সরলরেখা-৩(straightline-3)

# অনুশীলনী \(3.G\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q 4.\)

\((i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।
সমাধান

\((ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \(-3, 2\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x=y; \ x+y=4.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0 \) ।
সমাধান

\((iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 …….(1)\)
\(kx+4y-7=0 …….(2)\)
\(4x-5y+1=0 …….(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।
সমাধান

\((iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।
সমাধান

\((v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।
সমাধান

\((vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।
সমাধান

\((vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\) \((c) \ \) ।
সমাধান

locus4

\((viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) (AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ x+(\sqrt{2}-1)y+1+6\sqrt{2}=0\) ।
সমাধান
locus4

\((ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
সমাধান
locus4

\((x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
সমাধান

\((xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ ;\) \((b) \ ;\) \((c) \ \) ।
সমাধান

\((xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}), \frac{5\pi}{4}\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (1, 1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1. \) ।
সমাধান

locus4

\((xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।
সমাধান

\((xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।
সমাধান

locus4

\((xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।
সমাধান

\((xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।
সমাধান

locus4

\((xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।
সমাধান
locus4

\((xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।
সমাধান

\((xix)\) একটি সরলরেখা \((-4, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।
সমাধান

\((xx)\) \((5x-4y-1=0)\) ও \((-8x+7y+1=0)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\) সরলরেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।
সমাধান

locus4

\((xxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\) \((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \).
সমাধান

\((xxii)\) দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\) ও \(B(2, 270^{o})\)।
\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।
সমাধান

\((xxiii)\) \(A(2, 3)\) ও \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থীর বিন্দু।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।
সমাধান

\((xxiv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(B(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(B(6, -8)\)। মধ্যমাত্রয় \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\); \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।
সমাধান

locus4

\((xxv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\) \((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)।
সমাধান

\((xxvi)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\) \((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)।
সমাধান

\((xxvii)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত। \(OC\) এর সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\)।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।
সমাধান

\((xxviii)\) নিচের বিন্দু চারটি লক্ষ কর।
\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)।
সমাধান

\((xxix)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\) \((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)।
সমাধান

\((xxx)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\) \((c) \ 6x+2y=17\)।
সমাধান

\((xxxi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(3x+by+1=0 ……..(1)\)
\(ax+6y+1=0 ……..(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\) \((c) \ 2y-7=0\)।
সমাধান

locus4

\((xxxii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।
সমাধান

\((xxxiii)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক। \((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)।
সমাধান

\((xxxiv)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(2x-3y+4=0 ……..(1)\)
\(3x+3y-5=0 ……..(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)।
সমাধান

\((xxxv)\) নিচের বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু ।
\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)।
সমাধান

\((xxxvi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(y=2x+1 ……..(1)\)
\(2y-x=4 ……..(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক। \((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)।
সমাধান

locus4

\((xxxvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)। \((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)।
সমাধান

\((xxxviii)\) \((-4, 4)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(CD\) রেখার সমীকরণ \(2x-7y+11=0\) এবং \(DE\) রেখার সমীকরণ \(x+3y-8=0\).
\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক। \((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \).
সমাধান

\((xxxix)\) \(x+2y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক। \((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \).
সমাধান

\((xxxx)\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\).
সমাধান

locus4

\((xxxxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)। \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.G\) সমাধান

\(Q 4.(i)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-4y+8=0\)।
\((a)\) সরলরেখার ঢাল বলতে কি বুঝ? উপরে উল্লেখিত সরলরেখার ঢাল এবং \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা নির্দেশ করার শর্তটি লিখ।
\((c)\) \(ax+by+c=0\) এবং \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=P\) সমীকরণ দুইটি একই সরলরেখা সূচীত করলে, \(P\) এর মান \(a, b, c\) এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{3}{4}, 2;\) \((c) \ P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) সরলরেখার ঢালঃ কোনো সরলরেখা \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার \(tangent\) অনুপাতকে ঐ সরলরেখার ঢাল বলে।
ধরি, \(3x-4y+8=0 …….(1)\)
\((i)\) এর ঢাল \( =-\frac{3}{-4}\)
\( =\frac{3}{4}\)
\((1)\) হতে পাই,
\(3x-4y=-8\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-8}-\frac{4y}{-8}=1\) [ উভয় পার্শে \(-8\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{-8}{3}}+\frac{y}{2}=1\)
\(\therefore Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\)
\((b)\) ধরি,
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 …….(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করার শর্তটি নিম্নরূপ।
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\((c)\)
ধরি,
\(ax+by+c=0 ………..(1)\)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-P=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণের একই সরলরেখা প্রকাশ করবে যদি,
\(\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\cos\alpha}=\frac{c}{-P}, \frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{-P}\)
\(\Rightarrow c\cos\alpha=-aP, c\sin\alpha=-bP\)
\(\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{aP}{c}, \sin\alpha=-\frac{bP}{c}\)
\(\cos\alpha=-\frac{aP}{c} ………(3)\)
\(\sin\alpha=-\frac{bP}{c} ………(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করি,
\(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=\frac{a^{2}P^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=\frac{a^{2}P^{2}+b^{2}P^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow 1=P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} \)
\(\Rightarrow P^{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1 \)
\(\Rightarrow P^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)
\(\Rightarrow P=\pm \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}} \)
\(\therefore P=\pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)

\(Q 4.(ii)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(3x-2y+4=0\)।
\((a)\) \(y=m_{1}x+c_{1}\) এবং \(y=m_{2}x+c_{2}\) সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, দেখাও যে,\(m_{1}m_{2}=-1\) ।
\((b)\) \(x=2\) এবং \(y=2\) সরলরেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণসমুহের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর। দেখাও যে, একটি সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
\((c)\) একটি সরলরেখা \((-3, 2)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(120^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। রেখাটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((b) \ x-y=0; \ x+y-4=0.\) \((c) \ \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) ধরি,
\(y=m_{1}x+c_{1} ………(1)\)
\(y=m_{2}x+c_{2} ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) ।
তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
সরলরেখা দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, \(\theta=90^{o}\) হবে।
\(\therefore 90^{o}=\tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}})=90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan90^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0(m_{1}-m_{2})\)
\(\Rightarrow 1+m_{1}m_{2}=0\)
\(\therefore m_{1}m_{2}=-1\)

\((b)\)locus4
ধরি,
\(x-2=0 ……..(1)\)
\(y-2=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1+0}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{0+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{\sqrt{1}}=\pm \frac{y-2}{\sqrt{1}}\)
\(\Rightarrow x-2=\pm (y-2)\)
\(\Rightarrow x-2=y-2\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow x-2-y+2=0\)
\(\therefore x-y=0\)
আবার,
\(\Rightarrow x-2=-(y-2)\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow x-2=-y+2\)
\(\Rightarrow x-2+y-2=0\)
\(\therefore x+y-4=0\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ , \( x-y=0; \ x+y-4=0.\)
এখানে,
\(x-y=0\) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং এর ঢাল \(\tan\theta=-\frac{1}{-1}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=1\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \theta=45^{o}\)
\(\therefore \) সমদ্বিখন্ডকটি মূলবিন্দুগামী এবং \(X\) অক্ষের সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ফলে ইহা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের একটি সমদ্বিখন্ডক।

\((c)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(\theta=120^{o}\)
\(\therefore \) সরলরেখাটির ঢাল \(m=\tan120^{o}\)
\(=\tan(90^{o}\times 2-60^{o})\)
\(=-\tan60^{o}\) [ দ্বিতীয় চৌকোণে]
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore (-3, 2)\) বিদুগামী এবং \(m\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-2=m(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}(x+3)\)
\(\Rightarrow y-2=-\sqrt{3}x-3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x+y-2+3\sqrt{3}=0\)
\(\therefore \sqrt{3}x+y+3\sqrt{3}-2=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 4.(iii)\) তিনটি সরলরেখার সমীকরণ
\(x+2y+5=0 …….(1)\)
\(kx+4y-7=0 …….(2)\)
\(4x-5y+1=0 …….(3)\)
\((a)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ দেওয়া হলো। এদের ঢাল নির্ণয় না করে তুমি কিভাবে বুঝবে রেখা দুইটি সমান্তরাল না পরস্পর লম্ব।
\((b)\) চিত্র অঙ্কন করে \(y=mx+c\) সমীকরণটি প্রতিষ্ঠা কর। \(m\) ও \(c\) এর ব্যাখ্যা দাও।
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) অথবা, \(5\) হলে, উক্ত রেখাত্রয় কিরূপ হবে তা বিশ্লেষণ কর।
উত্তরঃ \((c) \ (1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল, \((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।

সমাধানঃ

\((a)\)
দুইটি সরলরেখার সমীকরণ
\(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 ……..(1)\)
\(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি,
\(a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}\) হয়।


আবার,
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখার পরস্পর লম্ব হবে যদি,
\(a_{1}a_{2}+ b_{1}b_{2}=0\)

\((b)\)
মনে করি, \(AB\) সরলরেখাটি \(Y\) অক্ষকে \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে এবং \(X\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। \(AB\) এর উপর চলমান বিন্দু \(P(x, y)\) হতে \(OX\) এর উপর \(PM\) এবং \(Q\) হতে \(PM\) এর উপর \(QR\) লম্ব অঙ্কন করি।
এখানে,
\(OQ=RM=c,\) \(OM=QR=x,\) \(PM=y.\) \(\therefore PR=PM-RM=y-c\) এবং \(\angle PQR=\theta\).
তাহলে,
\(\tan\theta=\frac{PR}{QR}\)
\(\Rightarrow \tan\theta=\frac{y-c}{x}\)
\(\Rightarrow m=\frac{y-c}{x}\) [\(\because m=\tan\theta\)]
\(\Rightarrow y-c=mx \)
\(\Rightarrow y=mx+c \)
\(\therefore\) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(y=mx+c\).

locus4
\((c)\) উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=2\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 …….(1)\)
\(2x+4y-7=0\)
\(\Rightarrow 2(x+2y-\frac{7}{2})=0\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=\)
\(\Rightarrow x+2y-\frac{7}{2}=0 …….(2)\)
\(4x-5y+1=0 …….(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল।
আবার,locus4
উদ্দীপকের দ্বিতীয় সমীকরণে \(k=5\) হলে,
সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(x+2y+5=0 …….(1)\)
\(5x+4y-7=0 …….(2)\)
\(4x-5y+1=0 …….(3)\)
এ ক্ষেত্রে,
\((2)\) ও \((3)\) পরস্পর লম্ব।

\(Q 4.(iv)\) \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p\) সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\) রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\alpha \) কে পরিবর্তনশীল ধরে \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(5x-9y+13=0\) ও \(9x-5y+11=0\) রেখা দুইটির ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 3x+2y=8;\) \((b) \ P^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2};\) \((c) \ 7x-7y+12=0, 2x+2y-1=0\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) দেওয়া আছে,
\(A(8, 5)\) \(B(-4, -3)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{5+3}{8+4}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(m=-\frac{3}{2}\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{8-4}{2}, \frac{5-3}{2})\)
\(\Rightarrow C(\frac{4}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\therefore C(2, 1)\)
\(C(2, 1)\) বিন্দুগামী এবং \(m\) ঢাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-1=m(x-2)\)
\(\Rightarrow y-1=-\frac{3}{2}(x-2)\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=-3(x-2)\)
\(\Rightarrow 2y-2=-3x+6\)
\(\Rightarrow 2y-2+3x-6=0\)
\(\Rightarrow 3x+2y-8=0\)
\(\therefore 3x+2y=8\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\((b)\)
মনে করি, \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=p ……..(1)\)locus4
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=\frac{p}{p}\) [ উভয় পার্শে \(p\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x\cos\alpha}{p}+\frac{y\sin\alpha}{p}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{\frac{p}{\cos\alpha}}+\frac{y}{\frac{p}{\sin\alpha}}=1 ……….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(\frac{p}{\cos\alpha}, 0)\) ও \(B(0, \frac{p}{\sin\alpha})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \((\frac{\frac{p}{\cos\alpha}+0}{2}, \frac{0+\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{\frac{p}{\cos\alpha}}{2}, \frac{\frac{p}{\sin\alpha}}{2})\).
\(\Rightarrow (\frac{p}{2\cos\alpha}, \frac{p}{2\sin\alpha})\).
এখানে,
\(\frac{p}{2\cos\alpha}=x, \frac{p}{2\sin\alpha}=y\).
\(\Rightarrow 2x\cos\alpha=p, 2y\sin\alpha=p\).
\(\therefore \cos\alpha=\frac{p}{2x} ………(3), \sin\alpha=\frac{p}{2y} ………(4)\).
\((3)\) ও \((4)\) বর্গ করে যোগ করি,
\((\cos\alpha)^{2}+(\sin\alpha)^{2}=(\frac{p}{2x})^{2}+(\frac{p}{2y})^{2}\)
\(\Rightarrow \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{p^{2}}{4x^{2}}+\frac{p^{2}}{4y^{2}}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}}{4x^{2}y^{2}}\)
\(\Rightarrow p^{2}y^{2}+p^{2}x^{2}=4x^{2}y^{2}\)
\(\therefore p^{2}(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}\)
দেখানো হলো।

\((c)\)
মনে করি, \(5x-9y+13=0 …….(1)\)
\(9x-5y+11=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(5x-9y+13+k(9x-5y+11)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ]
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9kx-5ky+11k=0\)
\(\Rightarrow (5+9k)x-(9+5k)y+(13+11k)=0 ……(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(=-\frac{5+9k}{-(9+5k)}\)
\(=\frac{5+9k}{9+5k}\)locus4
শর্তমতে, \(\frac{5+9k}{9+5k}=\pm \tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{5+9k}{9+5k}=\pm 1\)
\(\Rightarrow 5+9k=9+5k\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow 9k-5k=9-5\)
\(\Rightarrow 4k=4\)
\(\Rightarrow k=1\) [ উভয় পার্শে \(4\) ভাগ করে ]
আবার,
\(5+9k=-9-5k\) [ ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যাবহার করে। ]
\(\Rightarrow 9k+5k=-9-5\)
\(\Rightarrow 14k=-14\)
\(\Rightarrow k=-1\) [ উভয় পার্শে \(14\) ভাগ করে ]
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(5x-9y+13+1(9x-5y+11)=0\) [ যখন \(k=1\)]
\(\Rightarrow 5x-9y+13+9x-5y+11=0\)
\(\Rightarrow 14x-14y+24=0\)
\(\therefore 7x-7y+12=0\) [ উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে ]
\(5x-9y+13-1(9x-5y+11)=0\) [ যখন \(k=-1\)]
\(\Rightarrow 5x-9y+13-9x+5y-11=0\)
\(\Rightarrow -4x-4y+2=0\)
\(\therefore 2x+2y-1=0\) [ উভয় পার্শে \(-2\) ভাগ করে ]
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ। \(7x-7y+12=0, \ 2x+2y-1=0\)।

\(Q 4.(v)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ \(8x-6y+9=0\)।
\((a)\) \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী এবং প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ax+by+c_{1}=0\) এবং \(ax+by+c_{2}=0\) সমান্তরাল রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি প্রতিষ্ঠা কর। সূত্রটির সাহায্যে প্রদত্ত ও নির্ণেয় রেখার দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 4x-3y+10=0;\) \((b) \ \frac{11}{10};\) \((c) \ (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\) ।

সমাধানঃ

\((a)\) দেওয়া আছে,
\(A(-1, 2)\)
ধরি,
\(8x-6y+9=0 ……..(1)\)
\((1)\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(8x-6y+k=0 ……..(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)। ]
\((2)\) নং সরলরেখা \(A(-1, 2)\) বিন্দুগামী।locus4
\(\therefore 8.(-1)-6.2+k=0\)
\(\therefore -8-12+k=0\)
\(\therefore -20+k=0\)
\(\therefore k=20\)
\(k=\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(8x-6y+20=0\)
\(\therefore 4x-3y+10=0\) [ \(2\) দ্বারা ভাগ করে। ]
ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

\((b)\)
ধরি,
\(ax+by+c_{1}=0 ……(1)\)
\(ax+by+c_{2}=0 ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব \(d\)
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দুটি \((2)\) এর উপর অবস্থিত,
\(\therefore ax_{1}+by_{1}+c_{2}=0\)
\(\Rightarrow ax_{1}+by_{1}=-c_{2}………..(3)\)
আবার,
\(p(x_{1}, y_{1})\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{\left|ax_{1}+bx_{1}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(=\frac{\left|-c_{2}+c_{1}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) [ \((3)\) এর সাহায্যে ]
\(=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
\(\therefore d=\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
locus4
প্রদত্ত সমীকরণ,
\(8x-6y+9=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y+\frac{9}{2}=0 ……..(1)\) [ \(2\) দ্বারা ভাগ করে। ]
নির্ণেয় সমীকরণ,
\(4x-3y+10=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী দূরত্ব,
\(=\frac{|\frac{9}{2}-10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{9-20}{2}|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|\frac{-11}{2}|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-\frac{11}{2}|}{5}\)
\(=\frac{11}{2}\times \frac{1}{5}\)
\(=\frac{11}{10}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

locus4
\((c)\) মনে করি,
\(3x-4y+5=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y+k=0 …….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \((2, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(4.2+3.(-1)+k=0\)
\(\Rightarrow 8-3+k=0\)
\(\Rightarrow 5+k=0\)
\(\therefore k=-5\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(4x+3y-5=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{(-4).(-5)-5.3}=\frac{y}{5.4-3.(-5)}=\frac{1}{3.3-(-4).4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-15}=\frac{y}{20+15}=\frac{1}{9+16}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{5}=\frac{1}{25}, \ \frac{y}{35}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{25}\times 5, \ y=\frac{1}{25}\times 35\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{5}, \ y=\frac{7}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((\frac{1}{5}, \frac{7}{5})\)।

\(Q 4.(vi)\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ \(y=2x+1\) এবং \(2y-x=4\)।
\((a)\) মূলবিন্দু এবং প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে \(PQ\) এর দূরত্ব নির্ণয় কর। [ রাঃ ২০১৩, ২০১৪; সিঃ ২০০৫; বঃ ২০১২; কুঃ ২০১৪; চুয়েটঃ ২০০৮, ২০১০ ]
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরত্বে এবং \(2y-x=4\) রেখার উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 7x-2y=0;\) \((b) \ \frac{4}{3};\) \((c) \ 2x+y\pm 5=0\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0……..(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+1+k(x-2y+4)=0……..(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)। ]
\((3)\) নং সরলরেখা মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore 2.0-0+1+k(0-2.0+4)=0\)
\(\therefore 0+1+k(0+4)=0\)
\(\therefore 1+4k=0\)
\(\therefore 4k=-1\)
\(\therefore k=\frac{-1}{4}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{4}\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y+1-\frac{1}{4}(x-2y+4)=0\)
\(\Rightarrow 4(2x-y+1)-(x-2y+4)=0\) [ উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।]
\(\Rightarrow 8x-4y+4-x+2y-4=0\)
\(\therefore 7x-2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

locus4
\((b)\)
মনে করি,
\(y=2x+1\Rightarrow 2x-y+1=0……..(1)\)
\(2y-x=4\Rightarrow x-2y+4=0……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর অন্তর্ভুক্ত কোণেরদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{4+1}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{x-2y+4}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=\pm (x-2y+4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=x-2y+4\) [ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x-y+1-x+2y-4=0\)
\(\therefore x+y-3=0 ………..(3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1=-(x-2y+4)\) [ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 2x-y+1=-x+2y-4)\)
\(\Rightarrow 2x-y+1+x-2y+4=0\)
\(\therefore 3x-3y+5=0 ………..(4)\)
\((3)\) ও \((4)\) সরলরেখা \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((3)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 0+y-3=0\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore P(0, 3)\)
\((4)\) নং সরলরেখা যখন \(Y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\therefore 3.0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow 0-3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y+5=0\)
\(\Rightarrow -3y=-5\)
\(\Rightarrow y=\frac{-5}{-3}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}\)
\(\therefore Q(0, \frac{5}{3})\)
এখন,
\(PQ=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-\frac{5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{0+(\frac{9-5}{3})^{2}}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore PQ=\frac{4}{3}\) একক।

locus4
\((c)\)
মনে করি,
\(2y-x-4=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+2x+k=0 …….(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা (ইচ্ছামূলক ধ্রুবক)। ]
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d=\frac{|k|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{|k|}{\sqrt{5}}\)
শর্তমতে,
\(d=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow |k|=5\)
\(\Rightarrow \pm k=5\)
\(\therefore k=\pm 5\)
\(k\) এর মান \((2)\) বসিয়ে,
\(y+2x\pm 5=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।

\(Q 4.(vii)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষ তিনটি যথাক্রমে \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০০৬, ২০০৮, ২০১৪; ঢাঃ ২০১১; যঃ ২০০৯; ]
\((c)\) \(\triangle ABC\) এর কোণগুলির সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 9\) বর্গ একক; \((b) \ 6x+2y-17=0;\)
\((c) \ (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\), \((3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\),
\((15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(\therefore \triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 5 \ \ \ \ 1\\1 \ \ \ \ 4 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.4-3.1+3.(-2)-5.4+5.1-1.(-2)]\)
\(=\frac{1}{2}[4-3-6-20+5+2]\)
\(=\frac{1}{2}[11-29]\)
\(=\frac{1}{2}\times -18\)
\(=-9\)
\(=9\) [\(\because \triangle \neq -ve\)]
\(\therefore \triangle ABC=9\) বর্গ একক।

\((b)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+3}{2}, \frac{1+4}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{4}{2}, \frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow E(2, \frac{5}{2})\)locus4
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{1-2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, -\frac{1}{2})\)
\(EF\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{5+1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{6}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{\frac{2y-5}{2}}{\frac{3}{1}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{2}\times \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{2y-5}{6}\)
\(\Rightarrow 6(x-2)=-(2y-5)\)
\(\Rightarrow 6x-12=-2y+5\)
\(\Rightarrow 6x-12+2y-5=0\)
\(\therefore 6x+2y-17=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
locus4
\((c)\)
দেওয়া আছে, \(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\) এবং \(C(5, -2)\)।
\(AB\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-3}=\frac{y-1}{1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=2(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=2y-2\)
\(\Rightarrow 3x-3-2y+2=0\)
\(\therefore 3x-2y-1=0 …….(1)\)
\(BC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-3}{3-5}=\frac{y-4}{4+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-2}=\frac{y-4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-3)=-1(y-4)\)
\(\Rightarrow 3x-9=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-9+y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+y-13=0 …….(2)\)
\(AC\) বাহুর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-1}{1+2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-4(y-1)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-4y+4\)
\(\Rightarrow 3x-3+4y-4=0\)
\(\Rightarrow 3x+4y-7=0 …….(3)\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((2)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=1 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).1=9-2=7>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=-\frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{10}(3x-2y-1)=-\sqrt{13}(3x+y-13)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}=-3\sqrt{13}x-\sqrt{13}y+13\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{10}x-2\sqrt{10}y-\sqrt{10}+3\sqrt{13}x+\sqrt{13}y-13\sqrt{13}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{10}+3\sqrt{13})x-(2\sqrt{10}-\sqrt{13})y-\sqrt{10}-13\sqrt{13}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((2)\) ও \((3)\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=1, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+1.4=9+4=13>0 \)
\(\therefore \) সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x+y-13}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{9+1}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{10}}=-\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x+y-13}{\sqrt{2}}=-\frac{3x+4y-7}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{5}(3x+y-13)=-\sqrt{2}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}=-3\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y+7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow 3\sqrt{5}x+\sqrt{5}y-13\sqrt{5}+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}y-7\sqrt{2}=0\)
\(\therefore (3\sqrt{5}+3\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+4\sqrt{2})y-13\sqrt{5}-7\sqrt{2}=0\)
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
\((1)\) ও \((3)\) মধ্যবর্তী স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডক নির্ণয় করতে হবে।
এখানে,
\(a_{1}=3, b_{1}=-2, a_{2}=3, b_{2}=4 \)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3.3+(-2).4=9-8=1>0 \)
\(\therefore \) স্থুলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-2y-1}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{9+4}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-2y-1}{\sqrt{13}}=\frac{3x+4y-7}{5}\)
\(\Rightarrow 5(3x-2y-1)=\sqrt{13}(3x+4y-7)\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5=3\sqrt{13}x+4\sqrt{13}y-7\sqrt{13}\)
\(\Rightarrow 15x-10y-5-3\sqrt{13}x-4\sqrt{13}y+7\sqrt{13}=0\)
\(\Rightarrow (15-3\sqrt{13})x-(10+4\sqrt{13})y+7\sqrt{13}-5=0\)

locus4

\(Q 4.(viii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) সামান্তরিকে \(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
\((a)\) \(AD\) বাহুর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর মধ্যবিন্দুগামী এবং \(AB\) এর সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-y+6=0;\) \((b) \ 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0;\) \((c) \ (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-11=0\) ।

সমাধানঃ

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(AB\) বাহু \(X\) অক্ষের সমান্তরাল।
এবং \(B(5, 6)\)
\(A\) বিন্দু \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ফলে এর \(x\) স্থানাঙ্ক \(0\) এবং \(y\) স্থানাঙ্ক \(B\) এর \(y\) স্থানাংকের সমান।
\(\therefore A(0, 6)\)
\(AD\) রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে। [ চিত্রমতে ]
ধরি,
\(AD\) এর সমীকরণ,
\(y-6=m(x-0)\)
\(\Rightarrow y-6=mx …..(1)\)
\((1)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=1\)
\(\therefore m=1\)
\(m\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=1.x\)
\(\Rightarrow y-6=x\)
\(\Rightarrow x=y-6\)
\(\therefore x-y+6=0\)
\(\therefore AD\) এর সমীকরণ, \(x-y+6=0\).

\((b)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0+5}{2}, \frac{6+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{12}{2})\)
\(\therefore E(\frac{5}{2}, 6)\)
\(E(\frac{5}{2}, 6)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-6=m(x-\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=m(\frac{2x-5}{2})\)
\(\Rightarrow y-6=\frac{m(2x-5)}{2}\)
\(\Rightarrow 2y-12=m(2x-5) ……(2)\)
\((2)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \frac{m-0}{1+m.0}=\tan60^{o}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{1}=\sqrt{3}\)
\(\therefore m=\sqrt{3}\)
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2y-12=\sqrt{3}(2x-5)\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}(2x-5)=2y-12\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}x-2y+12-5\sqrt{3}=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
locus4
\((c)\)
চিত্রমতে ,
\(\angle ABC=180^{o}-45^{o}\)
\(\Rightarrow \angle ABC=135^{o}\)
\(\therefore \angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডক \(AB\) এর সহিত \(\frac{135^{o}}{2}\) কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি,
\(\angle ABC\) এর সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(y-6=m(x-5) ………(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{6-6}{0-5}\)
\(m_{2}=\frac{0}{-5}\)
\(m_{2}=0\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m-0}{1+m.0}=\tan\frac{135^{o}}{2}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{m}{1}=\tan\frac{180^{o}-45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\tan(90^{o}-\frac{45^{o}}{2})\)
\(\therefore \pm m=\cot\frac{45^{o}}{2}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\cos\frac{45^{o}}{2}}{\sin\frac{45^{o}}{2}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{2\cos^{2}\frac{45^{o}}{2}}{2\sin\frac{45^{o}}{2}\cos\frac{45^{o}}{2}}\) [ লব ও হর কে \(2\cos\frac{45^{o}}{2}\) দ্বারা গুণ করে]
\(\therefore \pm m=\frac{1+\cos45^{o}}{\sin45^{o}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\therefore \pm m=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(\therefore \pm m=\sqrt{2}+1\)
\(\therefore m=\pm (\sqrt{2}+1)\)
\(\therefore m=-(\sqrt{2}+1)\) [ চিত্রমতে ]
\(m\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(y-6=-(\sqrt{2}+1)(x-5)\)
\(\Rightarrow y-6=-(\sqrt{2}+1)x+5(\sqrt{2}+1)\)
\(\Rightarrow y-6+(\sqrt{2}+1)x-5(\sqrt{2}+1)=0\)
\(\Rightarrow (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-5-6=0\)
\(\therefore (\sqrt{2}+1)x+y-5\sqrt{2}-11=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।

locus4

\(Q 4.(ix)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((1, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 61\) বর্গ একক। \((b) C(\frac{160}{61}, \frac{174}{61})\) \((c) x+11y+10=0, \ 11x-y-12=0 \) ।

সমাধানঃ

\((a)\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(5, 0)\), \(B(0, 6)\)
\(AB=\sqrt{(5-0)^{2}+(0-6)^{2}}\)
\(=\sqrt{(5)^{2}+(6)^{2}}\)
\(=\sqrt{25+36}\)
\(=\sqrt{61}\)
\(\therefore AB\) বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল ,
\(=(AB)^{2}\)
\(=(\sqrt{61})^{2}\)
\(=61\) বর্গ একক।

locus4
\((b)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{5}+\frac{y}{6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{6x+5y}{30}=1\)
\(\Rightarrow 6x+5y=30\)
\(\Rightarrow 6x+5y-30=0 ….(1)\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
\(AB\) এর উপর লম্ব রেখার ঢাল \(=\frac{5}{6}\)
এখন,
\((-2, -1)\) বিন্দুগামী \(=\frac{5}{6}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=\frac{5}{6}(x+2)\)
\(\Rightarrow 6(y+1)=5(x+2)\)
\(\Rightarrow 6y+6=5x+10\)
\(\Rightarrow 5x+10=6y+6\)
\(\Rightarrow 5x+10-6y-6=0\)
\(\Rightarrow 5x-6y+4=0 …….(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\(\frac{x}{5.4-(-30).(-6)}=\frac{y}{(-30).5-6.4}=\frac{1}{6.(-6)-5.5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{20-180}=\frac{y}{-150-24}=\frac{1}{-36-25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-160}=\frac{1}{-61}, \frac{y}{-174}=\frac{1}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-160}{-61}, y=\frac{-174}{-61}\)
\(\Rightarrow x=\frac{160}{61}, y=\frac{174}{61}\)
\(\therefore C(\frac{160}{61}, \frac{174}{61})\)

locus4
\((c)\)
\((1, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x-1) …….(3)\)
\((3)\) এর ঢাল \(m_{1}=m\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{0-6}{5-0}\)
\(=\frac{-6}{5}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
এখন,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\pm \frac{m+\frac{6}{5}}{1+m\times -\frac{6}{5}}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{1-\frac{6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{5m+6}{5}}{\frac{5-6m}{5}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5}\times \frac{5}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5m+6}{5-6m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{5m+6}{5-6m}=1\) [ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow 5m+6=5-6m\)
\(\Rightarrow 6m+5m=5-6\)
\(\Rightarrow 11m=-1\)
\(\Rightarrow m=-\frac{1}{11}\)
আবার,
\(\Rightarrow -\frac{5m+6}{5-6m}=1\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে। ]
\(\Rightarrow -5m-6=5-6m\)
\(\Rightarrow -5m+6m=5+6\)
\(\Rightarrow m=11\)
\(m\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=-\frac{1}{11}(x-1)\) [ যখন \(m=-\frac{1}{11}\)]
\(\Rightarrow 11y+11=-1(x-1)\)
\(\Rightarrow 11y+11=-x+1\)
\(\Rightarrow x-1+11y+11=0\)
\(\therefore x+11y+10=0\)
\(y+1=11(x-1)\) [ যখন \(m=11\)]
\(\Rightarrow y+1=11x-11\)
\(\Rightarrow 11x-11=y+1\)
\(\Rightarrow 11x-11-y-1=0\)
\(\therefore 11x-y-12=0\)
নির্ণেয় সরলরেখাদ্বয়ের সমীকরণ, \( x+11y+10=0, \ 11x-y-12=0\)

locus4

\(Q 4.(x)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(ABCD\) একটি সামান্তরিক।
\((a)\) \(D\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) বাহু বিবেচনা করে অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) \(B\) বিন্দু হতে \(DA\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \frac{13}{\sqrt{41}};\) একক। \((b) \ 34\) বর্গ একক। \((c) \ (-\frac{13}{5}, -\frac{6}{5})\)

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+5}{-5-0}=\frac{y-0}{0-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{-5}=\frac{y}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{5}=\frac{y}{4}\)
\(\Rightarrow 4x+20=5y\)
\(\therefore 4x-5y+20=0\)
এখন,
\(D(-7, 1)\) বিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব ,
\(=\frac{|4.(-7)-5.1+20|}{\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-28-5+20|}{\sqrt{16+25}}\)
\(=\frac{|-13|}{\sqrt{41}}\)
\(=\frac{13}{\sqrt{41}}\)

\((b)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
ধরি, \(C(x, y)\)
\(ABCD\) একটি সামান্তরিক, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{0-7}{2},\frac{4+1}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-5+x}{2},\frac{0+y}{2})\Rightarrow E(\frac{-7}{2},\frac{5}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-5+x}{2}=\frac{-7}{2}, \frac{0+y}{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow -5+x=-7, 0+y=5\)
\(\Rightarrow x=-7+5, y=5\)
\(\therefore x=-2, y=5\)
\(\therefore C(-2, 5)\)
\(AC=\sqrt{(-5+2)^{2}+(0-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{(-3)^{2}+(-5)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+25}\)
\(=\sqrt{34}\)
\(AC\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল,
\(=(AC)^{2}\)
\(=(\sqrt{34})^{2}\)
\(=34\) বর্গ একক।
locus4
\((c)\)
দেওয়া আছে, \(A(-5, 0)\), \(B(0, 4)\), \(D(-7, 1)\)
\(AD\) সরলরেখার সমীকরণ
\(\frac{x+5}{-5+7}=\frac{y-0}{0-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=\frac{y}{-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+5}{2}=-y\)
\(\Rightarrow x+5=-2y\)
\(\Rightarrow x+2y+5=0\)
\(\therefore x+2y+5=0 …….(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 …….(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(B(0, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(2.0-4+k=0\)
\(\Rightarrow 0-4+k=0\)
\(\Rightarrow -4+k=0\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে পাই,
\(2x-y+4=0 …….(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\(\frac{x}{2.4-5.(-1)}=\frac{y}{5.2-1.4}=\frac{1}{1.(-1)-2.2}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{8+5}=\frac{y}{10-4}=\frac{1}{-1-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{13}=\frac{1}{-5}, \frac{y}{6}=\frac{1}{-5}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{13}{5}, y=-\frac{6}{5}\)
\(\therefore \) পাদবিদুর স্থানাঙ্ক \((-\frac{13}{5}, -\frac{6}{5})\)।

\(Q 4.(xi)\) \(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\) এবং \(D\) বিন্দুগুলি একটি রম্বসের কৌনিক বিন্দু।
\((a)\) \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \(BD\) কর্ণের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) ভেক্টর পদ্ধতিতে \(\angle ABC\) এর মান নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 0\) একক। \((b) \ x+y-9=0;\) \((c) \ \cos^{-1}(\frac{120}{169})\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
\(AC\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-8}=\frac{y-1}{1-8}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-7}=\frac{y-1}{-7}\)
\(\Rightarrow x-1=y-1\)
\(\Rightarrow x-y-1+1=0\)
\(\therefore x-y=0\)
\(AC\) কর্ণ মূলবিন্দুগামী ।
তাই , \(AC\) কর্ণ দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(0\) একক।

\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
ধরি, \(D(x, y)\)
\(ABCD\) একটি রম্বস, \(AC\) এবং \(BD\) ইহার দুইটি কর্ণ পরস্পরকে \(E\) বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{1+8}{2},\frac{1+8}{2})\)locus4
\(\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(BD\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\)
\(\therefore E(\frac{-4+x}{2},\frac{13+y}{2})\Rightarrow E(\frac{9}{2},\frac{9}{2})\)
\(\Rightarrow \frac{-4+x}{2}=\frac{9}{2}, \frac{13+y}{2}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow -4+x=9, 13+y=9\)
\(\Rightarrow x=9+4, y=9-13\)
\(\Rightarrow x=13, y=-4\)
\(\therefore D(13, -4)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ,
\(\frac{x+4}{-4-13}=\frac{y-13}{13+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-17}=\frac{y-13}{17}\)
\(\Rightarrow \frac{x+4}{-1}=\frac{y-13}{1}\)
\(\Rightarrow x+4=-y+13\)
\(\Rightarrow x+4+y-13=0\)
\(\therefore x+y-9=0\)

locus4
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(A(1, 1)\), \(B(-4, 13)\), \(C(8, 8)\)
এখন,
\(\overrightarrow{BA}=(1+4)\widehat{i}+(1-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BA}=5\widehat{i}-12\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{25+144}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BA}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BA}|=13\)
\(\overrightarrow{BC}=(8+4)\widehat{i}+(8-13)\widehat{j}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{BC}=12\widehat{i}-5\widehat{j}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{144+25}\)
\(\Rightarrow |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{169}\)
\(\therefore |\overrightarrow{BC}|=13\)
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=5.12+(-12).(-5)\)
\(=60+60\)
\(=120\)
আমরা জানি,
\(\angle ABC=\cos^{-1}(\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{13 \times13})\)
\(=\cos^{-1}(\frac{120}{169})\)

\(Q 4.(xii)\) একটি সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) পোলার স্থানাঙ্ক \((\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\) কে কার্তেশীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle AOB:\triangle AOP\) নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, -1);\) \((b) \ \frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}};\) \((c) \ 2:1; \ 2:1\) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
দেওয়া আছে,
পোলার স্থানাঙ্ক \(A(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4})\)
অর্থাৎ,
\(r=\sqrt{2}, \theta=\frac{5\pi}{4}\)
আমরা জানি,
\(x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos\frac{5\pi}{4}, \ y=\sqrt{2}\sin\frac{5\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}\cos(\pi+\frac{\pi}{4}), \ y=\sqrt{2}\sin(\pi+\frac{\pi}{4})\)
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, \ y=-\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}\) [ তৃতীয় চৌকোণে ]
\(\Rightarrow x=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}, \ y=-\sqrt{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x=-1, \ y=-1\)
\(\therefore A\) এর কার্তেশীয় স্থানাঙ্ক \(A(-1, -1)\).

\((b)\)
ধরি,
সরলরেখাটির সমীকরণ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 ……..(1)\)
\((1)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(a, 0)\) ও \(B(0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখানে,
\(OA=a, \ OB=b\)
দেওয়া আছে,
\(OA-OB=2\)
\(\Rightarrow a-b=2\)locus4
\(\therefore a=b+2 ……(2)\)
\((1)\) নং সরলরেখা \((3, 2)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3b+2a}{ab}=1\)
\(\Rightarrow 3b+2a=ab\)
\(\Rightarrow 3b+2(b+2)=(b+2)b\) [ \((2)\) এর সাহায্যে ]
\(\Rightarrow 3b+2b+4=b^{2}+2b\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=3b+2b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b=5b+4\)
\(\Rightarrow b^{2}+2b-5b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-3b-4=0\)
\(\Rightarrow b^{2}-4b+b-4=0\)
\(\Rightarrow b(b-4)+1(b-4)=0\)
\(\Rightarrow (b-4)(b+1)=0\)
\(\Rightarrow b-4=0, b+1=0\)
\(\Rightarrow b=4, b=-1\)
\((2)\) হতে,
\(b=4\Rightarrow a=4+2=6, \ b=-1\Rightarrow a=-1+2=1\)
\(a\) ও \(b\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1\) [ যখন \(a=6, b=4\)]
\(\Rightarrow \frac{2x+3y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 2x+3y=12\)
\(\therefore 2x+3y-12=0 ………(3)\)
\(\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}=1\) [ যখন \(a=1, b=-1\)]
\(\Rightarrow x-y=1\)
\(\therefore x-y-1=0 ………(4)\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (3)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-12|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{13}}\)
মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) হতে \( (4)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|-1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \) দূরত্বদ্বয় যথাক্রমে, \(\frac{12}{\sqrt{13}}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}\)।

\((c)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\)
অথবা,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\)
দেওয়া আছে,
\(P\) বিন্দুটি \(AB\) এর মধ্যবিন্দু ,
\(\therefore P(\frac{6+0}{2}, \frac{0+4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1+0}{2}, \frac{0-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(\frac{6}{2}, \frac{4}{2})\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, \frac{-1}{2})\)
\(\Rightarrow P(3, 2)\) অথবা, \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)
যখন,
\(A(6, 0)\), \(B(0, 4)\), \(P(3, 2)\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 4 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[6.0-0.0+0.4-0.0+0.0-6.4]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+0-0+0-24]\)
\(=\frac{1}{2}\times -24\)
\(=-12\)
\(=12\) [ \(\because \triangle \ne -ve\)]
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 6\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[6.0-0.0+0.2-3.0+3.0-6.2]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+0-0+0-12]\)
\(=\frac{1}{2}\times -12\)
\(=-6\)
\(=6\) [ \(\because \triangle \ne -ve\)]
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=12:6\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)
যখন,
\(A(1, 0)\), \(B(0, -1)\), \(P(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\)।
\(\triangle AOB=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -1 \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.0-0.0+0.(-1)-0.0+0.0-1.(-1)]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+0-0+0+1]\)
\(=\frac{1}{2}\times 1\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\triangle AOP=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}1 \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \ \ \ \ \ 1\\ 0 \ \ \ \ 0 \ \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ 0\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[1.0-0.0+0.(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}.0+\frac{1}{2}.0-1.(-\frac{1}{2})]\)
\(=\frac{1}{2}[0-0+0-0+0+\frac{1}{2}]\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\)
\(\therefore \triangle AOB:\triangle AOP=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \triangle AOB:\triangle AOP=2:1\)

locus4

\(Q 4.(xiii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়, \(AB\) এর লম্বদ্বিখন্ডক \(Y\) অক্ষকে \(C\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(X\) অক্ষ থেকে একটি সেটের প্রতিটি বিন্দুর দূরত্বের বর্গ, \(Y\) অক্ষ থেকে বিন্দুটির দূরত্বের \(4\) গুণ। সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(E\) বিন্দুটি \(BC\) এর মধ্যবিন্দু। \(E\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (y^{2}=4x);\) \((b) \ (0, 3);\) \((c) \ \frac{\sqrt{13}}{2}. \) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
মনেকরি,
বিন্দু সেটটি \(P(x, y)\)
\(X\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=y\)
\(Y\) অক্ষ থেকে \(P(x, y)\) এর দূরত্ব \(=x\)
শর্তমতে,
\(y^{2}=4x\)
ইহাই নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ।

\((b)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\), \(B(5, 2)\)
ধরি,
\(C(0, y)\)locus4
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1+5}{2}, \frac{8+2}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{6}{2}, \frac{10}{2})\)
\(\Rightarrow F(3, 5)\)
\(AB\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{8-2}{1-5}\)
\(=\frac{6}{-4}\)
\(=-\frac{3}{2}\)
\(CF\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y-5}{0-3}\)
\(=\frac{y-5}{-3}\)
\(=-\frac{y-5}{3}\)
চিত্রমতে,
\(m_{1}m_{2}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{3}{2}\times -\frac{y-5}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{2}=-1\)
\(\Rightarrow y-5=-2\)
\(\Rightarrow y=5-2\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore C(0, 3)\)

locus4
\((c)\)
চিত্রমতে,
\(A(1, 8)\),\(B(5, 2)\)
\(\therefore AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-5}=\frac{y-8}{8-2}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-4}=\frac{y-8}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{3}\)
\(\Rightarrow 3(x-1)=-2(y-8)\)
\(\Rightarrow 3x-3=-2y+16\)
\(\Rightarrow 3x-3+2y-16=0\)
\(\therefore 3x+2y-19=0 ………(1)\)
\((b)\) হতে প্রাপ্ত \(C(0, 3)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{5+0}{2}, \frac{2+3}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\)
\(E\) বিন্দু হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(=\frac{|3.\frac{5}{2}+2.\frac{5}{2}-19|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}+5-19|}{\sqrt{9+4}}\)
\(=\frac{|\frac{15}{2}-14|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{15-28}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|\frac{-13}{2}|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{13}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}\times \sqrt{13}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
ইহাই নির্ণেয় দূরত্ব।

\(Q 4.(xiv)\) \(x-4=0\), \(y-5=0\), \(x+1=0\) এবং \(y+4=0\) রেখাগুলি একটি চতুর্ভুজ গঠন করে।
\((a)\) \((-3, 4)\) এবং \((2, -1)\) বিন্দুদ্বয় \(2x-3y+4=0\) রেখার একই পার্শে অথবা, বিপরীত পার্শে অবস্থিত কিনা নির্ণয় কর।
\((b)\) কর্ণ দুইটি অন্তর্গত সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে বিন্দুগুলি হতে কর্ণদ্বয়ের লম্ব দূরত্ব \(4\) একক উহার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) বিপরীত পার্শে; \((b) \ 2x-3=0;\) \((c) \ (0, 6.04), (0, -10.44), (0, 11.44), (0, -5.04) \) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) মনেকরি,
\(A(-3, 4)\), \(B(2, -1)\)
এবং
\(f(x,y)=2x-3y+4 \)
এখন,
\(f(A)=f(-3,4)=2.(-3)-3.4+4\)
\(=-6-12+4\)
\(=-18+4\)
\(=-14\)
আবার,
\(f(B)=f(2,-1)=2.2-3.(-1)+4\)
\(=4+3+4\)
\(=11\)
\(\because f(A)\) এবং \(f(B)\) বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট,
\(therefore \) বিন্দুদ্বয় রেখাটির পরস্পর বিপরীত পার্শে অবস্থিত।
locus4
\((b)\)মনেকরি,
\(x-4=0…….(1)\)
\(y-5=0…….(2)\)
\(x+1=0…….(3)\)
\(y+4=0…….(4)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু \(A(4, 5)\)
\((2)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু \(B(-1, 5)\)
\((3)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(C(-1, -4)\)
\((1)\) ও \((4)\) এর ছেদবিন্দু \(D(4, -4)\)
\(AC\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x-4}{4+1}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-4}{5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x-36=5y-25\)
\(\Rightarrow 9x-36-5y+25=0\)
\(\therefore 9x-5y-11=0 …..(5)\)
\(BD\) কর্ণের সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-4}=\frac{y-5}{5+4}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-5}=\frac{y-5}{9}\)
\(\Rightarrow 9x+9=-5y+25\)
\(\Rightarrow 9x+9+5y-25=0\)
\(\therefore 9x+5y-16=0 ……..(6)\)
\((5)\) ও \((6)\) হতে,
\(a_{1}=9, b_{1}=-5, a_{2}=9, b_{2}=5,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=9.9+(-5).5=81-25=56>0\)
\(\therefore (5)\) ও \((6)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{9x-5y-11}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{9x-5y-11}{\sqrt{81+25}}=-\frac{9x+5y-16}{\sqrt{81+25}}\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-(9x+5y-16)\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11=-9x-5y+16\)
\(\Rightarrow 9x-5y-11+9x+5y-16=0\)
\(\Rightarrow 18x-27=0\)
\(\Rightarrow 9(2x-3)=0\)
\(\Rightarrow 2x-3=\frac{0}{9}\) [\(\because 9\ne 0\)]
\(\therefore 2x-3=0\)
ইহাই নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ।
locus4
\((c)\)
মনেকরি,
\(Y\) অক্ষের উপরিস্থিত যে কোনো বিন্দু \(P(0, y)\)
\(P(0, y)\) হতে \((5)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{1}=\frac{|9.0-5y-11|}{\sqrt{9^{2}+(-5)^{2}}}\)
\(=\frac{|-5y-11|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|-(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
\(=\frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{1}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|(5y+11)|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y+11}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y+11=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=-11\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{-11+4\sqrt{106}}{5}, \frac{-11-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=6.04, -10.44\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 6.04)\), \((0, -10.44)\)
আবার,
\(P(0, y)\) হতে \((6)\) এর লম্ব দূরত্ব,
\(d_{2}=\frac{|9.0+5y-16|}{\sqrt{9^{2}+5^{2}}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{81+25}}\)
\(=\frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}\)
শর্তমতে,
\(d_{2}=4\)
\(\Rightarrow \frac{|5y-16|}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow \pm \frac{5y-16}{\sqrt{106}}=4\)
\(\Rightarrow 5y-16=\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow 5y=16\pm 4\sqrt{106}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16\pm 4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{16+4\sqrt{106}}{5}, \frac{16-4\sqrt{106}}{5}\)
\(\Rightarrow y=11.44, -5.04\)
এই ক্ষেত্রে বিন্দুগুলি,
\((0, 11.44)\), \((0, -5.04)\)

locus4

\(Q 4.(xv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখাকে \(Y\) অক্ষ যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(Q\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(C\) বিন্দুগামী এবং \(AB\) রেখার সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এরূপ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 1:2;\) \((b) \ Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\) \((c) \ x-3y+1=0, \ 3x+y+13=0 \) ।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\) চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\)
ধরি,
\(AB\) কে \(Y\) অক্ষরেখা \(D(0, y)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore D(\frac{m.4+n.(-2)}{m+n}, \frac{m.(-1)+n.2}{m+n})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4m-2n}{m+n}, \frac{-m+2n}{m+n})\)
কিন্তু \(D(0, y)\)
\(\therefore \frac{4m-2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\times (m+n)\)
\(\Rightarrow 4m-2n=0\)
\(\Rightarrow 4m=2n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow m:n=1:2\)
\(\therefore AB\) কে \(Y\) \(1:2\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
locus4
\((b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(P(3, 4)\)
এবং \(AB\perp PQ\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x+2}{-2-4}=\frac{y-2}{2+1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-6}=\frac{y-2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+2}{-2}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow x+2=-2y+4\)
\(\Rightarrow x+2+2y-4=0\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0 ……(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(2x-y+k=0 ……(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা \(P(3, 4)\) বিন্দুগামী হলে,
\(2.3-4+k=0\)
\(\Rightarrow 6-4+k=0\)
\(\Rightarrow 2+k=0\)
\(\Rightarrow k=-2\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(2x-y-2=0 ……(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((1)+(3)\times 2\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x+2y-2+4x-2y-4=0\)
\(\Rightarrow 5x-6=0\)
\(\Rightarrow 5x=6\)
\(\Rightarrow x=\frac{6}{5}\)
\((3)\) হতে,
\(2.\frac{6}{5}-y-2=0\)
\(\Rightarrow \frac{12}{5}-2=y\)
\(\Rightarrow y=\frac{12}{5}-2\)
\(\Rightarrow y=\frac{12-10}{5}\)
\(\Rightarrow y=\frac{2}{5}\)
\(\therefore Q(\frac{6}{5}, \frac{2}{5})\)
locus4
\((c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(-2, 2)\),\(B(4, -1)\),\(C(-4, -1)\)
\(AB\)এর ঢাল \(m_{1}=\frac{2+1}{-2-4}\)
\(=\frac{3}{-6}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(C(-4, -1)\) বিন্দুগামী যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(y+1=m(x+4) ……(4)\)
\((4)\) এর ঢাল \(m_{2}=m\)
\((4)\) নং রেখা \(AB\) এর সহিত \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করলে,
\(\pm \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}=\tan\theta\)
\(\Rightarrow \pm \frac{-\frac{1}{2}-m}{1+(-\frac{1}{2})m}=\tan45^{o}\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1}{2}+m}{1-\frac{m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{\frac{1+2m}{2}}{\frac{2-m}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \pm \frac{1+2m}{2}\times \frac{2}{2-m}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=\pm 1\)
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=1\) [ ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 1+2m=2-m\)
\(\Rightarrow 2m+m=2-1\)
\(\Rightarrow 3m=1\)
\(\therefore m=\frac{1}{3}\)
আবার,
\(\Rightarrow \frac{1+2m}{2-m}=-1\) [ ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।]
\(\Rightarrow 1+2m=-2+m\)
\(\Rightarrow 2m-m=-2-1\)
\(\therefore m=-3\)
\(m\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(y+1=\frac{1}{3}(x+4)\) [ যখন, \(m=\frac{1}{3}\)]
\(\Rightarrow 3y+3=x+4\)
\(\Rightarrow x+4=3y+3\)
\(\Rightarrow x+4-3y-3=0\)
\(\therefore x-3y+1=0\)
\(y+1=-3(x+4)\) [ যখন, \(m=-3\)]
\(\Rightarrow y+1=-3x-12\)
\(\Rightarrow y+1+3x+12=0\)
\(\therefore 3x+y+13=0\)
\(\therefore \) নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+1=0, 3x+y+13=0\)

\(Q 4.(xvi)\) \(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\),, \(C(4, 5)\); \(2x-y+2=0\), \(x-2y+3=0\).
\((a)\) \(Y\) অক্ষ এবং \((k, 4)\) বিন্দু থেকে \(A(2, 4)\) বিন্দুর দূরত্ব সমান হলে, \(k\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) \(C\) বিন্দু থেকে \(AB\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের আলোকে রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডক অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
[ রাঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ (k=0, 4);\) \((b) \ (\frac{19}{10}, \frac{43}{10});\) \((c) \ \frac{25}{18}\) বর্গ একক।

সমাধানঃ

locus4

\((a)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\)
ধরি,
\(P(k, 4)\)
\(A(2, 4)\) হতে \(Y\) অক্ষের দূরত্ব \(=2\)
আবার,
\(PA=\sqrt{(k-2)^{2}+(4-4)^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}+0^{2}}\)
\(=\sqrt{(k-2)^{2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{(k-2)^{2}}=2\)
\(\Rightarrow (k-2)^{2}=4\) [ বর্গ করে।]
\(\Rightarrow k^{2}-4k+4-4=0\)
\(\Rightarrow k^{2}-4k=0\)
\(\Rightarrow k(k-4)=0\)
\(\Rightarrow k=0, k-4=0\)
\(\Rightarrow k=0, k=4\)
\(\therefore k=0, 4\)
locus4
\((b)\)
দেওয়া আছে,
\(A(2, 4)\), \(B(3, 1)\), \(C(4, 5)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-3}=\frac{y-4}{4-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-1}=\frac{y-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3x-6=-y+4\)
\(\Rightarrow 3x-6+y-4=0\)
\(\therefore 3x+y-10=0 …..(1)\)
\((1)\) এর উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,
\(x-3y+k=0 …..(2)\) [ \(k\) যে কোনো বাস্তব সংখ্যা ( ইচ্ছামূলক ধ্রুবক )।]
\((2)\) নং সরলরেখা \(C(4, 5)\) বিব্দুগামী হলে,
\(4-3.5+k=0\)
\(\Rightarrow 4-15+k=0\)
\(\Rightarrow -11+k=0\)
\(\Rightarrow k=11\)
\(k\)এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(x-3y+11=0 …..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) সমাধান করি,
\((1)-(3)\times 3\) এর সাহায্যে,
\(3x+y-10-3x+9y-33=0\)
\(\Rightarrow 10y-43=0\)
\(\Rightarrow 10y=43\)
\(\Rightarrow y=\frac{43}{10}\)
\((3)\) হতে,
\(x-3.\frac{43}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{129}{10}+11=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-129+110}{10}=0\)
\(\Rightarrow \frac{10x-19}{10}=0\)
\(\Rightarrow 10x-19=0\)
\(\Rightarrow 10x=19\)
\(\therefore x=\frac{19}{10}\)
\(\therefore \) পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (\frac{19}{10}, \frac{43}{10})\) ।
locus4
\((c)\)
মনেকরি,
\(2x-y+2=0 ……(1)\)
\(x-2y+3=0 ……(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) হতে,
\(a_{1}=2, b_{1}=-1, a_{2}=1, b_{2}=-2,\)
এখন,
\(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=2.1+(-1).(-2)=2+2=4>0\)
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) এর সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{2x-y+2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{4+1}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{1+4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2x-y+2}{\sqrt{5}}=-\frac{x-2y+3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-(x-2y+3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2=-x+2y-3)\)
\(\Rightarrow 2x-y+2+x-2y+3=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y+5=0)\)
\(\Rightarrow 3x-3y=-5)\)
\(\Rightarrow \frac{3x-3y}{-5}=1)\) [ \(-5\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{3x}{-5}-\frac{3y}{-5}=1)\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{5}{3}}+\frac{y}{\frac{5}{3}}=1)\)
\(therefore \) সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(P(-\frac{5}{3}, 0)\) ও \(Q(0, \frac{5}{3})\) বিন্দুতে ছেদ করে।
সমদ্বিখণ্ডকটি অক্ষদ্বয়ের সহিত যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল,
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times -\frac{25}{9}\)
\(=-\frac{25}{18}\)
\(=\frac{25}{18}\) বর্গ একক। [ \(\triangle \ne -ve\)]

locus4

\(Q 4.(xvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\), \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র হলে, \(C\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু হলে, \(\triangle ABC:\triangle DEF\) নির্ণয় কর।
[ চঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 2x+y-8=0;\) \((b) \ (-2, -3);\) \((c) \ 4:1\)।

সমাধানঃ

\((a)\)চিত্রে দেওয়া আছে,
\(P(3, 2)\),\(B(1, 6)\)
\(PB\) এর সমীকরণ নির্ণয় কর,
\(\frac{x-3}{3-1}=\frac{y-2}{2-6}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{-4}\)
\(\Rightarrow \frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-2}\)
\(\Rightarrow 2(x-3)=-(y-2)\)
\(\Rightarrow 2x-6=-y+2\)
\(\Rightarrow 2x-6+y-2=0\)
\(\therefore 2x+y-8=0\)
ইহাই নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ।
\((b)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(\triangle ABC\) এর দুইটি শীর্ষ \(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\) এবং লম্বকেন্দ্র \(P(3, 2)\)।
ধরি, তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(A\) হতে \(BC\) এর উপর \(AM\) এবং \(C\) হতে \(AB\) এর উপর \(CN\) লম্ব আঁকি।
\(AM\) এবং \(CN\) এর ছেদবিন্দু \(P(3, 2)\) যা \(\triangle ABC\) এর লম্বকেন্দ্র।
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{1-6}{6-1}\)
\(=\frac{-5}{5}\)
\(=-1\)
\(CN\) তথা \(CP\) এর ঢাল \(=\frac{y-2}{x-3}\)
\(AB\) ও \(CN\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore -1\times \frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{y-2}{x-3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-2}{x-3}=1\)
\(\Rightarrow x-3=y-2\)
\(\Rightarrow x-3-y+2=0\)
\(\therefore x-y-1=0 ………(1)\)
আবার,
\(CB\) এর ঢাল \(=\frac{y-6}{x-1}\)
\(AM\) তথা \(AP\) এর ঢাল \(=\frac{1-2}{6-3}\)
\(=\frac{-1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
\(CB\) ও \(AM\) পরস্পর লম্ব।
\(\therefore \frac{y-6}{x-1}\times -\frac{1}{3}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{x-1}\times \frac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y-6}{3x-3}=1\)
\(\Rightarrow 3x-3=y-6\)
\(\Rightarrow 3x-3-y+6=0\)
\(\therefore 3x-y+3=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি,
\((2) – (1)\) এর সাহায্যে,
\(3x-y+3-x+y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x+4=0\)
\(\Rightarrow 2x=-4\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4}{2}\)
\(\therefore x=-2\)
\((2)\) হতে,
\(3(-2)-y+3=0\)
\(\Rightarrow -6-y+3=0\)
\(\Rightarrow -y-3=0\)
\(\Rightarrow -y=3\)
\(\therefore y=-3\)
\(\therefore \) তৃতীয় শীর্ষ \(C(-2, -3)\).

\((c)\)
চিত্রে দেওয়া আছে,
\(A(6, 1)\), \(B(1, 6)\),\(C(-2, -3)\).
\(D\),\(E\) ও \(F\) যথাক্রমে \(AC\),\(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যবিন্দু,
\(AC\) এর মধ্যবিন্দু \(D(\frac{6-2}{2}, \frac{1-3}{2})\)
\(\Rightarrow D(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2})\)
\(\Rightarrow D(2, -1)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(E(\frac{6+1}{2}, \frac{1+6}{2})\)
\(\Rightarrow E(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(F(\frac{1-2}{2}, \frac{6-3}{2})\)
\(\Rightarrow F(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\Rightarrow F(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)
এখন,
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}6 \ \ \ \ 1 \ \ \ -2 \ \ \ \ \ \ 6\\ 1 \ \ \ \ 6 \ \ \ \ -3 \ \ \ \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[6.6-1.1+1.(-3)-(-2).6+(-2).1-6.(-3)]\)
\(=\frac{1}{2}[36-1-3+12-2+18]\)
\(=\frac{1}{2}[66-6]\)
\(=\frac{1}{2}\times 60\)
\(=30\) বর্গ একক।
\(\triangle DEF=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}2 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ -\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ 2\\ -1 \ \ \ \ \frac{7}{2} \ \ \ \ \ \frac{3}{2} \ \ \ -1\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}[2.\frac{7}{2}-\frac{7}{2}.(-1)+\frac{7}{2}.\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2}).\frac{7}{2}+(-\frac{1}{2}).(-1)-2.\frac{3}{2}]\)
\(=\frac{1}{2}[7+\frac{7}{2}+\frac{21}{4}+\frac{7}{4}+\frac{1}{2}-3]\)
\(=\frac{1}{2}[\frac{16+14+21+7+2}{4}]\)
\(=\frac{1}{2}\times \frac{60}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\times 15\)
\(=\frac{15}{2}\) বর্গ একক।
এখন,
\(\triangle ABC:\triangle DEF=30:\frac{15}{2}\)
\(=60:15\)
\(=4:1\)

locus4

\(Q 4.(xviii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \((3, 5)\) ও \((6, 7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) চিত্রের আলোকে \(AB\) রেখা হতে \(3\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) চিত্রের মূলবিন্দু ও \(AB\) রেখাংশের সমত্রিখন্ডণ বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{3}{2};\) \((b) \ 3x+4y+3=0; \ 3x+4y-27=0;\) \((c) \ 2\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xix)\) একটি সরলরেখা \((-4, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) অক্ষদ্বয়ের সাথে সরলরেখটি যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ x-2y+14=0;\) \((b) \ \frac{14}{\sqrt{10}};\) \((c) \ 49\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xx)\) \((5x-4y-1=0)\) ও \((-8x+7y+1=0)\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। \(4x+3y-5=0\) সরলরেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।
\((a)\) \((-1, 2)\) ও \((3, -4)\) বিন্দুগামী সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) রেললাইনের সাথে \(3x-4y+6=0\) রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ কুঃ ২০১৭ ]
উত্তরঃ \((a) \ 7x+4y=1;\) \((b) \ 3x-4y+1=0;\) \((c) \ \) বর্গ একক।

নিজে করঃ

locus4

\(Q 4.(xxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(B\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(D\) বিন্দু \(AC\) বাহুকে \(3:4\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করলে, \(D\) হতে \(BC\) এর লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) \(\angle ACB\) কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (2\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4});\) \((b) \ \frac{17}{7\sqrt{2}};\) \((c) \ 7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}+3)y+71=0,\) \(7(\sqrt{5}-1)x-7(\sqrt{54}-3)y-83=0 \).

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxii)\) দুইটি বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(A(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\) ও \(B(2, 270^{o})\)।
\((a)\) বিন্দু দুইটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব এবং \((2, 3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(3x-2y+4=0\) এবং \(AB\) এর উপর লম্ব রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ A(1, 1), \ B(0, -2);\) \((b) \ x+3y-11=0;\) \((c) \ \pm \tan^{-1}\frac{11}{3}\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxiii)\) \(A(2, 3)\) ও \(B(-1, 4)\) দুইটি স্থীর বিন্দু।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর যেন, \(PA:PB=2:3\) হয়।
\((c)\) দেখাও যে, \((0, 2)\) বিন্দু এবং \(AB\) সরলরেখা হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমুহের সঞ্চারপথ একটি প্যারাবোলা।
উত্তরঃ \((a) \ y=3x+2;\) \((b) \ 5x^{2}+5y^{2}-44x-22y+49=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxiv)\) \(\triangle ABC\) এর শীর্ষবিন্দুত্রয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \(B(2, 4)\), \(B(-4, -6)\) এবং \(B(6, -8)\)। মধ্যমাত্রয় \(AD\), \(BE\) এবং \(CF\); \(G\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((a)\) \(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AD\) \(BE\) মধ্যমাত্রয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
\((c)\) দেখাও যে, \(AD\) মধ্যমা \(G\) বিন্দুতে \(2:1\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
উত্তরঃ \((a) \ 56;\) বর্গ একক। \((b) \ 11x-y-18=0, \ x-2y-8=0;\)।

নিজে করঃ

locus4

\(Q 4.(xxv)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ \(3x-y+7=0\)।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক এবং \(X\) অক্ষের সাথে রেখাটির উৎপন্ন কোণ নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগানী এরূপ রেখাগুলির সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{3}, 0), \ (0, 7), \ \tan^{-1}(\pm 3);\) \((b) \ y+2x=0, x-2y+5=0, \ x-2y-8=0;\) \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxvi)\) একটি সরলরেখা \((-2, -5)\) বিন্দুদিয়ে গমন করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA+2OB=0\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((a)\) মূলবিন্দু ও \((-2, -5)\) বিন্দুগামী রেখা \(X\) অক্ষের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) সরলরেখটির সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে সরলরেখটির লম্ব দূরত্ব এবং লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \tan^{-1}\frac{5}{2}\) \((b) \ x-2y-8=0;\) \((c) \ \frac{8}{\sqrt{5}}, 2x+y=0 \)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxvii)\) \(OABC\) একটি সামান্তরিক। \(X\) অক্ষ বরাবর \(OA\) অবস্থিত। \(OC\) এর সমীকরণ \(y=-2x\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((-4, 2)\)।
\((a)\) \(C\) বিন্দুর স্থানাংক নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AC\) কর্ণের দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(OB\) কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং \(OABC\) এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-1, 2);\) \((b) \ 2\sqrt{2}, \ x-y+3=0;\) \((c) \ 2\sqrt{2},\ 6\) বর্গ একক।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxviii)\) নিচের বিন্দু চারটি লক্ষ কর।
\(A(3, 2)\), \(B(2, -1)\), \(C(8, -3)\), \(D(x, y)\)
\((a)\) \(AB\) এর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(ABCD\) আয়ত গঠন করলে \(D\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
উত্তরঃ \((a) \ 3x-y-7=0;\) \((b) \ (9, 12);\) \((c) \ (\frac{13}{3}, -\frac{2}{3})\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxix)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(h, k)\) বিন্দুটি \(6x-y=1\) রেখার উপর অবস্থিত এবং \(B(k, h)\) বিন্দুটি \(2x-5y=5\) রেখার উপর অবস্থিত
\((a)\) \(\sqrt{3}x+y+5=0\) সরলরেখা \(X\) অক্ষের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 120^{o};\) \((b) \ x+y-6=0;\) \((c) \ (6\sqrt{29}+2\sqrt{37})x-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})y-(\sqrt{29}+5\sqrt{37})=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxx)\) নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।
\(A(1, 1)\), \(B(3, 4)\), \(C(5, -2)\), \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়।
\((a)\) \((0, 2)\) বিন্দু থেকে \(AB\) এর সংযোগ সরলরেখার লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(\triangle ABC\) এর \(A\) থেকে \(BC\) এর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং দেখাও যে, তা \(BC\) এর সমান্তরাল।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{5}{\sqrt{13}};\) \((b) \ \frac{9\sqrt{10}}{10};\) \((c) \ 6x+2y=17\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(3x+by+1=0 ……..(1)\)
\(ax+6y+1=0 ……..(2)\)
\((a)\) \((1)\) ও \((2)\) উভয় \((5, 4)\) বিন্দুগামী হলে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগুলি ও মূলবিন্দুগামী সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) প্রদত্ত সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী সরলরেখা \(\) অক্ষের সমান্তরাল হলে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ a=-4, \ b=-5;\) \((b) \ 7x+11y-18=0;\) \((c) \ 2y-7=0\)।

নিজে করঃ

locus4

\(Q 4.(xxxii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AD\) মধ্যমার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে, \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখা \(BC\) এর সমান্তরাল।
\((c)\) \(AB\) ও \(AC\) এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 2x-3y+1=0;\) \((c) \ \tan^{-1}(\frac{18}{17})\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxiii)\) দুইটি সরলরেখা \((-1, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\((a)\) মূলবিন্দু থেকে \(3x-y+7=0\) রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) \((-1, 2)\) বিন্দু থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{7}{\sqrt{10}}\) একক। \((b) \ 3x-y+17=0, \ 3x-y-3=0;\) \((c) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxiv)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(2x-3y+4=0 ……..(1)\)
\(3x+3y-5=0 ……..(2)\)
\((a)\) রেখাদ্বয়ের ঢালের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) \((2, -1)\) বিন্দু থেকে প্রথম সরলরেখটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দুগামী এবং \(Y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{3}\)। \((b) \ (\frac{56}{13}, \frac{20}{13});\) \((c) \ 5x-1=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxv)\) নিচের বিন্দু দুইটি একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু ।
\(A(2, 1)\), \(B(5, 2)\)
\((a)\) \(AB\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) এর সমান্তরাল এবং \(AB\) থেকে \(\sqrt{10}\) একক দূরবর্তী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{10}\) একক। \((b) \ 3x+y=12;\) \((c) \ x-3y-9=0, \ x-3y+11=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxvi)\) সমীকরণ দুইটি লক্ষণীয় ।
\(y=2x+1 ……..(1)\)
\(2y-x=4 ……..(2)\)
\((a)\) \(3x-2y=1\) ও \(6x-4y+9=0\) রেখাদুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((b)\) উদ্দীপকের রেখা দুইটি \(Y\) অক্ষকে যথাক্রমে \(P\) ও \(Q\) বিন্দুতে ছেদ করলে, \(PQ\) দূরত্ব নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু থেকে \(\sqrt{5}\) একক দূরবর্তী এবং উদ্দীপকের দ্বিতীয় সরলরেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{11}{2\sqrt{13}}\) একক। \((b) \ 1\frac{1}{3}\) একক। \((c) \ 2x-y\pm 5=0 \)।

নিজে করঃ

locus4

\(Q 4.(xxxvii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(AB\) রেখার ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) \(AB\) রেখার \(4\) একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\) রেখার অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খণ্ডিতাংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুদ্বয়ের সঙ্গে মূলবিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{1}{3};\) \((b) \ x+3y\pm 4\sqrt{10}-9=0\)। \((c) \ x-6y=0, \ 2x-3y=0\)।

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxviii)\) \((-4, 4)\) একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। \(CD\) রেখার সমীকরণ \(2x-7y+11=0\) এবং \(DE\) রেখার সমীকরণ \(x+3y-8=0\).
\((a)\) \(CD\) ও \(DE\) ঢালদ্বয়ের গুণফল নির্ণয় কর।
\((b)\) একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর যা উদ্দীপকের \((-4, 4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে যেন, \(OA-OB=2\) হয়, যেখানে \(O\) মূলবিন্দু।
\((c)\) উদ্দীপকের \(CD\) সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব \(DF\) রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ -\frac{2}{21}\) একক। \((b) 2x+y+4=0, \ x+2y-4=0\). \((c) \ 91x+26y-215=0 \).

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxix)\) \(x+2y+7=0\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিতাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((b)\) উপরোক্ত খন্ডিতাংশ অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((c)\) মূলবিন্দু হতে প্রদত্ত রেখাটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ (-\frac{7}{2}, -\frac{7}{4})\)। \((b) \frac{49}{4}\) বর্গ একক। \((c) \ (-\frac{7}{5}, -\frac{14}{5}) \).

নিজে করঃ

\(Q 4.(xxxx)\) \(A(2, 1)\) এবং \(B(5, 2)\) দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) একটি সরলরেখার সমীকরণ ।
\((a)\) \(A\) ও \(B\) বিন্দুগামী রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।
\((b)\) প্রদত্ত রেখাটি \(X\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুতে রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\)\(A\) ও \(B\) এর সংযোগকারী রেখাকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে এরূপ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর এবং রেখাটি \(Y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ \frac{1}{3}\)। \((b) \ ax+by=a^{2}\)। \((c) \ y-12=0, \ (0, 12)\).

নিজে করঃ

locus4

\(Q 4.(xxxxi)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\(AB\) রেখাংশের সমীকরণ \(3x-y+7=0\).
\((a)\) \(AB\) রেখাংশকে কোনো বর্গের বাহু বিবেচনা করে বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
\((b)\) রেখাটির সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং \((-1, 2)\) বিন্দুগামী এরূপ রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2, -1)\) বিন্দু হতে রেটির উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) \ 54\frac{4}{9};\) বর্গ একক। \((b) \ 2x+y=0, \ x-2y+5=0\)। \((c) \ (-\frac{11}{5}, \frac{2}{5})\)।

নিজে করঃ

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *

WordPress spam blocked by CleanTalk.