বৃত্ত-১ (Circle-One)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.2\)-এর প্রশ্নসমূহ

\(Q.2.(i)\) \((2, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১, ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0; 2\sqrt{5}\)।

\(Q.2.(ii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((-5, 7)\) এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+10x-14y+25=0 \)।

\(Q.2.(iii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(3x-4y+8=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।

\(Q.2.(iv)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3,0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0 \)।

\(Q.2.(v)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})-25x=0 \)।

\(Q.2.(vi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}=9\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)।

\(Q.2.(vii)\) \(4\sqrt{2}\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের একটি শীর্ষ মূলবিন্দুতে এবং এর বিপরীত শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ঐ বর্গের কর্ণকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 8x=0 \)।

\(Q.2.(viii)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(y=4\), \(y=10\) এবং \(x=0\) রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 6x-14y+49=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)।

\(Q.2.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দুগামী । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x+8y-30=0 \)।

\(Q.2.(x)\) \((-4, 3)\) ও \((12, -1)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4\sqrt{13} \)।

\(Q.2.(xi)\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4 \)।

\(Q.2.(xii)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 9)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-10y+4=0 \)।

\(Q.2.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষকে \((0, \sqrt{3})\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x-2\sqrt{3}y+3=0; (-2, \sqrt{3}), 2\)।

\(Q.2.(xiv)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ; সিঃ ২০১১; ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0 \)।

\(Q.2.(xv)\) \(x+2y+3=0\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((-1, -1)\) এবং \((3, 2)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০.১৩ ; সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0 \)।

\(Q.2.(xvi)\) \((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর সমীকরণসহ \(Y\) অক্ষ হতে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0; 2\sqrt{3}\)।

\(Q.2.(xvii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})-25x=0\)।

\(Q.2.(xviii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3,0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0\)।

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.2\) প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.2.(1)\) \((2, 3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি \(Y\) অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
[বঃ ২০০১, ঢাঃ ২০০২ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0; 2\sqrt{5}\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0 ……(1)\) | কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), ব্যাসার্ধ \(\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}\), বৃত্তের সমীকরণ,\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
এখানে,
\((-g, -f)\Rightarrow (2, 3)\)
\(\Rightarrow -g=2, -f=3\)
\(\therefore g=-2, f=-3\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(g^2=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \( g^2=c\)
\(\Rightarrow (-2)^2=c\)
\(\Rightarrow 4=c\)
\(\Rightarrow c=4\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+2.(-2).x+2.(-3).y+4=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0 \)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছদাংশ \(=2\sqrt{f^2-c}\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2-4}\)
\(=2\sqrt{9-4}\)
\(=2\sqrt{5}\)

\(Q.2.(ii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((-5, 7)\) এবং \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+10x-14y+25=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(iii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \(3x-4y+8=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x=0 \); \(x^{2}+y^{2}+2x=0 \)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,locus4
বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী,
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+2gx+2fy=0 ……(1)\)
যার কেন্দ্র \((-g, -f)\)
এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2}\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore f^2=c\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্তের \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \(f^2=c\)
\(\Rightarrow f^2=0\) | \(\because c=0\)
\(\therefore f=0\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \(3x-4y+8=0\) সরলরেখাকে স্পর্শ করে।
ফলে কেন্দ্র হতে সরলরেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\sqrt{g^2+f^2}=\frac{|3.(-g)-4(-f)+8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) | \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2+f^2}=\frac{|-3g+4f+8|}{\sqrt{9+16}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2+0^2}=\frac{|-3g+4.0+8|}{\sqrt{25}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2}=\frac{|-(3g-8)|}{5}\)
\(\Rightarrow g=\frac{|(3g-8)|}{5}\)
\(\Rightarrow 5g=|(3g-8)|\)
\(\Rightarrow 5g=\pm (3g-8)\)
\(\Rightarrow 5g=3g-8\) | ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5g-3g=-8\)
\(\Rightarrow 2g=-8\)
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}\)
\(\therefore g=-4\)
আবার,
\(\Rightarrow 5g=-3g+8\) | ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow 5g+3g=8\)
\(\Rightarrow 8g=8\)
\(\Rightarrow g=\frac{8}{8}\)
\(\therefore g=1\)
\(g, f\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-4, f=0 \)
\(x^{2}+y^{2}+2.(-4).x+2.0.y=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-8x=0 \)
যখন,
\(g=1, f=0 \)
\(x^{2}+y^{2}+2.1.x+2.0.y=0 \)
\(\therefore x^{2}+y^{2}+2x=0 \)
নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-8x=0, x^{2}+y^{2}+2x=0 \)

\(Q.2.(iv)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 2)\) ও \((3, 2)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[দিঃ ২০১২, ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(2(x^{2}+y^{2})-8x-5y+8=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(1, 2)\), \(B(3, 2)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(1, 2)\) ও \(B(3, 2)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-3)+(y-2)(y-2)+k\{(x-1)(2-2)\)\(-(y-2)(1-3)\}=0\) | দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x^2-x-3x+3+(y-2)^2+k\{(x-1).0+\)\(2(y-2)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+3+y^2-4y+4+k\{0+2y-4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y+7+2ky-4k=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+(2k-4)y+7-4k=0 ……(1)\)
এখানে,locus4
\(2g=-4, 2f=2k-4, c=7-4k\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{4}{2}, f=\frac{2k-4}{2}, c=7-4k\)
\(\Rightarrow g=-2, f=\frac{2(k-2)}{2}, c=7-4k\)
\(\therefore g=-2, f=k-2, c=7-4k\)
\(\because (1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore g^2=c\)
\(\Rightarrow (-2)^2=7-4k\)
\(\Rightarrow 4=7-4k\)
\(\Rightarrow 4k=7-4\)
\(\Rightarrow 4k=3\)
\(\therefore k=\frac{3}{4}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-4x+(2\times \frac{3}{4}-4)y+7-4\times \frac{3}{4}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+(\frac{3}{2}-4)y+7-3=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+\frac{3-8}{2}y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-\frac{5}{2}y+4=0\)
\(\therefore 2(x^2+y^2)-8x-5y+8=0\) | উভয় পার্শে \(2\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(v)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে মূলবিন্দিতে স্পর্শ করে এবং \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})=10y \)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,
বৃত্তটি \((0, 0)\), \((1, 3)\) বিন্দু দিয়ে যায়।
খলিফার নিয়মানুসারে,
\((0, 0)\), \((1, 3)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-1)+(y-0)(y-3)+k\{(x-0)(0-3)\)\(-(y-0)(0-1)\}=0\) | দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_{1}, y_{1})\) এবং \((x_{2}, y_{2})\) দিয়ে গমনকারী বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})+k\{(x-x_{1})(y_{1}-y_{2})-(y-y_{1})(x_{1}-x_{2})\}=0\) ( খলিফার নিয়ম। )
\(\Rightarrow x(x-1)+y(y-3)+k\{-3x+y\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-x+y^2-3y-3kx+ky=0\)
\(\therefore x^2+y^2-(1+3k)x+(k-3)y=0 ……(1)\)
এখানে,locus4
\(2g=-(1+3k), 2f=k-3, c=0\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{(1+3k)}{2}, f=\frac{k-3}{2}, c=0\)
\(\because (1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore g^2=c\)
\(\Rightarrow (-\frac{(1+3k)}{2})^2=0\)
\(\Rightarrow (\frac{(1+3k)}{2})^2=0\)
\(\Rightarrow \frac{(1+3k)}{2}=\sqrt{0}\)
\(\Rightarrow 1+3k=0\times 2\)
\(\Rightarrow 1+3k=0\)
\(\Rightarrow 3k=-1\)
\(\therefore k=-\frac{1}{3}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-(1+3\times -\frac{1}{3})x+(-\frac{1}{3}-3)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-0.x+\frac{(-1-9)}{3}y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{-10}{3}y=0\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2)-10y=0\) | উভয় পার্শে \(3\) গুণ করে।
\(\therefore 3(x^2+y^2)=10y\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(vi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((3, 4)\) এবং যা \(x^{2}+y^{2}=9\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
[চঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,locus4
কেন্দ্র \((h, k)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
অনুরূপভাবে
কেন্দ্র \(C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=r^2 …….(1)\) | কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
আবার,
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=9\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=3^2 ……..(2)\)
\((2)\) এর কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(3\)
\((1)\) ও \((2)\) নং বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করবে যদি,
\(CO=r\pm 3\) হয়। | \(x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0 ….(1)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{1}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{1}\) \(x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0 ….(2)\) বৃত্তের, কেন্দ্রঃ \(C_{2}\) ব্যাসার্ধঃ \(r_{2}\); \((1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় পরস্পরকে স্পর্শ করবে যদি, \(C_{1}C_{2}=r_{1}\pm r_{2}\) হয়।
\(\Rightarrow \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=r\pm 3\)
\(\Rightarrow 5=r\pm 3\)
\(\Rightarrow r\pm 3=5\)
\(\Rightarrow r+3=5\) | ধনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow r=5-3\)
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\Rightarrow r-3=5\) | ঋনাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করে।
\(\Rightarrow r=5+3\)
\(\therefore r=8\)
\(r\) এর মান \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
যখন,
\(r=2\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=2^2 \)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.4+4^2=4 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16-4=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y+21=0 \)
যখন,
\(r=8\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-4)^2=8^2 \)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.4+4^2=64 \)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-8y+16-64=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-6x-8y-39=0 \)
\(\therefore \) নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0 \); \(x^{2}+y^{2}-6x-8y-39=0 \)।

\(Q.2.(vii)\) \(4\sqrt{2}\) বাহুবিশিষ্ট বর্গের একটি শীর্ষ মূলবিন্দুতে এবং এর বিপরীত শীর্ষ \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। ঐ বর্গের কর্ণকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 8x=0 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{2}\)
\(\therefore \) বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=4\sqrt{2}\sqrt{2}\) | \(\because \) বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য \(=a\sqrt{2}\)
\(=4(\sqrt{2})^2\)
\(=4\times 2\)
\(=8\)
তাহলে বর্গের কর্ণের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হবে,
\(O(0, 0)\) এবং \(A(\pm 8, 0)\)।
\(OA\)কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x\pm 8)+(y-0)(y-0)=0\)
\(\Rightarrow x(x\pm 8)+y^2=0\)
\(\Rightarrow x^2\pm 8x+y^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 8x=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(viii)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(y=4\), \(y=10\) এবং \(x=0\) রেখাত্রয়কে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 6x-14y+49=0 \) ।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(y-4=0 ……..(1)\)
\(y-10=0 ……..(2)\)
এবং \(x=0……..(3)\)
\((1)\) ও \((2)\) সমান্তরাল রেখাদ্বয় কে বৃত্তটি স্পর্শ করে,
\(\therefore \) বৃত্তটির ব্যাস \(=\frac{|10-4|}{\sqrt{0^2+1^2}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{1}}\)
\(=6\)
\(\therefore \) বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(=\frac{6}{2}\)
\(=3\)
আবার,
বৃত্তটি \((3)\) নং সরলরেখা তথা \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্রের \(x\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\pm 3, k)\)
শর্তমতে,
কেন্দ্র \(C(\pm 3, k)\) হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \frac{|k-4|}{\sqrt{0^2+1^2}}=3\)
\(\Rightarrow \frac{|k-4|}{\sqrt{1}}=3\)
\(\Rightarrow |k-4|=3\)
\(\Rightarrow k-4=\pm 3\)
\(\Rightarrow k-4=3, k-4\ne -3\)
\(\Rightarrow k=3+4\)
\(\therefore k=7\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\pm 3, 7)\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x\pm 3)^2+(y-7)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2\pm 2.x.3+3^2+y^2-2.y.7+7^2=9\)
\(\Rightarrow x^2\pm 6x+9+y^2-14y+49-9=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 6x-14y+49=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(ix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত এবং তা \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দুগামী । বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[চঃ ২০০৭ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x+8y-30=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তটির সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ………(1)\)
যার কেন্দ্র \(C(-g, -f)\), \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -g+2=0\)
\(\Rightarrow -g=-2\)
\(\therefore g=2\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দুগামী ।
\(\therefore(-7)^2+1^2+2g.(-7)+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 49+1-14g+2f+c=0\)
\(\Rightarrow 50-14.2+2f+c=0\) | \(\because g=2\)
\(\Rightarrow 50-28+2f+c=0\)
\(\Rightarrow 22+2f+c=0\)
\(\therefore 2f+c+22=0 ……(2)\)
আবার,
\(\therefore(-1)^2+3^2+2g.(-1)+2f.3+c=0\)
\(\Rightarrow 1+9-2g+6f+c=0\)
\(\Rightarrow 10-2.2+6f+c=0\) | \(\because g=2\)
\(\Rightarrow 10-4+6f+c=0\)
\(\Rightarrow 6+6f+c=0\)
\(\therefore 6f+c+6=0 ……(3)\)
এখন,
\((3)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(6f+c+6-2f-c-22=0\)
\(\Rightarrow 4f-16=0\)
\(\Rightarrow 4f=16\)
\(\Rightarrow f=\frac{16}{4}\)
\(\therefore f=4\)
\((3)\) হতে,
\(6.4+c+6=0\)
\(\Rightarrow 24+c+6=0\)
\(\Rightarrow c+30=0\)
\(\therefore c=-30\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2+2g.2+2f.4+(-30)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4g+8f-30=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.2.(x)\) \((-4, 3)\) ও \((12, -1)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4\sqrt{13} \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(A(-4, 3)\) ও \(B(12, -1)\)
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x+4)(x-12)+(y-3)(y+1)=0\) | \(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-12x-48+y^2-3y+y-3=0\)
\(\therefore x^2+y^2-8x-2y-51=0 ………(1)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
আবার,
\((1)\) হতে,
\(2g=-8, 2f=-2, c=-51\) | \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=-51\)
\(\Rightarrow g=-4, f=-1, c=-51\)
বৃত্তটি দ্বারা \(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-51)}\)
\(=2\sqrt{1+51}\)
\(=2\sqrt{52}\)
\(=2\sqrt{4\times 13}\)
\(=2\times 2\sqrt{13}\)
\(=4\sqrt{13}\)

\(Q.2.(xi)\) \((0, -1)\) ও \((2, 3)\) বিন্দু দ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। বৃত্তটি দ্বারা \(X\) অক্ষের ছেদিতাংশের পরিমাণও নির্ণয় কর।
[ঢাঃ ২০১৩ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x-2y-51=0; 4 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xii)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 9)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-10y+4=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xiii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(Y\) অক্ষকে \((0, \sqrt{3})\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((-1, 0)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
[যঃ ২০১০ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+4x-2\sqrt{3}y+3=0;\) \( (-2, \sqrt{3}), 2\)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xiv)\) একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -1)\) বিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০০৮ ; সিঃ ২০১১; ঢাঃ ২০১২]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x+2y+4=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xv)\) \(x+2y+3=0\) রেখার উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \((-1, -1)\) এবং \((3, 2)\) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।
[কুঃ ২০.১৩ ; সিঃ ২০১০]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xvi)\)
\((1, 2)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর সমীকরণসহ \(Y\) অক্ষ হতে তা কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তাও নির্ণয় কর।
[ দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0; 2\sqrt{3} \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xvii)\) \(Y\) অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
[ ঢাঃ ২০০৫; দিঃ ২০১১ ]
উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})-25x=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q.2.(xviii)\) \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((3,0)\) ও \((7, 0)\) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-10x\pm 2\sqrt{21}y+21=0 \)।

সমাধানঃ

1 2 3 4 5 6

Please comment on the Article