 \) অথবা, \( 4x+3y-30=0\)

উদাহরণ \(11.\) \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(x\sqrt{3}-y+8=0\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এ লম্ব \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(\sqrt{3}, 1)\)
\(x\sqrt{3}-y+8=0 ………(1)\)
\(A(\sqrt{3}, 1)\) হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}-1+8}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{3-1+8}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{11-1}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(=5\) একক।
এখন,
\((1)\) নং সরলরেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{-1}\)
\(\therefore m_{1}=\sqrt{3}\)
\((1)\) উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m_{2}\)
\(\therefore m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\times m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow m_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটির ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=-\tan30^{o}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=(180^{o}-30^{o})\)
\(\Rightarrow \theta=150^{o}\)
\(\therefore \) লম্ব রেখাটি \(X\) অক্ষের সাথে \(150^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।

উদাহরণ \(12.\) \((3, -2)\) \((-3, -1)\) বিন্দু দুইটি \(3x-8y=7\) রেখার একই অথবা বিপরীত পার্শে অবস্থিত কি না নির্ণয় কর। বিন্দু দুইটির কোনটি রেখাটির যে পার্শে মূলবিন্দু, সেই পার্শে অবস্থিত?

সমাধানঃ

locus4

ধরি,
\(A(3, -2)\)
\(B(-3, -1)\)
\(f(x,y)\equiv 3x-8y-7=0 ………..(1)\)
এখন,
\(\Rightarrow f(3,-2)=3.3-8.(-2)-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=9+16-7 \)
\(\Rightarrow f(3,-2)=25-7 \)
\(\therefore f(3,-2)=18=+ve \)
আবার,
\(\Rightarrow f(-3,-1)=3.(-3)-8.(-1)-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-9+8-7 \)
\(\Rightarrow f(-3,-1)=-16+8 \)
\(\therefore f(-3,-1)=-8=-ve \)
\(\because f(3,-2)\) এবং \(f(-3,-1)\) বিপরীত চিহ্ন বিশিষ্ট,
\(\therefore \) বিন্দুদ্বয় \((1)\) সরলরেখার পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
আবার,
\(f(-3,-1)\) ঋনাত্মক চিহ্ন বিশিষ্ট হওয়ায় \(B(-3, -1)\) বিন্দুটি, \((1)\) সরলরেখার যে পার্শে মূলবিন্দু অবস্থিত সেই পার্শে অবস্থান করে।

উদাহরণ \(13.\) দেখাও যে, \((\pm 4, 0)\) বিন্দু দুইটি হতে \(3x\cos\theta+5y\sin\theta=15\) এর উপর অঙ্কিত লম্ব দুইটির গুনফল \(\theta\) বর্জিত । [কুঃ ২০০৫, রাঃ ২০০৭।]

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(14.\) \(4x+3y=c\) এবং \(12x-5y=2(c+3)\) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। \(c\) এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।[ঢাঃ ২০১৬ ২০০৯, যঃ ২০১৪, ২০০৫,রাঃ ২০১২, চঃ ২০০৬, ২০০৪, বঃ ২০০৪, ২০০৩।]

locus4

সমাধানঃ

ধরি,
\(4x+3y-c=0 ………..(1)\)
\(12x-5y-2(c+3)=0 ………..(2)\)
এবং মূলবিন্দু \(O(0, 0)\).
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{1}=\frac{|-c|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|c|}{5}\)
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d_{2}=\frac{|-2(c+3)|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{5}=\frac{|2(c+3)|}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\pm \frac{2(c+3)}{13}\)
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=\frac{2(c+3)}{13}\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 13c=10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=10c+30\)
\(\Rightarrow 13c-10c=30\)
\(\Rightarrow 3c=30\)
\(\Rightarrow c=\frac{30}{3}\)
\(\therefore c=10\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{c}{5}=-\frac{2(c+3)}{13}\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 13c=-10(c+3)\)
\(\Rightarrow 13c=-10c-30\)
\(\Rightarrow 13c+10c=-30\)
\(\Rightarrow 23c=-30\)
\(\therefore c=-\frac{30}{23}\)
\(\therefore c\) এর ধনাত্মক মান \(10\)।

উদাহরণ \(15.\) মূলবিন্দু হতে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) সরলরেখার উপর লম্ব এরূপ সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

ধরি,
\(3x-4y+7=0 ……..(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …….(2)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)]
মূলবিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k}{5}=7\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\) ইহাই নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ।

উদাহরণ \(16.\)
locus4
চিত্রেঃ \(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র; \(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু এবং \(EB\perp BC\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। ।
\((b)\) দেখাও যে \(G\) বিন্দুটি \(AD\) রেখাকে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\((c)\) \(\angle EBC\) এর সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\((a)\)
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}3 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ 3\\ 5 \ \ \ \ 1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[(3.1-2.5)+(2.3-6.1)+(6.5-3.3)]\)
\(=\frac{1}{2}[(3-10)+(6-6)+(30-9)]\)
\(=\frac{1}{2}[-7+0+21]\)
\(=\frac{1}{2}\times 14\)
\(=7\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

\((b)\)
চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(D, BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\therefore D(\frac{2+6}{2}, \frac{1+3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{8}{2}, \frac{4}{2})\)
\(\therefore D(4, 2)\)
\(G, \triangle ABC\) এর ভরকেন্দ্র \(\therefore G(\frac{3+2+6}{3}, \frac{5+1+3}{3})\)
\(\Rightarrow G(\frac{11}{3}, \frac{9}{3})\)
\(\therefore G(\frac{11}{3}, 3)\)
ধরি,
\(G, AD\) কে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore G(\frac{m.4+n.3}{m+n}, \frac{m.2+n.5}{m+n})\)
\(\therefore G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\)
এখন,
\(G(\frac{4m+3n}{m+n}, \frac{2m+5n}{m+n})\Rightarrow G(\frac{11}{3}, 3)\)
\(\Rightarrow \frac{4m+3n}{m+n}=\frac{11}{3}, \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow \frac{2m+5n}{m+n}=3\)
\(\Rightarrow 3(m+n)=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m+3n=2m+5n\)
\(\Rightarrow 3m-2m=5n-3n\)
\(\Rightarrow m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{1}\)
\(\therefore m:n=2:1\)
\(\therefore G, AD\) কে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

((c)) locus4

চিত্রে হতে,
\(A(3, 5), \ B(2, 1), \ C(6, 3)\)
\(BC\) রেখার সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-6}=\frac{y-1}{1-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}\)
\(\Rightarrow x-2=2(y-1)\)
\(\Rightarrow x-2=2y-2\)
\(\Rightarrow x-2-2y+2=0\)
\(\therefore x-2y=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 …….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(2, 1)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 2.2+1+k=0\)
\(\Rightarrow 4+1+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-5=0 …….(3)\) যা \(BE\) সরলরেখা নির্দেশ করে।
\((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-2y}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x+y-5}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow x-2y=\pm (2x+y-5)\)
\(\Rightarrow x-2y=2x+y-5\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x+y-5=x-2y\)
\(\Rightarrow 2x+y-5-x+2y=0\)
\(\therefore x+3y-5=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2y=-(2x+y-5)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow x-2y=-2x-y+5\)
\(\Rightarrow x-2y+2x+y-5=0\)
\(\therefore 3x-y-5=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ \(x+3y-5=0, \ 3x-y-5=0\)

উদাহরণ \(17.\) \(3y=4x-10 ……..(1)\)
\(y=1 ……..(2)\)
\(3x-4y=5 ……..(3)\)
\(5x+12y+13=0 ……..(4)\)
\((a)\) \(2x+y+3=0\) ও \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০০৪, সিঃ ২০১০।]।
\((b)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \((1)\) নং সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক হয় তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [চঃ ২০১০।]।
\((c)\) \((2)\), \((3)\) ও \((4)\) রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

locus4

সমাধানঃ

\((a)\)
মনেকরি,
\(2x+y+3=0 ……….(5)\)
\(3x-4y+7=0 ………(6)\)
এখানে,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+(3x-4y+7)=0\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\((b)\)locus4
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ……(1)\)
এখন,
\(Y\) অক্ষের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(0, b)\).
\(P(0, b)\) হতে \((1)\) এর দূরত্ব \(d=\frac{|4.0-3b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3b+10|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|3b+10|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{3b+10}{5}=4\)
\(\Rightarrow \frac{3b+10}{5}=4\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 3b+10=20\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\)
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\Rightarrow b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(-\frac{3b+10}{5}=4\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 3b+10=-20\)
\(\Rightarrow 3b=-20-10\)
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\Rightarrow b=\frac{-30}{3}\)
\(\Rightarrow b=-10\)
নির্ণেয় বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, \frac{10}{3}), \ (0, -10)\)।

সমাধানঃ

\((c)\)locus4
\(y-1=0 ……..(2)\)
\(3x-4y-5=0 ……..(3)\)
\(5x+12y+13=0 ……..(4)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((2)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.3+1.(-4)=0-4=-4<0 \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\) \(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{9+16}}\) \(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=\frac{3x-4y-5}{\sqrt{25}}\) \(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=\frac{3x-4y-5}{5}\) \(\Rightarrow 5(y-1)=3x-4y-5\) \(\Rightarrow 5y-5=3x-4y-5\) \(\Rightarrow 3x-4y-5=5y-5\) \(\Rightarrow 3x-4y-5-5y+5=0\) \(\Rightarrow 3x-9y=0 ..........(7)\) আবার, চিত্র থেকে \((2)\) ও \((4)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle C\) একটি সূক্ষ্মকোণ। এখন, \(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=5, b_{2}=12\) \(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.5+1.12=0+12=12>0 \)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{0+1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{25+144}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{\sqrt{1}}=-\frac{5x+12y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-1}{1}=-\frac{5x+12y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(y-1)=-(5x+12y+13)\)
\(\Rightarrow 13y-13=-5x-12y-13\)
\(\Rightarrow 13y-13+5x+12y+13=0\)
\(\Rightarrow 5x+25y=0 ……….(8)\)
\((7)\) ও \((8)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0) \because \) উভয় সরলরেখা মূলবিন্দুগামী।
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(O(0, 0)\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.