বৃত্ত-১ (Circle-One)

# অনুশীলনী \(4.A\) উদাহরণসমুহ

উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((2, -3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\)।

সমাধান

উদাহরণ \(2.\) \(2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(3.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, -8)\) বিন্দুতে এবং যা \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।

সমাধান

উদাহরণ \(4.\) \((3, 0)\) এবং \((-4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(5.\) একটি বৃত্ত \((-6, 5)\), \((-3, -4)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(6.\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো। বৃত্তটির সমীকরণ এবং \(X\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(7.\) \(2x-y=3\) রেখার উপর অবস্থিত কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(8.\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ \(6\) একক। দেখাও যে এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায়।

সমাধান

উদাহরণ \(9.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। [ ঢঃ ২০১২; রাঃ ২০১২; কুঃ ২০১২, ২০১৩; চঃ২০১২; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০১১ ]

সমাধান

উদাহরণ \(10.\) \(C(1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ নির্ণয় করে ইহা \(Y\) অক্ষ থেকে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৭,২০১০,২০১৫; দিঃ২০১১ ]

সমাধান

উদাহরণ \(11.\) \(OA=3\)এবং \(OB=5\)হলে, \(O, A, B\) বিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১১; রাঃ ২০১১; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৮,সিঃ ২০০৭,২০১২; বঃ২০০৮, যঃ ২০০৯, ২০১৩,চঃ২০১২ ]

সমাধান

উদাহরণ \(12.\) একটি বৃত্ত \((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১০, ২০১৩; বঃ ২০০৯; কুঃ ২০০৬, যঃ ২০১০,সিঃ ২০০৯,২০১২; চঃ২০১১, দিঃ২০১২ ]

সমাধান

উদাহরণ \(13.\) \((4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}=4\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। [ বঃ ২০০6; রাঃ ২০০৭, ২০১১ যঃ ২০১৫,ঢঃ ২০০৮,২০১০ ]

সমাধান

উদাহরণ \(14.\) পোলগামী বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 45^{o})\)।

সমাধান

উদাহরণ \(15.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় যা \(Y\) অক্ষকে \((0, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যার কেন্দ্রের দূরত্ব \(4\) একক।

সমাধান

উদাহরণ \(16.\)
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0….(1)\)
\(3x+4y=12 …..(2)\)
\((a)\) \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2)\) নং সরলরেখা এবং অক্ষ দ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(17.\) \(3x^{2}+3y^{2}-5x-6y+4=0\) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(18.\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((10, 1)\) এবং \((2, -5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(19.\) \((3, -10)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((11, -16)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(20.\) একটি বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(21.\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে। [ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ২০০৯, রাঃ২০১৪, ২০০৯, ২০০০ ]

সমাধান

উদাহরণ \(22.\) একটি বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষ দুইটির ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে \(h\) ও \(k\) অংশ ছেদ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪, ]

সমাধান

উদাহরণ \(23.\) \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \(y=3x-7\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪, ]

সমাধান

উদাহরণ \(24.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^{2}+y^{2}-2y-15=0\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ কর। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(25.\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, \frac{\pi}{4})\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান

উদাহরণ \(26.\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ ও \(Y\) অক্ষ থেকে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৫, ২০১০;দিঃ ২০১১ ]

সমাধান

উদাহরণ \(27.\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১১; ২০১৪; বঃ ২০০৭;রাঃ ২০০৫ ]

সমাধান

উদাহরণ \(28.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু থেকে \(-4\) একক দূরত্বে \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \(X\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খন্ডন করে। [দিঃ ২০১০; চঃ ২০০৬ ]

সমাধান

# অনুশীলনী \(4.A\) উদাহরণসমুহের সমাধান

উদাহরণ \(1.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((2, -3)\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
এখানে,
কেন্দ্র \((h, k)\Rightarrow (2, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r\Rightarrow 5\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.3+3^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9=25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9-25=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(2.\) \(2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-15=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\frac{15}{2}=\frac{0}{2}\) [ \(2\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\frac{15}{2}=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তকে বৃত্তের সাধারণ সমিকোরণ \(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\) এর সহিত তুলনা করে,
\(2g=-1, 2f=3, c=-\frac{15}{2}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-\frac{15}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow [-(-\frac{1}{2}), -\frac{3}{2}]\)
\(\therefore (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}-(-\frac{15}{2})}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{15}{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1+9+30}{4}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{40}{4}}\)
\(\therefore \sqrt{10}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\); ব্যাসার্ধ \(\sqrt{10}\) .

উদাহরণ \(3.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, -8)\) বিন্দুতে এবং যা \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\therefore (-g, -f)\Rightarrow (4, -8)\)
\(\Rightarrow -g=4, -f=-8\)
\(\therefore g=-4, f=8\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore f^{2}=c\)
\(\Rightarrow c=f^{2}\)
\(\Rightarrow c=8^{2}\)
\(\Rightarrow c=64\)
এখন,
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.8.y+64=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x+16y+64=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(4.\) \((3, 0)\) এবং \((-4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত,
\(\therefore -g=0\)
\(\Rightarrow g=0\)
\((1)\) হতে,
\(x^{2}+y^{2}+2.0.x+2fy+c=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2fy+c=0 ……(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((3, 0)\) এবং \((-4, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় ,
\(\therefore 3^{2}+0^{2}+2f.0+c=0 \)
\(\Rightarrow 9+0+0+c=0 \)
\(\Rightarrow 9+c=0 \)
\(\therefore c=-9 \)
আবার,
\(\therefore (-4)^{2}+1^{2}+2f.1-9=0 \)
\(\therefore 16+1+2f-9=0 \)
\(\therefore 8+2f=0 \)
\(\therefore 2f=-8 \)
\(\therefore f=-\frac{8}{2} \)
\(\therefore f=-4 \)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.0.x+2.(-4).y+(-9)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8y-9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(5.\) একটি বৃত্ত \((-6, 5)\), \((-3, -4)\) এবং \((2, 1)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\)
\((1)\) বৃত্ত \(A(-6, 5)\), \(B(-3, -4)\) এবং \(C(2, 1)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে।
ফলে \((1)\) হতে,
\((-6)^{2}+5^{2}+2g.(-6)+2f.5+c=0\)
\(\Rightarrow 36+25-12g+10f+c=0\)
\(\therefore 61-12g+10f+c=0 ……(2)\)
আবার,
\((-3)^{2}+(-4)^{2}+2g.(-3)+2f.(-4)+c=0\)
\(\Rightarrow 9+16-6g-8f+c=0\)
\(\therefore 25-6g-8f+c=0 …..(3)\)
আবার,
\(2^{2}+1^{2}+2g.2+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 4+1+4g+2f+c=0\)
\(\therefore 5+4g+2f+c=0 ….(4)\)
\((3)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(25-6g-8f+c-61+12g-10f-c=0 \)
\(\Rightarrow 6g-18f-36=0 \)
\(\Rightarrow 6(g-3f-6)=0 \)
\(\Rightarrow g-3f-6=\frac{0}{6} \)
\(\therefore g-3f-6=0 ….(5)\)
\((4)-(3)\) এর সাহায্যে,
\(5+4g+2f+c-25+6g+8f-c=0 \)
\(\Rightarrow 10g+10f-20=0 \)
\(\Rightarrow 10(g+f-2)=0 \)
\(\Rightarrow g+f-2=\frac{0}{10} \)
\(\therefore g+f-2=0 ….(6)\)
\((4)-(3)\) এর সাহায্যে,
\(g+f-2-g+3f+6=0 \)
\(\Rightarrow 4f+4=0 \)
\(\Rightarrow 4(f+1)=0 \)
\(\Rightarrow f+1=\frac{0}{4} \)
\(\Rightarrow f+1=0 \)
\(\therefore f=-1 \)
\((6)\) হতে,
\(g-1-2=0\)
\(\Rightarrow g-3=0\)
\(\Rightarrow g=3\)
আবার,
\((4)\) হতে,
\(5+4.3+2.(-1)+c=0\)
\(\Rightarrow 5+12-2+c=0\)
\(\Rightarrow 15+c=0\)
\(\Rightarrow c=-15\)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.3.x+2.(-1).y+(-15)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
কেন্দ্র \((-g, -f)\Rightarrow (-3, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)

উদাহরণ \(6.\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো। বৃত্তটির সমীকরণ এবং \(X\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
\((x_{1}, y_{1})\) ও \((x_{2}, y_{2})\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0 ……….(1)\)
এখানে,straight3
\((x_{1}, y_{1})\Rightarrow (0, -1)\) এবং \((x_{2}, y_{2})\Rightarrow (2, 3)\)
\(\Rightarrow x_{1}=0, y_{1}=-1\) এবং \(\Rightarrow x_{2}=2, y_{2}=3 \)
\(\therefore (1)\) হতে,
\((x-0)(x-2)+(y+1)(y-3)=0 \)
\(\Rightarrow x(x-2)+y^{2}-2y-3=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+y^{2}-2y-3=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-2y-3=0 …….(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((2)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=-3\)
\((2)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ \(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^{2}-(-3)}\)
\(=2\sqrt{1+3}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2.2\)
\(=4\)

উদাহরণ \(7.\) \(2x-y=3\) রেখার উপর অবস্থিত কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((3, -2)\) ও \((-2, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\), \(2x-y=3\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore 2(-g)-(-f)=3\)
\(\Rightarrow -2g+f=3\)
\(\Rightarrow 3=-2g+f\)
\(\Rightarrow 2g-f+3=0 ….(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(A(3, -2)\) ও \(B(-2, 0)\) বিন্দুদ্বয় দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^{2}+(-2)^{2}+2g.3+2f.(-2)+c=0\)
\(\Rightarrow 9+4+6g-4f+c=0\)
\(\Rightarrow 13+6g-4f+c=0 …..(3)\)
আবার,
\((-2)^{2}+0^{2}+2g.(-2)+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 4+0-4g+0+c=0\)
\(\Rightarrow 4-4g+c=0 …..(4)\)
\((3)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(13+6g-4f+c-4+4g-c=0\)
\(\therefore 10g-4f+9=0 ….(5)\)
\((5)-(2)\times 4\) এর সাহায্যে,
\(10g-4f+9-8g+4f-12=0\)
\(\Rightarrow 2g-3=0\)
\(\Rightarrow 2g=3\)
\(\Rightarrow g=\frac{3}{2}\)
\((2)\) হতে,
\(2.(\frac{3}{2})-f+3=0 \)
\(\Rightarrow 3-f+3=0 \)
\(\Rightarrow -f+6=0 \)
\(\Rightarrow -f=-6 \)
\(\Rightarrow f=6 \)
\((4)\) হতে,
\(4-4.(\frac{3}{2})+c=0\)
\(\Rightarrow 4-2.3+c=0\)
\(\Rightarrow 4-6+c=0\)
\(\Rightarrow -2+c=0\)
\(\Rightarrow c=2\)
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\frac{3}{2}).x+2.6.y+2=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3x+12y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(8.\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং যার দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ \(6\) একক। দেখাও যে এরূপ দুইটি বৃত্ত পাওয়া যায়।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=c …..(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((4, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 4^{2}+0^{2}+2g.4+2f.0+c=0\)
\(\Rightarrow 16+0+8g+0+g^{2}=0\) [ \((2)\) এর সাহায্যে। ]
\(\Rightarrow g^{2}+8g+16=0\)
\(\Rightarrow (g+4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow g+4=0\)
\(\Rightarrow g=-4\)
\((2)\) এর সাহায্যে।
\(\therefore (-4)^{2}=c \)
\(\Rightarrow 16=c \)
\(\therefore c=16 \)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{f^{2}-16}\)
কিন্তু দেওয়া আছে, \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=6\)
\(\therefore 2\sqrt{f^{2}-16}=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^{2}-16}=\frac{6}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^{2}-16}=3\)
\(\Rightarrow f^{2}-16=3^{2}\) [ উভয় পার্শে বর্গ করে।]
\(\Rightarrow f^{2}-16=9\)
\(\Rightarrow f^{2}=16+9\)
\(\Rightarrow f^{2}=25\)
\(\Rightarrow f=\pm \sqrt{25}\)
\(\therefore f=\pm 5\)
\(f\) এই দুইটি মান \(\) অক্ষের দুই পার্শে দুইটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
\( g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.(\pm 5).y+16=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x\pm 10y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ।

উদাহরণ \(9.\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 5)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। [ ঢঃ ২০১২; রাঃ ২০১২; কুঃ ২০১২, ২০১৩; চঃ২০১২; সিঃ ২০০৮; যঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 …..(1)\)
এখানে,straight3
\(2g=4, 2f=-6, c=-12\)
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\Rightarrow g=2, f=-3, c=-12\)
\(\therefore (1)\) বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-2, -\times -3)\)
\(\therefore (-2, 3)\)
এখন,
\((4, 5)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2} ……(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত \((-2, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (-2-4)^{2}+(3-5)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow (-6)^{2}+(-2)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 36+4=r^{2}\)
\(\Rightarrow 40=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=40\)
\(r^{2}\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y-5)^{2}=40\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}-2.y.5+5^{2}=40\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-10y+25-40=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-8x-10y+1=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(10.\) \(C(1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ নির্ণয় করে ইহা \(Y\) অক্ষ থেকে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০০৯; রাঃ ২০০৭; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৭,২০১০,২০১৫; দিঃ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
\(C(1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
অর্থাৎ কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান,
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(r=2\)
এখন,
\(C(1, 2)\) কেন্দ্র এবং \(r=2\) ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.1+1^{2}+y^{2}-2.y.2+2^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+5-4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 …..(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{4}{2}, c=1\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-2, c=1\)
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ,
\(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\)

উদাহরণ \(11.\) \(OA=3\) এবং \(OB=5\) হলে, \(O, A, B\) বিন্দুগামী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১১; রাঃ ২০১১; কুঃ ২০০৫, বঃ ২০০৮,সিঃ ২০০৭,২০১২; বঃ২০০৮, যঃ ২০০৯, ২০১৩,চঃ২০১২ ]

সমাধানঃ

এখানে,
\(O\) মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\)straight3
\(OA, X\) অক্ষ বরাবর এবং \(OB, Y\) অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
তাহলে,
\(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\)।
আমরা জানি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সধারণ সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(A(3, 0)\) এবং \(B(0, 5)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore 3^{2}+0^{2}+2g.3+2f.0=0 \)
\(\Rightarrow 9+0+6g+0=0 \)
\(\Rightarrow 9+6g=0 \)
\(\Rightarrow 6g=-9 \)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6} \)
\(\therefore g=-\frac{3}{2} \)
আবার,
\(0^{2}+5^{2}+2g.0+2f.5=0 \)
\(\Rightarrow 0+25+0+10f=0 \)
\(\Rightarrow 25+10f=0 \)
\(\Rightarrow 10f=-25 \)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10} \)
\(\therefore f=-\frac{5}{2} \)
\( g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{3}{2}).x+2.(-\frac{5}{2}).y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(12.\) একটি বৃত্ত \((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১০, ২০১৩; বঃ ২০০৯; কুঃ ২০০৬, যঃ ২০১০,সিঃ ২০০৯,২০১২; চঃ২০১১, দিঃ২০১২ ]

সমাধানঃ

\((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-3)+(y-2)(y-2)+k[(x-1)(2-2)\)\(-(y-2)(1-3)]=0\) [ খলিফার নিয়ম। ]
\(\Rightarrow x^{2}-x-3x+3+y^{2}-2y-2y+4+k[(x-1).0+\)\(2(y-2)]=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-4y+7+k[0+2y-4]=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-4y+7+2ky-4k=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+(2k-4)y+7-4k=0 ……(1)\)
এখানে,straight3
\(2g=-4, 2f=2k-4, c=7-4k\)
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{2(k-2)}{2}, c=7-4k\)
\(\therefore g=-2, f=(k-2), c=7-4k\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=c\)
\(\Rightarrow (-2)^{2}=7-4k\)
\(\Rightarrow 4=7-4k\)
\(\Rightarrow 4k=7-4\)
\(\Rightarrow 4k=3\)
\(\Rightarrow k=\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \(\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4x+(2\times \frac{3}{4}-4)y+7-4\times \frac{3}{4}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{3}{2}-4)y+7-3=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{3-8}{2})y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+(\frac{-5}{2})y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-\frac{5}{2}y+4=0\)
\(\therefore 2x^{2}+2y^{2}-8x-5y+8=0\) [ দ্বারা গুন করে। ]
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(13.\) \((4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}=4\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। [ বঃ ২০০6; রাঃ ২০০৭, ২০১১ যঃ ২০১৫,ঢঃ ২০০৮,২০১০ ]

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(C(4, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ যার ব্যাসার্ধ \(r\)
\((x-4)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2} …..(1)\)
এবং দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2^{2} …(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\)
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\(\therefore CO=r+2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(4-0)^{2}+(3-0)^{2}}=r+2\)
\(\Rightarrow \sqrt{16+9}=r+2\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=r+2\)
\(\Rightarrow 5=r+2\)
\(\Rightarrow r+2=5\)
\(\Rightarrow r=5-2\)
\(\therefore r=3\)
\(r\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}-2.y.3+3^{2}=9\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}-6y+9-9=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(14.\) পোলগামী বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((4, 45^{o})\)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,straight3
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\) এবং ব্যাসার্ধ \(a\) বৃত্তের পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2} ……(1)\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (4, 45^{o})\)
\(\Rightarrow r_{1}=4, \theta_{1}=45^{o}\)
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.4\cos(\theta-45^{o})+4^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16=a^{2} ……(2)\)
\((2)\) নং বৃত্ত পোল তথা মূলবিন্দু \(O(0, 0^{o})\) দিয়ে যায়।
\(\therefore 0^{2}-8.0.\cos(0-45^{o})+16=a^{2}\)
\(\Rightarrow 0-0+16=a^{2}\)
\(\Rightarrow 16=a^{2}\)
\(\therefore a^{2}=16\)
\(a^{2}\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16=16\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})+16-16=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-45^{o})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

উদাহরণ \(15.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় যা \(Y\) অক্ষকে \((0, -3)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যার কেন্দ্রের দূরত্ব \(4\) একক।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 …..(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ হতে যার কেন্দ্রের দূরত্ব \(4\) একক।
\(\therefore -g=\pm 4\)
\(\Rightarrow g=\pm 4\)
আবার,
\(f^{2}=c …..(2)\) [ \(\because Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে]
আবার,
\((1)\) বৃত্ত \((0, -3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(0^{2}+(-3)^{2}+2g.0+2f(-3)+c=0\)
\(\Rightarrow 0+9+0-6f+f^{2}=0\) [\((2)\) এর সাহায্যে।]
\(\Rightarrow f^{2}-6f+9=0\)
\(\Rightarrow (f-3)^{2}=0\)
\(\Rightarrow f-3=0\)
\(\Rightarrow f=3\)
\((2)\) হতে,
\(3^{2}=c \)
\(\Rightarrow 9=c \)
\(\therefore c=9 \)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\pm 4).x+2.3.y+9=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}\pm 8x+6y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(16.\)
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0….(1)\)
\(3x+4y=12 …..(2)\)
\((a)\) \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয় কর।
\((b)\) \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
\((c)\) \((2)\) নং সরলরেখা এবং অক্ষ দ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

\((a)\)
দেওয়া আছে,straight3
\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.2+2^{2}+y^{2}+2.y.3+3^{2}=25\)
\(\Rightarrow x^{2}-4x+4+y^{2}+6y+9-25=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0 …….(1)\)
\((1)\) হতে,
\(2g=-4, 2f=6, c=-12\)
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\therefore g=-2, f=3, c=-12\)
\((1)\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদাংশ,
\(=2\sqrt{g^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-(-12)}\)
\(=2\sqrt{4+12}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times 4\)
\(=8\)
নির্ণেয় ছেদিতাংশ।
\((b)\)straight3
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r.2(\cos\theta\times \frac{1}{2}+\sin\theta\times \frac{\sqrt{3}}{2})+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4(\cos\theta\cos60^{o}+\sin\theta\sin60^{o})+16-9=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4\cos(\theta-60^{o})+4^{2}=9\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4\cos(\theta-60^{o})+4^{2}=3^{2}\)
এখানে,
\(r_{1}=4, \theta_{1}=60^{o}, a=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((4, 60^{o})\)
\((c)\)
দেওয়া আছে,
\(3x+4y=12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}+\frac{4y}{12}=\frac{12}{12}\) [ \(12\) ভাগ করে।]
\(\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1…..(2)\)
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A(4, 0)\) ও \(B(0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\((2)\) নং সরলরেখা অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ \(OAB\)।
এখন,
\(O, A, B\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।
\(A(4, 0)\) ও \(B(0, 3)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)(x-0)+(y-0)(y-3)+k[(x-4)(0-3)\)\(-(y-0)(4-0)]=0\) [ খলিফার নিয়ম। ]
\(\Rightarrow x^{2}-4x+y^{2}-3y+k[-3x+12-4y]=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-k[3x+4y-12]=0 …..(1)\)
শর্তমতে,straight3
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}+0^{2}-4.0-3.0-k[3.0+4.0-12]=0\)
\(\Rightarrow 0-k[0-12]=0\)
\(\Rightarrow 12k=0\)
\(\Rightarrow k=\frac{0}{12}\)
\(\therefore k=0\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-0.[3x+4y-12]=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-3y-0=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x-3y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(17.\) \(3x^{2}+3y^{2}-5x-6y+4=0\) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

উদাহরণ \(2.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(18.\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((10, 1)\) এবং \((2, -5)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(5.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(19.\) \((3, -10)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((11, -16)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

কেন্দ্র \((3, -10)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\((x-3)^{2}+(y+10)^{2}=r^{2} …..(1)\)
\((1)\) বৃত্ত \(A(11, -16)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\((11-3)^{2}+(-16+10)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 8^{2}+(-6)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 64+36=r^{2}\)
\(\Rightarrow 100=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=100\)
\(r^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-3)^{2}+(y+10)^{2}=100\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}+2.y.10+10^{2}-100=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}+20y+100-100=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6x+20y+9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(20.\) একটি বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^{2}=c\)
\(\Rightarrow f^{2}=0\) [ \(\because c=0\)]
\(\therefore f=0\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(3^{2}+(-4)^{2}+2g.3+2f(-4)=0\)
\(\Rightarrow 9+16+6g-8f=0\)
\(\Rightarrow 25+6g-8.0=0\)
\(\Rightarrow 25+6g-0=0\)
\(\Rightarrow 25+6g=0\)
\(\Rightarrow 6g=-25\)
\(\Rightarrow g=-\frac{25}{6}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{25}{6}).x+2.0.y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{25}{3}x=0\)
\(\Rightarrow 3x^{2}+3y^{2}-25x=0\) [ \(3\) গুন করে। ]
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(21.\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে \((4, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(Y\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খণ্ডিত করে। [ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৪; কুঃ ২০১০, যঃ ২০১১, ২০০৯; সিঃ ২০০৫; চঃ২০০৯, রাঃ২০১৪, ২০০৯, ২০০০ ]

উদাহরণ \(8.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(22.\) একটি বৃত্ত মূলবিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষ দুইটির ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে \(h\) ও \(k\) অংশ ছেদ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪, ]

সমাধানঃ

ধরি,
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে \(h\) ও \(k\) অংশ ছেদ করে।
\(\therefore 2|\sqrt{g^{2}-c}|=h, 2|\sqrt{f^{2}-c}|=k\) [ \(\because c=0\)]
\(\Rightarrow |\sqrt{g^{2}-0}|=\frac{h}{2}, |\sqrt{f^{2}-0}|=\frac{k}{2}\)
\(\Rightarrow \pm g=\frac{h}{2}, \pm f=\frac{k}{2}\)
\(\Rightarrow -g=\frac{h}{2}, -f=\frac{k}{2}\)
\(\therefore g=-\frac{h}{2}, f=-\frac{k}{2}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-\frac{h}{2}).x+2.(-\frac{k}{2}).y=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-hx-ky=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(23.\) \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং বৃত্তটির কেন্দ্র \(y=3x-7\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০১৪, ]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের কেন্দ্র \((h, k)\) যা \(y=3x-7\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore k=3h-7 ……(1)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
বৃত্তটির সমীকরণ,straight3
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=(\frac{1}{2}\sqrt{10})^{2}\)
\(\Rightarrow (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=\frac{1}{4}\times 10\)
\(\therefore (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=\frac{5}{2} ……..(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে ,
\(\therefore (1-h)^{2}+(1-k)^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow (1-h)^{2}+(1-3h+7)^{2}=\frac{5}{2}\) [ \((1)\) এর সাহায্যে। ]
\(\Rightarrow (1-h)^{2}+(8-3h)^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 1-2h+h^{2}+64-48h+9h^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 10h^{2}-50h+65=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 5(2h^{2}-10h+13)=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow 2h^{2}-10h+13=\frac{5}{2\times 5}\)
\(\Rightarrow 2h^{2}-10h+13=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+26=1\) [ \(2\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+26-1=0\)
\(\Rightarrow 4h^{2}-20h+25=0\)
\(\Rightarrow (2h-5)^{2}=0\)
\(\Rightarrow 2h-5=0\)
\(\Rightarrow 2h=5\)
\(\Rightarrow h=\frac{5}{2}\)
\((1)\) হতে,
\(k=3\times \frac{5}{2}-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{15}{2}-7\)
\(\Rightarrow k=\frac{15-14}{2}\)
\(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)
\(h, k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(\therefore (x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore (\frac{2x-5}{2})^{2}+(\frac{2y-1}{2})^{2}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore \frac{(2x-5)^{2}}{4}+\frac{(2y-1)^{2}}{4}=\frac{5}{2}\)
\(\therefore (2x-5)^{2}+(2y-1)^{2}=10\) [ \(4\) গুন করে। ]
\(\therefore 4x^{2}-20x+25+4y^{2}-4y+1-10=0\)
\(\therefore 4x^{2}+4y^{2}-20x-4y+16=0\)
\(\therefore 4(x^{2}+y^{2}-5x-y+4)=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-5x-y+4=\frac{0}{4}\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-5x-y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(24.\) \((4, -2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(x^{2}+y^{2}-2y-15=0\) বৃত্তকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ কর। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উদাহরণ \(13.\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

উদাহরণ \(25.\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, \frac{\pi}{4})\) এবং ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,straight3
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের পোলার সমীকরণ,
\(r^{2}-2rr_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2} …..(1)\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (6, \frac{\pi}{4})\)
\(\Rightarrow r_{1}=6, \theta_{1}=\frac{\pi}{4}\) এবং \(a=5\)
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.6\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+6^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+36-25=0\)
\(\therefore r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

উদাহরণ \(26.\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে। এর সমীকরণ ও \(Y\) অক্ষ থেকে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর। [ ঢঃ ২০০৯; বঃ ২০১৫, ২০১০;দিঃ ২০১১ ]

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,straight3
বৃত্তের কেন্দ্র \((1, 2)\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(=2\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=4\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0 …….(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-2, 2f=-4, c=1\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{4}{2}, c=1\)
\(\therefore g=-1, f=-2, c=1\)
\(Y\) অক্ষের ছদাংশ \(=2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^{2}-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\) একক।

উদাহরণ \(27.\) \(x=0\), \(y=0\) এবং \(x=a\) রেখা তিনটিকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ কুঃ ২০১১; ২০১৪; বঃ ২০০৭;রাঃ ২০০৫ ]

সমাধানঃ

ধরি,
\(x=0 ……(1)\)
\(y=0 ……(2)\)
\(x=a ……(3)\)
শর্তমতে,straight3
বৃত্তের ব্যাস \(=a\)
ব্যাসার্ধ \(=\frac{a}{2}\)
\(\because \) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\) যা ১ম চৌকোণে অবস্থিত।
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখাকে স্পর্শ করে বলে এর কেন্দ্র চতুর্থ চৌকোণেও অবস্থিত হবে।
সে ক্ষেত্রে কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2})\)
এখন বৃত্তটির সমীকরণ,
\((x-\frac{a}{2})^{2}+(y\pm \frac{a}{2})^{2}=(\frac{a}{2})^{2}\)
\(\Rightarrow (\frac{2x-a}{2})^{2}+(\frac{2y\pm a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{(2x-a)^{2}}{4}+\frac{(2y\pm a)^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4}\)
\(\Rightarrow (2x-a)^{2}+(2y\pm a)^{2}=a^{2}\)
\(\Rightarrow 4x^{2}-4ax+a^{2}+4y^{2}\pm 4ay+a^{2}-a^{2}=0\)
\(\Rightarrow 4(x^{2}+y^{2})-4ax\pm 4ay+a^{2}=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

উদাহরণ \(28.\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু থেকে \(-4\) একক দূরত্বে \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \(X\) অক্ষ থেকে \(6\) একক দীর্ঘ একটি জ্যা খন্ডন করে। [দিঃ ২০১০; চঃ ২০০৬ ]

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 …..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে ,
\(f^{2}=c ……(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \((0, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায়,
\(0^{2}+(-4)^{2}+2g.0+2f(-4)+c=0\)
\(\Rightarrow 0+16+0-8f+f^{2}=0\) [ \((2)\) এর সাহায্যে। ]
\(\Rightarrow f^{2}-8f+16=0\)
\(\Rightarrow (f-4)^{2}=0\)
\(\Rightarrow f-4=0\)
\(\Rightarrow f=4\)
\((2)\) এর সাহায্যে,
\(4^{2}=c \)
\(\Rightarrow 16=c \)
\(\therefore c=16 \)
\((1)\) নং বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশ,
\(2\sqrt{g^{2}-c}=6\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^{2}-16}=\frac{6}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^{2}-16}=3\)
\(\Rightarrow g^{2}-16=3^{2}\)
\(\Rightarrow g^{2}-16=9\)
\(\Rightarrow g^{2}=16+9\)
\(\Rightarrow g^{2}=25\)
\(\Rightarrow g=\pm \sqrt{25}\)
\(\therefore g=\pm 5\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(\pm 5).x+2.4.y+16=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}\pm 10x+8y+16=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *