সরলরেখা-৩(straightline-3)

# অনুশীলনী \(3.G\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 2.\)

\((i)\) \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে। উত্তরঃ \(3x-y=0\)।
সমাধান
\((ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।
সমাধান
\((iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)। [চঃ ২০১৩ ]।
সমাধান
\((iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।
সমাধান
\((v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর । [ যঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(3\)।
সমাধান
\((vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।
সমাধান
\((vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।
সমাধান
\((viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২] উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।
সমাধান
\((ix)\) \(8x-6y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(6x+8y\pm 40=0\)।
সমাধান
\((x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধান
\((xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।
সমাধান
\((xii)\) \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3x+4y=15\) রেখার লম্বদূরত্ব \(6\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((-5, 0), \ (15, 0)\)।
সমাধান
\((xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।
সমাধান
\((xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।
সমাধান
\((xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।
সমাধান
\((xvi)\)\(12x+5y=4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(21x-27y-111=0; \ 99x+77y+71=0\)।
সমাধান
\((xvii)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(4x+3y=12\), \(3x-4y+16=0\) এবং \(4x-3y=12\) তার অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((3, \frac{25}{7})\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.G\) সমাধান

\(Q 2.(i)\) \(x-y-4=0\) ও \(7x+y+20=0\) রেখদ্বয়ের ছেদবিন্দু এবং মূলবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে। উত্তরঃ \(3x-y=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(x-y-4=0 …………(1)\)
\(7x+y+20=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-y-4+k(7x+y+20)=0 …………(3)\) [\(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।]
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী
\(\therefore 0-0-4+k(7.0+0+20)=0\)
\(\Rightarrow -4+20k=0\)
\(\Rightarrow 20k=4\)
\(\Rightarrow k=\frac{4}{20}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{5}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x-y-4+\frac{1}{5}(7x+y+20)=0\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)+1(7x+y+20)=0\) [ উভয় পার্শে \(5\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0 ………(4)\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{x-y-4}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2+1}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{49+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{50}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{\sqrt{2\times 25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-y-4}{\sqrt{2}}=\pm \frac{7x+y+20}{5\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x-y-4=\pm \frac{7x+y+20}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=\pm (7x+y+20)\)
\(\Rightarrow 5(x-y-4)=-(7x+y+20)\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 5x-5y-20+7x+y+20=0\)
\(\Rightarrow 12x-4y=0\)
\(\Rightarrow 4(3x-y)=0\)
\(\Rightarrow 3x-y=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 3x-y=0\) যা নির্ণেয় \((4)\) নং সমীকরণের অনুরূপ।
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখাটি প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

\(Q 2.(ii)\)\(2x+y+3=0\) ও \(2x-4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2x+6y-1=0; \ 6x-2y+13=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(2x+y+3=0 …………(1)\)
\(2x-4y+7=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{4+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{20}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{\sqrt{5\times 4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=\pm \frac{2x-4y+7}{2\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x+y+3=\pm \frac{2x-4y+7}{2}\)
\(\Rightarrow 2(2x+y+3)=\pm (2x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6=2x-4y+7\) [ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 4x+2y+6-2x+4y-7=0\)
\(\therefore 2x+6y-1=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-(2x-4y+7)\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 4x+2y+6=-2x+4y-7\)
\(\Rightarrow 4x+2y+6+2x-4y+7=0\)
\(\therefore 6x-2y+13=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ \(2x+6y-1=0, \ 6x-2y+13=0\).

\(Q 2.(iii)\) \((a, b)\) বিন্দুটি \(3x-4y+1=0\) এবং \(4x+3y+1=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী হলে, দেখাও যে, \(a+7b=0\) অথবা \(7a-b+2=0\)। [চঃ ২০১৩ ]।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(A(a, b)\)
\(3x-4y+1=0 …………(1)\)
\(4x+3y+1=0 …………(2)\)
\(A(a, b)\) হতে \((1)\) ও \((2)\) সমদূরবর্তী,
\(\therefore \frac{|3.a-4.b+1|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{|4.a+3.b+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{\sqrt{25}}=\frac{|4a+3b+1|}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{|3a-4b+1|}{5}=\frac{|4a+3b+1|}{5}\)
\(\Rightarrow |3a-4b+1|=|4a+3b+1|\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=\pm (4a+3b+1)\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1=4a+3b+1\) [ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 4a+3b+1=3a-4b+1\)
\(\Rightarrow 4a+3b+1-3a+4b-1=0\)
\(\therefore a+7b=0\)
আবার,
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-(4a+3b+1)\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 3a-4b+1=-4a-3b-1\)
\(\Rightarrow 3a-4b+1+4a+3b+1=0\)
\(\therefore 7a-b+2=0\)
\(\therefore a+7b=0\) অথবা, \(7a-b+2=0\).
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 2.(iv)\) \(4x+3y+2=0\) এবং \(12x+5y+13=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত যে কোণটি মূলবিন্দুধারী তার সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(8x-14y+39=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(4x+3y+2=0 …………(1)\)
\(12x+5y+13=0 …………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ,
\(\frac{4x+3y+2}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{12^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{16+9}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{144+25}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{\sqrt{25}}=\pm \frac{12x+5y+13}{\sqrt{169}}\)
\(\Rightarrow \frac{4x+3y+2}{5}=\pm \frac{12x+5y+13}{13}\)
\(\Rightarrow 13(4x+3y+2)=\pm 5(12x+5y+13)\)
এখানে,
\(c_{1}=2=+ve\) এবং \(c_{2}=13=+ve\) উভয়ে সমচিহ্নবিশিষ্ট , তাই উপরোক্ত সমীকরণ হতে ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার প্রাপ্ত সমীকরণ হবে মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক।
\(\therefore 13(4x+3y+2)=5(12x+5y+13)\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65=52x+39y+26\)
\(\Rightarrow 60x+25y+65-52x-39y-26=0\)
\(\Rightarrow 8x-14y+39=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

\(Q 2.(v)\) \(3x-4y+8=0\) রেখার সমান্তরালে \(3x+y+4=0\) রেখা থেকে \((1, 2)\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর । [ যঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(3\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(3x-4y+8=0 …………(1)\)
\(3x+y+4=0 …………(2)\)
এবং \(A(1, 2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x-4y+k=0 …………(3)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।]
\((3)\) নং সরলরেখা \(A(1, 2)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3.1-4.2+k=0 \)
\(\Rightarrow 3-8+k=0 \)
\(\Rightarrow -5+k=0 \)
\(\therefore k=5 \)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(3x-4y+5=0 …………(4)\)
\((2)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(B\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{1.5-4.(-4)}=\frac{y}{4.3-3.5}=\frac{1}{3.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5+16}=\frac{y}{12-15}=\frac{1}{-12-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{21}=\frac{1}{-15}, \ \frac{y}{-3}=\frac{1}{-15}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{-15}\times 21, \ y=\frac{1}{-15}\times -3\)
\(\Rightarrow x=-\frac{7}{5}, \ y=\frac{1}{5}\)
\(\therefore B(-\frac{7}{5}, \frac{1}{5})\)
এখন,
\(AB=\sqrt{(1+\frac{7}{5})^{2}+(2-\frac{1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{5+7}{5})^{2}+(\frac{10-1}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{12}{5})^{2}+(\frac{9}{5})^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{25}+\frac{81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{144+81}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{225}{25}}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

\(Q 2.(vi)\) \(bx+ay=ab\) এবং \(ax-by=ab\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু হতে \(ax-by=0\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ও তার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \ bx+ay=ab\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(bx+ay-ab=0 …………(1)\)
\(ax-by-ab=0 …………(2)\)
\(ax-by=0 …………(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A\) নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{a.(-ab)-(-ab).(-b)}=\frac{y}{(-ab).a-b.(-ab)}=\frac{1}{b.(-b)-a.a}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}b-ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}, \ \frac{y}{-a^{2}b+ab^{2}}=\frac{1}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-a^{2}b-ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}, \ y=\frac{-a^{2}b+ab^{2}}{-b^{2}-a^{2}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-(a^{2}b+ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}, \ y=\frac{-(a^{2}b-ab^{2})}{-(a^{2}+b^{2})}\)
\(\Rightarrow x=\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \ y=\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore A(\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}})\)
এখন,
\(A\) হতে \((3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{a.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}-b.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{a^{2}b^{2}-ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+a^{2}b^{2}-a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{a^{3}b+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\frac{ab(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
ইহাই নির্ণেয় লম্ব দূরত্ব,
\((3)\) এর উপর লম্ব এরূপ সরলরেখার সমীকরণ,
\(bx+ay+k=0 …………(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা \(A\) বিন্দুগামী,
\(\therefore b.\frac{a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+a.\frac{a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab^{3}+a^{3}b}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore \frac{ab(b^{2}+a^{2})}{a^{2}+b^{2}}+k=0\)
\(\therefore ab+k=0\)
\(\therefore k=-ab\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(bx+ay-ab=0\)
\(\therefore bx+ay=ab\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 2.(vii)\) \((1, -2)\) বিন্দু থেকে \(7\frac{1}{2}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x+4y=7\) রেখাটির সমান্তরাল রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০১২, যঃ, সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(3x+4y-7=0 …………(1)\)
\(A(1, -2)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+4y+k=0 …………(2)\)
\(A(1, -2)\) বিন্দু হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|3.1+4.(-2)+k|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|3-8+k|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-5+k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{|-5+k|}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-5+k}{5}=\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow -5+k=\pm \frac{75}{2}\)
\(\Rightarrow k=\pm \frac{75}{2}+5\)
\(\Rightarrow k=\frac{75}{2}+5\) [ ধণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow k=\frac{75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{85}{2}\)
আবার,
\(\Rightarrow k=-\frac{75}{2}+5\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow k=\frac{-75+10}{2}\)
\(\therefore k=\frac{-65}{2}\)
\(\therefore k=-\frac{65}{2}\)
\(k\) এর মান \( (2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+4y+\frac{85}{2}=0 \) [ যখন \(k=\frac{85}{2}\)]
\(\therefore 6x+8y+85=0 \) [উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে। ]
\(3x+4y-\frac{65}{2}=0 \) [ যখন \(k=-\frac{65}{2}\)]
\(\Rightarrow 6x+8y-65=0 \) [উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে। ]
\(\therefore 6x+8y=65 \)
\(\therefore \) রেখাগুলির সমীকরণ \(6x+8y=65, \ 6x+8y+85=0\)।

\(Q 2.(viii)\) মূলবিন্দু থেকে \(7\) একক দূরত্বে এবং \(3x-4y+7=0\) রেখার উপর লম্ব এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ,সিঃ ২০১১, দিঃ ২০১২] উত্তরঃ \(4x+3y\pm 35=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(3x-4y+7=0 …………(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …………(2)\) [\(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)।]
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|k|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=7\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{5}=7\)
\(\Rightarrow |k|=35\)
\(\Rightarrow \pm k=35\)
\(\therefore k=\pm 35\)
\(k\) এর \((2)\) এ বসিয়ে,
\(4x+3y\pm 35=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 2.(ix)\) \(8x-6y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(6x+8y\pm 40=0\)।

সমাধানঃ

\(Q2.viii\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 2.(x)\) দেখাও যে, \((-\frac{1}{2}, -2)\) বিন্দুটি \(2x-3y+4=0\) এবং \(6x+4y-7=0\) রেখাদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(2x-3y+4=0 …………(1)\)
\(6x+4y-7=0 …………(2)\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|2.(-\frac{1}{2})-3(-2)+4|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|-1+6+4|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{|9|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(A(-\frac{1}{2}, -2)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|6.(-\frac{1}{2})+4(-2)-7|}{\sqrt{6^{2}+4^{2}}}\)
\(=\frac{|-3-8-7|}{\sqrt{36+16}}\)
\(=\frac{|-18|}{\sqrt{13\times 4}}\)
\(=\frac{18}{2\sqrt{13}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{13}}\)
\(\therefore d_{1}=d_{2}\)
[ দেখানো হলো ।]

\(Q 2.(xi)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3y=4x-10\) রেখার লম্ব দূরত্ব \(4\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(A(0, b)\)
এবং
\(3y=4x-10\)
\(\Rightarrow 4x-10=3y\)
\(\Rightarrow 4x-3y-10=0 ……………(1)\)
\(A(0, b)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|4.0-3.b-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|0-3b-10|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|-(3b+10)|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|(3b+10)|}{5}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(3b+10)|}{5}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{(3b+10)}{5}=4\)
\(\Rightarrow 3b+10=\pm 20\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=\pm 20-10\)
\(\Rightarrow 3b=20-10\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 3b=10\)
\(\therefore b=\frac{10}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow 3b=-20-10\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 3b=-30\)
\(\therefore b=-10\)
\(\therefore \) বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক \((0, -10), \ (0, \frac{10}{3}) \)।

\(Q 2.(xii)\) \(X\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে \(3x+4y=15\) রেখার লম্বদূরত্ব \(6\) একক তাদের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ চঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((-5, 0), \ (15, 0)\)।

সমাধানঃ

\(Q2.xi\) এর অনুরূপ, নিজে কর।


[Hints: (X) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু (A(a, 0))]

\(Q 2.(xiii)\) \(5x-12y-6=0\), \(3x+4y+2=0\) এবং \(y=2\) রেখার সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(5x-12y-6=0 ……..(1)\)
\(3x+4y+2=0 ……..(2)\)
\(y-2=0 ……..(3)\)
চিত্র থেকে এটা স্পষ্ট যে \((1)\) ও \((3)\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle A\) একটি সূক্ষ্মকোণ।
এখন,
\(a_{1}=5, b_{1}=-12, a_{2}=0, b_{2}=1\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+(-12).1=0-12=-12<0 \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(\frac{5x-12y-6}{\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}=\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) \(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{25+144}}=\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\) \(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{\sqrt{169}}=\frac{y-2}{\sqrt{1}}\) \(\Rightarrow \frac{5x-12y-6}{13}=\frac{y-2}{1}\) \(\Rightarrow 5x-12y-6=13(y-2)\) \(\Rightarrow 5x-12y-6=13y-26\) \(\Rightarrow 5x-12y-6-13y+26=0\) \(\Rightarrow 5x-25y+20=0\) \(\Rightarrow 5(x-5y+4)=0\) \(\Rightarrow (x-5y+4)=\frac{0}{5}\) \(\therefore x-5y+4=0 ..........(4)\) আবার, চিত্র থেকে \((2)\) ও \((3\) এর অন্তর্ভুক্ত \(\angle B\) একটি সূক্ষ্মকোণ। এখন, \(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1\) \(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.0+4.1=0+4=4>0 \)
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y+2}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{\sqrt{25}}=-\frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y+2}{5}=-\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5(y-2)\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2=-5y+10\)
\(\Rightarrow 3x+4y+2+5y-10=0\)
\(\therefore 3x+9y-8=0 ……….(5)\)
\((4)\) ও \((5)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(-5).(-8)-4.9}=\frac{y}{4.3-1.(-8)}=\frac{1}{1.9-(-5).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{40-36}=\frac{y}{12+8}=\frac{1}{9+15}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{1}{24}, \ \frac{y}{20}=\frac{1}{24}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{24}, \ y=\frac{20}{24}\)
\(\therefore x=\frac{1}{6}, \ y=\frac{5}{6}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র \(I(\frac{1}{6}, \frac{5}{6})\).

\(Q 2.(xiv)\) \(2x+y+3=0\) এবং \(3x-4y+7=0\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(2x+y+3=0 ……..(1)\)
\(3x-4y+7=0 ……..(2)\)
এখন,
\(a_{1}=2, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=-4\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.3+1.(-4)=6-4=2>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x+y+3}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{4+1}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{\sqrt{5}}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x+y+3}{1}=-\frac{3x-4y+7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(2x+y+3)=-(3x-4y+7)\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}=-3x+4y-7\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y+3\sqrt{5}+3x-4y+7=0\)
\(\therefore (2\sqrt{5}+3)x+(\sqrt{5}-4)y+3\sqrt{5}+7=0\)

\(Q 2.(xv)\) \(x+y+1=0\) রেখাটি \(3x-4y+3=0\) এবং \(AB\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের একটি সমদ্বিখন্ডক। \(AB\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4x-3y+4=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(x+y+1=0 ……..(1)\)
\(3x-4y+3=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{(1.3-1.(-4)}=\frac{y}{1.3-1.3}=\frac{1}{1.(-4)-1.3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{3+4}=\frac{y}{3-3}=\frac{1}{-4-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{7}=\frac{1}{-7}, \ \frac{y}{0}=\frac{1}{-7}\)
\(\Rightarrow x=\frac{7}{-7}, \ y=\frac{0}{-7}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=0\)
\(\therefore x=-1, \ y=0\) ছেদবিন্দু \(C(-1, 0)\).
শর্তমতে,
\(AB\) সরলরেখা \(C(-1, 0)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m(x+1)\)
\(\Rightarrow y=m(x+1) ……….(3)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{1}=-1\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-4}=\frac{3}{4}\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{3}=m\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\)
\(=\frac{-1-\frac{3}{4}}{1+(-1)\times \frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-4-3}{4}}{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{-7}{4}}{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}\)
\(=-\frac{7}{4}\times \frac{4}{1}\)
\(=-7\)
\(=7\) [ ধনাত্মক মান ব্যবহার করে]
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\tan\theta_{2}=\frac{-1-m}{1+(-1)m}\)
\(=\frac{-1-m}{1-m}\)
শর্তমতে,
\(\tan\theta_{2}=\tan\theta_{1} \)
\(\Rightarrow \frac{-1-m}{1-m}=7\)
\(\Rightarrow -1-m=7(1-m)\)
\(\Rightarrow -1-m=7-7m\)
\(\Rightarrow 7m-m=7+1\)
\(\Rightarrow 6m=8\)
\(\Rightarrow m=\frac{8}{6}\)
\(\Rightarrow m=\frac{4}{3}\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y=\frac{4}{3}(x+1)\)
\(\Rightarrow 3y=4(x+1)\)
\(\Rightarrow 4(x+1)=3y\)
\(\Rightarrow 4x+4=3y\)
\(\therefore 4x-3y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় \(AB\) রেখার সমীকরণ,

\(Q 2.(xvi)\)\(12x+5y=4=0\) ও \(3x+4y+7=0\) রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(21x-27y-111=0; \ 99x+77y+71=0\)।

সমাধানঃ

\(Q2.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xvii)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(4x+3y=12\), \(3x-4y+16=0\) এবং \(4x-3y=12\) তার অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((3, \frac{25}{7})\)।

সমাধানঃ

\(Q2.(xiii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.