বৃত্ত-১ (Circle-One)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.1\)-এর প্রশ্নসমূহ

নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি পোলার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(x^{2}+y^{2}=25\); সমাধান
\(Q.1.(i).(b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax=0\); সমাধান
\(Q.1.(i).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\); সমাধান
\(Q.1.(i).(d)\) কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\); সমাধান
\(Q.1.(i).(e)\) কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী ; সমাধান
\(Q.1.(i).(f)\) পোল, \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী। সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ r=5;\) \((b) \ r=a\cos\theta;\) \((c) \ r=b\sin\theta;\) \((d) \ r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\); \((e) \ r=6\cos\theta;\) \((f) \ r=a\cos\theta+b\sin\theta\) ।
নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(ii)(a)\) \(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\); সমাধান
\(Q.1.(ii)(b)\) \(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\); সমাধান
\(Q.1.(ii)(c)\) \(r=a\); সমাধান
\(Q.1.(ii)(d)\) \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\); সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0;\) \((b) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0\) \((c) \ x^{2}+y^{2}=a^{2};\) \((d) \ x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\) ।
নিম্নোলিখিত বৃত্তগুলির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(iii).(a)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(b)\) \(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(d)\) \(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(e)\) \(r=2a\cos\theta\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(f)\) \(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(g)\) \(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\); সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ (4, -3), 4;\) \((b) \ (-4, \frac{1}{2}), 4;\) \((c) \ (0, \frac{b}{2}), \frac{b}{2};\) \((d) \ (4, \frac{\pi}{6});\) \((e) \ (a, 0^{o});\) \((f) \ (g, -f), \sqrt{g^{2}+f^{2}};\) \((g) \ (\frac{3}{4}, -1), \frac{5}{4}\)।
\(Q.1.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((3, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(6\) । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)।
সমাধান
\(Q.1.(v)\) \(k\) এর কোন মানের জন্য \((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে। উত্তরঃ \(2\)।
সমাধান
\(Q.1.(vi)\) \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি লেখ এবং এ থেকে দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0\) সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।
সমাধান
\(Q.1.(vii)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়। [ কুঃ২০১২, সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\), \(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।
সমাধান
\(Q.1.(viii)\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((-6, 5)\) এবং \(-3, -4\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে । বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং বাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0, (-3, 1), 5\)।
সমাধান
\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং তা মূলবিন্দু দিয়ে যায় । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০০৬ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+10y=0, 8, 10\)।
সমাধান
\(Q.1.(x)\) মূলনিয়মে প্রমণ কর যে, \((1, 5)\), \((7, -3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0\) । বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((4, 1), 5\)।
সমাধান
\(Q.1.(xi)\) প্রমণ কর যে, \((-2, 3)\), \((3, -4)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)(x-3)+(y-3)(y+4)=0\)।
সমাধান
\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক এবং \((2, -1)\) বিন্দুগামী । [ দিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+8=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xiv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((7, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং যা \(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-14x-4y+28=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, 0)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4x=0\) বৃত্ত ও \(x=3\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xvi)\) মূলবিন্দু এবং \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্ত ও \(2x+3y+1=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x+8y=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xvii)\) মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ সিঃ ২০১২, ঢাঃরাঃ ২০১১, যঃ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-3x-5y=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xviii)\)একটি বৃত্ত মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(a\) ও \(a\) একক অংশ কর্তন করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-by=0 \)।
সমাধান
\(Q.1.(xix)\) \(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) কে অক্ষ ধরে প্রমাণ কর যে, বর্গটির পরিবৃত্তের সমীকরণ হবে \(x^{2}+y^{2}=b(x+y)\) । [রাঃ ২০১০, বঃ ২০১৩ ] ।
সমাধান
\(Q.1.(xx)\) \(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর। অতপর বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=-2, b=0; (2, 3); 4\)।
সমাধান
\(Q.1.(xxi)\) \((a, b)\)কেন্দ্র এবং \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0\)।
সমাধান
\(Q.1.(xxii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((9, 4)\) এবং যা \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-18x-8y-3=0;\)।
সমাধান
\(Q.1.(xxiii)\) \((0, 0)\), \((2a, 0)\) এবং \((0, 2b)\) বিন্দু তিনটি দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ, কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0, (a, b), \sqrt{a^{2}+b^{2}};\)।
সমাধান
\(Q.1.(xxiv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
সমাধান
\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।
সমাধান

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.1\) প্রশ্নসমূহের সমাধান

নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি পোলার স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(i).(a)\) \(x^{2}+y^{2}=25\); সমাধান
\(Q.1.(i).(b)\) \(x^{2}+y^{2}-ax=0\); সমাধান
\(Q.1.(i).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\); সমাধান
\(Q.1.(i).(d)\) কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\); সমাধান
\(Q.1.(i).(e)\) কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী ; সমাধান
\(Q.1.(i).(f)\) পোল, \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী। সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ r=5;\) \((b) \ r=a\cos\theta;\) \((c) \ r=b\sin\theta;\) \((d) \ r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\); \((e) \ r=6\cos\theta;\) \((f) \ r=a\cos\theta+b\sin\theta\) ।

সমাধানঃ

locus4

\(Q.1.(i).(a)\) দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=25\)
\(\Rightarrow r^{2}=25\) | Note \(\because x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}=5^{2}\)
\(\Rightarrow r=5\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(b)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-ax=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-a.r\cos\theta=0\) | Note \(\because x^{2}+y^{2}=r^{2}, x=r\cos\theta\)
\(\Rightarrow r(r-a\cos\theta)=0\)
\(\Rightarrow r-a\cos\theta=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-a\cos\theta=0\)
\(\Rightarrow r=a\cos\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(c)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-by=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-b.r\sin\theta=0\) | Note \(\because x^{2}+y^{2}=r^{2}, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow r(r-b\sin\theta)=0\)
\(\Rightarrow r-b\sin\theta=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-b\sin\theta=0\)
\(\Rightarrow r=b\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(d)\)locus4
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((4, 30^{o})\), ব্যাসার্ধ \(5\)
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (4, 30^{o}), a\Rightarrow 5\)
\(\Rightarrow r_{1}=4, \theta_{1}=30^{o}, a=5\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.4\cos(\theta-30^{o})+4^{2}=5^{2}\) | Note \(\because r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-30^{o})+16-25=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{6})-9=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(e)\)locus4
দেওয়া আছে,
কেন্দ্র \((3, 0^{o})\) এবং পোলগামী ,
এখানে,
\((r_{1}, \theta_{1})\Rightarrow (3, 0^{o})\)
\(\Rightarrow r_{1}=3, \theta_{1}=0^{o}\)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.3\cos(\theta-0^{o})+3^{2}=a^{2}\) | Note \(\because r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}\)
\(r^{2}-6r\cos\theta+9=a^{2} …..(1)\)
শর্ত মতে,
\((1)\) নং বৃত্ত পোলগামী,
অর্থাৎ \( (0, 0^{o})\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}-6.0.\cos\theta+9=a^{2}\)
\(\Rightarrow 0-0+9=a^{2}\)
\(\Rightarrow 9=a^{2}\)
\(\therefore a^{2}=9\)
\(a^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(r^{2}-6r\cos\theta+9=9\)
\(\Rightarrow r^{2}-6r\cos\theta+9-9=0\)
\(\Rightarrow r(r-6\cos\theta)=0\)
\(\Rightarrow r-6\cos\theta=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-6\cos\theta=0\)
\(\therefore r=6\cos\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(i).(f)\)locus4
আমরা জানি,
কেন্দ্র \((r_{1}, \theta_{1})\), ব্যাসার্ধ \(a_{1}\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1} …(1)\)
শর্ত মতে,
\((1)\) নং বৃত্ত \((0, 0^{o})\), \((a, 0^{o})\) এবং \((b, 90^{o})\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 0^{2}-2.0.r_{1}\cos(0^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow 0-0+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow 0+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\therefore r_{1}=a_{1}\)
আবার,
\(\therefore a^{2}-2.a.r_{1}\cos(0^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow a^{2}-2ar_{1}\cos\theta_{1}+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0\)
\(\Rightarrow a^{2}-2ar_{1}\cos\theta_{1}=0\)
\(\Rightarrow a(a-2r_{1}\cos\theta_{1})=0\)
\(\therefore a-2r_{1}\cos\theta_{1}=0\)
\(\therefore a=2r_{1}\cos\theta_{1} ….(2)\)
আবার,
\(\therefore b^{2}-2.b.r_{1}\cos(90^{o}-\theta_{1})+r^{2}_{1}=a^{2}_{1}\)
\(\Rightarrow b^{2}-2br_{1}\sin\theta_{1}+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0\)
\(\Rightarrow b(b-2r_{1}\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow b-2r_{1}\sin\theta_{1}=\frac{0}{b}\)
\(\therefore b-2r_{1}\sin\theta_{1}=0\)
\(\therefore b=2r_{1}\sin\theta_{1} ……(3)\)
এখন,
\((1)\) হতে,
\(r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})+a^{2}_{1}-a^{2}_{1}=0 \) | Note \(\because r_{1}=a_{1}\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.r_{1}\cos(\theta-\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.r_{1}(\cos\theta\cos\theta_{1}+\sin\theta\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-r(\cos\theta.2r_{1}\cos\theta_{1}+\sin\theta.2r_{1}\sin\theta_{1})=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-r(\cos\theta.a+\sin\theta.b)=0\) | Note \((2)\) ও \((3)\) এর সাহয্যে।
\(\Rightarrow r^{2}-r(a\cos\theta+b\sin\theta)=0\)
\(\Rightarrow r[r-(a\cos\theta+b\sin\theta)]=0\)
\(\Rightarrow r-(a\cos\theta+b\sin\theta)=\frac{0}{r}\)
\(\Rightarrow r-(a\cos\theta+b\sin\theta)=0\)
\(\Rightarrow r=a\cos\theta+b\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের পোলার সমীকরণ।

নিম্নোলিখিত বৃত্তের সমীকরণগুলি কার্তেসীয় স্থানাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
\(Q.1.(ii).(a)\) \(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\); সমাধান
\(Q.1.(ii).(b)\) \(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\); সমাধান
\(Q.1.(ii).(c)\) \(r=a\); সমাধান
\(Q.1.(ii).(d)\) \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\); সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0;\) \((b) \ \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0;\) \((c) \ x^{2}+y^{2}=a^{2};\) \((d) x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii).(a)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-12r\cos(\theta-\frac{\pi}{4})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{4})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\cos\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}}+\sin\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12r(\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-12(\frac{r\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{r\sin\theta}{\sqrt{2}})+11=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}})+11=0\) | Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12\frac{x+y}{\sqrt{2}}+11=0\)
\(\therefore \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-(12x+12y)+11\sqrt{2}=0\) | Note \(\sqrt{2}\) দ্বারা গুন করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii).(b)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(r^{2}=8r\cos(\theta-45^{o})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\cos\theta\cos45^{o}+\sin\theta\sin45^{o})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\cos\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}}+\sin\theta\times \frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8r(\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow r^{2}=8(\frac{r\cos\theta}{\sqrt{2}}+\frac{r\sin\theta}{\sqrt{2}})\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}})\) | Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=8\frac{x+y}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=\frac{8x+8y}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})=8x+8y\)
\(\therefore \sqrt{2}(x^{2}+y^{2})-8x-8y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

locus4

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii).(c)\)
দেওয়া আছে,
\(r=a\)
\(\Rightarrow r^{2}=a^{2}\) | Note উভয় পার্শে বর্গ করে।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=a^{2}\) | Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

সমাধানঃ

\(Q.1.(ii).(d)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4(r\cos\theta+\sqrt{3}r\sin\theta)+7=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4(x+\sqrt{3}y)+7=0\) | Note \(\because r^{2}=x^{2}+y^{2}, x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ।

নিম্নোলিখিত বৃত্তগুলির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
\(Q.1.(iii).(a)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(b)\) \(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(c)\) \(x^{2}+y^{2}-by=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(d)\) \(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(e)\) \(r=2a\cos\theta\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(f)\) \(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\); সমাধান
\(Q.1.(iii).(g)\) \(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\); সমাধান
উত্তরঃ \((a) \ (4, -3), 4;\) \((b) \ (-3, \frac{1}{2}), 4;\) \((c) \ (0, \frac{b}{2}), \frac{b}{2};\) \((d) \ (4, \frac{\pi}{6});\) \((e) \ (a, 0^{o});\) \((f) \ (g, -f), \sqrt{g^{2}+f^{2}};\) \((g) \ (\frac{3}{4}, -1), \frac{5}{4}\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(a)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=6, c=9\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{6}{2}, c=9\)
\(\Rightarrow g=-4, f=3, c=9\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (4, -3)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}-9}\)
\(=\sqrt{16+9-9}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(b)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(4(x^{2}+y^{2})+24x-4y-27=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x-y-\frac{27}{4}=0\) | Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
এখানে,
\(2g=6, 2f=-1, c=-\frac{27}{4}\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{6}{2}, f=-\frac{1}{2}, c=-\frac{27}{4}\)
\(\Rightarrow g=3, f=-\frac{1}{2}, c=-\frac{27}{4}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, \frac{1}{2})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}+\frac{27}{4}}\)
\(=\sqrt{9+\frac{1}{4}+\frac{27}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{36+1+27}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{4}}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(c)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}-by=0\)
এখানে,
\(2g=0, 2f=-b, c=0\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{b}{2}, c=0\)
\(\Rightarrow g=0, f=-\frac{b}{2}, c=0\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (0, \frac{b}{2})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{0^{2}+(-\frac{b}{2})^{2}-0}\)
\(=\sqrt{0+\frac{b^{2}}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}}\)
\(=\frac{b}{2}\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(d)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(r^{2}-4\sqrt{3}r\cos\theta-4r\sin\theta+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-4r.2.(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{1}{2}\sin\theta)+15=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.(\cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin\theta\frac{1}{2})+16-1=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{6})+16=1\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.4.\cos(\theta-\frac{\pi}{6})+4^{2}=1^{2}\)
এখানে,
\((4, \frac{\pi}{6})\Rightarrow (r_{1, \theta_{1}}); a\Rightarrow 1\)
অতএব,
কেন্দ্র \((4, \frac{\pi}{6})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(1\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(e)\)
দেওয়া আছে,locus4
\(r=2a\cos\theta\)
\(\Rightarrow r^{2}=2ar\cos\theta\) | Note উভয় পার্শে \(r\) গুণ করে।
\(\Rightarrow r^{2}-2ar\cos\theta=0\)
\(\Rightarrow r^{2}-2r.a.\cos(\theta-0^{o})+a^{2}=a^{2}\)
এখানে,
\((a, 0^{o})\Rightarrow (r_{1, \theta_{1}}); a\Rightarrow a\)
অতএব,
কেন্দ্র \((a, 0^{o})\)
এবং ব্যাসার্ধ \(a\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(f)\)locus4
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=2gx-2fy\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2gx+2fy=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+2(-g)x+2fy+0=0\)
এখন,
কেন্দ্র \((g, -f)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-g)^{2}+f^{2}-0}\)
\(=\sqrt{g^{2}+f^{2}}\)

সমাধানঃ

\(Q.1.(iii).(g)\)
দেওয়া আছে,
\(2(x^{2}+y^{2})-3x+4y=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x+2y=0\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=2, c=0\)locus4
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=\frac{2}{2}, c=0\)
\(\therefore g=-\frac{3}{4}, f=1, c=0\)
এখন,
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (\frac{3}{4}, -1)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-0}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)

\(Q.1.(iv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((3, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(6\) । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h, k)\)locus4
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)
এখানে,
\((h, k)\Rightarrow (3, -2), r\Rightarrow 6\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^{2}+(y+2)^{2}=6^{2}\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2}+y^{2}+2.y.2+2^{2}=36\)
\(\Rightarrow x^{2}-6x+9+y^{2}+4y+4-36=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-6x+4y-23=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(v)\) \(k\) এর কোন মানের জন্য \((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে। উত্তরঃ \(2\)।

locus4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
\((x-y+3)^{2}+(kx+2)(y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+3^{2}-2.x.y-2.y.3+2.x.3+kxy+2y-kx-2=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+9-2xy+6x-6y+kxy+2y-kx-2=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+(k-2)xy+(6-k)x-4y+7=0 ….(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটি একটি বৃত্ত প্রকাশ করবে যদি,
\(xy\) এর সহগ শুন্য হয়।
\(\therefore k-2=0\) | Note সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\)-এর বৃত্ত প্রকাশ করার শর্তাবলী, \((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান হবে, অর্থাৎ \(a=b\)। \((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)। \((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে। এই ক্ষেত্রে বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \((-g, -f)\) ব্যাসার্ধঃ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\) যখন, \((g^{2}+f^{2}>c)\)
\(\Rightarrow k=2\)

\(Q.1.(vi)\) \(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি লেখ এবং এ থেকে দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0\) সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।

সমাধানঃ

মনে করি,
\(ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0 …………(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণটির একটি বৃত্ত সূচিত করার শর্তগুলি নিম্নরূপ
\((a)\) \(x^{2}\) এবং \(y^{2}\) এর সহগদ্বয় সমান, অর্থাৎ \(a=b\)।
\((b)\) \(xy\) সম্বলিত কোনো পদ থাকবে না, অর্থাৎ \(h=0\)।
\((c)\) \(g^{2}+f^{2}>c\) হবে।
আবার,locus4
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y+17=0 …..(2)\)
এখানে,
\(a=b=1, h=0, 2g=4, 2f=-6, c=17\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow a=b=1, h=0, g=\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=17\)
\(\therefore a=b=1, h=0, g=2, f=-3, c=17\)
এখন,
\(g^{2}+f^{2}=2^{2}+(-3)^{2}\)
\(=4+9\)
\(=13\) কিন্তু \(c=17\)
\(\therefore c>g^{2}+f^{2} \)
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণটি \((a)\) এবং \((b)\) শর্ত সিদ্ধ করে, কিন্তু \((c)\) শর্ত সিদ্ধ করে না।
\(\therefore (2)\) নং সমীকরণটি কোন বাস্তব বৃত্ত সূচিত করে না।

\(Q.1.(vii)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়। [ কুঃ২০১২, সিঃ ২০১৩] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0\), \(x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।

সমাধানঃ

মনে করি,
বৃত্তের সমীকরণ,locus4
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ………(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore g^{2}=f^{2}=c …….(2)\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের উভয় অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=f^2=c\)
\(\Rightarrow g^{2}=f^{2}\)
\(\Rightarrow g=f ……….(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 8)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(1^{2}+8^{2}+2g.1+2f.8+c=0\)
\(\Rightarrow 1+64+2g+16f+c=0\)
\(\Rightarrow 65+2g+16g+g^{2}=0\) | Note \((2)\) ও \((3)\) হতে।
\(\Rightarrow g^{2}+18g+65=0\)
\(\Rightarrow g^{2}+5g+13g+65=0\)
\(\Rightarrow g(g+5)+13(g+13)=0\)
\(\Rightarrow (g+5)(g+13)=0\)
\(\Rightarrow g+5=0, g+13=0\)
\(\therefore g=-5, g=-13\)
\((3)\) হতে,
\(g=-5\Rightarrow f=-5, g=-13\Rightarrow f=-13\)
\((2)\) হতে,
\(g=-5, f=-5 \Rightarrow c=25;\) এবং \(g=-13, f=-13\Rightarrow c=169\)
\(g, f, c \) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-5, f=-5, c=25;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-5)x+2(-5)y+25=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0 \)
যখন,
\(g=-13, f=-13, c=169;\)
\(x^{2}+y^{2}+2(-13)x+2(-13)y+169=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-10x-10y+25=0; x^{2}+y^{2}-26x-26y+169=0\)।

\(Q.1.(viii)\) একটি বৃত্ত \((2, 1)\), \((-6, 5)\) এবং \((-3, -4)\) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে । বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্র এবং বাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0, (-3, 1), 5\)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(2, 1)\), \(B(-6, 5)\) এবং \(C(-3, -4)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,\(A(2, 1)\) ও \(B(-6, 5)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+6)+(y-1)(y-5)+k[(x-2)(1-5)\)\(-(y-1)(2+6)]=0\) | Note দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^{2}-2x+6x-12+y^{2}-y-5y+5+k\{-4(x-2)\)\(-8(y-1)\}=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+k\{-4x+8-8y+8\}=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+k(-4x-8y+16)=0 ….(1)\)
শর্তমতে,
\((1)\) নং বৃত্তটি \(C(-3, -4)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(\therefore (-3)^{2}+(-4)^{2}+4(-3)-6(-4)-7+k\{-4(-3)\)\(-8(-4)+16\}=0\)
\(\Rightarrow 9+16-12+24-7+k\{12+32+16\}=0\)
\(\Rightarrow 49-19+k.60=0\)
\(\Rightarrow 30+60k=0\)
\(\Rightarrow 60k=-30\)
\(\Rightarrow k=-\frac{30}{60}\)
\(\therefore k=-\frac{1}{2}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+4x-6y-7+(-\frac{1}{2})(-4x-8y+16)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+4x-6y-7-\frac{1}{2}(-4x-8y+16)=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+8x-12y-14-(-4x-8y+16)=0\) | Note উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+8x-12y-14+4x+8y-16=0\)
\(\Rightarrow 2x^{2}+2y^{2}+12x-4y-30=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0 ..(2)\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ ।
আবার,locus4
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(2g=6, 2f=-2, c=-15\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{6}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-15\)
\(\therefore g=3, f=-1, c=-15\)
এখন,
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\)
\(=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}-(-15)}\)
\(=\sqrt{9+1+15}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)

\(Q.1.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4, -5)\) এবং তা মূলবিন্দু দিয়ে যায় । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর। [ সিঃ ২০০৬ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+10y=0, 8, 10\)।

সমাধানঃ

কেন্দ্র \((4, -5)\) locus4
ব্যাসার্ধ \(=r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2} ……..(1)\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((1)\) নং বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore (0-4)^{2}+(0+5)^{2}=r^{2}\)
\(\Rightarrow 16+25=r^{2}\)
\(\Rightarrow 41=r^{2}\)
\(\therefore r^{2}=41\)
\(r^{2}\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\((x-4)^{2}+(y+5)^{2}=41\)
\(\Rightarrow x^{2}-2.x.4+4^{2}+y^{2}+2.y.5+5^{2}=41\)
\(\Rightarrow x^{2}-8x+16+y^{2}+10y+25-41=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x+10y=0 …….(2)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ ।
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণ হতে,
\(2g=-8, 2f=10, c=0\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{10}{2}, c=0\)
\(\therefore g=-4, f=5, c=0\)
অক্ষদ্বয়ের ছেদাংশ যথাক্রমে \( 2\sqrt{g^{2}-c}, 2\sqrt{f^{2}-c}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{(-4)^{2}-0}, 2\sqrt{5^{2}-0}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{16}, 2\sqrt{25}\)
\(\Rightarrow 2.4, 2.5\)
\(\therefore 8, 10\)

\(Q.1.(x)\) মূলনিয়মে প্রমণ কর যে, \((1, 5)\), \((7, -3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0\) । বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((4, 1), 5\)।

সমাধানঃ

মনেকরি, locus4
\(A(1, 5)\), \(B(7, -3)\)
বৃত্তের উপর যে কোনো বিন্দু \(P(x, y)\)
\(AB\) ব্যাস \(P\) বিন্দুতে সর্বদা এক সমকোণ উৎপন্ন করে।
অর্থাৎ \(PA\perp PB\)
\(PA\) এর ঢাল \(m_{1}=\frac{y-5}{x-1}\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
\(PB\) এর ঢাল \(m_{2}=\frac{y+3}{x-7}\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\);\(PQ\) এর ঢাল \(m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
শর্ত মতে,
\(m_{1}\times m_{2}=-1\) | Note \(y=m_1x+c_1\), \(y=m_2x+c_2\) সরলরেখাদ্বয়ের পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত, \(m_1\times m_2=-1\)
\(\Rightarrow \frac{y-5}{x-1}\times \frac{y+3}{x-7}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{(y-5)(y+3)}{(x-1)(x-7)}=-1\)
\(\Rightarrow (y-5)(y+3)=-(x-1)(x-7)\)
\(\therefore (x-1)(x-7)+(y-5)(y+3)=0 ……(1)\)
[ প্রমাণিত ]
\(\because AB=\) ব্যাস।
\(\therefore AB\) এর মধ্যবিন্দু হবে কেন্দ্র।
কেন্দ্র \((\frac{1+7}{2}, \frac{5-3}{2})\) | Note \(P(x_1, y_1)\), \(Q(x_2, y_2)\); R, \(PQ\)-এর মধ্যবিন্দু \(\therefore R\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
\(\Rightarrow (\frac{8}{2}, \frac{2}{2})\)
\(\Rightarrow (4, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\frac{1}{2}AB\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(1-7)^{2}+(5+3)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-6)^{2}+(8)^{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{36+64}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{100}\)
\(=\frac{1}{2}\times 10\)
\(=5\)

\(Q.1.(xi)\) প্রমণ কর যে, \((-2, 3)\), \((3, -4)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)(x-3)+(y-3)(y+4)=0\)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(x)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q.1.(xii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক এবং \((2, -1)\) বিন্দুগামী । [ দিঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+5y+8=0 \)।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x+5y+9=0 ……..(1)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=5, c=9\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{5}{2}, c=9\)
\(\therefore g=-2, f=\frac{5}{2}, c=9\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -\frac{5}{2})\)
এখন,
কেন্দ্র \((2, -\frac{5}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=r^2\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+\left(\frac{2y+5}{2}\right)^2=r^2 …….(2)\)
\((2)\) বৃত্ত \((2, -1)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (2-2)^2+\left\{\frac{2.(-1)+5}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow (0)^2+\left\{\frac{-2+5}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow 0+\left\{\frac{3}{2}\right\}^2=r^2\)
\(\Rightarrow \frac{9}{4}=r^2\)
\(\therefore r^2=\frac{9}{4}\)
\(r^2\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-2)^2+\left(\frac{2y+5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+\frac{(2y+5)^2}{4}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4(x-2)^2+(2y+5)^2=9\) | Note উভয় পার্শে \(4\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 4(x^2-2.x.2+2^2)+4y^2+2.2y.5+5^2=9\)
\(\Rightarrow 4(x^2-4x+4)+4y^2+20y+25-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2-16x+16+4y^2+20y+25-9=0\)
\(\Rightarrow 4x^2+4y^2-16x+20y+32=0\)
\(\Rightarrow 4(x^2+y^2-4x+5y+8)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+5y+8=\frac{0}{4}\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+5y+8=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((3, -1)\) বিন্দুগামী এবং \(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\) বৃত্তের সহিত এককেন্দ্রিক । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q.1.(xiv)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \((7, 2)\) বিন্দুতে অবস্থিত এবং যা \(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0\) বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-14x-4y+28=0 \)।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-6x-10y-15=0 ……..(1)\)
এখানে,
\(2g=-6, 2f=-10, c=-15\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{6}{2}, f=-\frac{10}{2}, c=-15\)
\(\therefore g=-3, f=-5, c=-15\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (3, 5)\)
এখন,
কেন্দ্র \((7, 2)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-7)^2+(y-2)^2=r^2 …….(2)\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\((2)\) বৃত্ত \((3, 5)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore (3-7)^2+(5-2)^2=r^2\)
\(\Rightarrow (-4)^2+3^2=r^2\)
\(\Rightarrow 16+9=r^2\)
\(\Rightarrow 25=r^2\)
\(\Rightarrow r^2=25\)
\(r^2\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\((x-7)^2+(y-2)^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.7+7^2+y^2-2.y.2+2^2=25\)
\(\Rightarrow x^2-14x+49+y^2-4y+4-25=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-14x-4y+28=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, 0)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4x=0\) বৃত্ত ও \(x=3\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ ২০১২, যঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x=0 ……..(1)\)
\(x-3=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদ বিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-4x+k(x-3)=0 ……..(3)\) | Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+kx-3k=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+(k-4)x-3k=0\)
এখানে,
\(2g=k-4, 2f=0, c=-3k\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{k-4}{2}, f=\frac{0}{2}, c=-3k\)
\(\Rightarrow g=\frac{k-4}{2}, f=0, c=-3k\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-\frac{k-4}{2}, 0)\)
কিন্তু দেওয়া আছে কেন্দ্র \((6, 0)\)
\(\therefore (-\frac{k-4}{2}, 0)\Rightarrow (6, 0)\)
\(\Rightarrow -\frac{k-4}{2}=6 \)
\(\Rightarrow k-4=-12 \)
\(\Rightarrow k=4-12 \)
\(\Rightarrow k=-8 \)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4x-8(x-3)=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-8x+24=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12x+24=0 \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xvi)\) মূলবিন্দু এবং \(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0\) বৃত্ত ও \(2x+3y+1=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+6x+8y=0 \)।

সমাধানঃ

মনে করি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4=0 ……..(1)\)
\(2x+3y+1=0 ………(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদ বিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+k(2x+3y+1)=0 ……..(3)\) | Note \(ax+by+c_{1}=0\) রেখা ও \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ, \(x^2+y^2+2gx+2fy+c+k(ax+by+c_{1})=0\); \(k\) শুন্য ব্যতীত যে কোন বাস্তব সংখ্যা।
\((3)\) বৃত্ত মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore 0^{2}+0^{2}-2.0-4.0-4+k(2.0+3.0+1)=0\)
\(\Rightarrow 0-4+k(0+1)=0\)
\(\Rightarrow -4+k.1=0\)
\(\Rightarrow -4+k=0\)
\(\therefore k=4\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+4(2x+3y+1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y-4+8x+12y+4=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x+8y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xvii)\) মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ সিঃ ২০১২, ঢাঃরাঃ ২০১১, যঃ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-3x-5y=0 \)।

সমাধানঃ

মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(3\) ও \(5\) একক অংশ ছেদ করে।
অর্থাৎ বৃত্তটি যথাক্রমে \(A(3, 0)\) ও \(B(0, 5)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore 3^2+0^2+2g.3+2f.0=0\)locus4
\(\Rightarrow 9+0+6g+0=0\)
\(\Rightarrow 9+6g=0\)
\(\Rightarrow 6g=-9\)
\(\Rightarrow g=-\frac{9}{6}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{2}\)
আবার,
\(0^2+5^2+2g.0+2f.5=0\)
\(\Rightarrow 0+25+0+10f=0\)
\(\Rightarrow 25+10f=0\)
\(\Rightarrow 10f=-25\)
\(\Rightarrow f=-\frac{25}{10}\)
\(\Rightarrow f=-\frac{5}{2}\)
এখন,
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2\left(-\frac{3}{2}\right)x+2\left(-\frac{5}{2}\right)y=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xviii)\)একটি বৃত্ত মূলবিন্দু বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(X\) ও \(Y\) অক্ষদ্বয়ের ধনাত্মক দিক হতে যথাক্রমে \(a\) ও \(a\) একক অংশ কর্তন করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-ax-by=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.1.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q.1.(xix)\) \(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) কে অক্ষ ধরে প্রমাণ কর যে, বর্গটির পরিবৃত্তের সমীকরণ হবে \(x^{2}+y^{2}=b(x+y)\) । [রাঃ ২০১০, বঃ ২০১৩ ] ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\(b\) বাহুবিশিষ্ট \(OABC\) একটি বর্গ । \(OA\) এবং \(OC\) অক্ষদ্বয় বরাবর।
\(\therefore O(0, 0), A(b, 0), C(0, b) \)
তাহলে,
নির্ণেয় বৃত্তটি মূলবিন্দু তথা \(O(0, 0)\), \(A(b, 0)\) এবং \(C(0, b)\) বিন্দুগামী।
মূলবিন্দুগামী বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy=0 ……..(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি যথাক্রমে \(A(b, 0)\) ও \(C(0, b)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
\(\therefore b^2+0^2+2g.b+2f.0=0\)
\(\Rightarrow b^2+0+2bg+0=0\)
\(\Rightarrow b^2+2bg=0\)
\(\Rightarrow b(b+2g)=0\)
\(\Rightarrow b\ne 0, b+2g=0\)
\(\Rightarrow 2g=-b\)
\(\Rightarrow g=-\frac{b}{2}\)
আবার,
\(\therefore 0^2+b^2+2g.0+2f.b=0\)
\(\Rightarrow 0+b^2+0+2bf=0\)
\(\Rightarrow b^2+2bf=0\)
\(\Rightarrow b(b+2f)=0\)
\(\Rightarrow b\ne 0, b+2f=0\)
\(\Rightarrow 2f=-b\)
\(\Rightarrow f=-\frac{b}{2}\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2\left(-\frac{b}{2}\right)x+2\left(-\frac{b}{2}\right)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-bx-by=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=bx+by\)
\(\therefore x^2+y^2=b(x+y)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xx)\) \(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0\) একটি বৃত্ত নির্দেশ করলে, \(a\) ও \(b\) এর মাণ নির্ণয় কর। অতপর বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(a=-2, b=0; (2, 3); 4\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(ax^{2}+2bxy-2y^{2}+8x+12y+6=0 …….(1)\)
\((1)\) নং সমীকরণকে, সাধারণ সমীকরণ \(a_1x^{2}+2h_1xy+b_1y^{2}+2g_1x+2f_1y+c_1=0\) এর সহিত তুলুনা করে,
\(a_1=a, b_1=-2, 2h_1=2b, 2g_1=8, 2f_1=12, c_1=6\)
\(\Rightarrow a_1=a, b_1=-2, h_1=b, g_1=4, f_1=6, c_1=6\)
\((1)\) নং সমীকরণ একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে যদি,
\((a) a_1=b_1\) হয়।
\(\therefore a=-2\)
\((b) h_1=0\) হয়।
\(\therefore b=0\)
এই ক্ষেত্রে \((1)\) নং সমীকরণটি দাঁড়ায়,
\(-2x^{2}+2.0.xy-2y^{2}+8x+12y+6=0\)
\(\Rightarrow -2x^{2}-2y^{2}+8x+12y+6=0\)
\(\Rightarrow -2(x^{2}+y^{2}-4x-6y-3)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=\frac{0}{-2}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0 …….(2)\)
এখানে,
\(2g=-4, 2f=-6, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=-3\)
\(\Rightarrow g=-2, f=-3, c=-3\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{4+9+3}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)

\(Q.1.(xxi)\) \((a, b)\)কেন্দ্র এবং \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0\)।

locus4

সমাধানঃ

আমরা জানি,
কেন্দ্র \((h ,k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2 …..(1)\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
এখানে,
\((h ,k)\Rightarrow (a, b), r\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\Rightarrow h=a, k=b; r\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\therefore (1)\) হতে,
\((x-a)^2+(y-b)^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.a+a^2+y^2-2.y.b+b^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-a^2-b^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2ax-2by=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.1.(xxii)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((9, 4)\) এবং যা \((1, -2)\) বিন্দু দিয়ে যায়। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-18x-8y-3=0;\)।

সমাধানঃ

\(Q1.(ix)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q.1.(xxiii)\) \((0, 0)\), \((2a, 0)\) এবং \((0, 2b)\) বিন্দু তিনটি দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ, কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0, (a, b), \sqrt{a^{2}+b^{2}};\)।

সমাধানঃ

\(Q1.(viii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q.1.(xxiv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0\) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।

locus4

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 ……(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=-6, c=16\)
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=-\frac{6}{2}, c=16\)
\(\therefore g=-4, f=-3, c=16\)
এবং
\(g^2=(-4)^2=16=c\)
\(\therefore g^2=c\)
\(\therefore (1)\) নং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।

\(Q.1.(xxv)\) দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।

সমাধানঃ

ধরি, locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0 ………(1)\)
এবং
\(3x^{2}+3y^{2}-12x+18y+28=0\)
\(\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3})=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3}=\frac{0}{3}\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4x+6y+\frac{28}{3}=0 ……….(2)\)
\((1)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে,
\(2g=-4, 2f=6\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}\)
\(\therefore g=-2, f=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -3)\)
আবার,
\((2)\) নং সমীকরণের ক্ষেত্রে অনুরূপ,
\(2g=-4, 2f=6\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}\)
\(\therefore g=-2, f=3\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, -3)\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি এককেন্দ্রিক।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply