বৃত্ত-১ (Circle-One)

# অনুশীলনী \(4.A\) প্রশ্নসমূহ

\(Q 3.\)

\((i)\) \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\) দ্বারা নির্দেশিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)।
সমাধান
\((ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও \((p, q)\) বিন্দু দিয়ে যায়। [ঢাঃ ২০১২; চঃ রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(q(x^{2}+y^{2})-(p^{2}+q^{2})y=0 \)।
সমাধান
\((iii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x-2y+22=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-\frac{17}{5}, \frac{11}{5})\)।
সমাধান
\((iv)\) \((1, 1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(1\) । বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [যঃ ২০০৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\);\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\)।
সমাধান
\((v)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র \(x+y=3\) রেখার উপর অবস্থিত। [কুঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\); \(x^2+y^2+4x-10y+4=0\)।
সমাধান
\((vi)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।
সমাধান
\((vii)\) \(x^{2}+y^{2}=9\) এবং \(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা -এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+2y+5=0; 4\)।
সমাধান
\((viii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((0, 0)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})=25x\)।
সমাধান
\((ix)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরত্বে \(X\) অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং যার ব্যাসার্ধ \(5\) একক। [যঃ ২০০৫; বঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 2\sqrt{21}y-4=0\)।
সমাধান
\((x)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি \(x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0\) বৃত্তের উপর অবস্থিত । \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০; দিঃ ২০১২; বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((-5, -7)\)।
সমাধান
\((xi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) ও \(Y\) অক্ষরেখা হতে যথাক্রমে \(5\) এবং \(2\) একক দৈর্ঘ্যের সমান অংশ কর্তন করে এবং যার কেন্দ্র \(2x-y=6\) রেখার উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-5x+2y=0\);\(x^{2}+y^{2}-11x-10y+24=0\)।
সমাধান
\((xii)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যখন বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\)। উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)।
সমাধান
\((xiii)\) একটি বৃত্ত \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং এর কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [সিঃ ২০১০;কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0\)।
সমাধান
\((xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0\) বৃত্তের বর্ধিত যে ব্যাসটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০১ ] উত্তরঃ \(4x+y-13=0 \)।
সমাধান
\((xv)\)একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 3)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4y=0\) বৃত্ত ও \(y-2=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। ঐ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6y+4=0 \)।
সমাধান
\((xvi)\) \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{c}\) হলে, দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+2ax+c=0\) ও \(x^{2}+y^{2}+2by+c=0\)বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে ।
সমাধান
\((xvii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(7\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(4\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-14r\cos\theta+33=0\)।
সমাধান
\((xviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-16r\sin\theta+39=0\)।
সমাধান
\((xix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-12r\sin\theta+25=0\)।
সমাধান
\((xx)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-16r\cos\theta+39=0\)।
সমাধান
\((xxi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, 30^{o})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4r^{2}-24r\cos(\theta-30^{o})+27=0\)।
সমাধান
\((xxii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, \frac{pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4r^{2}-12r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+27=0\)।
সমাধান
\((xxiii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{3})+12=0\)।
সমাধান
\((xxiv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((2,\frac{\pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-2r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+3=0\)।
সমাধান
\((xxv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)।
সমাধান
\((xxvi)\) যদি বৃত্তের উপরস্থ \((4, 1)\) বিন্দুটি \((1+5\cos\theta, -3+5\sin\theta)\) দ্বারা প্রকাশিত হয়, তবে এ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, -7)\)।
সমাধান
\((xxvii)\) দেখাও যে, \(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।
সমাধান
\((xxviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3,\frac{\pi}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\) একক হলে ; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}+6r\sin\theta+5=0\)।
সমাধান
\((xxix)\) \(x=a(\cos\theta-1)\) এবং \(y=a(\sin\theta+1)\) হলে, বৃত্তটির কার্তেসীয় সমীকরণ, ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0, (-a, a), a\)।
সমাধান
\((xxx)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-18=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x-18y+36=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{13}, \frac{33}{13}\right)\)।
সমাধান
\((xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-10x-6y+14=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে \((3, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সমাধান
\((xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। এর মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y=x\)।
সমাধান
\((xxxiii)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) ও \((a, b)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্ত \(X\) অক্ষকে এমন বিন্দুতে ছেদ করে যার ভুজ হবে \(x^{2}-ax+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়।
সমাধান
\((xxxiv)\) \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 0)\) ও \((2, 0)\) ; \(BC\) বাহুকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0 \)।
সমাধান
\((xxxv)\) \(x^{2}+2ax-b^{2}=0\) এর মূলদ্বয় \(A\) ও \(B\) বিন্দুর ভুজ এবং \(x^{2}+2px-q^{2}=0\) এর মূলদ্বয় তাদের কটি হলে \(AB\) ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax+2py-b^{2}-q^{2}=0 \)।
সমাধান
\((xxxvi)\) \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\) বৃত্তের কেন্দ্র হতে \(3\) একক দূরে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \( 8\)।
সমাধান

অনুশীলনী \(4.A\) সমাধান

\(Q 3.(i)\) \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\) দ্বারা নির্দেশিত বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0 …….(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0 ……..(2)\)
\(()1)-((2)\) এর সাহায্যে,
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36-x^{2}-y^{2}+5x-8y+43=0 \)
\(\Rightarrow -4x+6y-36+5x-8y+43=0 \)
\(\therefore x-2y+7=0 \)
ইহাই সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ।

\(Q 3.(ii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত এবং যা মূলবিন্দু ও \((p, q)\) বিন্দু দিয়ে যায়। [ঢাঃ ২০১২; চঃ রাঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(q(x^{2}+y^{2})-(p^{2}+q^{2})y=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(O(0, 0)\), \(A(p, q)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(O(0, 0)\) ও \(A(p, q)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-p)+(y-0)(y-q)+k\{(x-0)(0-q)\)\(-(y-0)(0-p)\}=0\)
\(\Rightarrow x(x-p)+y(y-q)+k\{-qx+py\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-px+y^2-qy-qkx+pky=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(p+qk)x+(pk-q)y=0 ……..(1)\)
এখানে,locus4
\(2g=-(p+qk), 2f=(pk-q), c=0\)
\(\Rightarrow g=-\frac{(p+qk)}{2}, f=\frac{(pk-q)}{2}, c=0\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\therefore C(\frac{(p+qk)}{2}, -\frac{(pk-q)}{2})\)
দেওয়া আছে,
\((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত ।
\(\therefore \frac{(p+qk)}{2}=0\)
\(\Rightarrow p+qk=0\times 2\)
\(\Rightarrow p+qk=0\)
\(\Rightarrow qk=-p\)
\(\therefore k=-\frac{p}{q}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-(p+q\times -\frac{p}{q})x+(p\times -\frac{p}{q}-q)y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-(p-p)x+(\frac{-p^2-q^2}{q})y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-0.x-\frac{p^2+q^2}{q}y=0\)
\(\therefore q(x^2+y^2)-(p^2+q^2)y=0\) [ \(q\) গুন করে। ]
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(iii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x-2y+22=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-\frac{17}{5}, \frac{11}{5})\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0 ………(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+10x-2y+22=0 ……..(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=2, 2f=-8, c=8\)
\(\Rightarrow g=\frac{2}{2}, f=-\frac{8}{2}, c=8\)
\(\Rightarrow g=1, f=-4, c=8\)
কেন্দ্র \(C_1(-1, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{1^2+(-4)^2-8}\)
\(=\sqrt{1+16-8}\)
\(=\sqrt{1+8}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=10, 2f=-2, c=8\)
\(\Rightarrow g=\frac{10}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=22\)
\(\Rightarrow g=5, f=-1, c=22\)
কেন্দ্র \(C_2(-5, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{5^2+(-1)^2-22}\)
\(=\sqrt{25+1-22}\)
\(=\sqrt{26-22}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(-1+5)^2+(4-1)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=3+2\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
প্রমাণিত।

\(Q 3.(iv)\) \((1, 1)\) এবং \((2, 2)\) বিন্দু দিয়ে গমনকারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(1\) । বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [যঃ ২০০৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\);\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(A(1, 1)\) এবং \(B(2, 2)\)
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(1, 1)\) এবং \(B(2, 2)\) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)+k\{(x-1)(1-2)\)\(-(y-1)(1-2)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2x+2+y^2-y-2y+2+k\{-(x-1)\)\(+(y-1)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-3x+2+y^2-3y+2+k\{-x+1+y-1\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-3y+4+k\{-x+y\}=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-3y+4-kx+ky=0 \)
\(\therefore x^2+y^2-(3+k)x-(3-k)y+4=0 ……..(1)\)
এখানে,locus4
\(2g=-(3+k), 2f=-(3-k), c=4\)
\(\Rightarrow g=-\frac{(3+k)}{2}, f=-\frac{(3-k)}{2}, c=4\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{(3+k)}{2}\right)^2+\left(-\frac{(3-k)}{2}\right)^2-4}\)
\(=\sqrt{\frac{(3+k)^2}{4}+\frac{(3-k)^2}{4}-4}\)
\(=\sqrt{\frac{(3+k)^2+(3-k)^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2.3^2+2.k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2.9+2k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{18+2k^2-16}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2k^2+2}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{2(k^2+1)}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k^2+1}{2}=1\) [ বর্গ করে। ]
\(\Rightarrow k^2+1=2\)
\(\Rightarrow k^2=2-1\)
\(\Rightarrow k^2=1\)
\(\therefore k=\pm 1\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(k=1\),
\(x^2+y^2-(3+1)x-(3-1)y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4x-2y+4=0\)
যখন,
\(k=-1\),
\(x^2+y^2-(3-1)x-(3+1)y+4=0\)
\(\therefore x^2+y^2-2x-4y+4=0\)
নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\);\(x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0\)।

\(Q 3.(v)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে এবং \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র \(x+y=3\) রেখার উপর অবস্থিত। [কুঃ ২০০৮ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\); \(x^2+y^2+4x-10y+4=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,
বৃত্তের সমীকরণ,straight3
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ………(1)\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\) যা \(x+y=3\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(-g-f=3\)
\(\Rightarrow g+f=-3\) [ \(-1\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow g+f+3=0 ………(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে ।
\(\Rightarrow g^2=c ……(3)\)
আবার,
\((1)\) নং বৃত্ত \((1, 1)\) বিন্দু দিয়ে যায় ।
\(\therefore 1^2+1^2+2g.1+2f.1+c=0\)
\(\Rightarrow 1+1+2g+2f+g^2=0\) [ \((3)\) সাহায্যে। ]
\(\Rightarrow g^2+2g+2f+2=0 …..(4)\)
\((4)-(2)\times 2\) এর সাহায্যে।
\(g^2+2g+2f+2-2g-2f-6=0\)
\(\Rightarrow g^2-4=0\)
\(\Rightarrow g^2=4\)
\(\therefore g=\pm 2\)
\((2)\) হতে,
\(g=2\Rightarrow f=-5\)
\(g=-2\Rightarrow f=-1\)
\((3)\) হতে,
\(g=\pm 2\Rightarrow c=4\)
এখন,
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বিসিয়ে,
যখন,
\(g=2, f=-5, c=4\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.2.x+2.(-5).y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+4x-10y+4=0\)
যখন,
\(g=-2, f=-1, c=4\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-2).x+2.(-1).y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-2y+4=0\)
নির্ণেয় বৃত্ত দ্বয়ের সমীকরণ, \(x^{2}+y^{2}-4x-2y+4=0\); \(x^2+y^2+4x-10y+4=0\)।

\(Q 3.(vi)\) \(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা যে বৃত্তের ব্যাস তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [বঃ ২০০৫ ] উত্তরঃ \(5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6=0 ……(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+8x+y+10=0 ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+8x+y+10-x^{2}-y^{2}-6x-2y-6=0\)
\(\therefore 2x-y+4=0 ……..(3)\)
\((1)\) ও \((3)\) এর ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6+k(2x-y+4)=0 ……(4)\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6x+2y+6+2kx-ky+4k=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}+(6+2k)x+(2-k)y+6+4k=0\)
এখানে,locus4
\(2g=(6+2k), 2f=(2-k), c=6+4k\)
\(\Rightarrow g=\frac{(6+2k)}{2}, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
\(\Rightarrow g=\frac{2(3+k)}{2}, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
\(\therefore g=3+k, f=\frac{(2-k)}{2}, c=6+4k\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\((-(3+k), -\frac{(2-k)}{2})\)
শর্তমতে,
উক্ত কেন্দ্র, সাধারণ জ্যা \((3)\) এর উপর অবস্থিত।
\(2\{-(3+k)\}-\left\{-\frac{(2-k)}{2}\right\}+4=0\)
\(\Rightarrow -2(3+k)+\frac{(2-k)}{2}+4=0\)
\(\Rightarrow -4(3+k)+2-k+8=0\) [ \(2\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow -12-4k+2-k+8=0\)
\(\Rightarrow -2-5k=0\)
\(\Rightarrow -5k=2\)
\(\Rightarrow k=\frac{2}{-5}\)
\(\therefore k=-\frac{2}{5}\)
\(k\) এর মান \((4)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6-\frac{2}{5}(2x-y+4)=0\)
\(\Rightarrow 5(x^{2}+y^{2}+6x+2y+6)-2(2x-y+4)=0\) [ \(5\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow 5(x^{2}+y^{2})+30x+10y+30-4x+2y-8=0\)
\(\therefore 5(x^{2}+y^{2})+26x+12y+22=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(vii)\) \(x^{2}+y^{2}=9\) এবং \(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1=0\) বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা -এর সমীকরণ ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x+2y+5=0; 4\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}=3^2 ………(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1=0 …..(2)\)
\((1)\) নং বৃত্তের,
কেন্দ্র \(O(0, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(OP=3\)
এখন,
\((1)\) ও \((2)\) বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,
\((2)-(1)\) এর সাহায্যে,
\(x^{2}+y^{2}+2x+4y+1-x^{2}-y^{2}=0-3^2\)
\(\Rightarrow 2x+4y+1=0-9\)
\(\Rightarrow 2x+4y+1+9=0\)
\(\Rightarrow 2x+4y+10=0\)
\(\Rightarrow 2(x+2y+5)=0\)
\(\Rightarrow x+2y+5=\frac{0}{2}\)
\(\therefore x+2y+5=0 ……(3)\)
ইহাই সাধারণ জ্যে-এর সমীকরণ।
আবার,
কেন্দ্র \(O(0, 0)\) হতে সাধারণ জ্যে-এর লম্ব দূরত্ব \(OR=\frac{|0+2.0+5|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(=\frac{|5|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\triangle OPR\) সমকোণী।
\(\therefore OR^2+PR^2=OP^2\)
\(\Rightarrow PR^2=OP^2-OR^2\)
\(\therefore PR=\sqrt{OP^2-OR^2}\)
\(=\sqrt{3^2-(\sqrt{5})^2}\)
\(=\sqrt{9-5}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
এখন,
সাধারণ জ্যা \(PQ=2\times PR\)
\(=2\times 2\)
\(=4\)

\(Q 3.(viii)\) একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা \((0, 0)\) এবং \((3, -4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(3(x^{2}+y^{2})=25x\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(ix)\) এরূপ একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা মূলবিন্দু হতে \(2\) একক দূরত্বে \(X\) অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং যার ব্যাসার্ধ \(5\) একক। [যঃ ২০০৫; বঃ ২০১১ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}\pm 2\sqrt{21}y-4=0\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,
বৃত্তটি \(A(2, 0)\) এবং \(B(-2, 0)\) দিয়ে অতিক্রম করে।
খলিফার নিয়মানুসারে,
\(A(2, 0)\) এবং \(B(-2, 0)\) দিয়ে অতিক্রমকারী বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+2)+(y-0)(y-0)+k\{(x-2)(0-0)\)\(-(y-0)(2+2)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-2^2+y^2+k\{(x-2).0-(y-0).4\}=0\)
\(\Rightarrow x^2-4+y^2+k\{0-4y\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4-4ky=0\)
\(\therefore x^2+y^2-4ky-4=0 ……(1)\)
এখানে,locus4
\(2g=0, 2f=-4k, c=-4\)
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{4k}{2}, c=-4\)
\(\therefore g=0, f=-2k, c=-4\)
ব্যাসার্ধ \( =\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\( =\sqrt{0^2+(-2k)^2-(-4)}\)
\( =\sqrt{0+4k^2+4}\)
\( =\sqrt{4k^2+4}\)
শর্তমতে,
\(\sqrt{4k^2+4}=5\)
\(\Rightarrow 4k^2+4=25\)
\(\Rightarrow 4k^2=25-4\)
\(\Rightarrow k^2=\frac{21}{4}\)
\(\therefore k=\pm \frac{\sqrt{21}}{2}\)
\(k\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^2+y^2-4.(\pm \frac{\sqrt{21}}{2}).y-4=0\)
\(\therefore x^2+y^2\pm 2\sqrt{21}y-4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(x)\) দেখাও যে, \(A(1, 1)\) বিন্দুটি \(x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0\) বৃত্তের উপর অবস্থিত । \(A\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০১০; দিঃ ২০১২; বঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \((-5, -7)\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(f(x,y)\equiv x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0 ….(1)\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=6, c=-12\)
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-12\)
\(\Rightarrow g=2, f=3, c=-12\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-2, -3)\)
\(A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(x,y)= 1+1+4+6-12\)
\(\Rightarrow f(x,y)=12-12\)
\(\therefore f(x,y)=0\)
\(\because f(x,y)=0 \), \(\therefore A(1, 1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের উপর অবস্থিত।
আবার,
\(A(1, 1)\) বিন্দুগামী ব্যাসটির অপর প্রান্তবিন্দু \(B(x, y)\) হলে,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু হবে কেন্দ্র \(C(-2, -3)\)
আবার,
\(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(C(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\)
\(\therefore C(\frac{1+x}{2}, \frac{1+y}{2})\Rightarrow C(-2, -3)\)
\(\Rightarrow \frac{1+x}{2}=-2, \frac{1+y}{2}=-3\)
\(\Rightarrow 1+x=-4, 1+y=-6\)
\(\Rightarrow x=-4-1, y=-6-1\)
\(\Rightarrow x=-5, y=-7\)
\(\therefore B(-5, -7)\)
\(\therefore \) ব্যাসের অপর প্রান্তবিন্দু \(B(-5, -7)\).

\(Q 3.(xi)\) এরূপ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর, যা \(X\) ও \(Y\) অক্ষরেখা হতে যথাক্রমে \(5\) এবং \(2\) একক দৈর্ঘ্যের সমান অংশ কর্তন করে এবং যার কেন্দ্র \(2x-y=6\) রেখার উপর অবস্থিত। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-5x+2y=0\);\(x^{2}+y^{2}-11x-10y+24=0\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 ………(1)\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\) যা \(2x-y=6\) রেখার উপর অবস্থিত।
\(\therefore -2g+f=6\)
\(\Rightarrow f=6+2g …..(2)\)
\((1)\) নং বৃত্ত অক্ষ দ্বয় হতে যথাক্রমে \(5\) এবং \(2\) একক দৈর্ঘ্যের সমান অংশ কর্তন করে।
\(\therefore 2\sqrt{g^2-c}=5\)
\(\Rightarrow \sqrt{g^2-c}=\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow g^2-c=\frac{25}{4} ……(3)\) [ বর্গ করে।]
আবার,
\(2\sqrt{f^2-c}=2\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^2-c}=\frac{2}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{f^2-c}=1\)
\(\Rightarrow f^2-c=1 ……(4)\) [ বর্গ করে।]
\((3)-(4)\) এর সাহায্যে,
\(g^2-c-f^2+c=\frac{25}{4}-1\)
\(\Rightarrow g^2-f^2=\frac{25-4}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-f^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-(6+2g)^2=\frac{21}{4}\) [ \((2)\) শাহায্যে। ]
\(\Rightarrow g^2-6^2-2.6.2g-(2g)^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow g^2-36-24g-4g^2=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow -3g^2-24g-36=\frac{21}{4}\)
\(\Rightarrow 4g^2+32g+48=-7\) [ \(-\frac{4}{3}\) গুন করে ]
\(\Rightarrow 4g^2+32g+48+7=0\)
\(\Rightarrow 4g^2+32g+55=0\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{32^2-4.4.55}}{2.4}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{1024-880}}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm \sqrt{144}}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32\pm 12}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-32+12}{8}, \frac{-32-12}{8}\)
\(\Rightarrow g=\frac{-20}{8}, \frac{-44}{8}\)
\(\therefore g=-\frac{5}{2}, -\frac{11}{2}\)
\((2)\) ও \((4)\) হতে,
\(g=-\frac{5}{2}\Rightarrow f=1, c=0; g=-\frac{11}{2}\Rightarrow f=-5, c=24\)
\(g, f, c\) এর মান \((1)\) এ বসিয়ে,
যখন,
\(g=-\frac{5}{2}, f=1, c=0\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-\frac{5}{2}).x+2.1.y+0=0\)
\(\therefore x^2+y^2-5x+2y=0\)
যখন,
\(g=-\frac{11}{2}, f=-5, c=24\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^2+y^2+2.(-\frac{11}{2}).x+2.(-5).y+24=0\)
\(\therefore x^2+y^2-11x-10y+24=0\)
নির্ণেয় বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-5x+2y=0\);\(x^{2}+y^{2}-11x-10y+24=0\)।

\(Q 3.(xii)\) সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয় কর যখন বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ \(x^{2}+y^{2}-4x+6y-36=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-5x+8y-43=0\)। উত্তরঃ \(x-2y+7=0 \)।

সমাধানঃ

\(Q3.(i)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xiii)\) একটি বৃত্ত \((-7, 1)\) ও \((-1, 3)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং এর কেন্দ্র \(x+2=0\) রেখার উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর। [সিঃ ২০১০;কুঃ ২০১৩ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-8x+7y-3=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(ii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xiv)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0\) বৃত্তের বর্ধিত যে ব্যাসটি \((2, 5)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তার সমীকরণ নির্ণয় কর। [কুঃ ২০০১ ] উত্তরঃ \(4x+y-13=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(A(2, 5)\)
\(x^{2}+y^{2}-8x+6y+21=0 ……….(1)\)
এখানে,
\(2g=-8, 2f=6, c=21\)
\(\Rightarrow g=-\frac{8}{2}, f=\frac{6}{2}, c=21\)
\(\Rightarrow g=-4, f=3, c=21\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(4, -3)\)
বৃত্তের ব্যাস এর কেন্দ্র \(C(4, -3)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore AC\) তথা ব্যাসের সমীকরণ,
\(\frac{x-2}{2-4}=\frac{y-5}{5+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x-2}{-2}=\frac{y-5}{8}\)
\(\Rightarrow 8(x-2)=-2(y-5)\)
\(\Rightarrow 4(x-2)=-(y-5)\) [\(2\) ভাগ করে। ]
\(\Rightarrow 4x-8=-y+5\)
\(\Rightarrow 4x-8+y-5=0\)
\(\therefore 4x+y-13=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।

\(Q 3.(xv)\)একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 3)\) এবং তা \(x^{2}+y^{2}-4y=0\) বৃত্ত ও \(y-2=0\) রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়। ঐ বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [চঃ ২০০২ ] উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}-6y+4=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-4y=0 ……(1)\)
\(y-2=0 …….(2)\)
\(C(0, 3)\)
\((1)\) ও \((2)\) এর ছেদবিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,
\(x^{2}+y^{2}-4y+k(y-2)=0 ……(3)\) [ \(k\) শুন্য ব্যাতীত যে কোনো বাস্তব সংখ্যা। ]
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4y+ky-2k=0 \)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-(4-k)y-2k=0 \)
এখানে,
\(2g=0, 2f=-(4-k), c=-2k\)
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=-\frac{(4-k)}{2}, c=-2k\)
\(\Rightarrow g=0, f=-\frac{(4-k)}{2}, c=-2k\)
কেন্দ্র
\((0, \frac{(4-k)}{2})\)
কিন্তু কেন্দ্র দেওয়া আছে, \(C(0, 3)\)
\(\therefore \frac{(4-k)}{2}=3\)
\(\Rightarrow 4-k=6\)
\(\Rightarrow -k=6-4\)
\(\Rightarrow -k=2\)
\(\therefore k=-2\)
\(k\) এর মান \((3)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-4y-2(y-2)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4y-2y+4=0\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}-6y+4=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xvi)\) \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{c}\) হলে, দেখাও যে, \(x^{2}+y^{2}+2ax+c=0\) ও \(x^{2}+y^{2}+2by+c=0\)বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে ।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}+2ax+c=0 ……(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+2by+c=0 …….(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=2a, 2f=0, c_1=c\)
\(\Rightarrow g=\frac{2a}{2}, f=\frac{0}{2}, c_1=c\)
\(\Rightarrow g=a, f=0, c_1=c\)
কেন্দ্র \(C_1(-a, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{g^2+f^2-c_1}\)
\(=\sqrt{a^2+0^2-c}\)
\(=\sqrt{a^2-c}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=0, 2f=2b, c_2=c\)
\(\Rightarrow g=\frac{0}{2}, f=\frac{2b}{2}, c_2=c\)
\(\Rightarrow g=0, f=b, c_2=c\)
কেন্দ্র \(C_1(0, -b)\)
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{0^2+b^2-c_2}\)
\(=\sqrt{0^2+b^2-c}\)
\(=\sqrt{b^2-c}\)
\(\because \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে ।
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \sqrt{(-a-0)^2+(0+b)^2}=\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=(\sqrt{a^2-c}+\sqrt{b^2-c})^2\) [ বর্গ করে। ]
\(\Rightarrow a^2+b^2=(\sqrt{a^2-c})^2+(\sqrt{b^2-c})^2+2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=a^2-c+b^2-c+2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-a^2+c-b^2+c=2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow 2c=2\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{a^2-c}\sqrt{b^2-c}\)
\(\Rightarrow c^2=(a^2-c)(b^2-c)\) [আবার বর্গ করে। ]
\(\Rightarrow c^2=a^2b^2-cb^2-ca^2+c^2\)
\(\Rightarrow cb^2+ca^2=a^2b^2+c^2-c^2\)
\(\Rightarrow cb^2+ca^2=a^2b^2\)
\(\Rightarrow \frac{cb^2}{a^2b^2c}+\frac{ca^2}{a^2b^2c}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2c}\) [ \(a^2b^2c\) ভাগ করে। ]
\(\therefore \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c}\)
দেখানো হলো।

\(Q 3.(xvii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(7\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(4\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-14r\cos\theta+33=0\)।

সমাধানঃ

শর্তমতে,
বৃত্তের কেন্দ্র \(C(7, 0)\)
কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
এখানে,locus4
\(x=7, y=0\)
আমরা জানি,
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tan^-1\left( \frac{y}{x}\right)\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{7^2+0^2}, \theta=\tan^-1\left( \frac{0}{7}\right)\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{7^2}, \theta=\tan^-1 0\)
\(\Rightarrow r=7, \theta=0^o\)
কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক \((7, 0^o)\)
এখন,
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (7, 0^o)\)
\(\Rightarrow r_1=7, \theta_1=0^o\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow 4 \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.7\cos(\theta-0^o)+7^2=4^2\)
\(\Rightarrow r^2-14r\cos\theta+49=16\)
\(\Rightarrow r^2-14r\cos\theta+49-16=0\)
\(\therefore r^2-14r\cos\theta+33=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-16r\sin\theta+39=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xix)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(Y\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(6\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-12r\sin\theta+25=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xx)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \(X\) অক্ষের উপর যা মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে \(8\) একক দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ \(5\) একক হলে, এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-16r\cos\theta+39=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xvii)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxi)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, 30^{o})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4r^{2}-24r\cos(\theta-30^{o})+27=0\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
কেন্দ্র \((3, 30^{o})\) এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি,
এখানে,
\(r=3, \theta=30^o\)
আমরা জানি,
\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
\(\Rightarrow x=3\cos30^o, y=3\sin30^o\)
\(\Rightarrow x=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}, y=3\times \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3\sqrt{3}}{2}, y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \((\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\because \) বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
\(\therefore \) কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \) ব্যাসার্ধ \(a=\frac{3}{2}\)
এখন,
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (3, 30^{o})\)
\(\Rightarrow r_1=3, \theta_1=30^o\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow \frac{3}{2} \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.3\cos(\theta-30^o)+3^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow r^2-6r\cos(\theta-30^o)+9=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+36=9\) [ \(4\) গুন করে। ]
\(\Rightarrow 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+36-9=0\)
\(\therefore 4r^2-24r\cos(\theta-30^o)+27=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xxii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3, \frac{pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(X\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(4r^{2}-12r(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)+27=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xxi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxiii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-8r\cos(\theta-\frac{\pi}{3})+12=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xxi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxiv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((2,\frac{\pi}{6})\) এবং বৃত্তটি \(Y\) অক্ষকে স্পর্শ করে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-2r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+3=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xxi)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxv)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((4,\frac{\pi}{3})\) এবং ব্যাসার্ধ \(3\) একক হলে; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)।

সমাধানঃ

আমরা জানি,locus4
কেন্দ্র \((r_1, \theta_1)\)
ব্যাসার্ধ \(a\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2rr_1\cos(\theta-\theta_1)+r^2_1=a^2\)
এখানে,
\((r_1, \theta_1)\Rightarrow (4,\frac{\pi}{3})\)
\(\Rightarrow r_1=4, \theta_1=\frac{\pi}{3}\)
ব্যাসার্ধ \(a\Rightarrow 3 \)
\(\therefore \) বৃত্তের সমীকরণ,
\(r^2-2r.4\cos(\theta-\frac{\pi}{3})+4^2=3^2\)
\(\Rightarrow r^2-8r(\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{3})+16=9\)
\(\Rightarrow r^2-8r(\cos\theta\times \frac{1}{2}+\sin\theta\times \frac{\sqrt{3}}{2})+16-9=0\)
\(\Rightarrow r^2-8r\times \frac{1}{2}(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
\(\therefore r^2-4r(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)+7=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xxvi)\) যদি বৃত্তের উপরস্থ \((4, 1)\) বিন্দুটি \((1+5\cos\theta, -3+5\sin\theta)\) দ্বারা প্রকাশিত হয়, তবে এ বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। উত্তরঃ \((-2, -7)\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\((1+5\cos\theta, -3+5\sin\theta)\Rightarrow (4, 1)\)
\(\Rightarrow 1+5\cos\theta=4, -3+5\sin\theta=1\)
\(\Rightarrow 5\cos\theta=4-1, 5\sin\theta=1+3\)
\(\Rightarrow 5\cos\theta=3, 5\sin\theta=4\)
\(\Rightarrow \cos\theta=\frac{3}{5}, \sin\theta=\frac{4}{5}\)
আমরা জানি,
অপর প্রান্তের বিন্দু নির্ধারণে \(\theta\) এর মান \(180^o\) বৃদ্ধি পায়।
\(\therefore \cos(180^o+\theta)=-\cos\theta, \sin(180^o+\theta)=-\sin\theta\)
\(\Rightarrow \cos(180^o+\theta)=-\frac{3}{5}, \sin(180^o+\theta)=-\frac{4}{5}\)
\(\therefore (4,1)\) বিন্দুগামী ব্যাসের অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক \((1+5\times -\frac{3}{5}, -3+5\times -\frac{4}{5})\)
\(\Rightarrow (1-3, -3-4)\)
\(\therefore (-2, -7)\)

\(Q 3.(xxvii)\) দেখাও যে, \(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\) এবং \(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 …….(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ……(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2+(-1)^2-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{16}+1-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16-8}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+1}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।
আবার,
\(C_1C_2=\sqrt{\left(\frac{3}{4}-1\right)^2+(1-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{3-4}{4}\right)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-1}{4}\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{16}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+16}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{17}{16}}\)
\(=\frac{\sqrt{17}}{4}\)
\(\therefore C_1C_2=\)উভয় বৃত্তের ব্যসার্ধ।
অর্থাৎ কেন্দ্র দ্বয়ের দূরত্ব, উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমণ।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

বিকল্প পদ্ধতিঃ

দেওয়া আছে,
\(2x^{2}+2y^{2}-3x-4y+1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0 …….(1)\)
এবং
\(16x^{2}+16y^{2}-32x-1=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-\frac{1}{16}=0 ……(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-\frac{3}{2}, 2f=-2, c=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow g=-\frac{3}{4}, f=-1, c=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(\frac{3}{4}, 1)\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-2, 2f=0, c=-\frac{1}{16}\)
\(\Rightarrow g=-1, f=0, c=\frac{1}{16}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(1, 0)\)
\((1)\) এর কেন্দ্র \((2)\) এ বসিয়ে,
\((\frac{3}{4})^{2}+1^{2}-2\times \frac{3}{4}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9}{16}+1-\frac{3}{2}-\frac{1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{9+16-24-1}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{25-25}{16}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{16}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((1)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) এর কেন্দ্র \((1)\) এ বসিয়ে,
\(x^{2}+y^{2}-\frac{3}{2}x-2y+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1^{2}+0^{2}-\frac{3}{2}.1-2.0+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow 1-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{2-3+1}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{3-3}{2}=0\)
\(\Rightarrow \frac{0}{2}=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
অর্থাৎ \((2)\) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটির প্রতিটির কেন্দ্র, অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত ।

\(Q 3.(xxviii)\) একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((3,\frac{\pi}{2})\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\) একক হলে ; এর পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(r^{2}+6r\sin\theta+5=0\)।

সমাধানঃ

\(Q3.(xxv)\) এর অনুরূপ, নিজে কর।

\(Q 3.(xxix)\) \(x=a(\cos\theta-1)\) এবং \(y=a(\sin\theta+1)\) হলে, বৃত্তটির কার্তেসীয় সমীকরণ, ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর । উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax-2ay+a^{2}=0, (-a, a), a\)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\(x=a(\cos\theta-1), y=a(\sin\theta+1)\)
\(\Rightarrow x=a\cos\theta-a, y=a\sin\theta+a\)
\(\Rightarrow x+a=a\cos\theta, y-a=a\sin\theta\)
\(\Rightarrow \frac{x+a}{a}=\cos\theta, \frac{y-a}{a}=\sin\theta\)
\(\therefore \frac{x+a}{a}=\cos\theta ……(1)\)
\(\frac{y-a}{a}=\sin\theta ……..(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) বর্গ করে যোগ করি,
\(\left(\frac{x+a}{a}\right)^2+\left(\frac{y-a}{a}\right)^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta\)
\(\Rightarrow \frac{(x+a)^2}{a^2}+\frac{(y-a)^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+2ax+a^2+y^2-2ay+a^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2}{a^2}=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2=a^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+2a^2-a^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2ax-2ay+a^2=0 …..(3)\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\((3)\) হতে,
\(2g=2a, 2f=-2a, c=a^2\)
\(\Rightarrow g=a, f=-a, c=a^2\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-a, a)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{a^2+(-a)^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2+a^2-a^2}\)
\(=\sqrt{a^2}\)
\(=a\)

\(Q 3.(xxx)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-6x+6y-18=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+4x-18y+36=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(\left(\frac{9}{13}, \frac{33}{13}\right)\)।

সমাধানঃ

ধরি,straight3
\(x^{2}+y^{2}-6x+6y-18=0 ……..(1)\)
\(x^{2}+y^{2}+4x-18y+36=0 ……..(2)\)
\((1)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=-6, 2f=6, c=-18\)
\(\Rightarrow g=-\frac{6}{2}, f=\frac{6}{2}, c=-18\)
\(\Rightarrow g=-3, f=3, c=-18\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(3, -3)\)
ব্যাসার্ধ \(r_1=\sqrt{(-3)^2+3^2-(-18)}\)
\(=\sqrt{9+9+18}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\)
\((2)\) এর ক্ষেত্রে,
\(2g=4, 2f=-18, c=36\)
\(\Rightarrow g=\frac{4}{2}, f=-\frac{18}{2}, c=36\)
\(\Rightarrow g=2, f=-9, c=36\)
কেন্দ্র \(C_2(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_2(-2, 9)\)\
ব্যাসার্ধ \(r_2=\sqrt{2^2+(-9)^2-36}\)
\(=\sqrt{4+81-36}\)
\(=\sqrt{85-36}\)
\(=\sqrt{49}\)
\(=7\)
এখন,
\(C_1C_2=\sqrt{(3+2)^2+(-3-9)^2}\)
\(=\sqrt{(5)^2+(-12)^2}\)
\(=\sqrt{25+144}\)
\(=\sqrt{169}\)
\(=13\)
\(=6+7\)
\(=r_1+r_2\)
\(\therefore C_1C_2=r_1+r_2\)
\(\therefore \) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
এই ক্ষেত্রে স্পর্শবিন্দুটি \(C_1C_2\) কে \(r_1:r_2\Rightarrow 6:7\) অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
\(\therefore \) স্পর্শবিন্দুটির স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{6.(-2)+7.3}{6+7}, \frac{6.9+7.(-3)}{6+7}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-12+21}{13}, \frac{54-21}{13}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{9}{13}, \frac{33}{13}\right)\)

\(Q 3.(xxxi)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}-10x-6y+14=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে \((3, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-4x+6y+8=0 …….(1)\)
\(x^{2}+y^{2}-10x-6y+14=0 ……(2)\)
\(A(3, -1)\)
\((1)\) নং বৃত্তে \(A(3, -1)\) বিন্দুটি বসিয়ে,
\(3^{2}+(-1)^{2}-4.3+6(-1)+8=0\)
\(\Rightarrow 9+1-12-6+8=0\)
\(\Rightarrow 18-18=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore A(3, -1)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
আবার,
\((2)\) নং বৃত্তে \(A(3, -1)\) বিন্দুটি বসিয়ে,
\(3^{2}+(-1)^{2}-10.3-6(-1)+14=0\)
\(\Rightarrow 9+1-30+6+14=0\)
\(\Rightarrow 30-30=0\)
\(\Rightarrow 0=0\)
\(\therefore A(3, -1)\) বিন্দুটি \((2)\) নং বৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore (1)\) ও \((2)\) বৃত্তদ্বয় \(A(3, -1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। অর্থাৎ বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে \((3, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শ করে।

\(Q 3.(xxxii)\) প্রমাণ কর যে, \(x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0\) বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে। এর মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(y=x\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0 …….(1)\)
এখানে,
\(2g=-2, 2f=-2, c=1\)
\(\Rightarrow g=-\frac{2}{2}, f=-\frac{2}{2}, c=1\)
\(\Rightarrow g=-1, f=-1, c=1\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(1, 1)\)
এখন,
\(g^2=(-1)^2=1\)
\(f^2=(-1)^2=1\)
\(\therefore g^2=f^2=c\)
অতএব, বৃত্তটি উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে।
আবার,
মূলবিন্দু \(O(0, 0)\)
মূলবিন্দুগামী ব্যাস অবশ্যই \(C(1, 1)\) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।
\(CO\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1-0}=\frac{y-1}{1-0}\)
\(\Rightarrow x-1=y-1\)
\(\Rightarrow x-1+1=y\)
\(\Rightarrow x=y\)
\(\therefore y=x\)
\(\therefore \) মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ \(y=x\).

\(Q 3.(xxxiii)\) দেখাও যে, \((0, 1)\) ও \((a, b)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্ত \(X\) অক্ষকে এমন বিন্দুতে ছেদ করে যার ভুজ হবে \(x^{2}-ax+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(A(0, 1)\) ও \(B(a, b)\)
\(AB\)রেখকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)(x-a)+(y-1)(y-b)=0\)
\(\Rightarrow x(x-a)+y^2-y-by+b=0\)
\(\Rightarrow x^2-ax+y^2-y-by+b=0\)
\(\therefore x^2+y^2-ax-(1+b)y+b=0 ……(1)\)
\((1)\) নং বৃত্তটি যখন \(X\) অক্ষকে ছেদ করে, ছেদবিন্দুতে \(y=0\)
\(\therefore x^2+0^2-ax-(1+b).0+b=0\)
\(\therefore x^2-ax+b=0\)
সুতরাং \((1)\) নং বৃত্তটি \(X\)অক্ষকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে, যার ভুজ হবে \(x^{2}-ax+b=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়।

\(Q 3.(xxxiv)\) \(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের \(A\) ও \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \((1, 0)\) ও \((2, 0)\); (BC\) বাহুকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0 \)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,locus4
\(ABC\) সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষ,
\(A(1, 0)\) ও \(B(2, 0)\)
ধরি,
তৃতীয় শীর্ষ \(C(x, y)\)
\(AB=BC=AC\)
\(\Rightarrow \sqrt{(1-2)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(2-x)^2+(0-y)^2}=\)\(\sqrt{(1-x)^2+(0-y)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(-1)^2}=\sqrt{(2-x)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1^2}=\sqrt{(2-x)^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}\)
\(\Rightarrow 1^2=(2-x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (2-x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (2-x)^2=(1-x)^2\)
\(\Rightarrow 2-x=-(1-x)\)
\(\Rightarrow 2-x=-1+x\)
\(\Rightarrow 2-x+1-x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-3\)
\(\Rightarrow 2x=3\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)
আবার,
\(\Rightarrow 1^2=(1-x)^2+y^2\)
\(\Rightarrow (\frac{2-3}{2})^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow (-\frac{1}{2})^2+y^2=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{4}+y^2=1\)
\(\Rightarrow y^2=1-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4-1}{4}\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore C(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(BC\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x-\frac{3}{2})+(y-0)(y-\frac{\sqrt{3}}{2})=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x-\frac{3}{2}x+3+y^2-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{7}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+3=0\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0\)
\(\therefore 2(x^2+y^2)-7x-\sqrt{3}y+3=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xxxv)\) \(x^{2}+2ax-b^{2}=0\) এর মূলদ্বয় \(A\) ও \(B\) বিন্দুর ভুজ এবং \(x^{2}+2px-q^{2}=0\) এর মূলদ্বয় তাদের কটি হলে \(AB\) ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। উত্তরঃ \(x^{2}+y^{2}+2ax+2py-b^{2}-q^{2}=0 \)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\(x^{2}+2ax-b^{2}=0 ……(1)\)
\(x^{2}+2px-q^{2}=0 ……..(2)\)
\((1)\) এর মূলদ্বয় \(x_1, x_2\)
\(x_1+x_2=-2a, x_1x_2=-b^2\)
\((2)\) এর মূলদ্বয় \(y_1, y_2\)
\(y_1+y_2=-2p, y_1y_2=-q^2\)
এই ক্ষেত্রে,
\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\)
\(AB\) ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2+y^2-(y_1+y_2)y+\)\(y_1y_2=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-2a)x-b^2+y^2-(-2p)y-q^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+2ax-b^2+y^2+2py-q^2=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2ax+2py-b^2-q^2=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q 3.(xxxvi)\) \((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\) বৃত্তের কেন্দ্র হতে \(3\) একক দূরে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। উত্তরঃ \( 8\)।

সমাধানঃ

ধরি,locus4
\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5^2 ……..(1)\)
\((1)\) কেন্দ্র \(C(3, 4)\)
ব্যাসার্ধ \(CA=5\)
\(AB\) জ্যা-এর মধ্যবিন্দু \(D\)
এখানে,
\(CD=3\)
\(\triangle ACD\) সমকোণী।
\(\therefore AD^2+CD^2=AC^2\)
\(\Rightarrow AD^2=AC^2-CD^2\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{5^2-3^2}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{25-9}\)
\(\Rightarrow AD=\sqrt{16}\)
\(\therefore AD=4\)
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য \(AB=2.4 \)
\(=8\)

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Are you human? *