সরলরেখা-৩(straightline-3)

# অনুশীলনী \(3.G\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) \(4y-3x=3\) এবং \(3y-4x=5\) রেখা দুইটির অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।
সমাধান
\((ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।
সমাধান
\((iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((2, -3)\)।
সমাধান
\((iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।
সমাধান
\((v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 3)\)।
সমাধান
\((vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত। উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।
সমাধান
\((vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যার ঢাল \(-1\) এবং মূলবিন্দু হতে যার দূরত্ব \(4\) একক। [সিঃ ২০০৯, কুঃ ২০১২] উত্তরঃ \(x+y\pm 4\sqrt{2}=0\)।
সমাধান
\((viii)\) মূলবিন্দু হতে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)।
সমাধান
\((ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।
সমাধান
\((x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু । [ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
সমাধান
\((xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।
সমাধান
\((xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।
সমাধান
\((xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((1, 12)\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.G\) সমাধান

\(Q 3.(i)\) \(4y-3x=3\) এবং \(3y-4x=5\) রেখা দুইটির অন্তর্গত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y+2=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(4y-3x-3=0 ……..(1)\)
\(3y-4x-5=0 ……..(2)\)
এখন,
\(a_{1}=-3, b_{1}=4, a_{2}=-4, b_{2}=3\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=(-3).(-4)+4.3=12+12=24>0 \)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{4y-3x-3}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{16+9}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{4y-3x-3}{\sqrt{25}}=\frac{3y-4x-5}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3=3y-4x-5\)
\(\Rightarrow 4y-3x-3-3y+4x+5=0\)
\(\Rightarrow x+y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

\(Q 3.(ii)\) \(y=4\) এবং \(Y\) অক্ষের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(y-4=0 ……..(1)\)
এবং \(Y\) অক্ষের সমীকরণ
\(x=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \( (2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=\pm \frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow y-4=\pm x\)
\(\Rightarrow y-4=x\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow x=y-4\)
\(\Rightarrow x-y+4=0\)
আবার,
\(y-4=-x\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ, \(x+y-4=0, \ x-y+4=0\)।

\(Q 3.(iii)\) একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের সমীকরণ \(x-2y=0\), \(3x+y=0\) এবং \(2x-3y+11=0\) হলে, এর লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((2, -3)\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(x-2y=0 ……..(1)\)
\(3x+y=0 ……..(2)\)
\(2x-3y+11=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) [ \(\because \) উভয়েই মূলবিন্দুগামী ]
\(O\) হতে \(AB\) এর উপর \(OE\) লম্ব আঁকি।
\((3)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(3x+2y+k=0 ……..(4)\)
\((4)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3.0+2.0+k=0 \)
\(\Rightarrow 0+0+k=0 \)
\(\therefore k=0 \)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(3x+2y=0 ……..(5)\) যা \(OE\) এর সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 3+(3)\) এর সাহায্যে,
\(9x+3y+2x-3y+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x+11=0 \)
\(\Rightarrow 11x=-11 \)
\(\Rightarrow x=\frac{-11}{11} \)
\(\Rightarrow x=-1 \)
\((2)\) হতে,
\(3.(-1)+y=0\)
\(\Rightarrow -3+y=0\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) ছেদবিন্দু \(A(-1, 3)\)
\(A\) হতে \(BO\) এর বর্ধিতাংশের উপর \(AD\) লম্ব আঁকি।
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x+y+k=0 ……..(6)\)
\((6)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 2.(-1)+3+k=0 \)
\(\Rightarrow -2+3+k=0 \)
\(\Rightarrow 1+k=0 \)
\(\Rightarrow k=-1 \)
\(k\) এর মান \((6)\) এ বসিয়ে,
\(2x+y-1=0 ……..(7)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\(AD\) এবং \(EO\) এর বর্ধিতাংশের ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\((5)\) ও \((7)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((5)-(7)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(3x+2y-4x-2y+2=0\)
\(\Rightarrow -x+2=0\)
\(\Rightarrow 2=x\)
\(\therefore x=2\)
\((5)\) হতে,
\(3.2+2y=0\)
\(\Rightarrow 6+2y=0\)
\(\Rightarrow 2y=-6\)
\(\Rightarrow y=\frac{-6}{2}\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) নির্ণেয় লম্বকেন্দ্র \((2, -3)\)।

\(Q 3.(iv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\) হলে, ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।

সমাধানঃ

locus4

দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি \(A(4, 0)\), \(B(0, 2)\) ও \(C(3, 5)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু হবে \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-2}{4-0}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=\frac{-1}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=2\)
\(\therefore AB\) এর উপর লম্ব এবং \(C(3, 5)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-5=2(x-3)\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6=y-5\)
\(\Rightarrow 2x-6-y+5=0\)
\(\therefore 2x-y-1=0 ………..(1)\) যা \(CF\) এর সমীকরণ ।
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{2-5}{0-3}\)
\(=\frac{-3}{-3}\)
\(=1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=-1\)
\(\therefore BC\) এর উপর লম্ব এবং \(A(4, 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-1(x-4)\)
\(\Rightarrow y=-x+4\)
\(\Rightarrow x+y-4=0 ………..(2)\) যা \(AD\) এর সমীকরণ ।
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(2)\) এর সাহায্যে,
\(2x-y-1+x+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x-5=0\)
\(\Rightarrow 3x=5\)
\(\therefore x=\frac{5}{3}\)
\((2)\) হতে,
\(\frac{5}{3}+y-4=0 \)
\(\Rightarrow y=4-\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-5}{3}\)
\(\therefore y=\frac{7}{3}\)
\(\therefore \) ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র \((\frac{5}{3}, \frac{7}{3})\)।

\(Q 3.(v)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(O(0, 0)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, 3)\)।

সমাধানঃ

locus4

দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, -1)\), \(B(-4, -7)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AD\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CF\) লম্ব আঁকি।
\(AD\) এবং \(CF\) এর ছেদবিন্দু \(O(0, 0)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{-1+7}{5+4}\)
\(=\frac{6}{9}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(CF\) তথা \(CO\) এর ঢাল \(=\frac{y-0}{x-0}\)
\(=\frac{y}{x}\)
\(AB\) ও \(CF\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y}{x}\times \frac{2}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2y}{3x}=-1\)
\(\Rightarrow 2y=-3x\)
\(\therefore 3x+2y=0 ………(1)\)
আবার,
\(BC\) এর ঢাল \(=\frac{-7-y}{-4-x}\)
\(=\frac{-(7+y)}{-(4+x)}\)
\(=\frac{7+y}{4+x}\)
\(AD\) তথা \(AO\) এর ঢাল \(=\frac{-1-0}{5-0}\)
\(=\frac{-1}{5}\)
\(=-\frac{1}{5}\)
\(BC\) ও \(AD\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{7+y}{4+x}\times -\frac{1}{5}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{4+x}\times \frac{1}{5}=1\)
\(\Rightarrow \frac{7+y}{20+5x}=1\)
\(\Rightarrow 20+5x=y+7\)
\(\Rightarrow 20+5x-y-7=0\)
\(\Rightarrow 5x-y+13=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2)\times 2+(1)\) এর সাহায্যে,
\(10x-2y+26+3x+2y=0\)
\(\Rightarrow 13x+26=0\)
\(\Rightarrow 13x=-26\)
\(\Rightarrow x=\frac{-26}{13}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(5(-2)-y+13=0\)
\(\Rightarrow -10-y+13=0\)
\(\Rightarrow -y+3=0\)
\(\Rightarrow -y=-3\)
\(\therefore y=3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, 3)\).

\(Q 3.(vi)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) অক্ষের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু হতে \(4\) একক দূরে অবস্থিত। উত্তরঃ \(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)।

সমাধানঃ

locus4

দেওয়াআছে,
\(\theta=60^{o}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির ঢাল \(m=\tan\theta\)
\(=\tan60^{o}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore\) সরলরেখটির সমীকরণ \(y=mx+c\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{3} x+c\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+c=y\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x-y+c=0 ……….(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|c|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|c|}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{|c|}{2}\)
শর্তমতে,
\(d=4\)
\(\Rightarrow \frac{|c|}{2}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{c}{2}=4\)
\(\Rightarrow c=\pm 8\)
\(c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\sqrt{3}x-y\pm 8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 3.(vii)\) এমন একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর, যার ঢাল \(-1\) এবং মূলবিন্দু হতে যার দূরত্ব \(4\) একক। [সিঃ ২০০৯, কুঃ ২০১২] উত্তরঃ \(x+y\pm 4\sqrt{2}=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(vi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

[Hints: m= -1]

\(Q 3.(viii)\) মূলবিন্দু হতে \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(P\) হলে, দেখাও যে, \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0 ……..(1)\)
মূলবিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^{2}+(\frac{1}{b})^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}}}\)
\(=\frac{1}{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{ab}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
শর্তমতে,
\(d=P\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=P\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=P^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow a^{2}b^{2}=P^{2}(a^{2}+b^{2})\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}P^{2}}=\frac{P^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}b^{2}P^{2}}\) [ উভয় পার্শে \(a^{2}b^{2}P^{2}\) দ্বারা ভাগ করে । ]
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{(a^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}b^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{P^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
\(\therefore \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{P^{2}}\)
[ দেখানো হলো। ]

\(Q 3.(ix)\) একটি বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু \(6x-8y+5=0\) এবং \(3x-4y+10=0\) রেখা দুইটির উপর অবস্থিত এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\frac{9}{4}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

locus4

\(6x-8y+5=0\)
\(\Rightarrow 2(3x-4y+\frac{5}{2})=0\)
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=\frac{0}{2}\)
মনে করি,
\(\Rightarrow 3x-4y+\frac{5}{2}=0 ………. (1)\)
\(3x-4y+10=0 ………. (2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(d=\frac{|\frac{5}{2}-10|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\)
\(d=\frac{|\frac{5-20}{2}|}{\sqrt{9+16}}\)
\(d=\frac{|\frac{-15}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(d=\frac{|-\frac{15}{2}|}{5}\)
\(d=\frac{\frac{15}{2}}{5}\)
\(d=\frac{15}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(d=\frac{3}{2}\)
শর্তমতে,
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য \(=d\)
বর্গের ক্ষেত্রফল \(=d^{2}\)
\(=(\frac{3}{2})^{2}\)
\(=\frac{9}{4}\) বর্গ একক।

\(Q 3.(x)\) \((0, 0)\), \((0, 3)\) এবং \((4, 0)\) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে তারা সমবিন্দু । [ঢাঃ ২০০৪, কু ২০১০, সিঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি, \(O(0, 0)\), \(A(0, 3)\) এবং \(B(4, 0)\).
\(OA\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-0}=\frac{y-0}{0-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{0}=-\frac{y}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-y\times 0\)
\(\Rightarrow 3x=0\)
\(\therefore x=0 …….(1)\)
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-3}{3-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y-3}{3}\)
\(\Rightarrow 3x=-4(y-3)\)
\(\Rightarrow 3x=-4y+12\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=0 ………(2)\)
\(OB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-0}{0-4}=\frac{y-0}{0-0}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}=\frac{y}{0}\)
\(\Rightarrow x\times 0=y\times -4\)
\(\Rightarrow 0=-4y\)
\(\Rightarrow -4y=0\)
\(\Rightarrow y=0 …….(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.3+0.4=3+0=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=-\frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=-\frac{3x+4y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=-(3x+4y-12)\)
\(\Rightarrow 5x=-3x-4y+12\)
\(\Rightarrow 5x+3x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 8x+4y-12=0\)
\(\Rightarrow 4(2x+y-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x+y-3=\frac{0}{4}\)
\(\therefore 2x+y-3=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=4, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.0+4.1=0+4=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+4y-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=-\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{9+16}}=-\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{\sqrt{25}}=-\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y-12}{5}=-\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=-5y\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12+5y=0\)
\(\Rightarrow 3x+9y-12=0\)
\(\Rightarrow 3(x+3y-4)=0\)
\(\Rightarrow x+3y-4=\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow x+3y-4=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=y\) [ চিত্রের সাহায্যে, ]
\(\therefore x-y=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(x-y=0, \ x+3y-4=0, \ 2x+y-3=0\)।
আবার,
সমদ্বিখন্দকগুলি হতে পাই,
\(a_{1}=1, b_{1}=-1, c_{1}=0\)
\(a_{2}=1, b_{2}=3, c_{2}=-4\)
\(a_{3}=2, b_{3}=1, c_{3}=-3\)
\(\therefore \Delta=\left|\begin{array}{c}a_{1} \ \ \ \ b_{1} \ \ \ \ c_{1}\\a_{2} \ \ \ \ b_{2} \ \ \ \ c_{2}\\a_{3} \ \ \ \ b_{3} \ \ \ \ c_{3}\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{c}1 \ \ -1 \ \ \ \ 0\\1 \ \ \ \ 3 \ \ -4\\2 \ \ \ \ 1 \ \ -3\end{array}\right|\)
\(=1[3.(-3)-(-4).1]-(-1)[1.(-3)-(-4).2]+0\)
\(=1[-9+4]+[-3+8]+0\)
\(=1[-5]+[5]+0\)
\(=-5+5+0\)
\(=0\)
\(\because \Delta=0 \therefore \) সমদ্বিখন্দকগুলি সমবিন্দু।

\(Q 3.(xi)\) যে ত্রিভুজের বাহুগুলির সমীকরণ \(x=3\), \(y=4\) এবং \(4x+3y=12\) তার কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(x-3=0 ………..(1)\)
\(y-4=0 ………..(2)\)
\(4x+3y-12=0………..(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
আবার,
\(c_{1}=-3, c_{2}=-4\) অর্থাৎ \(c_{1}, c_{2}\) সমচিহ্নবিশিষ্ট
তাই মূলবিন্দুধারী কোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\) [ ধনাত্মক চিহ্নযুক্ত]
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=\frac{y-4}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=\frac{y-4}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{1}\)
\(\Rightarrow x-3=(y-4)\)
\(\Rightarrow y-4=x-3\)
\(\Rightarrow y=x-3+4\)
\(\therefore y=x+1\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=0, b_{1}=1, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0.4+1.3=0+3=3>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{y-4}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{0+1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{y-4}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(y-4)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5y-20=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5y+4x+3y=20+12\)
\(\Rightarrow 4x+8y=20+12\)
\(\Rightarrow 4(x+2y)=32\)
\(\Rightarrow x+2y=\frac{32}{4}\)
\(\therefore x+2y=8\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=1, b_{1}=0, a_{2}=4, b_{2}=3 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=1.4+0.3=4+0=4>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1+0}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{\sqrt{1}}=-\frac{4x+3y-12}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=-\frac{4x+3y-12}{5}\)
\(\Rightarrow 5(x-3)=-(4x+3y-12)\)
\(\Rightarrow 5x-15=-4x-3y+12\)
\(\Rightarrow 5x+4x+3y=15+12\)
\(\Rightarrow 9x+3y=27\)
\(\Rightarrow 3(3x+y)=27\)
\(\Rightarrow 3x+y=\frac{27}{3}\)
\(\Rightarrow 3x+y=9\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(y=x+1, \ x+2y=8, \ 3x+y=9\)।

\(Q 3.(xii)\) \(5x+12y=15\) রেখা এবং অক্ষদুইটির সমম্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের কোণতিনটির বহিঃদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।

সমাধানঃ

locus4

মনে করি,
\(5x+12y-15=0 ………(1)\)
এবং অক্ষদুইটির সমীকরণ,
\(y=0 ………(2)\)
\(x=0 ………(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=0, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.0+12.1=0+12=12>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow 5x+12y-15-13y=0\)
\(\therefore 5x-y-15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=5, b_{1}=12, a_{2}=1, b_{2}=0 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=5.1+12.0=5+0=5>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{5x+12y-15}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{25+144}}=\frac{x}{\sqrt{1+0}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{\sqrt{169}}=\frac{x}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{5x+12y-15}{13}=\frac{x}{1}\)
\(\Rightarrow 13x=5x+12y-15\)
\(\Rightarrow 13x-5x-12y+15=0\)
\(\Rightarrow 8x-12y+15=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব,
এদের মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{1}=\pm \frac{y}{1}\)
\(\Rightarrow x=\pm y\)
\(\Rightarrow x=-y\) [ চিত্রের সাহায্যে, ]
\(\therefore x+y=0\)
\(\therefore \) বহিঃদ্বিখন্দক ত্রয়ের সমীকরণ,
\(5x-y-15=0, \ 8x-12y+15=0, \ x+y=0\)।

\(Q 3.(xiii)\) \(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \((1, 2)\) হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((1, 12)\)।

সমাধানঃ

locus4

দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(5, 0)\), \(B(-4, -3)\) এবং অন্তঃকেন্দ্র \(I(1, 2)\)
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{0+3}{5+4}\)
\(=\frac{3}{9}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(AI\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-2}{5-1}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(BI\) এর ঢাল \(m_{3}=\frac{-3-2}{-4-1}\)
\(=\frac{-5}{-5}\)
\(=1\)
ধরি,\(AC\) এর ঢাল \(m_{4}\) এবং \(BC\) এর ঢাল \(m_{5}\)
\(\because \angle BAI=\angle CAI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan^{-1}\frac{m_{2}-m_{4}}{1+m_{2}m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{3}\times -\frac{1}{2}}=\frac{-\frac{1}{2}-m_{4}}{1-\frac{1}{2}\times m_{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{2+3}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{1-\frac{m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}=\frac{\frac{-1-2m_{4}}{2}}{\frac{2-m_{4}}{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2}\times \frac{2}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{-1-2m_{4}}{2-m_{4}}\)
\(\Rightarrow 2-m_{4}=-1-2m_{4}\)
\(\Rightarrow -m_{4}+2m_{4}=-1-2\)
\(\therefore m_{4}=-3\)
\(\therefore AC\) এর সমীকরণ,
\(y-0=m_{4}(x-5)\)
\(\Rightarrow y=-3x+15 …….(1)\)
\(\because \angle ABI=\angle CBI\)
\(\therefore \tan^{-1}\frac{m_{1}-m_{3}}{1+m_{1}m_{3}}=\tan^{-1}\frac{m_{3}-m_{5}}{1+m_{3}m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{3}-1}{1+\frac{1}{3}\times 1}=\frac{1-m_{5}}{1+1\times m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1-3}{3}}{\frac{3+1}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{-2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}=\frac{1-m_{5}}{1+m_{5}}\)
\(\Rightarrow -1-m_{5}=2-2m_{5}\)
\(\Rightarrow -m_{5}+2m_{5}=2+1\)
\(\therefore m_{5}=3\)
\(\therefore BC\) এর সমীকরণ,
\(y+3=m_{5}(x+4)\)
\(\Rightarrow y+3=3(x+4)\)
\(\Rightarrow 3(x+4)=y+3\)
\(\Rightarrow 3x+12-y-3=0\)
\(\Rightarrow 3x-y+9=0 ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমাধান করি,
\(3x+3x-15+9=0 \)
\(\Rightarrow 6x-6=0 \)
\(\Rightarrow 6x=6 \)
\(\Rightarrow x=1 \)
\((1)\) হতে, \(y=-3.1+15\)
\(\Rightarrow y=-3+15\)
\(\therefore y=12\)
\(\therefore C(1, 12)\).

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.