সরলরেখা-৩(straightline-3)

# অনুশীলনী \(3.G\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 1.\)

\((i)\) লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((a)\) \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(4x-3y+33=0\); সমাধান
\((b)\) \((4, -2)\) বিন্দু হতে \(5x+12y=3\); সমাধান
\((c)\) \((0, 0)\) বিন্দু হতে \(4x+3y+5=0\); সমাধান
\((d)\) মূলবিন্দু হতে \(8x+6y+25=0\); সমাধান
\((e)\) \(5x+12y=23\) হতে \(5x+12y+29=0\); সমাধান
\((f)\) \(3x-2y=2\) হতে \(6x-4y+9=0\); সমাধান
\((g)\) \(5x+12y+3=0\) হতে \(5x+12y+29=0\); সমাধান
\((h)\) \(3x-2y=1\) হতে \(6x-4y+9=0\); সমাধান
\((i)\) \(4y=3(x-4)\) হতে \(4y=3(x-1)\); সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ 10;\) \((b) \ \frac{7}{13};\) \((c) \ 1;\) \((d) \ \frac{5}{2};\) \((e) \ 4;\) \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2};\) \((g) \ 2;\) \((h) \ \frac{11}{2\sqrt{13}};\) \((i) \ \frac{9}{5}\)।

\((ii)\) \(4x-4y+3=0\) ও \(x+7y-2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে, দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। এদের মধ্যে কোনটি মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক। [যঃ ২০১২] উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\), দ্বিতীয়টি।
সমাধান
\((iii)\) \(P\) বিন্দু হতে \(2x+y-1=0\) এবং \(x+2y+1=0\) সরলরেখাদ্বয়ের দূরত্বের অনুপাত \(2:1\) হলে, \(P\) এর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।
সমাধান
\((iv)\) দেখাও যে, \(7x-9y+10=0\) সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(3x+4y-5=0\) এবং \(12x+5y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধান
\((v)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y-2x+2=0\) এবং \(y-3x+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু হতে যাদের দূরত্ব \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) একক। উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।
সমাধান
\((vi)\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) একক দূরে অবস্থিত সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।
সমাধান
\((vii)\) \(4x-3y=8\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং তা থেকে \(2\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(4x-3y+2=0; \ 4x-3y-18=0\)।
সমাধান
\((viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।
সমাধান
\((ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত। [ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]।
সমাধান
\((x)\) দেখাও যে, \(4x+7y-26=0\) রেখার উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু , \(3x+4y-12=0 \) এবং \(5x+12y-52=0 \) সরলরেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধান
\((xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)। [ চঃ ২০১১] ।
সমাধান
\((xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।
সমাধান
\((xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4\) একক।
সমাধান
\((xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।
সমাধান
\((xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।
সমাধান
\((xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর। [ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।
সমাধান
\((xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-1, -4)\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.G\) সমাধান

সমাধানঃ \(Q 1.(i)\) লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((a)\) \((2, -3)\) বিন্দু হতে \(4x-3y+33=0\)
\((b)\) \((4, -2)\) বিন্দু হতে \(5x+12y=3\)
\((c)\) \((0, 0)\) বিন্দু হতে \(4x+3y+5=0\)
\((d)\) মূলবিন্দু হতে \(8x+6y+25=0\)
\((e)\) \(5x+12y=23\) হতে \(5x+12y+29=0\)
\((f)\) \(3x-2y=2\) হতে \(6x-4y+9=0\)
\((g)\) \(5x+12y+3=0\) হতে \(5x+12y+29=0\)
\((h)\) \(3x-2y=1\) হতে \(6x-4y+9=0\)
\((i)\) \(4y=3(x-4)\) হতে \(4y=3(x-1)\)
উত্তরঃ \((a) \ 10\) \((b) \ \frac{7}{13};\) \((c) \ 1;\) \((d) \ \frac{5}{2};\) \((e) \ 4;\) \((f) \ \frac{\sqrt{13}}{2};\) \((g) \ 2;\) \((h) \ \frac{11}{2\sqrt{13}};\) \((i) \ \frac{9}{5}\)।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)মনে করি,
\(A(2, -3)\)
\(4x-3y+33=0 ………(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|4.2-3.(-3)+33|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\) [ \(\because d=\frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}\)]
\(= \frac{8+9+33}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{50}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{50}{5}\)
\(=10\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ

locus4

\((b)\)মনে করি,
\(A(4, -2)\)
\(5x+12y=3\)
\(\Rightarrow 5x+12y-3=0 ………(1)\)
\(A\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5.4+12.(-2)-3|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(= \frac{|20-24-3|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{|-7|}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{7}{13}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ

locus4

\((c)\)মনে করি,
\(O(0, 0)\)
\(4x+3y+5=0 ………(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\) [ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}\)]
\(= \frac{5}{\sqrt{16+9}}\)
\(= \frac{5}{\sqrt{25}}\)
\(= \frac{5}{5}\)
\(= 1\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ

locus4

\((d)\)মনে করি,
\(8x+6y+25=0 ………(1)\)
মূলবিন্দু তথা \(O\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|25|}{\sqrt{8^{2}+6^{2}}}\) [ \(\because d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}\)]
\(= \frac{25}{\sqrt{64+36}}\)
\(= \frac{25}{\sqrt{100}}\)
\(= \frac{25}{10}\)
\(= \frac{5}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ

locus4

\((e)\)মনে করি,
\(5x+12y-23=0 ………(1)\)
\(5x+12y+29=0 ………(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-23-29|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\) [ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}\)]
\(= \frac{|-52|}{\sqrt{25+144}}\)
\(= \frac{52}{\sqrt{169}}\)
\(= \frac{25}{13}\)
\(= 4\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ

locus4

\((f)\)মনে করি,
\(3x-2y-2=0 ………(1)\)
এবং
\(6x-4y+9=0\)
\(\Rightarrow 2(3x-2y+\frac{9}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-2y+\frac{9}{2}=\frac{0}{2}\)
\(3x-2y+\frac{9}{2}=0 ………(2)\)
\((1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(= \frac{|-2-\frac{9}{2}|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}\) [ \(\because d=\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}\)]
\(= \frac{|\frac{-4-9}{2}|}{\sqrt{9+4}}\)
\(= \frac{|-\frac{13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(= \frac{\sqrt{13}}{2}\) একক ।
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

সমাধানঃ
\((g)\)

\(Q1.i(e)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ
\((h)\)

\(Q1.i(f)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

সমাধানঃ
\((i)\)

\(Q1.i(e)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(ii)\) \(4x-4y+3=0\) ও \(x+7y-2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। প্রমাণ কর যে, দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। এদের মধ্যে কোনটি মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক। [যঃ ২০১২] উত্তরঃ \(16x-48y+23=0; \ 24x+8y+7=0\), দ্বিতীয়টি।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(4x-4y+3=0 ……….(1)\)
\(x+7y-2=0 ……….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4x-4y+3}{\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1^{2}+7^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{16+16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{1+49}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 16}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{\sqrt{2\times 4^{2}}}=\pm \frac{x+7y-2}{\sqrt{2\times 5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4\sqrt{2}}=\pm \frac{x+7y-2}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x-4y+3}{4}=\pm \frac{x+7y-2}{5}\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=\pm 4(x+7y-2)\)
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=4(x+7y-2)\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 20x-20y+15=4x+28y-8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15-4x-28y+8=0\)
\(\therefore 16x-48y+23=0\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{16}{-48}=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 5(4x-4y+3)=-4(x+7y-2)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 20x-20y+15=-4x-28y+8\)
\(\Rightarrow 20x-20y+15+4x+28y-8=0\)
\(\therefore 24x+8y+7=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{24}{8}=-3\)
এখানে,
\(m_{1}\times m_{2}=\frac{1}{3}\times -3\)
\(=-1\)
\(\because m_{1}\times m_{2}=-1\)
\(\therefore \) দ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব।
আবার,
\(c_{1}=3=+ve, c_{2}=-2=-ve\)
\(\because c_{1}\) এবং \(c_{2}\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট , ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহারকরে প্রাপ্ত সমদ্বিখন্ডকটি হবে মূলবিন্দু অন্তর্ধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(16x-48y+23=0, \ 24x+8y+7=0\); দ্বিতীয়টি।

\(Q 1.(iii)\) \(P\) বিন্দু হতে \(2x+y-1=0\) এবং \(x+2y+1=0\) সরলরেখাদ্বয়ের দূরত্বের অনুপাত \(2:1\) হলে, \(P\) এর সঞ্চার পথের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x+5y+1=0; \ y+1=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(P(x, y)\)
\(2x+y-1=0 …….(1)\)
এবং \(x+2y+1=0 …….(2)\)
\(P(x, x)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}\)
\(P(x, x)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}:d_{2}=2:1\)
\(\Rightarrow \frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{2}{1}\)
\(\Rightarrow d_{1}=2d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|2x+y-1|}{\sqrt{5}}=2\frac{|x+2y+1|}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y-1}{\sqrt{5}}=\pm 2\frac{x+2y+1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=\pm 2(x+2y+1)\)
\(\Rightarrow 2x+y-1=2(x+2y+1)\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x+y-1=2x+4y+2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1-2x-4y-2=0\)
\(\Rightarrow -3y-3=0\)
\(\Rightarrow -3(y+1)=0\)
\(\Rightarrow (y+1)=\frac{0}{-3}\)
\(\therefore y+1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2(x+2y+1)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x+y-1=-2x-4y-2\)
\(\Rightarrow 2x+y-1+2x+4y+2=0\)
\(\therefore 4x+5y+1=0\)
\(\therefore \) সঞ্চার পথের সমীকরণ , \(4x+5y+1=0, \ y+1=0\)

\(Q 1.(iv)\) দেখাও যে, \(7x-9y+10=0\) সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(3x+4y-5=0\) এবং \(12x+5y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(3x+4y-5=0 ……….(1)\)
\(12x+5y-7=0 ……….(2)\)
\(7x-9y+10=0 ……….(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-5}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{9+16}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y-7}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-5}{5}=\pm \frac{12x+5y-7}{13}\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=\pm 5(12x+5y-7)\)
\(\Rightarrow 13(3x+4y-5)=5(12x+5y-7)\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 5(12x+5y-7)=13(3x+4y-5)\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35=39x+52y-65\)
\(\Rightarrow 60x+25y-35-39x-52y+65=0\)
\(\Rightarrow 21x-27y+30=0\)
\(\therefore 7x-9y+10=0\) যা \((3)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore (3)\) নং সরলরেখাটির উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \((1)\) এবং \((2)\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

\(Q 1.(v)\) এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যারা \(y-2x+2=0\) এবং \(y-3x+5=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং মূলবিন্দু হতে যাদের দূরত্ব \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) একক। উত্তরঃ \(x+y=7\) এবং \(17x+31y=175\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(y-2x+2=0 ……….(1)\)
\(y-3x+5=0 ……….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2x+2+k(y-3x+5)=0 ……….(3)\) [\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক ) ]
\(\Rightarrow y-2x+2+ky-3kx+5k=0\)
\(\Rightarrow (1+k)y-(2+3k)x+(2+5k)=0\)
মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+[-(2+3k)]^{2}}}\)
\(=\frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \frac{|2+5k|}{\sqrt{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{(2+5k)^{2}}{(1+k)^{2}+(2+3k)^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{4+20k+25k^{2}}{1+2k+k^{2}+4+12k+9k^{2}}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{25k^{2}+20k+4}{10k^{2}+14k+5}=\frac{49}{2}\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245=50k^{2}+40k+8\)
\(\Rightarrow 490k^{2}+686k+245-50k^{2}-40k-8=0\)
\(\Rightarrow 440k^{2}+646k+237=0\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{(646)^{2}-4\times 440\times 237}}{2\times 440}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{417316-417120}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm \sqrt{196}}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646\pm 14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-646+14}{880}, \ \frac{-646-14}{880}\)
\(\Rightarrow k=\frac{-632}{880}, \ \frac{-660}{880}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{79}{110}, \ -\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y-2x+2-\frac{79}{110}(y-3x+5)=0\) [ যখন \(k=-\frac{79}{110}\)]
\(\Rightarrow 100(y-2x+2)-79(y-3x+5)=0\) [ উভয় পার্শে \(110\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 100y-220x+220-79y+237x-395=0\)
\(\therefore 17x+31y-175=0\)
আবার,
\(y-2x+2-\frac{3}{4}(y-3x+5)=0\) [ যখন \(k=-\frac{3}{4}\)]
\(\Rightarrow 4(y-2x+2)-3(y-3x+5)=0\) [ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 4y-8x+8-3y+9x-15=0\)
\(\therefore x+y-7=0\)
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(17x+31y-175=0; \ x+y-7=0 \)

\(Q 1.(vi)\) \(12x-5y=7\) রেখার \(2\) একক দূরে অবস্থিত সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০১২, রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(12x-5y-7=0 ………..(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(12x-5y+k=0 ………..(2)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক ) ]
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k+7|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|k+7|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{|k+7|}{13}\)
শর্তমতে,
\(d=2\)
\(\Rightarrow \frac{|k+7|}{13}=2\)
\(\Rightarrow \pm \frac{k+7}{13}=2\)
\(\Rightarrow k+7=\pm 26\)
\(\Rightarrow k+7=26\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow k=26-7\)
\(\Rightarrow k=19\)
আবার,
\(\Rightarrow k+7=-26\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow k=-26-7\)
\(\Rightarrow k=-33\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(12x-5y+19=0\) [ যখন \(k=19\)]
\(12x-5y-33=0\) [ যখন \(k=-33\)]
\(\therefore \) সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \(12x-5y+19=0; \ 12x-5y-33=0 \)

\(Q 1.(vii)\) \(4x-3y=8\) সরলরেখার সমান্তরাল এবং তা থেকে \(2\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(4x-3y+2=0; \ 4x-3y-18=0\)।

সমাধানঃ

\(Q1.vi\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(viii)\) প্রমাণ কর যে, \((\pm c, 0)\) বিন্দুদ্বয় হতে \(bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab\) এর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের গুণফল \(b^{2}\) হবে যখন \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \((\pm c, 0)\Rightarrow \)\(A(c, 0)\), \(B(-c, 0)\)
\(bx\cos\theta+ay\sin\theta-ab=0 ……..(1)\)
\(a^{2}=b^{2}+c^{2} ……..(2)\)
\(A(c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|bc\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a-c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
আবার,
\(B(-c, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|b.(-c).\cos\theta+a.0.\sin\theta-ab|}{\sqrt{(b\cos\theta)^{2}+(a\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{|-bc\cos\theta+0-ab|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{|-b(a+c\cos\theta)|}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
লম্বদ্বয়ের গুণফল,
\(=d_{1}\times d_{2}\)
\(=\frac{b(a-c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\times \frac{b(a+c\cos\theta)}{\sqrt{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{b^{2}[(a)^{2}-(c\cos\theta)^{2}]}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}\cos^{2}\theta+(b^{2}+c^{2})\sin^{2}\theta}\) [\(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)]
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+c^{2}\sin^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}+c^{2}\sin^{2}\theta}\) [\(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)]
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}+c^{2}(1-\cos^{2}\theta)}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{b^{2}+c^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\)
\(=\frac{b^{2}[a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta]}{a^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta}\) [\(\because a^{2}=b^{2}+c^{2}\)]
\(=b^{2}\)
[ প্রমাণিত ]

\(Q 1.(ix)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) বিন্দুটি \(12x-5y+1=0\) এবং \(5x+12y-16=0 \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত। [ কুঃ ২০১১, ২০১৩, যঃ ২০১১, দিঃ ২০১৩ ]।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(0, 1)\)
\(12x-5y+1=0 ……….(1)\)
\(5x+12y-16=0 ……….(2)\)
\(A(0, 1)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|12.0-5.1+1|}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-5+1|}{\sqrt{144+25}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
আবার,
\(A(0, 1)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|5.0+12.1-16|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)
\(=\frac{|0+12-16|}{\sqrt{25+144}}\)
\(=\frac{|-4|}{\sqrt{169}}\)
\(=\frac{4}{13}\)
\(\because d_{1}=d_{2}\)
\(\therefore A(0, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণগুলির একটি সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।

সমাধানঃ \(Q 1.(x)\) দেখাও যে, \(4x+7y-26=0\) রেখার উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু , \(3x+4y-12=0 \) এবং \(5x+12y-52=0 \) সরলরেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ

\(Q1.iv\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 1.(xi)\) মূলবিন্দু হতে \(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta=k \) ও \(x\cos\theta-y\sin\theta=k\cos2\theta \) রেখদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে \(P\) ও \(P_{1}\) হলে প্রমাণ কর যে, \(4P^{2}+P_{1}^{2}=k^{2}\)। [ চঃ ২০১১] ।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(x\sec\theta-y \ cosec \ \theta-k=0 ……….(1)\)
\(x\cos\theta-y\sin\theta-k\cos2\theta=0 ……….(2)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P=\frac{|-k|}{\sqrt{(\sec\theta)^{2}+(cosec \ \theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\sec^{2}\theta+cosec^{2} \ \theta}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\theta}+\frac{1}{\sin^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}}}\)
\(=\frac{k}{\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}\)
\(=k\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\times 2\sin\theta\cos\theta\)
\(=\frac{1}{2}k\sin2\theta\)
আবার,
\(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(P_{1}=\frac{|-k\cos2\theta|}{\sqrt{(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}\)
\(=\frac{k\cos2\theta}{\sqrt{1}}\) [\(\because \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\)]
\(=\frac{k\cos2\theta}{1}\)
\(=k\cos2\theta\)
\(\therefore L.H.S=4P^{2}+P_{1}^{2}\)
\(=4(\frac{1}{2}k\sin2\theta)^{2}+(k\cos2\theta)^{2}\)
\(=4\frac{1}{4}k^{2}\sin^{2}2\theta+k^{2}\cos^{2}2\theta\)
\(=k^{2}(\sin^{2}2\theta+\cos^{2}2\theta)\)
\(=k^{2}.(1)\)
\(=k^{2}\)
\(=R.H.S\)
[ প্রমাণিত ]

\(Q 1.(xii)\) \((1, 2)\) বিন্দু হতে \(x-\sqrt{3}y+4=0\) রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কিত হলো। মূলবিন্দু থেকে এ লম্বের লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(1, 2)\)
\(x-\sqrt{3}y+4=0 ……….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(\sqrt{3}x+y+k=0 ……….(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)। ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore \sqrt{3}.1+2+k=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}+2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-(\sqrt{3}+2)\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x+y-(\sqrt{3}+2)=0 ……….(3)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-(\sqrt{3}+2)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব।

\(Q 1.(xiii)\) \((2, 3)\) বিন্দু এবং \(4x+3y-7=0\) রেখার সাপেক্ষে উক্ত বিন্দুর প্রতিবিম্বের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4\) একক।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(A(2, 3)\)
\(4x+3y-7=0 ………(1)\)
\(A(2, 3)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{4.2+3.3-7}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{8+9-7}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{17-7}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{10}{5}\)
\(=2\)
এখন,
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(2, 3)\) এর প্রতিবিম্বের দূরত্ব,
\(=2\times 2\)
\(=4\)

\(Q 1.(xiv)\) \((x, y)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখা দুইটি হতে সমদূরবর্তী হলে দেখাও যে, \(x+7y=0\) অথবা, \(7x-y+2=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(A(x, y)\)
\(3x-4y+1=0 ……(1)\)
\(4x+3y+1=0 ……(2)\)
\(A(x, y)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|3x-4y+1|}{5}\)
\(A(x, y)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=d_{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|3x-4y+1|}{5}=\frac{|4x+3y+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3x-4y+1|=|4x+3y+1|\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=\pm (4x+3y+1)\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1=4x+3y+1\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 3x-4y+1-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow -x-7y=0)\)
\(\Rightarrow x+7y=0)\)
আবার,
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-(4x+3y+1)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 3x-4y+1=-4x-3y-1=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+1+4x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow 7x-y+2=0)\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 1.(xv)\) \((7, 17)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \((1, 9)\) বিন্দু থেকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(7x-24y+359=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(A(7, 17)\) এবং \(B(1, 9)\)
\(A(7, 17)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-17=m(x-7) ……(1)\)
\(\Rightarrow m(x-7)=y-17\)
\(\Rightarrow mx-7m-y+17=0\)
\(\Rightarrow mx-y+17-7m=0\)
\(B(1, 9)\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|m.1-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|m-9+17-7m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
\(=\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}\)
শর্তমতে,
\(\frac{|8-6m|}{\sqrt{m^{2}+1}}=6\)
\(\Rightarrow \frac{(8-6m)^{2}}{m^{2}+1}=36\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow 36(m^{2}+1)=(8-6m)^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}+36=64-96m+36m^{2}\)
\(\Rightarrow 36m^{2}-36m^{2}+96m=64-36\)
\(\Rightarrow 96m=28\)
\(\Rightarrow m=\frac{28}{96}\)
\(\Rightarrow m=\frac{7}{24}\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-17=\frac{7}{24}(x-7)\)
\(\Rightarrow 24(y-17)=7(x-7)\)
\(\Rightarrow 7(x-7)=24(y-17)\)
\(\Rightarrow 7x-49=24y-408\)
\(\Rightarrow 7x-49-24y+408=0\)
\(\therefore 7x-24y+359=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 1.(xvi)\) একটি সরলরেখা অক্ষ দুইটি থেকে সমমানের যোগবোধক অংশ ছেদ করে। মূলবিন্দু থেকে তার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(4\) একক। তার সমীকরণ বের কর। [ বঃ,কুঃ ২০১১; সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(x+y=4\sqrt{2}\)।

সমাধানঃ

locus4

শর্তমতে,
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x+y}{a}=1\)
\(\Rightarrow x+y=a\)
\(\therefore x+y-a=0 ……(1)\)
মূলবিন্দু থেকে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-a|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{2}}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2}}=4\)
\(\Rightarrow a=4\sqrt{2}\)
\(a\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x+y-4\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x+y=4\sqrt{2}\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 1.(xvii)\) \(x+3y=7\) রেখার সাপেক্ষে \((3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-1, -4)\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(A(3, 8)\)
\(x+3y-7=0 ……….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-y+k=0 ……….(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)। ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(3, 8)\) বিন্দুগামী ,
\(3.3-8+k=0\)
\(\Rightarrow 9-8+k=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x-y-1=0 ……….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{[(3).(-1)-(-7).(-1)]}=\frac{y}{[(-7).3-(1).(-1)]}=\frac{1}{[1.(-1)-3.3]}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{[-3-7]}=\frac{y}{[-21+1]}=\frac{1}{[-1-9]}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-10}=\frac{1}{-10}, \ \frac{y}{-20}=\frac{1}{-10}\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=2\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(B(1, 2)\)
\((1)\) এর সাপেক্ষে \(A(3, 8)\) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(x, y)\) হলে,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু হবে \(B\).
\(\therefore AC\) এর মধ্যবিন্দু \(B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\)
কিন্তু \(B(1, 2)\)।
\(\therefore B(\frac{3+x}{2}, \frac{8+y}{2})\Rightarrow B(1, 2)\)
\(\Rightarrow \frac{3+x}{2}=1, \frac{8+y}{2}=2\)
\(\Rightarrow 3+x=1\times 2, 8+y =2\times 2\)
\(\Rightarrow 3+x=2, 8+y =4\)
\(\Rightarrow x=2-3, y=4-8\)
\(\therefore x=-1, y=-4\)
\(\therefore \) প্রতিবিম্ব বিন্দু \(C(-1, -4)\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.