বৃত্ত-১ (Circle-One)

অনুশীলনী \(4.A\) / \(Q.4\)সৃজনশীল প্রশ্নসমুহ

\(Q.4.(i)\) দৃশ্যকল্পঃ \(x^2+y^2-10x-16y+64=0\) একটি বৃত্ত এবং \(4x+3y+8=0\) একটি রেখা।
\((a)\) \(2x^2+2y^2+4x+6y+4=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে দৃশ্যকল্পের বৃত্তটিকে, \(3x-4y-8=0\) রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
\((c)\) \((0, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \left(-1, -\frac{3}{2}\right), \frac{\sqrt{5}}{2} ;\) \((b) \ (8, 4) ;\) \((c) \ x^2+y^2+2y=0 \) ।
সমাধান

locus4

\(Q.4.(ii)\) চিত্রটি লক্ষণীয়,
\((a)\) \(3(x^2+y^2)-5x+y+1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OA=4\) এবং \(OB=3\) হলে, চিত্রে প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\parallel CD\) হলে, \(F\) ও \(D\) বিন্দুর সংযোজক রেখাকে ব্যস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((a) \left(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6}\right), \frac{\sqrt{14}}{6} ;\) \((b) \ 25x^2+25y^2-150x-150y+369=0;\) \((c) \ 25x^2+25y^2-352x-111y+1020=0 \) ।
সমাধান

\(Q.4.(iii)\)
কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) এবং \((-3, 1)\) ।
\((a)\) ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে যে পরিমাণ অংশ কর্তন করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের বৃত্তটির সাপেক্ষে \((1, -3)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দু দুইটির অবস্থান এবং প্রথমোক্ত বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5\sqrt{2}\) একক। \((b) \sqrt{41}\) একক; \(=7\) একক।
\((c) (1, -3)\) বিন্দু বৃত্তের ভিতরে। \((2, 3)\) বিন্দু বৃত্তের বাহিরে এবং ব্যাসের সমীকরণ \(x+y+2=0\)।
সমাধান

\(Q.4.(iv)\) একটি বৃত্ত \((3, 5)\) ও \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং এর কেন্দ্র,
\((a)\) \(x+2y-10=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০২; দিঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((a) x^{2}+y^{2}-8x-6y+20=0 \); \((b) x^{2}+y^{2}-6x-16=0 \); \((c) x^{2}+y^{2}+18y-124=0 \)।
সমাধান

\(Q.4.(v)\) \(x^{2}+y^{2}-8x+4y+4=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x+4y+4=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) কেন্দ্র \((4, -2)\), \((-5, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(4\) একক, \(\sqrt{21}\) একক। \((b) y+2=0 \); \((c) (0, -2) \)।
সমাধান

\(Q.4.(vi)\) একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-1, 3)\) এবং \((4, 2)\) ।
\((a)\) \((0, 3)\) কেন্দ্র ও \(3\) ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করে \(Y\) অক্ষ হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \((a) r=6\sin\theta \) \((b) \sqrt{17} \); \((c) 2x^2+2y^2-2x+2y-19=0 \)।
সমাধান

অনুশীলনী \(3.G\) / \(Q.4\) সৃজনশীল প্রশ্নসমুহের সমাধান

\(Q.4.(i)\)
দৃশ্যকল্পঃ \(x^2+y^2-10x-16y+64=0\) একটি বৃত্ত এবং \(4x+3y+8=0\) একটি রেখা।
\((a)\) \(2x^2+2y^2+4x+6y+4=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) দেখাও যে দৃশ্যকল্পের বৃত্তটিকে, \(3x-4y-8=0\) রেখাটি স্পর্শ করে এবং স্পর্শবিন্দু নির্ণয় কর।
\((c)\) \((0, -1)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা দৃশ্যকল্পের রেখাকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ \((a) \left(-1, -\frac{3}{2}\right), \frac{\sqrt{5}}{2} ;\) \((b) \ (8, 4) ;\) \((c) \ x^2+y^2+2y=0 \) ।

সমাধানঃ

locus4

\(Q.4.(i)(a)\)
দেওয়া আছে,
\(2x^2+2y^2+4x+6y+4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2x+3y+2=0 …………(1)\) | Note উভয় পার্শে \(2\) ভাগ করে।
এখানে,
\(2g=2, 2f=3, c=2\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{2}{2}, f=\frac{3}{2}, c=2\)
\(\Rightarrow g=1, f=\frac{3}{2}, c=2\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(-1, -\frac{3}{2})\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{1^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2-2}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{4}-2}\)
\(=\sqrt{\frac{4+9-8}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{13-8}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(-1, -\frac{3}{2})\); ব্যাসার্ধ \(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(Q.4.(i)(b)\)
ধরি,locus4
দৃশ্যকল্পের বৃত্তটি
\(x^2+y^2-10x-16y+64=0 ……….(1)\)
এবং
\(3x-4y-8=0 ……(2)\)
\((1)\) হতে,
\(2g=-10, 2f=-16, c=64\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{10}{2}, f=-\frac{16}{2}, c=64\)
\(\Rightarrow g=-5, f=-8, c=64\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(5, 8)\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{(-5)^2+(-8)^2-64}\)
\(=\sqrt{25+64-64}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
এখন,
কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|3.5-4.8-8|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\) | Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|15-32-8|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|15-40|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-25|}{5}\)
\(=\frac{25}{5}\)
\(=5\)
\(\because \) কেন্দ্র হতে \((2)\) এর লম্ব দূরত্ব \(=r\)
\(\therefore \) দৃশ্যকল্পের বৃত্তটিকে, \(3x-4y-8=0\) রেখাটি স্পর্শ করে ।
\(Q.4.(i)(c)\)
ধরি,locus4
কেন্দ্র
\(C(0, -1)\)
দৃশ্যকল্পের রেখা,
\(4x+3y+8=0 ………(1)\)
কেন্দ্র হতে \((1)\) এর লম্ব দূরত্ব হবে নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
ব্যাসার্ধ \(=\frac{|4.0+3(-1)+8|}{\sqrt{4^2+3^2}}\) | Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|-3+8|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|5|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{5}{5}\)
\(=1\)
এখন,
কেন্দ্র \(C(0, -1)\)
ব্যাসার্ধ \(=1\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-0)^2+(y+1)^2=1^2\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2.y.1+1^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2y+1-1=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2y=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(ii)\)
চিত্রটি লক্ষণীয়, locus4
\((a)\) \(3(x^2+y^2)-5x+y+1=0\) বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) \(OA=4\) এবং \(OB=3\) হলে, চিত্রে প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) \(AB\parallel CD\) হলে, \(F\) ও \(D\) বিন্দুর সংযোজক রেখাকে ব্যস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর ।
উত্তরঃ \((a) \left(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6}\right), \frac{\sqrt{14}}{6} ;\) \((b) \ 25x^2+25y^2-150x-150y+369=0;\) \((c) \ 25x^2+25y^2-352x-111y+1020=0 \) ।

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii)(a)\)
দেওয়া আছে, \(3(x^2+y^2)-5x+y+1=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}=0 …….(1)\) | Note উভয় পার্শে \(3\) ভাগ করে।
এখানে,locus4
\(2g=-\frac{5}{3}, 2f=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=-\frac{5}{6}, f=\frac{1}{6}, c=\frac{1}{3}\)
কেন্দ্র \(C(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6})\)
ব্যাসার্ধ \(r=\sqrt{\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{1}{36}-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{25+1-12}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{26-12}{36}}\)
\(=\sqrt{\frac{14}{36}}\)
\(=\frac{\sqrt{14}}{6}\)
\(\therefore \) কেন্দ্র \(C(\frac{5}{6}, -\frac{1}{6})\); ব্যাসার্ধ \(=\frac{\sqrt{14}}{6}\)
\(Q.4.(ii)(b)\)
দেওয়া আছে, locus4
\(OA=4\) এবং \(OB=3\)
\(A(4, 0)\) এবং \(B(0, 3)\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\) | Note উভয় অক্ষের ছেদিতাংশ \(a, b\) দেওয়া থাকিলে সরলরেখার সমীকরণ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\Rightarrow \frac{3x+4y}{12}=1\)
\(\Rightarrow 3x+4y=12\)
\(\Rightarrow 3x+4y-12=0 …..(1)\)
চিত্র হতে বৃত্তের কেন্দ্র \((3, 3)\)
শর্তমতে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\frac{|3.3+4.3-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}\) | Note \((x_1, y_1)\) বিন্দু হতে \(ax+by+c=0\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{|9+12-12|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\)
এখন,
কেন্দ্র \((3, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(= \frac{9}{5}\)
বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-3)^2+(y-3)^2=\left( \frac{9}{5}\right)^2\) | Note কেন্দ্র \(C(h, k)\), ব্যাসার্ধ \(r\), বৃত্তের সমীকরণ, \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)
\(\Rightarrow x^2-2.x.3+3^2+y^2-2.y.3+3^2=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow x^2-6x+9+y^2-6y+9=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-6x-6y+18=\frac{81}{25}\)
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-150x-150y+450=81\) | Note উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
\(\Rightarrow 25x^2+25y^2-150x-150y+450-81=0\)
\(\therefore 25x^2+25y^2-150x-150y+369=0\)
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
\(Q.4.(ii)(c)\)
চিত্রে \( EF=2\times \) ব্যাসার্ধ ,
\(=2\times \frac{9}{5}\)
\(=\frac{18}{5}\) locus4
\(AB\) এর সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,
\(\Rightarrow 3x+4y+k=0 …..(2)\)
শর্তমতে,
\(\frac{|k+12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{\sqrt{9+16}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{\sqrt{25}}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{|k+12|}{5}=\frac{18}{5}\)
\(\Rightarrow |k+12|=18\)
\(\Rightarrow -(k+12)=18\); চিত্র মতে।
\(\Rightarrow k+12=-18\)
\(\Rightarrow k=-18-12\)
\(\therefore k=-30\)
\(k\) এর মান \((2)\) এ বসিয়ে,
\(3x+4y-30=0 …….(3)\) যা \(CD\) রেখা নির্দেশ করে।
\(\Rightarrow 3x+4y=30\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{30}+\frac{4y}{30}=\frac{30}{30}\) | Note উভয় পার্শে \(30\) ভাগ করে।
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{2y}{15}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{\frac{15}{2}}=1\)
\(\therefore C(0, \frac{15}{2}), D(10, 0)\)
\(AB\) এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,
\(4x-3y+k=0 …..(5)\)
\((5)\) নং সরলরেখা \((3, 3)\) বিন্দুগামী,
\(\therefore 4.3-3.3+k=0\)
\(\Rightarrow 12-9+k=0\)
\(\Rightarrow 3+k=0\)
\(\therefore k=-3\)
\(k\) এর মান \((5)\) এ বসিয়ে,
\(4x-3y-3=0 …..(6)\)
\((3)\) ও \((6)\) এর ছেদবিন্দু \(F\) নির্ণয় করি।
\(\frac{x}{(-3).(-30)-(-3).4}=\frac{y}{(-3).3-4.(-30)}=\frac{1}{4.4-(-3).3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{90+12}=\frac{y}{-9+120}=\frac{1}{16+9}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{102}=\frac{y}{111}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{102}==\frac{1}{25}, \frac{y}{111}=\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow x=\frac{102}{25}, y=\frac{111}{25}\)
\(\therefore F\left(\frac{102}{25}, \frac{111}{25}\right)\)
\(FD\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-\frac{102}{25})(x-10)+(y-\frac{111}{25})(y-0)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{102}{25}+10\right)x+\frac{102}{25}\times 10+y^2-\frac{111}{25}\times y=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{102+250}{25}\right)x+\frac{1020}{25}+y^2-\frac{111}{25}\times y=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{352}{25}x-\frac{111}{25}y+\frac{1020}{25}=0\)
\(\therefore 25x^2+25y^2-352x-111y+1020=0\) | Note উভয় পার্শে \(25\) গুণ করে।
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

\(Q.4.(iii)\)
কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) এবং \((-3, 1)\) ।
\((a)\) ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটি অক্ষদ্বয় হতে যে পরিমাণ অংশ কর্তন করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) উদ্দীপকের বৃত্তটির সাপেক্ষে \((1, -3)\) এবং \((2, 3)\) বিন্দু দুইটির অবস্থান এবং প্রথমোক্ত বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a) 5\sqrt{2}\) একক। \((b) \sqrt{41}\) একক; \(7\) একক।
\((c) (1, -3)\) বিন্দু বৃত্তের ভিতরে। \((2, 3)\) বিন্দু বৃত্তের বাহিরে এবং ব্যাসের সমীকরণ \(x+y+2=0\)।

locus4

সমাধানঃ

\(Q.4.(ii)(a)\)
দেওয়া আছে,
ব্যাসের প্রান্ত বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক \((2, -4)\) এবং \((-3, 1)\) ।
ধরি,
\(A(2, -4)\) এবং \(B(-3, 1)\) ।
ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(AB=\sqrt{(2+3)^2+(-4-1)^2}\) | Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)
\(=\sqrt{5^2+(-5)^2}\)
\(=\sqrt{25+25}\)
\(=\sqrt{2\times 25}\)
\(=5\sqrt{2}\) একক।
\(Q.4.(ii)(b)\)
দেওয়া আছে,locus4
\(A(2, -4)\) এবং \(B(-3, 1)\) ।
\(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ,
\((x-2)(x+3)+(y+4)(y-1)=0\) | Note\(A(x_1, y_1)\) এবং \(B(x_2, y_2)\), \(AB\) কে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ, \((x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+3x-6+y^2+4y-y-4=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+x+3y-10=0\)
এখানে,
\(2g=1, 2f=3, c=-10\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) সমীকরণের সহিত তুলুনা করে।
\(\Rightarrow g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-10\)
\(\therefore X\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(X\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-10)}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{4}+10}\)
\(=2\sqrt{\frac{1+40}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{41}{4}}\)
\(=2\frac{\sqrt{41}}{2}\)
\(=\sqrt{41}\) একক।
\(Y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=2\sqrt{f^2-c}\) | Note \(x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\) বৃত্ত দ্বারা \(Y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-(-10)}\)
\(=2\sqrt{\frac{9}{4}+10}\)
\(=2\sqrt{\frac{9+40}{4}}\)
\(=2\sqrt{\frac{49}{4}}\)
\(=2\frac{7}{2}\)
\(=7\) একক।
\(Q.4.(ii)(c)\)locus4
\((b)\) হতে প্রাপ্ত বৃত্তের সমীকরণ,
\(f(x,y)\equiv x^2+y^2+x+3y-10=0 ……..(1)\)
ধরি,
\(C(1, -3)\) এবং \(D(2, 3)\)
\(C(1, -3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(1,-3)=1^2+(-3)^2+1+3.(-3)-10\)
\(=1+9+1-9-10\)
\(=11-19\)
\(=-8\)
\(therefore 0>f(1,-3)\)
\(\therefore C(1, -3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের ভিতরে অবস্থান করে।
আবার,
\(D(2, 3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(f(2, 3)=2^2+3^2+2+3.3-10\)
\(=4+9+2+9-10\)
\(=24-10\)
\(=14>0\)
\(\therefore D(2, 3)\) বিন্দুটি \((1)\) নং বৃত্তের বাহিরে অবস্থান করে।
আবার,
\((b)\)হতে প্রাপ্ত
\(\Rightarrow g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-10\)
কেন্দ্র \(C_1(-g, -f)\)
\(\Rightarrow C_1(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})\)
\(CC_1\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x-1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3+\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{2+1}{2}}=\frac{y+3}{\frac{-6+3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=\frac{y+3}{\frac{-3}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{x-1}{\frac{3}{2}}=-\frac{y+3}{\frac{3}{2}}\)
\(\Rightarrow x-1=-(y+3)\)
\(\Rightarrow x-1+y+3=0\)
\(\therefore x+y+2=0\)
ইহাই নির্ণেয় ব্যাসের সমীকরণ।

\(Q.4.(iv)\)
একটি বৃত্ত \((3, 5)\) ও \((6, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায় এবং এর কেন্দ্র,
\((a)\) \(x+2y-10=0\) রেখার উপর অবস্থিত।
\((b)\) \(X\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
\((c)\) \(Y\) অক্ষের উপর অবস্থিত।
বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর। [ঢাঃ ২০০২; দিঃ ২০১০ ] উত্তরঃ \((a) x^{2}+y^{2}-8x-6y+20=0 \); \((b) x^{2}+y^{2}-6x-16=0 \); \((c) x^{2}+y^{2}+18y-124=0 \)।

নিজে কর।

\(Q.4.(v)\)
\(x^{2}+y^{2}-8x+4y+4=0\) এবং \(x^{2}+y^{2}+10x+4y+4=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে।
\((a)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র ও ব্যসার্ধ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোগ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((c)\) স্পর্শবিন্দুটি নির্ণয় কর।
উত্তরঃ \((a)\) কেন্দ্র \((4, -2)\), \((-5, -2)\) এবং ব্যাসার্ধ \(4\) একক, \(\sqrt{21}\) একক। \((b) y+2=0 \); \((c) (0, -2) \)।

নিজে কর।

\(Q.4.(vi)\)
একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় \((-1, 3)\) এবং \((4, 2)\) ।
\((a)\) \((0, 3)\) কেন্দ্র ও \(3\) ব্যসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পোলার সমীকরণ নির্ণয় কর।
\((b)\) বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করে \(Y\) অক্ষ হতে কি পরিমাণ অংশ ছেদ করে তা নির্ণয় কর।
\((c)\) এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) এবং প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
উত্তরঃ \((a) r=6\sin\theta \) \((b) \sqrt{17} \); \((c) 2x^2+2y^2-2x+2y-19=0 \)।

নিজে কর।

1 2 3 4 5 6

Leave a Reply